Что такое нод и взаимно простые числа. Взаимно простые числа: определение, примеры и свойства. Взаимно простые числа»
Конкурс молодых педагогических работников
Брянской области
«Педагогический дебют – 2014»
2014-2015 учебный год
Урок закрепления по математике в 6 классе
по теме «НОД. Взаимно простые числа»
Место выполнения работы: МБОУ «Глинищевская СОШ» Брянского района
Цели:
Образовательные:
- Закрепить и систематизировать изученный материал;
- Отработать навыки разложения чисел на простые множители и нахождения НОД;
- Проверить знания учащихся и выявить пробелы;
Развивающие:
- Способствовать развитию логического мышления учащихся, речи и навыков мыслительных операций;
- Способствовать формированию умения подмечать закономерности;
- Способствовать повышению уровня математической культуры;
Воспитательные:
- Способствовать формированию интереса к математике; умения высказывать свои мысли, слушать других, отстаивать свою точку зрения;
- воспитание самостоятельности, сосредоточенности, концентрации внимания;
- прививать навыки аккуратности ведении тетради.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Методы обучения : объяснительно-иллюстративный, самостоятельная работа.
Оборудование: компьютер, экран, презентация, раздаточный материал.
Ход урока:
- Организационный момент .
«Прозвенел звонок и смолк – Начинается урок.
Вы за парты тихо сели, на меня все посмотрели.
Пожелайте друг другу успехов глазами.
И вперед за новыми знаниями».
Друзья, на столах вы видите «Оценочный лист», т.е. помимо моего оценивания, вы сами себя будете оценивать, выполнив каждое задание.
Оценочный лист
Ребята, какую тему вы изучали на протяжении нескольких уроков? (Учились находить наибольший общий делитель).
А как вы считаете, чем мы с вами займемся сегодня? Сформулируйте тему нашего урока. (Сегодня мы продолжим работу с наибольшим общим делителем. Тема нашего урока: “Наибольший общий делитель”. На этом уроке мы будем находить наибольший общий делитель нескольких чисел, и решать задачи, используя знания о нахождении наибольшего общего делителя.).
Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока: “Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа”.
- Актуализация знаний
Несколько теоретических вопросов
Верно ли высказывания. «да» - __; «нет» - /\. Слайд 3-4
- Простое число имеет ровно два делителя; (верно)
- 1 является простым числом; (не верно)
- Наименьшее двузначное простое число – это 11; (верно)
- Наибольшее двузначное составное число – это 99; (верно)
- Числа 8 и 10 взаимно простые (не верно)
- Некоторые составные числа нельзя разложить на простые множители; (не верно).
Ключ: _ /\ _ _/\ /\.
Оценили свою устную работу в оценочном листе.
- Систематизация знаний
Сегодня на нашем уроке будет присутствовать немного волшебства.
А где встречается волшебство? (в сказке)
Догадайтесь по рисунку, в какую сказку мы попадем. (Слайд 5 ) Сказка Гуси- лебеди. Абсолютно верно. Молодцы. А теперь давайте все вместе попытаемся вспомнить содержание этой сказки. По цепочки очень кратко.
Жили мужик да баба. У них была дочка да маленький сынок. Отец с матерью ушли на работу и попросили дочку присмотреть за братцем.
Посадила братца на травку под окошко, а сама побежала на улицу, заигралась, загулялась. Когда девочка вернулась, братца уже не было. Она начала его искать, она кричала, звала его, но никто не откликнулся. Выбежала она в чистое поле и только увидела: метнулись вдалеке гуси- лебеди и пропали за темным лесом. Тут девочка и поняла, что они унесли ее братца. Она уже давно знала, что гуси- лебеди уносили маленьких детей.
Бросилась она за ними. По дороге она встретила печку, яблоню, речку. Но речка у нас не молочная в кисельных берегах, а обычная, в которой очень- очень много рыбы. Ни один из них не подсказал, куда полетели гуси, т. к она сама не стала выполнять их просьбы.
Долго девочка бегала по полям, по лесам. День уже клонится к вечеру, вдруг она видит - стоит избушка на курей ножке, с одним окошком, кругом себя поворачивается. В избушке старая Баба-Яга прядет кудель. А на лавочке у окошка сидит её братец. Девочка не сказала, что пришла за братцем, а солгала, сказав, что заблудилось. Если бы не маленькая мышка, которую она покормила кашкой, то её Баба-Яга зажарила бы в печке и съела. Девочка скорее схватила братца и побежала домой. Гуси – лебеди их заметили и полетели вдогонку. А доберутся ли они благополучно домой – все теперь зависит от нас, ребята. Продолжим рассказ.
Бегут они, бегут и добежали до речки. Попросили они помочь речку.
Но речка поможет им спрятаться лишь в том случае, если вы, ребята, «выловите» все рыбки.
Сейчас вы поработаете в парах. Каждой паре я раздаю конверт – сеть, в которой запутались по три рыбки. Ваша задача, достать всех рыбок, записываем №1 и решаем
Задания на рыбках. Докажите, что числа взаимно простые
1) 40 и 15 2) 45 и 49 3) 16 и 21
Взаимопроверка. Обратите внимание на критерии оценивания. Слайд 6-7
Обобщение: Как доказать, что числа взаимно простые?
Поставили оценку.
Молодцы. Помогли девочке с мальчиком. Укрыла их речка под своим бережком. Гуси-лебеди пролетели мимо.
В знак благодарности Мальчик проведет для вас физ.минутку (видео) Слайд 9
В каком случае яблоня их спрячет?
Если девочка попробует её лесного яблочка.
Верно. Давайте все вместе будем «есть» лесные яблоки. А яблоки на ней не простые, с заданиями необычными, называется ЛОТО. Яблоки большие «едим» одно на группу, т.е. работаем в группах. Найдите НОД в каждой клеточки на маленьких карточках ответ. Когда все клеточки закроются, переверните карточки и должна получится картинка.
Задания на лесных яблочках
Найдите НОД:
1 группа | 2 группа | ||
НОД(48,84)= | НОД (60,48)= | НОД(60,80)= | НОД (80,64)= |
НОД (12,15)= | НОД(15,20)= | НОД (50,30)= | НОД (12,16)= |
3 группа | 4 группа | ||
НОД (123,72)= | НОД(120,96)= | НОД(90,72)= | НОД(15;100)= |
НОД(45,30)= | НОД (15,9)= | НОД(14,42)= | НОД (34,51)= |
Проверка: прохожу по рядам проверяю картинку
Обобщение: Что нужно сделать, чтобы найти НОД?
Молодцы. Яблоня их заслонила ветвями, прикрыла листьями. Гуси – лебеди потеряли их и полетели дальше. А дальше?
Они снова побежали. Недалеко уже оставалось, тут гуси их увидели, начали крыльями бить, хотят братца из рук вырвать. Добежали они до печки. Печка спрячет их, если девочка попробует ржаного пирожка.
Давайте, поможем девочке. Задание по вариантам, тест
ТЕСТ
Тема
Вариант 1
- Какие из чисел являются общими делителями чисел 24 и 16?
1) 4, 8; 2) 6, 2, 4;
3) 2, 4, 8; 4) 8, 6.
- Является ли число 9 наибольшим общим делителем чисел 27 и 36?
- да; 2) нет.
- Даны числа 128, 64 и 32. Какое из них является наибольшим делителем всех трех чисел?
1) 128; 2) 64; 3) 32.
- Являются ли числа 7 и 418 взаимно простыми?
1) да; 2) нет.
1) 5 и 25;
2) 64 и 2;
3) 12 и 10;
4) 100 и 9.
ТЕСТ
Тема : НОД. Взаимно простые числа.
Вариант 1
- Какие из чисел являются общими делителями чисел 18 и 12?
1) 9, 6, 3; 2) 2, 3, 4, 6;
3) 2, 3; 4) 2, 3, 6.
- Является ли число 4 наибольшим общим делителем чисел 16 и 32?
- да; 2) нет.
- Даны числа 300, 150 и 600. Какое из них является наибольшим делителем всех трех чисел?
1) 600; 2) 150; 3) 300.
- Являются ли числа 31 и 44 взаимно простыми?
1) да; 2) нет.
- Какие из чисел являются взаимно простыми?
1) 9 и 18;
2) 105 и 65;
3) 44 и 45;
4) 6 и 16.
Проверка. Самопроверка со слайда. Критерии оценивания.
Слайд 10-11
Молодцы. Пирожки съели. Девочка с братцем сели в устьице и спрятались. Гуси-лебеди полетели-полетели, покричали-покричали и ни с чем улетели к Бабе-Яге.
Девочка поблагодарила печку и побежала домой.
Скоро и отец с матерью пришли с работы.
Итог урока. Пока мы помогали девочке с мальчиком, какие темы мы повторили? (Нахождение НОД двух чисел, взаимно простые числа.)
Как найти НОД нескольких натуральных чисел?
Как доказать что числа взаимно простые?
В течение урока за каждое задания я выставляла вам оценки и вы оценивали себя. Сравнив их, будет выставлен средний балл за урок.
Рефлексия .
Дорогие друзья! Подводя итоги урока, мне бы хотелось услышать ваше мнение об уроке.
- Что интересного и поучительного было на уроке?
- Можно ли мне быть уверенным, что с задачами такого типа вы справитесь?
- Какие из задач оказались наиболее трудными?
- Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?
- Какие проблемы породил этот урок?
- Как вы оцениваете роль учителя? Помог ли он вам овладеть умениями и знаниями для решения задач такого типа?
На дерево приклеить яблоки. Кто справился со всеми заданиями, и было все понятно – приклейте красное яблоко. У кого был вопрос – зеленое, кому было не понятно – желтое. Слайд 12
Верно ли утверждение? Наименьшее двузначное простое число – это 11
Верно ли утверждение? Наибольшее двузначное составное число – это 99
Верно ли утверждение? Числа 8 и 10 взаимно простые
Верно ли утверждение? Некоторые составные числа нельзя разложить на простые множители
Ключ к диктанту: _ /\ _ _ /\ /\ Критерии оценки Нет ошибок – « 5 » 1-2 ошибки – « 4 » 3 ошибки – « 3 » Больше трех – « 2 »
Докажите, что числа 16 и 21 взаимно простые 3 Докажите, что числа 40 и 15 взаимно простые Докажите, что числа 45 и 49 взаимно простые 2 1 40=2·2·2·5 15=3·5 НОД(40; 15)=5, числа не взаимно простые 45=3·3·5 49=7·7 НОД(45; 49)=, числа взаимно простые 16=2·2·2·2 21=3·7 НОД(45; 49)=1, числа взаимно простые
Критерии оценки Нет ошибок – « 5 » 1 ошибка – « 4 » 2 ошибки – « 3 » Больше двух – « 2 »
1 группа НОД(48,84)= НОД (60,48)= НОД (12,15)= НОД(15,20)= 3 группа НОД(123,72)= НОД (120,96)= НОД (45,30)= НОД(15,9)= 2 группа НОД(60,80)= НОД (80,64)= НОД (50,30)= НОД(12,16)= 4 группа НОД(90,72)= НОД (15,100)= НОД (14,42)= НОД(34,51)=
Задания от печки В1 3 2. 1 3. 3 4. 1 5. 4 В2 4 2. 2 3. 2 4. 1 5. 3
Критерии оценки Нет ошибок – « 5 » 1-2 ошибки – « 4 » 3 ошибки – « 3 » Больше трех – « 2 »
Рефлексия мне было все понятно, со всеми заданиями я справился были небольшие трудности, однако я с ними справился осталось несколько вопросов
Общие делители
Пример 1
Найти общие делители чисел $15$ и $–25$.
Решение .
Делители числа $15: 1, 3, 5, 15$ и им противоположные.
Делители числа $–25: 1, 5, 25$ и им противоположные.
Ответ : у чисел $15$ и $–25$ общими делителями будут числа $1, 5$ и им противоположные.
Согласно свойствам делимости числа $−1$ и $1$ – делители любого целого числа, значит, $−1$ и $1$ всегда будут общими делителями для любых целых чисел.
Любой набор целых чисел всегда будет иметь как минимум $2$ общих делителя: $1$ и $−1$.
Отметим, что если целое число $a$ – общий делитель некоторых целых чисел, то –а также будет общим делителем для этих чисел.
Чаще всего на практике ограничиваются только положительными делителями, но при этом не стоит забывать, что каждое противоположное положительному делителю целое число также будет делителем данного числа.
Определение наибольшего общего делителя (НОД)
Согласно свойствам делимости у каждого целого числа есть хотя бы один делитель, отличный от нуля, и количество таких делителей конечно. В таком случае общих делителей заданных чисел также конечное число. Из всех общих делителей заданных чисел можно выделить наибольшее число.
В случае равенства всех данных чисел нулю нельзя определить наибольший из общих делителей, т.к. нуль делится на любое целое число, которых бесконечное множество.
Обозначается наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ в математике $НОД(a, b)$.
Пример 2
Найти НОД целых чисел 412$ и $–30$..
Решение .
Найдем делители каждого из чисел:
$12$: числа $1, 3, 4, 6, 12$ и им противоположные.
$–30$: числа $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$ и им противоположные.
Общими делителями чисел $12$ и $–30$ будут $1, 3, 6$ и им противоположные.
$НОД (12, –30)=6$.
Определить НОД трех и более целых чисел можно аналогично определению НОД двух чисел.
НОД трех и более целых чисел является наибольшее целое число, которое делит одновременно все числа.
Обозначают наибольший делитель $n$ чисел $НОД(a_1, a_2, …, a_n)= b$.
Пример 3
Найти НОД трех целых чисел $–12, 32, 56$.
Решение .
Найдем все делители каждого из чисел:
$–12$: числа $1, 2, 3, 4, 6, 12$ и им противоположные;
$32$: числа $1, 2, 4, 8, 16, 32$ и им противоположные;
$56$: числа $1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56$ и им противоположные.
Общими делителями чисел $–12, 32, 56$ будут $1, 2, 4$ и им противоположные.
Найдем наибольшее из этих чисел, сравнив только положительные из них: $1
$НОД(–12, 32, 56)=4$.
В некоторых случаях НОД целых чисел может быть одно из этих чисел.
Взаимно простые числа
Определение 3
Целые числа $a$ и $b$ – взаимно простые , если $НОД(a, b)=1$.
Пример 4
Показать, что числа $7$ и $13$ – взаимно простые.
Готовые работы
ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ
Многое уже позади и теперь ты - выпускник, если, конечно, вовремя напишешь дипломную работу. Но жизнь - такая штука, что только сейчас тебе становится понятно, что, перестав быть студентом, ты потеряешь все студенческие радости, многие из которых, ты так и не попробовал, всё откладывая и откладывая на потом. И теперь, вместо того, чтобы навёрстывать упущенное, ты корпишь над дипломной работой? Есть отличный выход: скачать нужную тебе дипломную работу с нашего сайта - и у тебя мигом появится масса свободного времени!
Дипломные работы успешно защищены в ведущих Университетах РК.
Стоимость работы от 20 000 тенге
КУРСОВЫЕ РАБОТЫ
Курсовой проект - это первая серьезная практическая работа. Именно с написания курсовой начинается подготовка к разработке дипломных проектов. Если студент научиться правильно излагать содержание темы в курсовом проекте и грамотно его оформлять, то в последующем у него не возникнет проблем ни с написанием отчетов, ни с составлением дипломных работ, ни с выполнением других практических заданий. Чтобы оказать помощь студентам в написании этого типа студенческой работы и разъяснить возникающие по ходу ее составления вопросы, собственно говоря, и был создан данный информационный раздел.
Стоимость работы от 2 500 тенге
МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ
В настоящее время в высших учебных заведениях Казахстана и стран СНГ очень распространена ступень высшего профессионального образования, которая следует после бакалавриата - магистратура. В магистратуре обучаются с целью получения диплома магистра, признаваемого в большинстве стран мира больше, чем диплом бакалавра, а также признаётся зарубежными работодателями. Итогом обучения в магистратуре является защита магистерской диссертации.
Мы предоставим Вам актуальный аналитический и текстовый материал, в стоимость включены 2 научные статьи и автореферат.
Стоимость работы от 35 000 тенге
ОТЧЕТЫ ПО ПРАКТИКЕ
После прохождения любого типа студенческой практики (учебной, производственной, преддипломной) требуется составить отчёт. Этот документ будет подтверждением практической работы студента и основой формирования оценки за практику. Обычно, чтобы составить отчёт по практике, требуется собрать и проанализировать информацию о предприятии, рассмотреть структуру и распорядок работы организации, в которой проходится практика, составить календарный план и описать свою практическую деятельность.
Мы поможет написать отчёт о прохождении практики с учетом специфики деятельности конкретного предприятия.
городского округа Тольятти
«Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа.
Учитель Костина Т.К.
г. о. Тольятти
Тема урока: «Наибольший общий делитель.
Взаимно простые числа»
Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: «Делители и кратные», «Признаки делимости на 10, 5, 2, 3, 9», « Простые и составные числа», «Разложение на простые множители»»
Цели урока :
Образовательная: изучить понятия НОД и взаимно простых чисел; научить учащихся находить НОД чисел; создать условия для выработки умения обобщать изученный материал, анализировать, сопоставлять и делать выводы.
Воспитательная: формирование навыков самоконтроля; воспитание чувства ответственности.
Развивающая: развитие памяти, воображения, мышления, внимания, сообразительности.
Ход урока
Минутки логических задачУстная работа.
1. Бабушка и дедушка принесли из сада для двух своих внуков по нечетному числу абрикос. Можно ли эти абрикосы разделить поровну между внуками? [можно]
2. От одного села до другого 3 км. Из этих сел навстречу друг другу с одной и той же скоростью вышли два человека. Встреча произошла через полчаса. Найдите скорость каждого.
3.Турист прошел 2/5 всего пути. После этого ему осталось пройти на 4 км больше, чем он прошел. Найдите весь путь.
4. Число яиц в корзине меньше 40. Если их сосчитать парами, то останется 1 яйцо. Если же сосчитать их тройками, то все равно останется по одному яйцу. Сколько яиц в корзине? (31)
2. Повторение.
По таблице повторяем определение делителя, кратного, признаки делимости, определение простых и составных чисел. На экране слайды с изображением животных, карта Самарской области, фотографии ВАЗа.
3. Изучение нового материала в форме беседы.
Назовите делители числа 18, 21, 24.
Площадь ВАЗа 500 га. На какие простые множители можно разложить это число? 500=2*5*2*5*5=2 2 *5 3
Назовите общие делители чисел 120 и 80.
Масса медведя 525 кг. Масса слона 5025 кг. Назовите несколько общих делителей
Бобер весит 24 кг, а его длина 97 см. Какие эти числа простые или сложные? Назовите их общие делители.
56640 т кислорода расходует 1 пассажирский самолет за 9 часов работы. Такое количество кислорода выделяется при фотосинтезе 35000 га леса. Назовите несколько делителей этого числа.
Какие из этих чисел простые, а какие составные? 111, 313, 323, 437, 549, 677, 781, 891?
Какое из чисел делится на все числа без остатка?
Какое число является делителем любого натурального числа?
Делится ли выражение 34*28+85*20 на 17?
Делится ли выражение 4132*7008 на 3?
Чему равно частное (3*5*2*7*13)/(5*2*13)=?
Чему равно произведение (2*5*5*5*3)*(2*2*2*2*3)?
Назовите несколько простых чисел.
Чем дальше мы идем по натуральному ряду чисел, тем труднее находить простые числа. Представим себе, что мы летим на самолете, который летит вдоль натурального ряда. Кругом темно и только простые числа обозначены огоньками. В начале пути огоньков много, а затем все реже и реже.
Древнегреческий ученый Евклид 2300 лет назад доказал, что простых чисел бесконечно много и что наибольшего простого числа не существует.
Проблемой простых чисел занимались многие ученые математики, в том числе древнегреческий ученый Эратосфен. Его способ отыскания простых чисел назвали решетом Эратосфена.
Гольдбах и Эйлер, жившие в 18 веке и бывшие членами Петербургской академии наук занимались проблемой простых чисел. Они предполагали, что всякое натуральное число можно представить в виде суммы простых чисел, но это не доказано. В 1937 году советский академик Виноградов доказал это предложение.
Индийский слон прожил 65 лет, крокодил – 51 год, верблюд – 23, лошадь – 19 лет. Какие из этих чисел простые и составные?
Зайца догоняет волк, ему надо пробраться через лабиринт. Можно пройти, если в ответе простое число [лабиринты в виде окружностей, на которых по три примера, а в центре домик]
1000-2; 250*2+9; 310/5
24/4, 2 2 +41, 23+140
10-3; 133+12; 28*5
К задаче на доске запись:
Делители 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 48
Делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36
НОД (48; 36) = 12 12 подарков определение НОД делителя правило нахождения НОД
А как найти НОД больших чисел, когда трудно перечислить все делители. По таблице и учебнику выводим правило. Выделяем главные слова: разложить, составить, перемножить.
Показываю примеры нахождения НОД с больших чисел, здесь можно сказать, что НОД больших чисел можно находить с помощью алгоритма Евклида. Подробно с этим алгоритмом мы познакомимся на занятиях математической школы.
Алгоритм – это правило, по которому выполняются действия. В 9 веке такие правила дал арабский математик Альхваруими.
4. Работа в группах по 4 человека.
Каждый получает один из 4 вариантов заданий, где указано следующее:
Ученик должен по учебнику изучить теорию и ответить на один вопрос
Изучить пример нахождения НОД
Выполнить задания для самостоятельной работы.
В конце работы проводится небольшая самостоятельная работа.
Карточки КСО
Вариант 1
1. Какое число называется простым? Какое число называется составным?
2. Найти НОД (96; 36)
Чтобы найти НОД чисел, надо разложить данные числа на простые множители.
| 96 | 2 |
| 48 | 2 |
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 36 | 2 |
| 18 | 2 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 | |
36=2 2 *3 2
96=2 5 *3
В разложение числа, являющегося НОД чисел 96 и 36, войдут общие простые множители с наименьшим показателем:
НОД (96;36)=2 2 *3=4*3=12
3. Решите самостоятельно. НОД(102; 84), НОД(75; 28), НОД(120; 144)
Вариант 2
1. Что значит разложить натуральное число на простые множители? Какое число называется общим делителем данных чисел?
2. Образец НОД (54; 72)=18
3. Решите самостоятельно НОД(144; 128), НОД (81; 64), НОД(360; 840)
Вариант 3
1. Какие числа называются взаимно простыми? Приведите пример.
2. Образец НОД (72; 96) =24
3. Решите самостоятельно НОД(102; 170), НОД(45; 64), НОД(864; 192)
Вариант 4
1. Как найти общий делитель чисел?
2. Образец НОД (360; 432)
3. Решите самостоятельно НОД (135; 105), НОД (128; 75), НОД(360;8400)
Самостоятельная работа
| Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | Вариант 4 |
| НОД (180; 120) | НОД (150; 375) | НОД (135; 315; 450) | НОД (250; 125; 375) |
| НОД (2016; 1320) | НОД (504; 756) | НОД (1575, 6615) | НОД (468; 702) |
| НОД (3120; 900) | НОД (1028; 1152) | НОД (1512; 1008) | НОД (3375; 2250) |
5. Подведение итогов урока. Сообщение оценок за самостоятельную работу.
В этом статье мы расскажем о том, что такое взаимно простые числа. В первом пункте сформулируем определения для двух, трех и более взаимно простых чисел, приведем несколько примеров и покажем, в каких случаях два числа можно считать простыми по отношению друг к другу. После этого перейдем к формулировке основных свойств и их доказательствам. В последнем пункте мы поговорим о связанном понятии – попарно простых числах.
Что такое взаимно простые числа
Взаимно простыми могут быть как два целых числа, так и их большее количество. Для начала введем определение для двух чисел, для чего нам понадобится понятие их наибольшего общего делителя. Если нужно, повторите материал, посвященный ему.
Определение 1
Взаимно простыми будут два таких числа a и b , наибольший общий делитель которых равен 1 , т.е. НОД (a , b) = 1 .
Из данного определения можно сделать вывод, что единственный положительный общий делитель у двух взаимно простых чисел будет равен 1 . Всего два таких числа имеют два общих делителя – единицу и минус единицу.
Какие можно привести примеры взаимно простых чисел? Например, такой парой будут 5 и 11 . Они имеют только один общий положительный делитель, равный 1 , что является подтверждением их взаимной простоты.
Если мы возьмем два простых числа, то по отношению друг к другу они будут взаимно простыми во всех случаях, однако такие взаимные отношения образуются также и между составными числами. Возможны случаи, когда одно число в паре взаимно простых является составным, а второе простым, или же составными являются они оба.
Это утверждение иллюстрирует следующий пример: составные числа - 9 и 8 образуют взаимно простую пару. Докажем это, вычислив их наибольший общий делитель. Для этого запишем все их делители (рекомендуем перечитать статью о нахождении делителей числа). У 8 это будут числа ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8 , а у 9 – ± 1 , ± 3 , ± 9 . Выбираем из всех делителей тот, что будет общим и наибольшим – это единица. Следовательно, если НОД (8 , − 9) = 1 , то 8 и - 9 будут взаимно простыми по отношению друг к другу.
Взаимно простыми числами не являются 500 и 45 , поскольку у них есть еще один общий делитель – 5 (см. статью о признаках делимости на 5). Пять больше единицы и является положительным числом. Другой подобной парой могут быть - 201 и 3 , поскольку их оба можно разделить на 3 , на что указывает соответствующий признак делимости.
На практике довольно часто приходится определять взаимную простоту двух целых чисел. Выяснение этого можно свести к поиску наибольшего общего делителя и сравнению его с единицей. Также удобно пользоваться таблицей простых чисел, чтобы не производить лишних вычислений: если одно из заданных чисел есть в этой таблице, значит, оно делится только на единицу и само на себя. Разберем решение подобной задачи.
Пример 1
Условие: выясните, являются ли взаимно простыми числа 275 и 84 .
Решение
Оба числа явно имеют больше одного делителя, поэтому сразу назвать их взаимно простыми мы не можем.
Вычисляем наибольший общий делитель, используя алгоритм Евклида: 275 = 84 · 3 + 23 , 84 = 23 · 3 + 15 , 23 = 15 · 1 + 8 , 15 = 8 · 1 + 7 , 8 = 7 · 1 + 1 , 7 = 7 · 1 .
Ответ: поскольку НОД (84 , 275) = 1 , то данные числа будут взаимно простыми.
Как мы уже говорили раньше, определение таких чисел можно распространить и на случаи, когда у нас есть не два числа, а больше.
Определение 2
Взаимно простыми целые числа a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 будут тогда, когда они имеют наибольший общий делитель, равный 1 .
Иными словами, если у нас есть набор некоторых чисел с наибольшим положительным делителем, большим 1 , то все эти числа не являются по отношению друг к другу взаимно обратными.
Возьмем несколько примеров. Так, целые числа − 99 , 17 и − 27 – взаимно простые. Любое количество простых чисел будет взаимно простым по отношению ко всем членам совокупности, как, например, в последовательности 2 , 3 , 11 , 19 , 151 , 293 и 667 . А вот числа 12 , − 9 , 900 и − 72 взаимно простыми не будут, потому что кроме единицы у них будет еще один положительный делитель, равный 3 . То же самое относится к числам 17 , 85 и 187: кроме единицы, их все можно разделить на 17 .
Обычно взаимная простота чисел не является очевидной с первого взгляда, этот факт нуждается в доказательстве. Чтобы выяснить, будут ли некоторые числа взаимно простыми, нужно найти их наибольший общий делитель и сделать вывод на основании его сравнения с единицей.
Пример 2
Условие: определите, являются ли числа 331 , 463 и 733 взаимно простыми.
Решение
Сверимся с таблицей простых чисел и определим, что все три этих числа в ней есть. Тогда их общим делителем может быть только единица.
Ответ: все эти числа будут взаимно простыми по отношению друг к другу.
Пример 3
Условие: приведите доказательство того, что числа − 14 , 105 , − 2 107 и − 91 не являются взаимно простыми.
Решение
Начнем с выявления их наибольшего общего делителя, после чего убедимся, что он не равен 1 . Поскольку у отрицательных чисел те же делители, что и у соответствующих положительных, то НОД (− 14 , 105 , 2 107 , − 91) = НОД (14 , 105 , 2 107 , 91) . Согласно правилам, которые мы привели в статье о нахождении наибольшего общего делителя, в данном случае НОД будет равен семи.
Ответ: семь больше единицы, значит, взаимно простыми эти числа не являются.
Основные свойства взаимно простых чисел
Такие числа имеют некоторые практически важные свойства. Перечислим их по порядку и докажем.
Определение 3
Если разделить целые числа a и b на число, соответствующее их наибольшему общему делителю, мы получим взаимно простые числа. Иначе говоря, a: НОД (a , b) и b: НОД (a , b) будут взаимно простыми.
Это свойство мы уже доказывали. Доказательство можно посмотреть в статье о свойствах наибольшего общего делителя. Благодаря ему мы можем определять пары взаимно простых чисел: достаточно лишь взять два любых целых числа и выполнить деление на НОД. В итоге мы должны получить взаимно простые числа.
Определение 4
Необходимым и достаточным условием взаимной простоты чисел a и b является существование таких целых чисел u 0 и v 0 , при которых равенство a · u 0 + b · v 0 = 1 будет верным.
Доказательство 1
Начнем с доказательства необходимости этого условия. Допустим, у нас есть два взаимно простых числа, обозначенных a и b . Тогда по определению этого понятия их наибольший общий делитель будет равен единице. Из свойств НОД нам известно, что для целых a и b существует соотношение Безу a · u 0 + b · v 0 = НОД (a , b) . Из него получим, что a · u 0 + b · v 0 = 1 . После этого нам надо доказать достаточность условия. Пусть равенство a · u 0 + b · v 0 = 1 будет верным, в таком случае, если НОД (a , b) делит и a , и b , то он будет делить и сумму a · u 0 + b · v 0 , и единицу соответственно (это можно утверждать, исходя из свойств делимости). А такое возможно только в том случае, если НОД (a , b) = 1 , что доказывает взаимную простоту a и b .
В самом деле, если a и b являются взаимно простыми, то согласно предыдущему свойству, будет верным равенство a · u 0 + b · v 0 = 1 . Умножаем обе его части на c и получаем, что a · c · u 0 + b · c · v 0 = c . Мы можем разделить первое слагаемое a · c · u 0 + b · c · v 0 на b , потому что это возможно для a · c , и второе слагаемое также делится на b , ведь один из множителей у нас равен b . Из этого заключаем, что всю сумму можно разделить на b , а поскольку эта сумма равна c , то c можно разделить на b .
Определение 5
Если два целых числа a и b являются взаимно простыми, то НОД (a · c , b) = НОД (c , b) .
Доказательство 2
Докажем, что НОД (a · c , b) будет делить НОД (c , b) , а после этого – что НОД (c , b) делит НОД (a · c , b) , что и будет доказательством верности равенства НОД (a · c , b) = НОД (c , b) .
Поскольку НОД (a · c , b) делит и a · c и b , а НОД (a · c , b) делит b , то он также будет делить и b · c . Значит, НОД (a · c , b) делит и a · c и b · c , следовательно, в силу свойств НОД он делит и НОД (a · c , b · c) , который будет равен c · НОД (a , b) = c . Следовательно, НОД (a · c , b) делит и b и c , следовательно, делит и НОД (c , b) .
Также можно сказать, что поскольку НОД (c , b) делит и c , и b , то он будет делить и c , и a · c . Значит, НОД (c , b) делит и a · c и b , следовательно, делит и НОД (a · c , b) .
Таким образом, НОД (a · c , b) и НОД (c , b) взаимно делят друг друга, значит, они являются равными.
Определение 6
Если числа из последовательности a 1 , a 2 , … , a k будут взаимно простыми по отношению к числам последовательности b 1 , b 2 , … , b m (при натуральных значениях k и m), то их произведения a 1 · a 2 · … · a k и b 1 · b 2 · … · b m также являются взаимно простыми, в частности, a 1 = a 2 = … = a k = a и b 1 = b 2 = … = b m = b , то a k и b m – взаимно простые.
Доказательство 3
Согласно предыдущему свойству, мы можем записать равенства следующего вида: НОД (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = НОД (a 2 · … · a k , b m) = … = НОД (a k , b m) = 1 . Возможность последнего перехода обеспечивается тем, что a k и b m взаимно просты по условию. Значит, НОД (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = 1 .
Обозначим a 1 · a 2 · … · a k = A и получим, что НОД (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = НОД (b 1 · b 2 · … · b m , A) = НОД (b 2 · … · b · b m , A) = … = НОД (b m , A) = 1 . Это будет справедливым в силу последнего равенства из цепочки, построенной выше. Таким образом, у нас получилось равенство НОД (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = 1 , с помощью которого можно доказать взаимную простоту произведений a 1 · a 2 · … · a k и b 1 · b 2 · … · b m
Это все свойства взаимно простых чисел, о которых бы мы хотели вам рассказать.
Понятие попарно простых чисел
Зная, что из себя представляют взаимно простые числа, мы можем сформулировать определение попарно простых чисел.
Определение 7
Попарно простые числа – это последовательность целых чисел a 1 , a 2 , … , a k , где каждое число будет взаимно простым по отношению к остальным.
Примером последовательности попарно простых чисел может быть 14 , 9 , 17 , и − 25 . Здесь все пары (14 и 9 , 14 и 17 , 14 и − 25 , 9 и 17 , 9 и − 25 , 17 и − 25) взаимно просты. Отметим, что условие взаимной простоты является обязательным для попарно простых чисел, но взаимно простые числа будут попарно простыми далеко не во всех случаях. Например, в последовательности 8 , 16 , 5 и 15 числа не являются таковыми, поскольку 8 и 16 не будут взаимно простыми.
Также следует остановиться на понятии совокупности некоторого количества простых чисел. Они всегда будут и взаимно, и попарно простыми. Примером может быть последовательность 71 , 443 , 857 , 991 . В случае с простыми числами понятия взаимной и попарной простоты будут совпадать.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
