Diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora: exemple, descriere și recenzii. Diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora: exemple, descrieri și recenzii Formularea algebrică a teoremei lui Pitagora
Clasă: 8
Obiectivele lecției:
- Educational: să realizeze asimilarea teoremei lui Pitagora, să insufle abilitățile de a calcula latura necunoscută a unui triunghi dreptunghic folosind două dintre cele cunoscute, să învețe cum să aplici teorema lui Pitagora la rezolvarea unor probleme simple
- În curs de dezvoltare: contribuie la dezvoltarea capacității de comparare, observație, atenție, dezvoltarea capacității de gândire analitică și sintetică, lărgindu-și orizonturile
- Educational: formarea nevoii de cunoștințe, interes pentru matematică
Tip de lecție: lecție de prezentare a materialelor noi
Echipament: computer, proiector multimedia, prezentare pentru lecție ( Atasamentul 1)
Planul lecției:
- Organizarea timpului
- exerciții orale
- Lucrări de cercetare, înaintarea unei ipoteze și testarea ei în cazuri particulare
- Explicația noului material
a) Despre Pitagora
b) Enunţul şi demonstrarea teoremei - Consolidarea celor de mai sus prin rezolvarea de probleme
- Tema pentru acasă, rezumarea lecției.
În timpul orelor
Slide 2: Faceți exercițiile
- Extindeți paranteze: (3 + x) 2
- Calculați 3 2 + x 2 pentru x = 1, 2, 3, 4
– Există un număr natural al cărui pătrat este 10, 13, 18, 25? - Aflați aria unui pătrat cu laturile 11 cm, 50 cm, 7 dm.
Care este formula pentru aria unui pătrat?
Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic?
Slide 3: Întrebare răspuns
– Un unghi a cărui măsură este de 90°. (Drept)
Latura opusă unghiului drept al triunghiului. (Ipotenuză)
- Triunghi, pătrat, trapez, cerc - acestea sunt geometrice ... (Forme)
- Latura mai mică a unui triunghi dreptunghic. (Katet)
- O figură formată din două raze care emană dintr-un punct. (Injecţie)
- Un segment de perpendiculară trasat de la vârful unui triunghi până la dreapta care conține latura opusă. (Înălţime)
- Un triunghi cu două laturi egale . (Isoscel)
Slide 4: O sarcină
Construiți un triunghi dreptunghic cu laturile de 3 cm, 4 cm și 6 cm.
Sarcina este împărțită în rânduri.
| 1 rând | 2 rânduri | 3 rânduri | |
| picior A | 3 | 3 | |
| picior b | 4 | 4 | |
| Ipotenuză din | 6 | 6 |
Întrebări:
- A primit cineva un triunghi cu laturile date?
- Care poate fi concluzia? (Un triunghi dreptunghic nu poate fi definit arbitrar. Există o dependență între laturile sale).
- Măsurați laturile rezultate. ( Rezultatul mediu aproximativ pentru fiecare rând este introdus în tabel)
| 1 rând | 2 rânduri | 3 rânduri | |
| picior A | 3 | 3 | ~4,5 |
| picior b | 4 | ~5,2 | 4 |
| Ipotenuză din | ~5 | 6 | 6 |
- Încercați să stabiliți o relație între catete și ipotenuză în fiecare dintre cazuri.
(Se propune rememorarea exercițiilor orale și verificarea aceleiași relații între alte numere).
- Se atrage atenția asupra faptului că rezultatul exact nu va funcționa, deoarece. măsurătorile nu pot fi considerate exacte.
Profesorul cere ghiciri (ipoteze): elevii formulează.
- Da, într-adevăr, există o relație între ipotenuză și catete, iar primul care a demonstrat asta a fost omul de știință, al cărui nume îl vei numi. Această teoremă poartă numele lui.
Slide 5: Descifra
Slide 6: Pitagora din Samos
Cine va numi subiectul lecției de astăzi?
Elevii notează în caiete subiectul lecției: „Teorema lui Pitagora”
Teorema lui Pitagora este una dintre principalele teoreme ale geometriei. Cu ajutorul lui se demonstrează multe alte teoreme și se rezolvă probleme din diverse domenii: fizică, astronomie, construcții etc. Era cunoscut cu mult înainte ca Pitagora să o demonstreze. Vechii egipteni îl foloseau atunci când construiau un triunghi dreptunghic cu laturile de 3, 4 și 5 unități folosind o frânghie pentru a construi unghiuri drepte atunci când puneau clădiri, piramide. Prin urmare, un astfel de triunghi se numește triunghi egiptean.
Există peste trei sute de moduri de a demonstra această teoremă. Ne vom uita la unul dintre ele astăzi.
Slide 7: teorema lui Pitagora
Teorema: Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.
Dat:
Triunghi dreptunghic,
a, b - picioare, din- ipotenuza
Dovedi:
Dovada.
1. Continuăm catetele unui triunghi dreptunghic: catete dar- pentru lungime b, picior b- pentru lungime dar.
În ce formă poate fi construit un triunghi? De ce până la un pătrat? Care va fi latura pătratului?
2. Completam triunghiul la un patrat cu o latura a + b.
Cum poți găsi aria acestui pătrat?
3. Suprafața pătratului este
- Să despărțim pătratul în părți: 4 triunghiuri și un pătrat cu latura c.
Cum altfel poți găsi aria pătratului original?
De ce triunghiurile dreptunghiulare rezultate sunt congruente?
4. Pe de altă parte,
5. Echivalează egalitățile rezultate:
Teorema a fost demonstrată.
Există o formulare comică a acestei teoreme: „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”. Probabil, această formulare se datorează faptului că această teoremă a fost stabilită inițial pentru un triunghi dreptunghic isoscel. În plus, suna puțin diferit: „Aria unui pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe picioarele sale”.
Slide 8: O altă formulare a teoremei lui Pitagora
Și vă voi oferi o altă formulare a acestei teoreme în versuri:
Dacă ni se dă un triunghi
Și, în plus, cu unghi drept,
Acesta este pătratul ipotenuzei
Întotdeauna putem găsi cu ușurință:
Construim picioarele într-un pătrat,
Găsim suma gradelor
Și într-un mod atât de simplu
Vom ajunge la rezultat.
- Așadar, astăzi v-ați familiarizat cu cea mai cunoscută teoremă a planimetriei - teorema lui Pitagora. Cum este formulată teorema lui Pitagora? Cum altfel poate fi formulat?
Fixarea primară a materialului
Slide 9: Rezolvarea problemelor conform desenelor gata făcute.
Slide 10: Rezolvarea problemelor într-un caiet
Trei elevi sunt chemați la tablă în același timp pentru a rezolva probleme.
Slide 11: Problema matematicianului indian din secolul al XII-lea Bhaskara
Rezumând lecția:
Ce nou ai învățat la lecția de astăzi?
- Formularea teoremei lui Pitagora.
- Ce ai învățat să faci la lecție?
Teme pentru acasă:
– Învață teorema lui Pitagora cu demonstrație
- Sarcini din manualul nr. 483 c, d; Nr. 484 in, oras
– Pentru elevii mai avansați: găsiți alte dovezi ale teoremei lui Pitagora, aflați una dintre ele.
Se evaluează munca clasei în ansamblu, evidențiind elevii individuali.
teorema lui Pitagora- una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relaţia
între laturile unui triunghi dreptunghic.
Se crede că a fost dovedit de matematicianul grec Pitagora, după care poartă numele.
Formularea geometrică a teoremei lui Pitagora.
Teorema a fost formulată inițial după cum urmează:
Într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor,
construit pe catetere.
Formularea algebrică a teoremei lui Pitagora.
Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.
Adică indicând lungimea ipotenuzei triunghiului prin c, iar lungimile picioarelor prin AȘi b:
Ambele formulări teoremele lui pitagora sunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară, nu
necesită conceptul de zonă. Adică a doua afirmație poate fi verificată fără să știe nimic despre zonă și
măsurând numai lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.
Teorema inversă a lui Pitagora.
Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci
triunghiul este dreptunghiular.
Sau, cu alte cuvinte:
Pentru orice triplu de numere pozitive A, bȘi c, astfel încât
există un triunghi dreptunghic cu catete AȘi b si ipotenuza c.
Teorema lui Pitagora pentru un triunghi isoscel.
Teorema lui Pitagora pentru un triunghi echilateral.
Demonstrații ale teoremei lui Pitagora.
În prezent, 367 de dovezi ale acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Probabil teorema
Pitagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de dovezi. O asemenea diversitate
poate fi explicată doar prin semnificația fundamentală a teoremei pentru geometrie.
Desigur, din punct de vedere conceptual, toate pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cele mai faimoase dintre ele:
dovezi metoda zonei, axiomaticȘi dovezi exotice(de exemplu,
prin intermediul ecuatii diferentiale).
1. Demonstrarea teoremei lui Pitagora în termeni de triunghiuri similare.
Următoarea demonstrație a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezile construite
direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a unei figuri.
Lasa ABC există un triunghi dreptunghic C. Să desenăm o înălțime de la C si denota
întemeierea ei prin H.
Triunghi ACH asemănător unui triunghi AB C pe două colțuri. La fel, triunghiul CBH asemănătoare ABC.
Prin introducerea notației:
primim:
,
care se potrivește -
Fiind pliat A 2 și b 2, obținem:
sau , ceea ce urma să fie dovedit.
2. Demonstrarea teoremei lui Pitagora prin metoda ariei.
Următoarele dovezi, în ciuda aparentei lor simplități, nu sunt deloc atât de simple. Toti
folosiți proprietățile zonei, a cărei demonstrație este mai complicată decât demonstrarea teoremei lui Pitagora în sine.
- Dovada prin echicomplementare.
Aranjați patru dreptunghiulare egale
triunghi așa cum se arată în imagine
pe dreapta.
Cadrilater cu laturi c- pătrat,
deoarece suma a două unghiuri ascuțite este de 90° și
unghiul dezvoltat este de 180°.
Zona întregii figuri este, pe de o parte,
aria unui pătrat cu latura ( a+b), iar pe de altă parte, suma ariilor a patru triunghiuri și
Q.E.D.
3. Demonstrarea teoremei lui Pitagora prin metoda infinitezimală.
Având în vedere desenul prezentat în figură, și
privind schimbarea lateralăA, Putem
scrie următoarea relație pentru infinit
mic incremente lateraledinȘi A(folosind asemănarea
triunghiuri):
Folosind metoda separării variabilelor, găsim:
O expresie mai generală pentru schimbarea ipotenuzei în cazul creșterilor ambelor catete:
Integrând această ecuație și utilizând condițiile inițiale, obținem:
Astfel, ajungem la răspunsul dorit:
După cum este ușor de observat, dependența pătratică în formula finală apare datorită liniarului
proporționalitatea dintre laturile triunghiului și incrementele, în timp ce suma este raportată la independent
contribuții din creșterea diferitelor picioare.
O dovadă mai simplă poate fi obținută dacă presupunem că unul dintre picioare nu experimentează o creștere
(în acest caz, piciorul b). Atunci pentru constanta de integrare obținem:
Întrebare - răspuns Unghi a cărui măsură este 90° DIRECT Latura situată opusă unghiului drept al triunghiului HIPOTENUZĂ Triunghiul, pătratul, trapezul, cercul sunt geometrice... FIGURI Latura mai mică a unui triunghi dreptunghic CATETH Figura formată din două raze care emană din un punct UNGHI Segment perpendicular trasat de la vârful unui triunghi la dreapta care conține latura opusă ÎNĂLȚIE Un triunghi ale cărui două laturi sunt isoscele egale
Pitagora din Samos (c. 580 - c. 500 î.Hr.) Matematician și filozof grec antic. Născut pe insula Samos. Și-a organizat propria școală - școala lui Pitagora (Uniunea Pitagoreică), care era în același timp o școală filozofică, un partid politic și o frăție religioasă. El a fost primul care a demonstrat relația dintre ipotenuză și catetele unui triunghi dreptunghic.
Problema matematicianului indian din secolul al XII-lea Bhaskara Pe malul râului creștea un plop singuratic. Deodată o rafală de vânt i-a rupt trunchiul. Bietul plop a căzut. Iar unghiul unei drepte Cu cursul râului, trunchiul lui era. Amintiți-vă acum că în acest loc râul B avea doar patru picioare lățime.Capul se apleca pe marginea râului. Mai sunt doar trei picioare de trunchi, te implor, spune-mi curând acum: Cât de înalt este plopul?
