Уравнение плоскости по точке и перпендикулярно вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой. Общее уравнение плоскости

Свойства прямой в евклидовой геометрии.

Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются

параллельными (следует из предыдущего).

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

• прямые пересекаются;

• прямые параллельны;

• прямые скрещиваются.

Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия

задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой.

Определение . Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

. C = 0, А ≠0, В ≠ 0 - прямая проходит через начало координат

. А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0} - прямая параллельна оси Ох

. В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} - прямая параллельна оси Оу

. В = С = 0, А ≠0 - прямая совпадает с осью Оу

. А = С = 0, В ≠0 - прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких - либо заданных

начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение . В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)

перпендикулярен прямой, заданной уравнением

Ах + Ву + С = 0.

Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х - у + С = 0. Для нахождения коэффициента С

подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 - 2 + C = 0, следовательно

С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х - у - 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой ,

проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На

плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ≠ х 2 и х = х 1 , если х 1 = х 2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой .

Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение . Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется

уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание

прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение . Каждый ненулевой вектор (α 1 , α 2) , компоненты которого удовлетворяют условию

Аα 1 + Вα 2 = 0 называется направляющим вектором прямой.

Ах + Ву + С = 0.

Пример . Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение . Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,

коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3 , т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на -С, получим:

или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения

прямой с осью Ох, а b - координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример . Задано общее уравнение прямой х - у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется

нормирующем множителем , то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0 - нормальное уравнение прямой .

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0.

р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,

а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример . Дано общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0 . Требуется написать различные типы уравнений

этой прямой.

Уравнение этой прямой в отрезках :

Уравнение этой прямой с угловым коэффициентом : (делим на 5)

Уравнение прямой :

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые,

параллельные осям или проходящие через начало координат.

Угол между прямыми на плоскости.

Определение . Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми

будет определяться как

Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны,

если k 1 = -1/ k 2 .

Теорема .

Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты

А 1 = λА, В 1 = λВ . Если еще и С 1 = λС , то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых

находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.

Определение . Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b

представляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой.

Теорема . Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется как:

Доказательство . Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную

прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1 :

(1)

Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы - это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно

заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

Данная статья дает представление о том, как составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства перпендикулярно к заданной прямой. Разберем приведенный алгоритм на примере решения типовых задач.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой

Пусть задано трехмерное пространство и прямоугольная система координат O x y z в нем. Заданы также точка М 1 (x 1 , y 1 , z 1) , прямая a и плоскость α , проходящая через точку М 1 перпендикулярно прямой a . Необходимо записать уравнение плоскости α .

Прежде чем приступить к решению этой задачи, вспомним теорему геометрии из программы 10 - 11 классов, которая гласит:

Определение 1

Через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к заданной прямой.

Теперь рассмотрим, как же найти уравнение этой единственной плоскости, проходящей через исходную точку и перпендикулярной данной прямой.

Возможно записать общее уравнение плоскости, если известны координаты точки, принадлежащей этой плоскости, а также координаты нормального вектора плоскости.

Условием задачи нам заданы координаты x 1 , y 1 , z 1 точки М 1 , через которую проходит плоскость α . Если мы определим координаты нормального вектора плоскости α , то получим возможность записать искомое уравнение.

Нормальным вектором плоскости α , так как он ненулевой и лежит на прямой a , перпендикулярной плоскости α , будет являться любой направляющий вектор прямой a . Так, задача нахождения координат нормального вектора плоскости α преобразовывается в задачу определения координат направляющего вектора прямой a .

Определение координат направляющего вектора прямой a может осуществляться разными методами: зависит от варианта задания прямой a в исходных условиях. К примеру, если прямая a в условии задачи задана каноническими уравнениями вида

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

или параметрическими уравнениями вида:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

то направляющий вектор прямой будет иметь координаты а x , а y и а z . В случае, когда прямая a представлена двумя точками М 2 (x 2 , y 2 , z 2) и М 3 (x 3 , y 3 , z 3) , то координаты направляющего вектора буду определяться как (x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Определение 2

Алгоритм для нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой:

Определяем координаты направляющего вектора прямой a: a → = (а x , а y , а z) ;

Определяем координаты нормального вектора плоскости α как координаты направляющего вектора прямой a:

n → = (A , B , C) , где A = a x , B = a y , C = a z ;

Записываем уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1) и имеющей нормальный вектор n → = (A , B , C) в виде A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 . Это и будет являться требуемым уравнением плоскости, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к данной прямой.

Полученное общее уравнение плоскости: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 дает возможность получить уравнение плоскости в отрезках или нормальное уравнение плоскости.

Решим несколько примеров, используя полученный выше алгоритм.

Пример 1

Задана точка М 1 (3 , - 4 , 5) , через которую проходит плоскость, и эта плоскость перпендикулярна координатной прямой О z .

Решение

направляющим вектором координатной прямой O z будет координатный вектор k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты (0 , 0 , 1) . Запишем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М 1 (3 , - 4 , 5) , нормальный вектор которой имеет координаты (0 , 0 , 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 · (x - 3) + 0 · (y - (- 4)) + 1 · (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Ответ: z – 5 = 0 .

Рассмотрим еще один способ решить данную задачу:

Пример 2

Плоскость, которая перпендикулярна прямой O z будет задана неполным общим уравнением плоскости вида С z + D = 0 , C ≠ 0 . Определим значения C и D: такие, при которых плоскость проходит через заданную точку. Подставим координаты этой точки в уравнение С z + D = 0 , получим: С · 5 + D = 0 . Т.е. числа, C и D связаны соотношением - D C = 5 . Приняв С = 1 , получим D = - 5 .

Подставим эти значения в уравнение С z + D = 0 и получим требуемое уравнение плоскости, перпендикулярной к прямой O z и проходящей через точку М 1 (3 , - 4 , 5) .

Оно будет иметь вид: z – 5 = 0 .

Ответ: z – 5 = 0 .

Пример 3

Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Решение

Опираясь на условия задачи, можно утверждать, что за нормальный вектор n → заданной плоскости можно принять направляющий вектор заданной прямой. Таким, образом: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку О (0 , 0 , 0) и имеющей нормальный вектор n → = (- 3 , - 7 , 2) :

3 · (x - 0) - 7 · (y - 0) + 2 · (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Мы получили требуемое уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к заданной прямой.

Ответ: - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Пример 4

Задана прямоугольная система координат O x y z в трехмерном пространстве, в ней – две точки А (2 , - 1 , - 2) и B (3 , - 2 , 4) . Плоскость α проходит через точку A перпендикулярно прямой А В. Необходимо составить уравнение плоскости α в отрезках.

Решение

Плоскость α перпендикулярна к прямой А В, тогда вектор А В → будет нормальным вектором плоскости α . Координаты этого вектора определяются как разности соответствующих координат точек В (3 , - 2 , 4) и А (2 , - 1 , - 2) :

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Общее уравнение плоскости будет записано в следующем виде:

1 · x - 2 - 1 · y - (- 1 + 6 · (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Теперь составим искомое уравнение плоскости в отрезках:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Ответ: x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Также нужно отметить, что встречаются задачи, требование которых – написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной к двум заданным плоскостям. В общем, решение этой задачи в том, чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой, т.к. две пересекающиеся плоскости задают прямую линию.

Пример 5

Задана прямоугольная система координат O x y z , в ней – точка М 1 (2 , 0 , - 5) . Заданы также уравнения двух плоскостей 3 x + 2 y + 1 = 0 и x + 2 z – 1 = 0 , которые пересекаются по прямой a . Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 перпендикулярно к прямой a .

Решение

Определим координаты направляющего вектора прямой a . Он перпендикулярен как нормальному вектору n 1 → (3 , 2 , 0) плоскости n → (1 , 0 , 2) , так и нормальному вектору 3 x + 2 y + 1 = 0 плоскости x + 2 z - 1 = 0 .

Тогда направляющим вектором α → прямой a возьмем векторное произведение векторов n 1 → и n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 · i → - 6 · j → - 2 · k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2)

Таким образом, вектор n → = (4 , - 6 , - 2) будет нормальным вектором плоскости, перпендикулярной к прямой a . Запишем искомое уравнение плоскости:

4 · (x - 2) - 6 · (y - 0) - 2 · (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ответ: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Если все числа А , В , С и D отличны от нуля, то общее уравнение плоскости называется полным . В противном случае, общее уравнение плоскости называется неполным .

Рассмотрим все возможные общие неполные уравнения плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.

Пусть D = 0 , тогда имеем общее неполное уравнение плоскости вида . Эта плоскость в прямоугольной системе координт Oxyz проходит через начало координат. Действительно, при подстановке координат точки в полученное неполное уравнение плоскости мы приходим к тождеству .

При , или , или имеем общие неполные уравнения плоскостей , или , или соответственно. Эти уравнения задают плоскости, параллельные координатным плоскостям Oxy , Oxz и Oyz соответственно (смотрите статью условие параллельности плоскостей) и проходящие через точки и соответственно. При. Так как точка принадлежит плоскости по условию, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости , то есть, должно быть справедливо равенство . Отсюда находим . Таким образом, искомое уравнение имеет вид .

Приведем второй способ решения этой задачи.

Так как плоскость, общее уравнение которой нам требуется составить, параллельна плоскости Oyz , то в качестве ее нормального вектора можно взять нормальный вектор плоскости Oyz . Нормальным вектором координатной плоскости Oyz является координатный вектор . Теперь мы знаем нормальный вектор плоскости и точку плоскости, следовательно, можем записать ее общее уравнение (подобную задачу мы решали в предыдущем пункте этой статьи):
, тогда ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости. Следовательно, справедливо равенство , откуда находим . Теперь мы можем написать искомое общее уравнение плоскости, оно имеет вид .

Ответ:

Список литературы.

• Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

Рассмотрим точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) в общей декартовой системе координат.

Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М 1 , М 2 , М 3 необходимо, чтобы векторы были компланарны.

(
) = 0

Таким образом,

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.

Пусть заданы точки М 1 (x 1 ,y 1 ,z 1),M 2 (x 2 ,y 2 ,z 2) и вектор
.

Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М 1 и М 2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору .

Векторы
и вектор
должны быть компланарны, т.е.

(
) = 0

Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам,

коллинеарным плоскости.

Пусть заданы два вектора
и
, коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у,z), принадлежащей плоскости, векторы
должны быть компланарны.

Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали .

Теорема. Если в пространстве задана точка М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ), то уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 перпендикулярно вектору нормали (A , B , C ) имеет вид:

A (x – x 0 ) + B (y – y 0 ) + C (z – z 0 ) = 0.

Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору
. Тогда скалярное произведение

= 0

Таким образом, получаем уравнение плоскости

Теорема доказана.

Уравнение плоскости в отрезках.

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)

,

заменив
, получим уравнение плоскости в отрезках:

Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

Уравнение плоскости в векторной форме.

где

- радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),

Единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.

,  и  - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.

p – длина этого перпендикуляра.

В координатах это уравнение имеет вид:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от произвольной точки М 0 (х 0 , у 0 , z 0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:

Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и

Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.

Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0
параллелен искомой плоскости.

Получаем:

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и

В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.

Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор
(1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали(1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Находим координаты вектора нормали
= (4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости имеет вид: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим в уравнение координаты точки Р:

16 + 9 + 144 + D = 0

Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0

Пример. Даны координаты вершин пирамиды А 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Найти длину ребра А 1 А 2 .

Найти угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 4 .

Найти угол между ребром А 1 А 4 и гранью А 1 А 2 А 3 .

Сначала найдем вектор нормали к грани А 1 А 2 А 3 как векторное произведение векторов
и
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Найдем угол между вектором нормали и вектором
.

-4 – 4 = -8.

Искомый угол  между вектором и плоскостью будет равен  = 90 0 - .

Найти площадь грани А 1 А 2 А 3 .

Найти объем пирамиды.

Найти уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 .

Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики ” можно запустить программу, которая решит рассмотренный выше пример для любых координат вершин пирамиды.

Для запуска программы дважды щелкните на значке:

В открывшемся окне программы введите координаты вершин пирамиды и, нажимитеEnter. Таким образом, поочередно могут быть получены все пункты решения.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple ( Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.