Примечание . Данный материал содержит теорему и ее доказательство, а также ряд задач, иллюстрирующих применение теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника на практических примерах .

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника

.

Доказательство .

Для доказательства теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника воспользуемся уже доказанной теоремой о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Пусть A 1 A 2... A n - данный выпуклый многоугольник, и n > 3. Проведем все диагонали многоугольника из вершины A 1. Они разбивают его на n – 2 треугольника: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а число треугольников – (n – 2). Поэтому сумма углов выпуклого n -угольника A 1 A 2... A n равна 180° (n – 2).

Задача.

В выпуклом многоугольнике три угла по 80 градусов, а остальные - 150 градусов. Сколько углов в выпуклом многоугольнике?

Решение.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2) .

Значит, для нашего случая:

180(n-2)=3*80+x*150, где

3 угла по 80 градусов нам даны по условию задачи, а количество остальных углов нам пока неизвестно, значит обозначим их количество как x.

Однако, из записи в левой части мы определили количество углов многоугольника как n, поскольку из них величины трех углов мы знаем по условию задачи, то очевидно, что x=n-3.

Таким образом уравнение будет выглядеть так:

180(n-2)=240+150(n-3)

Решаем полученное уравнение

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Ответ: 5 вершин

Задача.

Какое количество вершин может иметь многоугольник, если величина каждого из углов менее 120 градусов?

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого многоугольника.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма всех углов равна 180°(n-2) .

Значит, для нашего случая необходимо сначала оценить граничные условия задачи. То есть, сделать допущение, что каждый из углов равен 120 градусам. Получаем:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (это выражение рассмотрим отдельно ниже)

Исходя из полученного уравнения, делаем вывод: при величине углов менее 120 градусов, количество углов многоугольника менее шести.

Объяснение:

Исходя из выражения 180n - 120n = 360 , при условии, что вычитаемое правой части будет менее 120n, разность должна быть более 60n. Таким образом, частное от деления всегда будет менее шести.

Ответ: количество вершин многоугольника будет менее шести.

Задача

В многоугольнике три угла по 113 градусов, а остальные равны между собой и их градусная мера - целое число. Найти количество вершин многоугольника.

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме внешних углов выпуклого многоугольника.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма всех внешних углов равна 360° .

Таким образом,

3*(180-113)+(n-3)x=360

правая часть выражения - сумма внешних углов, в левой части сумма трех углов известна по условию, а градусная мера остальных (их количество, соответственно n-3, так как три угла известны) обозначена как x.

159 раскладывается только на два множителя 53 и 3, при чем 53 - простое число. То есть других пар множителей не существует.

Таким образом, n-3 = 3, n=6, то есть количество углов многоугольника - шесть.

Ответ : шесть углов

Задача

Докажите, что у выпуклого многоугольника может быть не более трех острых углов.

Решение

Как известно, сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360 0 . Проведем доказательство от противного. Если у выпуклого многоугольника не менее четырех острых внутренних углов, следовательно среди его внешних углов не менее четырех тупых, откуда следует, что сумма всех внешних углов многоугольника больше 4*90 0 = 360 0 . Имеем противоречие. Утверждение доказано.

Геометрическая фигура, составленная из отрезков AB,BC,CD, .., EF, FA таким образом, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек, называется многоугольником. Концы данных отрезков, точки A,B,С, D, …, E,F называются вершинами многоугольника, а сами отрезки AB,BC,CD, .., EF, FA - сторонами многоугольника.

Многоугольник называется выпуклым, если он по одну сторону от каждой прямой, которая проходит через две его смежные вершины. На рисунке ниже представлен выпуклый многоугольник:

А следующий рисунок иллюстрирует невыпуклый многоугольник:

Углом выпуклого многоугольника при данной вершине будет называться угол, образованный сторонами этого многоугольника, сходящимися в данной вершине. Внешним углом выпуклого многоугольника в некоторой вершине называется угол смежный с внутренним углом многоугольника при данной вершине.

Теорема: Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180˚ *(n-2)

Доказательство: рассмотрим выпуклый n-угольник. Чтобы найти сумму всех внутренних углов, соединим одну из вершин многоугольника с другими вершинами.

В результате получим (n-2) треугольника. Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. А так как их количество в многоугольнике (n-2), то сумма углов многоугольника равна 180˚ *(n-2). Это и требовалось доказать.

Задача:

Найти сумму углов выпуклого a) пятиугольник б) шестиугольника в)десятиугольника.

Воспользуемся формулой для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника.

а) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚.

б) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.

в) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.

Ответ: а) 540˚. б) 720˚. в) 1440˚.

Класс: 9

Цель: Вывести формулу для нахождения суммы углов выпуклого многоугольника;

• исследовать вопрос о сумме внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине;
• формировать положительную мотивацию к познавательной деятельности;
• развивать логическое мышление;
• развивать внимание, наблюдательность, умение анализировать чертеж;
• формировать умение применять полученные знания для решения задач;
• развивать коммуникативную культуру учащихся.

Ход урока

Великий русский ученый, гордость Земли Русской,

Михайло Васильевич Ломоносов, сказал: “ Неусыпный труд препятствия преодолевает”. Я надеюсь, что сегодня на уроке наш с вами труд поможет нам преодолеть все препятствия.

1. Актуализация опорных знаний. (Фронтальный опрос.)

Презентация. (Слайды 2–4)

– Сформулируйте определение многоугольника, назовите его основные элементы.
– Определение выпуклого многоугольника.
– Приведите примеры известных вам четырехугольников, которые являются выпуклыми многоугольниками.
– Можно ли треугольник считать выпуклым многоугольником?
– Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?

2. Постановка проблемы (выход на тему урока).

Устная фронтальная работа.

Найдите сумму углов данных многоугольников (Слайды 5–6)

– треугольника; прямоугольника:
– трапеции; произвольного семиугольника.

В случае затруднения учитель задает вопросы:

– Сформулируйте определение трапеции.
– Назовите основания трапеции.
– Что можно сказать о паре углов А и Д, каким свойством они обладают?
– Можно ли еще назвать на чертеже пару внутренних односторонних улов?
– Смогли вы найти сумму углов семиугольника? Какой возникает вопрос? (Существует ли формула для нахождения суммы углов произвольного многоугольника?)

Итак, ясно, что наших знаний на сегодня не достаточно для решения этой задачи.

Каким образом можно сформулировать тему нашего урока? – Сумма углов выпуклого многоугольника.

3. Решение проблемы . Чтобы ответить на поставленный вопрос, давайте проведем небольшое исследование.

Мы уже знаем теорему о сумме углов треугольника. Можем ли мы ее каким либо образом применить?

– Что для этого надо сделать? (Разбить многоугольник на треугольники.)

– А каким образом многоугольник можно разбить на треугольники? Подумайте над этим, обсудите и предложите свои самые удачные варианты.

Идет работа в группах, каждая группа работает за отдельным компьютером, на котором установлена программа “Geo Gebra”.

По окончании работы учитель выводит на экран результаты работы групп. (Слайд 7)

– Давайте проанализируем предложенные варианты и попробуем выбрать самый оптимальный для нашего исследования.

Определимся с критериями отбора: что мы хотим получить в результате разбиения? (Сумма всех углов построенных треугольников должна быть равна сумме углов многоугольника.)

– Какие варианты можно сразу отбросить? Почему?

(Вариант 1, так как сумма углов всех треугольников не равна сумме углов многоугольника.)

– Какой вариант годиться больше всего? Почему? (Вариант 3.)

Как получили этот вариант? (Провели диагонали из одной вершины многоугольника

чертеж	n – количество вершин многоугольника	Количество диагоналей, проведенных из одной вершины	Количество полученных треугольников
	4
	5
	6
	7
	n

– Попробуем установить зависимость между количеством вершин многоугольника, количеством диагоналей, которые можно провести из одной вершины и количеством получаемых при этом треугольников.

Каждая группа получает таблицу, которую должны заполнить в процессе исследования.

После обсуждения в группах дети формулируют полученные выводы:
из одной вершины n-угольника можно провести n – 3 диагонали, (так как диагональ нельзя провести к самой выбранной вершине и к двум соседним). При этом получим n – 2 треугольника.

Следовательно, сумма углов выпуклого многоугольника равна 180 0 (n-2).

– Вернемся к предложенным вариантам разбиения многоугольника на треугольники.

Можно ли использовать для доказательства этой теоремы вариант, предложенный на рисунке 4?

– Сколько треугольников получается при таком разбиении? (п штук)
– На сколько отличается сумма углов всех треугольников от суммы углов многоугольника? (На 360 0)
– Каким образом можно сосчитать сумму углов многоугольника в этом случае?

(180п – 360 = 180 п – 180х2 = 180(п -2))(С лайд 8)

– Удовлетворяет ли главному требованию, которое мы предъявляли к разбиению, вариант, предложенный на рисунке 2? (Да.)

– Почему не целесообразно его использование для нахождения суммы углов многоугольника? (Тяжелее подсчитать количество получаемых треугольников.)

Ну а теперь вернемся к задаче, которую мы не смогли решить вначале урока.

(Дети устно считают сумму углов семиугольника и еще два аналогичных упражнения.) (Слайд 9 и 10)

4. Применение полученных знаний.

Мы вывели формулу для нахождения суммы внутренних углов выпуклого многоугольника. А теперь поговорим о сумме внешних углов многоугольника, взятых по одной при каждой вершине.

Итак, задача: что больше: сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у выпуклого шестиугольника или у треугольника? (Слайд 11)

Дети высказывают свои предположения. Учитель предлагает провести исследование для решения этого вопроса.

Каждая группа получает задание для самостоятельного решения.

Группа 1.

1) Найдите сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у правильного треугольника.
2) – У треугольника, градусные величины углов которого равны соответственно 70 0 , 80 0 и 30 0 .

Группа 2.

1) Найдите сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у прямоугольника.
2) – У четырехугольника, внутренние углы которого равны соответственно 70 0 , 80 0 и 120 0 и 90 0 .

Группа 3.

1) Найдите сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у правильного шестиугольника.
2) – У шестиугольника, внутренние углы которого равны соответственно 170 0 , 80 0 и 130 0 , 100 0 , 70 0 , 170 0.

После окончания работы дети сообщают свои результаты, учитель заносит их в таблицу и демонстрирует на экране. (Слайд 12)

Итак, какой вывод можно сделать из полученных результатов? (Сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у любого многоугольника равна 360 0.)

А теперь давайте попробуем доказать этот факт для любого н-угольника.

Если возникают трудности, коллективно обсуждается план доказательства:

1. Обозначить внутренние углы многоугольника через α, β, γ и т.д.
2. Выразить через введенные обозначения градусные меры внешних углов
3. Составить выражение для нахождения суммы внешних углов многоугольника
4. Преобразовать полученное выражение, использовать полученную ранее формулу для суммы внутренних углов многоугольника.

Доказательство записывается на доске:

(180 – α) + (180 – β) + (180 – γ) + …= 180 п – (α+ β +γ + …) = 180 п – 180(п – 2) = 360

5. Закрепление изученного материала. Решение задач.

Задача 1. Существует ли выпуклый многоугольник с такими внутренними углами: 45 0 , 68 0 , 73 0 и 56 0 ? Объясните свой ответ.

Проведем доказательство от противного. Если у выпуклого многоугольника четыре острых внутренних угла то среди его внешних углов четырех тупых, откуда следует, что сумма всех внешних углов многоугольника больше 4*90 0 = 360 0 . Имеем противоречие. Утверждение доказано.

В выпуклом многоугольнике три угла по 80 градусов, а остальные – 150 градусов. Сколько углов в выпуклом многоугольнике?

Так как: для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n – 2) , то 180(n – 2)=3*80 + x*150, где 3 угла по 80 градусов нам даны по условию задачи, а количество остальных углов нам пока неизвестно, значит, обозначим их количество через x.

Однако из записи в левой части мы определили количество углов многоугольника как n, поскольку из них величины трех углов мы знаем по условию задачи, то очевидно, что x=n-3.

Таким образом, уравнение будет выглядеть так: 180(n – 2) = 240 + 150(n – 3)

Решаем полученное уравнение

180n – 360 = 240 + 150n – 450

180n – 150n = 240 + 360 – 450

Ответ: 5 вершин.

6. Подведение итогов урока.

Итак, давайте подведем итоги. Сформулируйте свои вопросы для ребят из другой группы по материалам сегодняшнего урока.

Какой вопрос вы считаете наиболее удачным?

Обсудите степень участия каждого члена группы в коллективной работе, назовите самых активных.

Чья работа в группе была самой результативной?

7. Домашнее задание:

1. Задача.

В многоугольнике три угла по 113 градусов, а остальные равны между собой и их градусная мера – целое число. Найти количество вершин многоугольника.

2. п.114 стр.169–171, Погорелов А.В. “Геометрия 7–9”.

Для случая выпуклого n-угольника

Пусть A 1 A 2 . . . A n {\displaystyle A_{1}A_{2}...A_{n}} - данный выпуклый многоугольник и n > 3 . Тогда проведем из одной вершины к противоположным вершинам (n − 3) диагонали: A 1 A 3 , A 1 A 4 , A 1 A 5 . . . A 1 A n − 1 {\displaystyle A_{1}A_{3},A_{1}A_{4},A_{1}A_{5}...A_{1}A_{n-1}} . Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на (n − 2) треугольника: Δ A 1 A 2 A 3 , Δ A 1 A 3 A 4 , . . . , Δ A 1 A n − 1 A n {\displaystyle \Delta A_{1}A_{2}A_{3},\Delta A_{1}A_{3}A_{4},...,\Delta A_{1}A_{n-1}A_{n}} . Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть n − 2 . Следовательно, сумма углов n -угольника равна 180°(n − 2) . Теорема доказана.

Замечание

Для невыпуклого n-угольника сумма углов также равна 180°(n − 2) . Доказательство может быть аналогично, используя в дополнение лемму о том, что любой многоугольник может быть разрезан диагоналями на треугольники, и не опираясь на то, что диагонали проведены обязательно из одной вершины (ограниченное таким условием разрезание невыпуклого многоугольника не всегда возможно в том смысле, что у невыпуклого многоугольника не обязательно есть хотя бы одна вершина, все диагонали из которой лежат внутри многоугольника, как и треугольники, ими образуемые).

Сумма углов n-угольника Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180 o (n-2). Доказательство. Из какой-нибудь вершины выпуклого n-угольника проведем все его диагонали. Тогда n-угольник разобьется на n-2 треугольника. В каждом треугольнике сумма углов равна 180 о, и эти углы составляют углы n-угольника. Следовательно, сумма углов n- угольника равна 180 о (n-2).

Второй способ доказательства Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180 o (n-2). Доказательство 2. Пусть O какая-нибудь внутренняя точка выпуклого n-угольника A 1 …A n. Соединим ее с вершинами этого многоугольника. Тогда n-угольник разобьется на n треугольников. В каждом треугольнике сумма углов равна 180 о. Эти углы составляют углы n-угольника и еще 360 о. Следовательно, сумма углов n- угольника равна 180 о (n-2).

Упражнение 3 Докажите, что сумма внешних углов выпуклого n- угольника равна 360 о. Доказательство. Внешний угол выпуклого многоугольника равен 180 о минус соответствующий внутренний угол. Следовательно, сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна 180 о n минус сумма внутренних углов. Так как сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180 о (n-2), то сумма внешних углов будет равна 180 о n о (n-2) = 360 о.

Упражнение 4 Чему равны углы правильного: а) треугольника; б) четырехугольника; в) пятиугольника; г) шестиугольника; д) восьмиугольника; е) десятиугольника; ж) двенадцатиугольника? Ответ: а) 60 о;б) 90 о;в) 108 о;г) 120 о; д) 135 о;е) 144 о;ж) 150 о.

Упражнение 12* Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый n-угольник? Решение. Так как сумма внешних углов выпуклого многоугольника равны 360 о, то у выпуклого многоугольника не может быть более трех тупых углов, следовательно, у него не может быть более трех внутренних острых углов. Ответ. 3.