Общее и нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости в пространстве. Линейные неравенства в пространстве

Чтобы получить общее уравнение плоскости, разберём плоскость, проходящую через заданную точку.

Пусть в пространстве есть три уже известные нам оси координат - Ox , Oy и Oz . Подержим лист бумаги так, чтобы он оставался плоским. Плоскостью будет сам лист и его продолжение во всех направлениях.

Пусть P произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей вектор называется вектором нормали к этой плоскости. Естественно, речь идёт о ненулевом векторе.

Если известна какая-нибудь точка плоскости P и какой-нибудь вектор нормали к ней, то этими двумя условиями плоскость в пространстве вполне определена (через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору). Общее уравнение плоскости будет иметь вид:

Итак, условия, которыми задаётся уравнение плоскости, есть. Чтобы получить само уравнение плоскости , имеющее приведённый выше вид, возьмём на плоскости P произвольную точку M с переменными координатами x , y , z . Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис. 1). Для этого, согласно условию перпендикулярности векторов, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, то есть

Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле :

.

Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:

Так как точка M(x; y; z) выбрана на плоскости произвольно, то последнему уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на плоскости P . Для точки N , не лежащей на заданной плоскости, , т.е. равенство (1) нарушается.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Решение. Используем формулу (1), еще раз посмотрим на неё:

В этой формуле числа A , B и C координаты вектора , а числа x 0 , y 0 и z 0 - координаты точки .

Вычисления очень простые: подставляем эти числа в формулу и получаем

Умножаем всё, что нужно умножить и складываем просто числа (которые без букв). Результат:

.

Требуемое уравнение плоскости в этом примере оказалось выражено общим уравнением первой степени относительно переменных координат x, y, z произвольной точки плоскости.

Итак, уравнение вида

называется общим уравнением плоскости .

Пример 2. Построить в прямоугольной декартовой системе координат плоскость, заданную уравнением .

Решение. Для построения плоскости необходимо и достаточно знать какие-либо три её точки, не лежащие на одной прямой, например, точки пересечения плоскости с осями координат.

Как найти эти точки? Чтобы найти точку пересечения с осью Oz , нужно в уравнение, данное в условии задачи, вместо икс и игрека подставить нули: x = y = 0 . Поэтому получаем z = 6 . Таким образом, заданная плоскость пересекает ось Oz в точке A (0; 0; 6) .

Точно так же находим точку пересечения плоскости с осью Oy . При x = z = 0 получаем y = −3 , то есть точку B (0; −3; 0) .

И, наконец, находим точку пересечения нашей плоскости с осью Ox . При y = z = 0 получим x = 2 , то есть точку C (2; 0; 0) . По трём полученным в нашем решении точкам A (0; 0; 6) , B (0; −3; 0) и C (2; 0; 0) строим заданную плоскость.

Рассмотрим теперь частные случаи общего уравнения плоскости . Это случаи, когда те или иные коэффициенты уравнения (2) обращаются в нуль.

1. При D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки 0 (0; 0; 0) удовлетворяют этому уравнению.

2. При A = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ox , поскольку вектор нормали этой плоскости перпендикулярен оси Ox (его проекция на ось Ox равна нулю). Аналогично, при B = 0 плоскость параллельная оси Oy , а при C = 0 плоскость параллельна оси Oz .

3. При A = D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через ось Ox , поскольку она параллельна оси Ox (A = D = 0). Аналогично, плоскость проходит через ось Oy , а плоскость через ось Oz .

4. При A = B = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости xOy , поскольку она параллельна осям Ox (A = 0) и Oy (B = 0). Аналогично, плоскость параллельна плоскости yOz , а плоскость - плоскости xOz .

5. При A = B = D = 0 уравнение (или z = 0) определяет координатную плоскость xOy , так как она параллельна плоскости xOy (A = B = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, уравнение y = 0 в пространстве определяет координатную плоскость xOz , а уравнение x = 0 - координатную плоскость yOz .

Пример 3. Составить уравнение плоскости P , проходящей через ось Oy и точку .

Решение. Итак, плоскость проходит через ось Oy . Поэтому в её уравнении y = 0 и это уравнение имеет вид . Для определения коэффициентов A и C воспользуемся тем, что точка принадлежит плоскости P .

Поэтому среди её координат есть такие, которые можно подставить в уравнению плоскости, которое мы уже вывели (). Смотрим ещё раз на координаты точки:

M 0 (2; −4; 3) .

Среди них x = 2 , z = 3 . Подставляем их в уравнение общего вида и получаем уравнение для нашего частного случая:

2A + 3C = 0 .

Оставляем 2A в левой части уравнения, переносим 3C в правую часть и получаем

A = −1,5C .

Подставив найденное значение A в уравнение , получим

или .

Это и есть уравнение, требуемое в условии примера.

Решить задачу на уравнения плоскости самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Определить плоскость (или плоскости, если больше одной) относительно координатных осей или координатных плоскостей, если плоскость (плоскости) задана уравнением .

Решения типичных задач, которые бывают на контрольных работах - в пособии "Задачи на плоскость: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке" .

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Как уже упоминалось, необходимым и достаточным условием для построения плоскости, кроме одной точки и вектора нормали, являются также три точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть даны три различные точки , и , не лежащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы и не коллинеарны, а поэтому любая точка плоскости лежит в одной плоскости с точками , и тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Используя выражение смешанного произведения в координатах, получим уравнение плоскости

(3)

После раскрытия определителя это уравнение становится уравнением вида (2), т.е. общим уравнением плоскости.

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой:

и определить частный случай общего уравнения прямой, если такой имеет место.

Решение. По формуле (3) имеем:

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Нормальным уравнением плоскости называется её уравнение, записанное в виде

1. Общее уравнение плоскости

Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению: Ax + By + Cz + D = 0 , где А, В, С – координаты вектора

N = Ai + Bj + Ck -вектор нормали к плоскости. Возможны следующие частные случаи:

A = 0 – плоскость параллельна оси Ох

B = 0 – плоскость параллельна оси Оу C = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

A = B = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу A = C = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz B = C = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz A = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

B = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу C = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

A = B = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу A = C = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz B = C = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz

2. Уравнение поверхности в пространстве

Определение. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Для того, чтобы через три какиелибо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

Рассмотрим точки М1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ), M3 (x3 , y3 , z3 ) в общей декартовой системе

координат.
Для того, чтобы произвольная точка M (x , y , z )	лежала в одной плоскости с точками
M 1 , M 2 , M 3 необходимо, чтобы векторы M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M были компланарны, т.е
M1 M = { x − x1 ; y − y1 ; z − z1 }
(M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M ) = 0. Таким образом, M 1 M 2	= { x 2 − x 1 ; y 2		− y 1 ; z 2 − z 1}
M1 M 3	= { x 3 − x 1 ; y 3 − y 1 ; z 3 − z 1}
		x − x1	y − y1	z − z1
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:		x 2 − x 1	y 2 − y 1	z 2 − z 1
		x 3 − x 1	y 3 − y 1	z 3 − z 1

4. Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости

Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и векторa = (a 1 , a 2 , a 3 ) .

Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную

точку М(х, у, z) параллельно вектору a .
Векторы M1 M = { x − x1 ; y − y1 ; z − z1 }	и вектор a = (a , a					должны быть
M 1M 2 = { x 2 − x 1 ; y 2 − y 1 ; z 2 − z 1}
			x − x1				y − y1	z − z1
компланарны, т.е. (M 1 M , M 1 M 2 , a ) = 0.Уравнение плоскости:		x 2 − x 1					y 2 − y 1	z 2 − z 1

5. Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости

Пусть заданы два вектора a = (a 1 , a 2 , a 3 ) и b = (b 1 ,b 2 ,b 3 ) , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы a ,b , MM 1 должны быть компланарны.

6. Уравнение плоскости по точке и вектору нормали

Теорема. Если в пространстве задана точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) , то уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 перпендикулярно вектору нормали N (A , B ,C ) имеет вид: A (x − x 0 ) + B (y − y 0 ) + C (z − z 0 ) = 0 .

7. Уравнение плоскости в отрезках

Если в общем уравнении Ax + By + Cz + D = 0 поделить обе части на (-D)

x −

y −

z − 1 = 0 , заменив −

C , получим уравнение плоскости

в отрезках:

1 . Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно

с осями х, у, z.

8. Уравнение плоскости в векторной форме

r n = p , где r = xi + yj + zk - радиусвектор текущей точки M (x , y , z ) ,

n = i cosα + j cos β + k cosγ - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра,

опущенного на плоскость из начала координат. α , β и γ - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z. p – длина этого перпендикуляра. В координатах это уравнение имеет вид:

x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0

9. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от произвольной точки M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно:

d = Ax0 + By0 + Cz0 + D

A2 + B2 + C 2

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2,-1,4) и В(3,2,-1) перпендикулярно плоскости x + y + 2z − 3 = 0 .

Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0 , вектор нормали к этой плоскости n 1 (A,B,C). Вектор AB (1,3,-5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость,

перпендикулярная искомой имеет вектор нормали n 2 (1,1,2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

n = AB × n

− 5

− j

− 5

11 i − 7 j − 2 k .

− 5

Таким образом, вектор нормали n 1 (11,-7,-2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е.

11.2 + 7.1− 2.4 + D = 0; D = − 21. Итого, получаем уравнение плоскости: 11x − 7 y − 2z − 21 = 0

10. Уравнение линии в пространстве

Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

F (x , y , z ) = 0 . Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана какимлибо уравнением.

Пусть F (x , y , z ) = 0 и Ф (x , y , z ) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

F (x , y , z ) = 0

Тогда пару уравнений Ф (x , y , z ) = 0 назовем уравнением линии в пространстве.

11. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему векторуr 0 = M 0 M .

Т.к. векторы М 0 М и S коллинеарны, то верно соотношение М 0 М = St , где t – некоторый параметр. Итого, можно записать: r = r 0 + St .

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.

x = x0 + mt

Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме: y = y 0 + nt

z = z0 + pt

Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические

уравнения прямой в пространстве:	x − x0		y − y0		z − z0

Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора S , которые могут быть вычислены по формулам:

	cosα =			; cos β =		; cosγ =
					N 2 + p 2		m 2 + n 2 + p 2

Отсюда получим: m : n : p = cosα : cos β : cosγ .

Числа m , n , p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. S - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.

12. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки

Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) и

M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

x 2 − x 1		y 2 − y 1		z 2 − z 1

В данной статье мы рассмотрим нормальное уравнение плоскости. Приведем примеры построения нормального уравнения плоскости по углу наклона нормального вектора плоскости от осей Ox, Oy, Oz и по расстоянию r от начала координат до плоскости. Представим метод приведения общего уравнения прямой к нормальному виду. Рассмотрим численные примеры.

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Тогда нормальное уравнение плоскости Ω представляется следующей формулой:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r =0,

(1)

где r − расстояние от начала координат до плоскости Ω , а α,β,γ − это углы между единичным вектором n , ортогональным плоскости Ω и координатными осьями Ox, Oy, Oz , соответственно (Рис.1). (Если r >0, то вектор n направлен в сторону плоскости Ω , если же плоскость проходит через начало координат, то направление вектора n выбирается произвольной).

Выведем формулу (1). Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат и плоскость Ω (Рис.1). Проведем через начало координат прямую Q , перпендикулярную плоскости Ω , и точку пересечения обозначим через R . На этой прямой выделим единичный вектор n , с направлением, совпадающим с вектором . (Если точки O и R совпадают, то направление n можно взять произвольным).

Выразим уравнение плоскости Ω через следующие параметры: длину отрезка и углы наклона α, β, γ между вектором n и осьями Ox, Oy, Oz , соответственно.

Так как вектор n является единичным вектором, то его проекции на Ox, Oy, Oz будут иметь следующие координаты:

Скалярное произведение векторов n и имеет следующий вид:

Учитывая, что n= {cosα, cosβ, cosγ }, , мы получим:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r =0.

(7)

Мы получили нормальное уравнение плоскости Ω . Уравнение (7) (или (1)) называется также нормированным уравнением плоскости . Вектор n называется нормальным вектором плоскости .

Как было отмечено выше, число r в уравнении (1) показывает расстояние плоскости от начала координат. Поэтому, имея нормальное уравнение плоскости легко определить расстояние плоскости от начала координат. Для проверки, является ли данное уравнение плоскости уравнением в нормальном виде, нужно проверить длину нормального вектора этой плоскости и знак числа r , т.е. если |n |=1 и r >0, то данное уравнение является нормальным (нормированным) уравнением плоскости.

Пример 1. Задано следующее уравнение плоскости:

Определим длину вектора n :

Так как уравнения (1) и (8) должны определять одну и ту же прямую (Утрерждение 2 статьи "Общее уравнение плоскости"), то существует такое число t , что

Упростим выражение и найдем t :

t 2 A 2 +t 2 B 2 +t 2 C 2 =t 2 (A 2 +B 2 +C 2)=1,

.

(11)

Знаменатель в (11) отличен от нуля, т.к. хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю (в противном случае (8) не представлял бы уравнение прямой).

Выясним, какой знак имеет t . Обратим внимание на четвертое равенство в (9). Так как r −это расстояние от начала координат до плоскости, то r ≥0. Тогда произведение tD должна иметь отрицательный знак. Т.е. знак t в (11) должен быть противоположным знаку D .

Подставляя в (1) вместо cosα, cosβ, cosγ и −r значения из (9), получим tAx+tBy+tCz+tD =0. Т.е. для приведения общего уравенения плоскости к нормальному виду, нужно заданное уравнение умножить на множитель (11). Множитель (11) называется нормирующим множителем .

Пример 2. Задано общее уравнение плоскости

Так как D >0, то знак t отрицательный:

Отметим, что число является расстоянием от начала координат до прямой (12).

– общее уравнение плоскости в пространстве

Нормальный вектор плоскости

Нормальным вектором плоскости назовем ненулевой вектор, ортогональный каждому вектору, лежащему в плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точкус заданным вектором нормали

– уравнение плоскости, проходящей через точку M0 с заданным вектором нормали

Направляющие векторы плоскости

Два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости, назовем направляющими векторами плоскости

Параметрические уравнения плоскости

– параметрическое уравнение плоскости в векторном виде

– параметрическое уравнение плоскости в координатах

Уравнение плоскости через заданную точку и два направляющих вектора

–фиксированная точка

–просто точка лол

–компланарные, значит их смешанное произведение равно 0.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

– уравнение плоскости через три точки

Уравнение плоскости в отрезках

– уравнение плоскости в отрезках

Доказательство

Для доказательства воспользуемся тем, что наша плоскость проходит через A,B,C, а нормальный вектор

Подставим координаты точки и вектораnв уравнение плоскости с нормальным вектором

Разделим все на и получим

Такие дела.

Нормальное уравнение плоскости

– угол междуoxи нормальным вектором к плоскости, выходящим из О.

– угол междуoyи нормальным вектором к плоскости, выходящим из О.

– угол междуozи нормальным вектором к плоскости, выходящим из О.

– расстояние от начала координат до плоскости.

Доказательство или какая-то такая хуйня

Знак противоположен D.

Аналогично для остальных косинусов. Конец.

Расстояние от точки до плоскости

Точка S, плоскость

– ориентированное расстояние от точкиSдо плоскости

Если , тоSи О лежат по разные стороны от плоскости

Если , тоSи О лежат по одну сторону

Умножаем наn

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Угол между плоскостями

При пересечении образуется две пары вертикальных двухгранных углов, наименьший называется углом между плоскостями

Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как

Пересечение двух плоскостей:

Параметрические уравнения прямой

– параметрическое уравнение прямой в векторном виде

– параметрическое уравнение прямой в координатах

Каноническое уравнение

– каноническое уравнение прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

– каноническое уравнение прямой в векторном виде;

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Угол между прямой и плоскостью

Расстояние от точки до прямой в пространстве

a– направляющий вектор нашей прямой.

– произвольная точка, принадлежащая данной прямой

– точка, до которой ищем расстояние.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Расстояние между двумя параллельными прямыми

М1 – точка, принадлежащая первой прямой

М2 – точка, принадлежащая второй прямой

Кривые и поверхности второго порядка

Эллипсом назовем множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.

Каноническое уравнение эллипса

Заменим на

Разделим на

Свойства эллипса

Пересечение с осями координат

Симметрия относительно

1. Начала координат

Эллипс представляет собой кривую, лежащую в ограниченной части плоскости

Эллипс можно получить из окружности путем её растяжения или сжатия

Параметрическое уравнение эллипса:

– директрисы

Гипербола

Гиперболой назовем множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до 2х заданных точек (фокусов) есть величина постоянная(2a)

Делаем все то же самое, что и с эллипсом, получаем

Заменяем на

Делим на

Свойства гиперболы

;

– директрисы

Асимптота

Асимптота – прямая, к которой кривая неограниченно приближается, удаляясь в бесконечность.

Парабола

Свойства паработы

Родство эллипса, гиперболы и параболы.

Родство между этими кривыми имеет алгебраическое объяснение: все они задаются уравнениями второй степени. В любой системе координат уравнения этих кривых имеют вид: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, где a, b, c, d, e, f – числа

Преобразование прямоугольных декартовых систем координат

Параллельный перенос системы координат

–O’ в старой системе координат

–координаты точки в старой системе координат

–координаты точки в новой системе координат

Координаты точки в новой системе координат.

Поворот в прямоугольной декартовой системе координат

–новая система координат

Матрица перехода от старого базиса к новому

– (под первым столбцомI ’ , под вторым –j ’ ) матрица перехода от базисаI ,j к базисуI ’ ,j ’

Общий случай

1 вариант

1. Поворот системы координат

2 вариант

1. Поворот системы координат

   Параллельный перенос начала координат

Общее уравнение линий второго порядка и его приведение к каноническому виду

– общий вид уравнений кривой второго порядка

Классификация кривых второго порядка

Эллипсоид

Сечения эллипсоида

– эллипс

– эллипс

Эллипсоиды вращения

Эллипсоидами вращения являются либо сплющенные, либо вытянутые сфероиды, в зависимости от того, вокруг чего вращаем.

Однополосный гиперболоид

Сечения однополосного гиперболоида

– гипербола с действительной осьюoy

– гипербола с действительной осью ох

Получается эллипс при любых h. Такие дела.

Однополосные гиперболоиды вращения

Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси.

Двуполостный гиперболоид

Сечения двуполостного гиперболоида

– гипербола с действ. Осьюoz

– гипербола с действительной осьюoz

Конус

– пара пересекающихся прямых

– пара пересекающихся прямых

Эллиптический параболоид

- парабола

– парабола

Вращения

Если , то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг её оси симметрии.

Гиперболический параболоид

Парабола

– парабола

h>0 гипербола с действительной осью параллельной ох

h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Под цилиндром будем понимать поверхность, которая будет получаться при движении прямой в пространстве, не меняющая своего направления, если прямая движется относительно oz, то уравнение цилиндра есть уравнение сечения плоскостьюxoy.

Эллиптический цилиндр

Гиперболический цилиндр

Параболический цилиндр

Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка

Прямые, полностью лежащие на поверхности, называются прямолинейными образующими поверхности.

Поверхности вращения

Ебать ты лох

Отображение

Отображением назовем правило, по которому каждому элементу множества А ставится в соответствие один или несколько элементов множестваB. Если каждому ставится единственный элемент множества В, то отображение называетсяоднозначным , иначемногозначным .

Преобразованием множества называется взаимнооднозначное отображение множества на себя

Инъекция

Инъекция или взаимно-однозначное отображение множества А на множество В

(разным элементам а соответствуют разные элементы В) например y=x^2

Сюръекция

Сюръекция или отображение множества А на множество В

Для каждого В существует хотя бы одно А(например синус)

Каждому элементу множества В соответствует только один элемент множества А.(например y=x)

Рассмотрим в пространстве плоскость Q. Положение ее вполне определяется заданием вектора N, перпендикулярного этой плоскости, и некоторой фиксированной точки лежащей в плоскости Q. Вектор N, перпендикулярный плоскости Q, называется нормальным вектором этой плоскости. Если обозначить через А, В и С проекции нормального вектора N, то

Выведем уравнение плоскости Q, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор . Для этого рассмотрим вектор соединяющий точку с произвольной точкой плоскости Q (рис. 81).

При любом положении точки М на плоскости Q вектор МХМ перпендикулярен нормальному вектору N плоскости Q. Поэтому скалярное произведение Запишем скалярное произведение через проекции. Так как , а вектор , то

и, следовательно,

Мы показали, что координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (4). Нетрудно заметить, что координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетворяют (в последнем случае ). Следовательно, нами получено искомое уравнение плоскости Q. Уравнение (4) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку. Оно первой степени относительно текущих координат

Итак, мы показали, что всякой плоскости соответствует уравнение первой степени относительно текущих координат.

Пример 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Здесь . На основании формулы (4) получим

или, после упрощения,

Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (4) различные значения, мы можем получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку . Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей. Уравнение (4), в котором коэффициенты А, В и С могут принимать любые значения, называются уравнением связки плоскостей.

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки , (рис. 82).

Решение. Напишем уравнение связки плоскостей, проходящих через точку