Движение по окружности определение и формула. Кинематика. Равномерное движение по окружности. Ускорение, момент и связь их с массой

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью - это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги.

Положение тела на окружности определяется радиусом-вектором \(~\vec r\), проведенным из центра окружности. Модуль радиуса-вектора равен радиусу окружности R (рис. 1).

За время Δt тело, двигаясь из точки А в точку В , совершает перемещение \(~\Delta \vec r\), равное хорде АВ , и проходит путь, равный длине дуги l .

Радиус-вектор поворачивается на угол Δφ . Угол выражают в радианах.

Скорость \(~\vec \upsilon\) движения тела по траектории (окружности) направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью . Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени Δt за который эта дуга пройдена:

\(~\upsilon = \frac{l}{\Delta t}.\)

Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется угловой скоростью :

\(~\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}.\)

В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду (рад/с).

При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости - величины постоянные: ω = const; υ = const.

Положение тела можно определить, если известен модуль радиуса-вектора \(~\vec r\) и угол φ , который он составляет с осью Ox (угловая координата). Если в начальный момент времени t 0 = 0 угловая координата равна φ 0 , а в момент времени t она равна φ , то угол поворота Δφ радиуса-вектора за время \(~\Delta t = t - t_0 = t\) равен \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). Тогда из последней формулы можно получить кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности :

\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)

Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени t . Учитывая, что \(~\Delta \varphi = \frac{l}{R}\), получаем\[~\omega = \frac{l}{R \Delta t} = \frac{\upsilon}{R} \Rightarrow\]

\(~\upsilon = \omega R\) - формула связи между линейной и угловой скоростью.

Промежуток времени Τ , в течение которого тело совершает один полный оборот, называется периодом вращения :

\(~T = \frac{\Delta t}{N},\)

где N - число оборотов, совершенных телом за время Δt .

За время Δt = Τ тело проходит путь \(~l = 2 \pi R\). Следовательно,

\(~\upsilon = \frac{2 \pi R}{T}; \ \omega = \frac{2 \pi}{T} .\)

Величина ν , обратная периоду, показывающая, сколько оборотов совершает тело за единицу времени, называется частотой вращения :

\(~\nu = \frac{1}{T} = \frac{N}{\Delta t}.\)

Следовательно,

\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \ \omega = 2 \pi \nu .\)

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - C. 18-19.

Движение по окружности – частный случай криволинейного движения. Скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к ней (рис.2.1). Скорость как вектор при этом может изменяться и по модулю (величине) и по направлению. Если модуль скоростиостается неизменным, то говорят оравномерном криволинейном движении.

Пусть тело движется по окружности с постоянной по величине скоростью из точки 1 в точку 2.

При этом тело пройдет путь, равный длине дуги ℓ 12 между точками 1 и 2 за времяt. За это же времяtрадиус- векторR, проведенный из центра окружности 0 к точке, повернется на угол Δφ.

Вектор скорости в точке 2 отличается от вектора скорости в точке 1 по направлению на величину ΔV:

;

Для характеристики изменения вектора скорости на величину δv введем ускорение:

(2.4)

Вектор в любой точке траектории направлен по радиусуRкцентру окружности перпендикулярно к вектору скоростиV 2 . Поэтому ускорение, характеризующее при криволинейном движении изменение скоростипо направлению, называютцентростремительным или нормальным . Таким образом, движение точки по окружности с постоянной по модулю скоростью являетсяускоренным .

Если скорость изменяется не только по направлению, но и по модулю (величине), то кроме нормального ускорениявводят еще икасательное (тангенциальное) ускорение, которое характеризует изменение скорости по величине:

или

Направлен вектор по касательной в любой точке траектории (т.е. совпадает с направлением вектора). Угол между векторамииравен 90 0 .

Полное ускорение точки, движущейся по криволинейной траектории, определяется как векторная сумма (рис.2.1.).

.

Модуль вектора
.

Угловая скорость и угловое ускорение

При движении материальной точки по окружности радиус-векторR, проведенный из центра окружности О к точке, поворачивается на угол Δφ (рис.2.1). Для характеристики вращения вводятся понятия угловой скорости ω и углового ускорения ε.

Угол φ можно измерять в радианах. 1 рад равен углу, который опирается на дугу ℓ, равную радиусуRокружности, т.е.

илиℓ 12 = R φ (2.5.)

Продифференцируем уравнение (2.5.)

(2.6.)

Величина dℓ/dt=V мгн. Величину ω =dφ/dtназываютугловой скоростью (измеряется в рад/с). Получим связь между линейной и угловой скоростями:

Величина ω векторная. Направление вектораопределяетсяправилом винта (буравчика) : оно совпадает с направлением перемещения винта, ориентированного вдоль оси вращения точки или тела и вращаемого в направлении поворота тела (рис.2.2), т.е.
.

Угловым ускорением называется векторная величина производная от угловой скорости (мгновенное угловое ускорение)

, (2.8.)

Вектор совпадает с осью вращения и направлен в туже сторону, что и вектор, если вращение ускоренное, и в противоположную, если вращение замедленное.

Число оборотов n тела в единицу времени называют частотой вращения .

Время Т одного полного оборота тела называют периодом вращения . При этом R опишет угол Δφ=2π радиан

С учетом сказанного

, (2.9)

Уравнение (2.8) можно записать следующим образом:

(2.10)

Тогда тангенциальная составляющая ускорения

а  =R(2.11)

Нормальное ускорение а n можно выразить следующим образом:

с учетом (2.7) и (2.9)

(2.12)

Тогда полное ускорение .

Для вращательного движения с постоянным угловым ускорением можно записать уравнение кинематики по аналогии с уравнением (2.1) – (2.3) для поступательного движения:

,

.

>>Физика: Период и частота обращения

Равномерное движение по окружности характеризуют периодом и частотой обращения.

Период обращения - это время, за которое совершается один оборот.

Если, например, за время t = 4 с тело, двигаясь по окружности, совершило n = 2 оборота, то легко сообразить, что один оборот длился 2 с. Это и есть период обращения. Обозначается он буквой Т и определяется по формуле:

Итак, чтобы найти период обращения, надо время, за которое совершено п оборотов, разделить на число оборотов .

Другой характеристикой равномерного движения по окружности является частота обращения.

Частота обращения - это число оборотов, совершаемых за 1 с. Если, например, за время t = 2 с тело совершило n = 10 оборотов, то легко сообразить, что за 1 с оно успевало совершить 5 оборотов. Это число и выражает частоту обращения. Обозначается она греческой буквой V (читается: ню) и определяется по формуле:

Итак, чтобы найти частоту обращения, надо число оборотов разделить на время, в течение которого они произошли.

За единицу частоты обращения в СИ принимают частоту обращения, при которой за каждую секунду тело совершает один оборот. Эта единица обозначается так: 1/с или с -1 (читается: секунда в минус первой степени). Раньше эту единицу называли "оборот в секунду", но теперь это название считается устаревшим.

Сравнивая формулы (6.1) и (6.2), можно заметить, что период и частота - величины взаимно обратные. Поэтому

Формулы (6.1) и (6.3) позволяют найти период обращения Т, если известны число n и время оборотов t или частота обращения V . Однако его можно найти и в том случае, когда ни одна из этих величин неизвестна. Вместо них достаточно знать скорость тела V и радиус окружности r, по которой оно движется.

Для вывода новой формулы вспомним, что период обращения - это время, за которое тело совершает один оборот, т. е. проходит путь, равный длине окружности (l окр = 2 П r, где П ≈3,14- число "пи", известное из курса математики). Но мы знаем, что при равномерном движении время находится делением пройденного пути на скорость движения. Таким образом,

Итак, чтобы найти период обращения тела, надо длину окружности, по которой оно движется, разделить на скорость его движения.

??? 1. Что такое период обращения? 2. Как можно найти период обращения, зная время и число оборотов? 3. Что такое частота обращения ? 4. Как обозначается единица частоты? 5. Как можно найти частоту обращения, зная время и число оборотов? 6. Как связаны между собой период и частота обращения? 7. Как можно найти период обращения, зная радиус окружности и скорость движения тела?

Отослано читателями из интернет-сайтов

Сборник конспектов уроков по физике, рефераты на тему из школьной программы. Календарно тематическое планирование. физика 8 класс онлайн, книги и учебники по физике. Школьнику подготовиться к уроку.

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Обычно, когда говорят о перемещении, мы представляем себе объект, который движется по прямой. Скорость такого движения принято называть линейной, и расчёт ее средней величины выполняется просто: достаточно найти отношение пройденного расстояния к времени, за которое оно было телом преодолено. Если же объект перемещается по окружности, то в этом случае уже определяется не линейная, а Что это за величина и как ее рассчитывают? Об этом как раз и пойдет разговор в данной статье.

Угловая скорость: понятие и формула

Когда движется по окружности, быстроту ее перемещения можно характеризовать величиной угла поворота радиуса, который соединяет движущийся объект с центром данной окружности. Понятно, что эта величина в зависимости от времени постоянно меняется. Быстрота, с которой этот процесс происходит, и есть не что иное, как угловая скорость. Другими словами, это отношение величины отклонения радиус-вектора объекта к промежутку времени, которое потребовалось объекту на совершение такого поворота. Формула угловой скорости (1) может быть записана в таком виде:

w = φ / t, где:

φ - угол поворота радиуса,

t - период времени вращения.

Единицы измерения величины

В международной системе общепринятых единиц (СИ) для характеристики поворотов принято использовать радианы. Поэтому 1 рад/с - основная единица, которая используется в расчетах угловой скорости. В то же время никто не запрещает применять градусы (напомним, что один радиан равен 180/пи, или 57˚18’). Также угловая скорость может выражаться в числе оборотов за минуту или за секунду. Если перемещение по окружности происходит равномерно, то данная величина может быть найдена по формуле (2):

где n - частота вращения.

В противном случае подобно тому, как это делают для обычной скорости, рассчитывают среднюю, или мгновенную угловую скорость. Следует отметить, что рассматриваемая величина является векторной. Для определения ее направления обычно используют которое часто применяется в физике. Вектор угловой скорости направлен в ту же сторону, в которую происходит винта с правой резьбой. Другими словами, он устремлен вдоль оси, вокруг которой вращается тело, в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против движения часовой стрелки.

Примеры расчета

Предположим, требуется определить, чему равна линейная и угловая скорость колеса, если известно, что его диаметр равен одному метру, а угол вращения изменяется в соответствии с законом φ=7t. Воспользуемся нашей первой формулой:

w = φ / t = 7t / t = 7 с -1 .

Это и будет искомая угловая скорость. Теперь перейдем к поиску привычной нам быстроты перемещения. Как известно, v = s / t. Учитывая, что s в нашем случае - это колеса (l =2π*r), а 2π - один полный оборот, получается следующее:

v = 2π*r / t = w * r = 7 * 0.5 = 3.5 м/с

Вот еще одна задачка на эту тему. Известно, что на экваторе равен 6370 километров. Требуется определить линейную и угловую быстроту движения точек, находящихся на этой параллели, которое возникает в результате вращения нашей планеты вокруг своей оси. В данном случае нам понадобится вторая формула:

w = 2π*n = 2*3,14 *(1/(24*3600)) = 7,268 *10 -5 рад/с.

Осталось выяснить, чему равна линейная скорость: v = w*r = 7,268 *10 -5 *6370 * 1000 = 463 м/с.

Движение по окружности - простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.

∆ l = R ∆ φ

Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .

Проиллюстрируем сказанное:

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.

Определение. Угловая скорость

Угловая скорость в данной точке траектории - предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Единица измерения угловой скорости - радиан в секунду (р а д с).

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

a n = v 2 R = ω 2 R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → - v A → .

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .

Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → - v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

a n → = - ω 2 R → .

Здесь R → - радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов - нормальное, и тангенциальное.

Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Здесь ∆ v τ = v 2 - v 1 - изменение модуля скорости за промежуток ∆ t

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .

Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter