Aplicarea derivatei în rezolvarea ecuațiilor. Folosind derivate și integrale pentru a rezolva ecuații și inegalități. Utilizarea derivatelor pentru a simplifica expresii algebrice și trigonometrice

INTRODUCERE

Elementele de analiză matematică ocupă un loc semnificativ în cursul școlar de matematică. Elevii stăpânesc aparatul matematic, care poate fi utilizat eficient în rezolvarea multor probleme din matematică, fizică și tehnologie. Limbajul derivatelor și integralelor ne permite să formulăm cu strictețe multe legi ale naturii. La cursul de matematică, folosind calcul diferențial și integral, se studiază proprietățile funcțiilor, se construiesc grafice ale acestora, se rezolvă probleme care implică cele mai mari și cele mai mici valori și se calculează ariile și volumele figurilor geometrice. Cu alte cuvinte, introducerea unui nou aparat matematic ne permite să luăm în considerare o serie de probleme care nu pot fi rezolvate prin metode elementare. Cu toate acestea, capacitățile metodelor de analiză matematică nu se limitează la astfel de probleme.

Multe probleme elementare tradiționale (demonstrarea inegalităților, identităților, studierea și rezolvarea ecuațiilor și altele) sunt rezolvate eficient folosind conceptele de derivată și integrală. Manualele școlare și materialele didactice acordă puțină atenție acestor probleme. În același timp, utilizarea non-standard a elementelor de analiză matematică vă permite să înțelegeți mai bine conceptele de bază ale teoriei studiate. Aici trebuie să selectați o metodă de rezolvare a problemei, să verificați condițiile de aplicabilitate a acesteia și să analizați rezultatele obținute. În esență, este adesea efectuat un mic studiu matematic, în procesul căruia se dezvoltă gândirea logică și abilitățile matematice, iar cultura matematică este îmbunătățită.

Pentru multe probleme din matematica elementară, sunt permise atât soluțiile „elementare”, cât și „neelementare”. Utilizarea derivatei și a integralei oferă de obicei o soluție mai eficientă. Există o oportunitate de a aprecia puterea, frumusețea și generalitatea noului aparat matematic.

Metodele de analiză matematică sunt folosite nu numai pentru rezolvarea problemelor, ci sunt și o sursă de obținere a unor noi fapte de matematică elementară.

SECTIUNEA 1

UNELE UTILIZĂRI ALE DERIVATELOR

Folosirea derivatei pentru a rezolva inegalitățile

Calculul diferențial este utilizat pe scară largă în studiul funcțiilor. Folosind derivata, puteți găsi intervalele de monotonitate ale unei funcții, punctele sale extreme, cele mai mari și cele mai mici valori.

Dacă o funcție are o derivată pozitivă (negativă) în fiecare punct al unui anumit interval, atunci ea crește (descrește) pe acest interval. Când găsiți intervale de monotonitate, trebuie să aveți în vedere că, dacă o funcție crește (descrește) pe interval și este continuă în puncte și , apoi crește (descrește) pe segment .

Dacă un punct este un punct extrem pentru o funcție și o derivată există în acest punct, atunci . La punctul extrem, este posibil ca funcția să nu aibă o derivată. Punctele interioare ale domeniului de definiție la care derivata este zero sau nu există sunt numite critice. Pentru a stabili dacă o funcție are un extremum la un punct critic dat, utilizați următoarele semne suficiente ale existenței unui extremum.

Dacă o funcție este continuă într-un punct și există puncte astfel încât pe interval şi pe interval, atunci punctul este punctul maxim (minim) al funcției.

Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori pe un segment, este suficient să comparați valorile în puncte și în punctele critice din segment.

Aceste rezultate sunt aplicabile pentru rezolvarea multor probleme elementare legate de inegalități.

Fie ca, de exemplu, vrei să demonstrezi că într-un anumit interval inegalitatea este valabilă. Să notăm prin Folosind derivata, găsim cea mai mică valoare dintr-un interval dat. Dacă este nenegativ, atunci în toate punctele intervalului luat în considerare, adică .

Sarcina 1.1. Demonstrează asta Pentru

Această inegalitate este echivalentă cu următoarele:

Deoarece ,

atunci la Prin urmare, funcția crește pe intervalul Funcția este continuă. Prin urmare, acest punct poate fi inclus în intervalul crescător. Deoarece , și crește cu atunci cu Prin urmare, obținem soluția problemei 1.

Problema 1.2. Doi turiști au mers pe același traseu. În prima zi au mers pe aceeași distanță. În fiecare dintre zilele următoare, primul turist a mărit distanța parcursă, față de precedentele, cu aceeași distanță, iar al doilea - de același număr de ori. S-a dovedit că în ziua călătoriei, turiștii au mers din nou pe aceeași distanță. Demonstrați că în câteva zile primul turist a parcurs o distanță mai mare decât al doilea.

Distanța parcursă de primul turist în zile este suma primilor termeni ai unei progresii aritmetice, iar al doilea - suma primilor termeni ai unei progresii geometrice. Să notăm aceste distanțe și, respectiv, . Dacă primul termen al unei progresii, diferența unei progresii aritmetice, este numitorul unei progresii geometrice, atunci

Echivalând termenii progresiilor, găsim

Apoi , unde (conform condițiilor problemei). Problema 4 va fi rezolvată dacă arătăm asta Unde

Când avem este echivalent cu inegalitatea evidentă Presupunând că inegalitatea (2) este validă, o demonstrăm pentru Avem

Pentru a completa dovada, este suficient să verificăm că expresia

La . Aici este indicat să apelezi la derivat.

Derivata este pozitivă la Prin urmare, pe măsură ce crește. Deoarece funcția este continuă în punct, atunci la i.e. Deci, problema 2 este rezolvată.

1.3. Utilizarea derivatelor pentru a rezolva ecuații

Vom arăta cum, folosind derivata, puteți rezolva întrebări despre existența rădăcinilor unei ecuații și, în unele cazuri, găsirea acestora. Ca și până acum, rolul principal va fi jucat aici prin studierea funcției pentru monotonitate și găsirea valorilor sale extreme. În plus, vor fi utilizate o serie de proprietăți ale funcțiilor monotone și continue.

Proprietatea 1. Dacă o funcție f crește sau scade pe un anumit interval, atunci pe acest interval ecuația f(x)=0 are cel mult o rădăcină.

Această afirmație decurge direct din definiția funcțiilor crescătoare și descrescătoare. Rădăcina ecuației f(x)=0 este egală cu abscisa punctului de intersecție a graficului funcției y=f(x) cu axa x.

Proprietatea 2. Dacă o funcție f este definită și continuă pe un interval și ia valori de diferite semne la capetele sale, atunci între a și b există un punct c la care f(c)=0.

Problema 1.12. Rezolvați ecuația

Observați care este rădăcina ecuației. Să demonstrăm că această ecuație nu are alte rădăcini. Să studiem funcția f, unde , la monotonie. Derivat . Să stabilim intervalele peste care funcția își păstrează semnul. Pentru a face acest lucru, îl examinăm pentru monotonitate. Derivat . De la , apoi la . Prin urmare, funcția crește pentru valorile pozitive ale lui x; . Prin urmare, când . Datorită parității funcției, aceasta ia valori pozitive pentru toate. În consecință, f crește de-a lungul întregii drepte numerice. Conform proprietății 1, ecuația are cel mult o rădăcină. Deci, este singura rădăcină a ecuației.

Problema 1.13. Rezolvarea sistemului de ecuații

Sistemul este echivalent cu următorul:

Din prima ecuație rezultă că , din a doua – . Să exprimăm x din prima ecuație în termeni de y: , . Apoi . punând, primim sau . Derivata functiei f, unde , este egala cu . este negativ pentru toate valorile lui t. Astfel, funcția f scade. Prin urmare, ecuația are cel mult o rădăcină. Să observăm care este rădăcina lui. Deci, singura soluție pentru sistem.

Problema 1.14. Demonstrați că ecuația are o singură rădăcină situată în interval.

Ecuația este redusă prin transformări echivalente la forma , unde . Funcția f este în creștere, deoarece în fața tuturor. Conform proprietății 1, o ecuație are cel mult o soluție. Funcția f este continuă; în plus, , . În virtutea proprietății 2, ecuația de pe interval are rădăcină.

În problema 3 s-a cerut să se demonstreze că rădăcina ecuației aparține unui anumit interval. Am folosit proprietatea 2 a unei funcții continue pe un segment care ia valori de diferite semne la capetele acestui segment. Această cale nu duce întotdeauna la obiectiv atunci când rezolvăm astfel de probleme. Uneori este recomandabil să folosiți următoarea proprietate a funcțiilor diferențiabile.

Proprietatea 3 (teorema lui Rolle). Dacă funcția f este continuă pe intervalul , diferențiabilă pe intervalul (a,b) și f(a)=f(b), atunci există un punct astfel încât .

În limbajul geometric, proprietatea 3 înseamnă următoarele: dacă , atunci pe graficul curbei există un punct C cu coordonate unde tangenta la grafic este paralelă cu axa x.

Problema 1.15. Demonstrați că ecuația pentru , are cel mult o rădăcină reală.

Să presupunem că ecuația are cel puțin două rădăcini și . Funcția f, unde este diferențiabilă pe întreaga linie reală. Deoarece , atunci conform proprietății 3, derivata sa pe interval are rădăcină. Cu toate acestea, ecuația nu are soluții. Contradicția rezultată arată că ecuația nu poate avea mai mult de o rădăcină.

Problema 1.16. Demonstrați că polinomul , ,

Are cel mult n rădăcini.

Conform proprietății 3, între două rădăcini ale unui polinom se află cel puțin o rădăcină a derivatei sale. Prin urmare, dacă un polinom f(x) are rădăcini diferite, atunci derivata sa trebuie să aibă cel puțin (k-1) rădăcini. În același mod – nu mai puțin de k-2 rădăcini etc., derivata a n-a – nu mai puțin de (k-n) rădăcini, . Acest lucru este imposibil deoarece este o constantă diferită de zero.

Problema 1.17. Demonstrați că un polinom are o rădăcină între 0 și 1 ().

Aplicarea proprietății 2 nu duce la obiectiv, deoarece . Se consideră funcția g, unde . Pentru aceasta, funcția f este o derivată. Din moment ce , apoi conform proprietății 3, pentru unii .

Problema 1.18. Demonstrați că ecuația nu are rădăcini reale.

Lăsa , Apoi . Dacă x este rădăcina ecuației, atunci , i.e. funcţia f, datorită continuităţii sale, scade în vecinătatea fiecărei rădăcini. Rețineți că dacă ecuația are rădăcini, atunci acestea sunt negative. Se știe că un polinom de gradul al n-lea nu are mai mult de n rădăcini. Să notăm prin - cea mai mare dintre rădăcini. Apoi există așa ceva care . Deoarece , atunci intervalul trebuie să conțină rădăcina x a polinomului f(x). a primit o contradicție.

Să considerăm o ecuație de forma , unde f, g sunt reciproc inverse, crescând funcții care au aceleași domenii de definiție. Să arătăm că această ecuație este echivalentă cu ecuația. (3)

De fapt, fie a rădăcina ecuației (3), adică. . Avand in vedere ca domeniul de definitie al functiei g coincide cu multimea de valori a functiei f si invers, putem scrie: , sau , adică , și este rădăcina ecuației.

Înapoi, să, dar. Apoi sau. primul caz. Aceeași contradicție apare și în al doilea caz.

Astfel, a fost obținută o metodă particulară de transformare echivalentă a ecuațiilor.

Problema 1.19. Rezolvați ecuația.

Să rescriem această ecuație sub forma . Funcţie este continuă, crescătoare (ca suma a două funcții crescătoare și ), prin urmare are inversă. Să o găsim: , . Deci, inversul lui f este funcția , care coincide cu partea dreaptă a ecuației. Pe baza celor dovedite mai sus, ecuația este echivalentă cu ecuația . Este clar care este rădăcina ecuației. Să ne asigurăm că ecuația nu are alte rădăcini.

Ipoteza formulată a fost necesară pentru rezolvarea următoarelor probleme: 1. Identificarea rolului ecuațiilor și inegalităților trigonometrice în predarea matematicii; 2. Elaborarea unei metodologii de dezvoltare a capacității de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, care vizează dezvoltarea conceptelor trigonometrice; 3. Testați experimental eficacitatea metodei dezvoltate. Pentru solutii...

Punctele axei de coordonate. Lecția nr. 4. Tema: Metoda analitică. Metoda de ramificare. Scopul lecției: introducerea elevilor în metoda de bază de rezolvare a ecuațiilor care conțin un parametru. Literatură pentru profesor: vezi , , , , Literatură pentru elev: vezi Rezumat: luarea în considerare a diferitelor valori acceptate de parametru. Simplificarea ecuației și reducerea ecuației la un produs...

În algebră și începuturile analizei, în pregătirea pentru certificarea finală de stat, evaluare externă independentă. Un număr destul de mare de probleme relevă potențialul analizei cantităților infinitezimale. 1. Derivată și aplicarea acesteia în rezolvarea problemelor aplicate 1.1 Informații istorice O serie de probleme de calcul diferențial au fost rezolvate în antichitate. S-au întâlnit la...

Teorema de mai sus demonstrează importanța estimărilor a priori pentru a demonstra existența și teoremele de unicitate pentru soluții. Capitolul 2. Anexă Exemplu 1. Considerăm o ecuație integrală cu un parametru real mic λ: (1) Aceasta este o ecuație de forma A()x = y() - o ecuație de operator în C[-π; π], unde Să arătăm că A() este analitic la punctul 0, i.e. se extinde într-o serie de forme. Să extindem funcția...

„Calculul derivatelor” - Sat. materiale științifice și metodologice, Novosibirsk: NSU, - 2004. Derivată a unei funcții complexe. David Gilbert. Operația de găsire a derivatei se numește diferențiere. (u+v)"=u"+v" (uv)"=u"v+uv" (u/v)"=(u"v-uv"):v?. Profesor. Context istoric. Mijloace de predare tehnic : tablă interactivă, computer.

„Clase derivate” - Există metode pe care fiecare clasă le moștenește din clasa Object. Al doilea punct are o serie de consecințe importante. Clase derivate pe mai multe niveluri. EXEMPLU. Ca tatăl, ca fiul. Inițializatoarele nu sunt re-executate. Constructorii în moștenire. Clase derivate. Moştenire. Apelarea super trebuie să fie prima acțiune întreprinsă de constructor.

„Probleme asupra derivatei” - Determinați posibilitățile de utilizare a noului concept - derivat. Probleme care duc la conceptul de derivată. Viteza v crește treptat. Derivat. Și un matematician va crea un model matematic al procesului. Definiţia derivative. Fixăm momentul t la care dorim să știm valoarea vitezei v(t). Problema tangentei la graficul unei functii.

„Aplicarea derivatelor în studiul funcțiilor” - Schițați graficul unei funcții, știind că. Gottfried Wilhelm von Leibniz. Încălzire. Punct. Derivatul nu există. Aplicarea derivatei la studiul funcţiilor. Regula pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcției f(x) pe segment. Folosind graficul derivatei funcției, determinați intervalele de intervale crescătoare și descrescătoare ale funcției.

„Derivată de lecție a unei funcții complexe” - Un punct se mișcă rectiliniu conform legii s(t) = s(t) = (s – calea în metri, t – timpul în secunde). Aflați panta tangentei trasate la graficul funcției. Gaseste-l. Brooke Taylor. Aflați diferența funcției: Aflați derivatele funcțiilor: Pentru ce valori ale lui x este valabilă egalitatea. Derivată a unei funcții complexe.

„Derivată a unei funcții” - Găsiți derivate ale funcțiilor. Sarcini. Creșterea funcției. Increment de argument. Derivat. Raportul de diferență. Reguli pentru calcularea instrumentelor derivate. Formule pentru calcularea derivatelor.

Lucrări pentru cursul „Matematică”

Kirovograd 2004

Introducere

Elementele de analiză matematică ocupă un loc semnificativ în cursul școlar de matematică. Elevii stăpânesc aparatul matematic, care poate fi utilizat eficient în rezolvarea multor probleme din matematică, fizică și tehnologie. Limbajul derivatelor și integralelor ne permite să formulăm cu strictețe multe legi ale naturii. La cursul de matematică, folosind calcul diferențial și integral, se studiază proprietățile funcțiilor, se construiesc grafice ale acestora, se rezolvă probleme care implică cele mai mari și cele mai mici valori și se calculează ariile și volumele figurilor geometrice. Cu alte cuvinte, introducerea unui nou aparat matematic ne permite să luăm în considerare o serie de probleme care nu pot fi rezolvate prin metode elementare. Cu toate acestea, capacitățile metodelor de analiză matematică nu se limitează la astfel de probleme.

Multe probleme elementare tradiționale (demonstrarea inegalităților, identităților, studierea și rezolvarea ecuațiilor și altele) sunt rezolvate eficient folosind conceptele de derivată și integrală. Manualele școlare și materialele didactice acordă puțină atenție acestor probleme. În același timp, utilizarea non-standard a elementelor de analiză matematică vă permite să înțelegeți mai bine conceptele de bază ale teoriei studiate. Aici trebuie să selectați o metodă de rezolvare a problemei, să verificați condițiile de aplicabilitate a acesteia și să analizați rezultatele obținute. În esență, este adesea efectuat un mic studiu matematic, în procesul căruia se dezvoltă gândirea logică și abilitățile matematice, iar cultura matematică este îmbunătățită.

Pentru multe probleme din matematica elementară, sunt permise atât soluțiile „elementare”, cât și „neelementare”. Utilizarea derivatei și a integralei oferă de obicei o soluție mai eficientă. Există o oportunitate de a aprecia puterea, frumusețea și generalitatea noului aparat matematic.

Metodele de analiză matematică sunt folosite nu numai pentru rezolvarea problemelor, ci sunt și o sursă de obținere a unor noi fapte de matematică elementară.

Secțiunea 1. Câteva aplicații ale derivatei

1.1. Folosirea derivatei pentru a rezolva inegalitățile

Calculul diferențial este utilizat pe scară largă în studiul funcțiilor. Folosind derivata, puteți găsi intervalele de monotonitate ale unei funcții, punctele sale extreme, cele mai mari și cele mai mici valori.

Dacă o funcție f are o derivată pozitivă (negativă) în fiecare punct al unui anumit interval, atunci ea crește (descrește) pe acest interval. Când găsiți intervale de monotonitate, trebuie să rețineți că, dacă o funcție crește (descrește) pe intervalul (a, b) și este continuă în punctele a și b, atunci crește (descrește) pe segment .

Dacă punctul x0 este un punct extrem pentru o funcție f și există o derivată în acest punct, atunci f/(x0)=0. La punctul extrem, este posibil ca funcția să nu aibă o derivată. Punctele interioare ale domeniului de definiție la care derivata este zero sau nu există sunt numite critice. Pentru a stabili dacă o funcție are un extremum la un punct critic dat, utilizați următoarele semne suficiente ale existenței unui extremum.

Dacă funcția f este continuă în punctul x0 și există puncte a, b astfel încât f/(x0)>0 (f/(x0)<0) на интервале (a,x0) и f/(x0)<0 (f/(x0)>0) pe intervalul (x0,b), atunci punctul x0 este punctul maxim (minim) al funcției f.

Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale lui f pe un segment, este suficient să comparați valorile lui f în punctele a, b și în punctele critice ale segmentului.

Aceste rezultate sunt aplicabile pentru rezolvarea multor probleme elementare legate de inegalități.

De exemplu, doriți să demonstrați că inegalitatea f(x)³g(x) este valabilă pentru un anumit interval. Să notăm f(x)-g(x) cu F(x). Folosind derivata F/(x) găsim cea mai mică valoare a lui F pe un interval dat. Dacă este nenegativ, atunci în toate punctele intervalului luat în considerare F(x)³0, i.e.

Sarcina 1.1. Demonstrați că (e+x)e-x>(e-x)e+x pentru 0

Această inegalitate este echivalentă cu următoarele: (e-x)ln(e+x)>(e+x)ln(e-x).

Fie f(x)=(e-x)ln(e+x)-(e+x)ln(e-x),

atunci f/(x)=-ln(e+x)+(e-x)/(e+x)-ln(e-x)+(e+x)/(e-x).

Deoarece (e-x)/(e+x)+(e+x)/(e-x)=2(e2+x2)/(e2-x2)>2,

ln(e+x)+ln(e-x)=ln(e2-x2)

atunci f/(x)>0 la 0 0 la 0

Problema 1.2. Demonstrați inegalitatea tgka+ctgka³2+k2cos22a, 0

Inegalitatea poate fi scrisă ca: (ctgk/2a–tgk/2a)2³k2cos22a.

Mai întâi să fie 0 Tg a, cos 2a>0, deci ultima inegalitate este echivalentă cu inegalitatea ctgk/2a–tgk/2a ³ k*cos 2a.

Să punem f(a)=ctgna–tgna–2n*cos 2a, unde n=k/2.

Aici, ca și în problema anterioară, folosim faptul că suma numerelor pozitive reciproce este mai mare sau egală cu 2. Astfel, pe intervalul 0

Problema 1.3. Ce este mai mare, ep sau pe?

Pentru a rezolva problema, examinăm problema existenței soluțiilor unei ecuații cu două necunoscute: ab=ba, a>0, b>0. Să excludem cazul trivial a=b ​​și pentru certitudine vom presupune că a

(ln a)/a = (ln b)/b.

Fie f(x)=(ln x)/x (1). Existența soluțiilor ecuației (1) este echivalentă cu prezența valorilor x1 și x2 (x1 0 funcția f crește, iar la x>e f/(x)<0 функция f убывает. Поэтому в точке x=e f принимает свое наибольшее значение (1/e). Так как функция (ln x)/x непрерывна и возрастает на промежутке (0,e], то она на этом промежутке принимает все значения от –¥ до 1/е. Аналогично, на промежутке . Из результатов исследования функции f вытекают следующие утверждения:

1. Dacă 0

2. Dacă 1

3. Dacă b>a>e, atunci ab>ba.

Astfel, dacă (a,b) este o soluție a ecuației ab=ba , atunci 1 e. Mai mult, pentru fiecare valoare fixă ​​1 e astfel încât ab=ba

Pentru a răspunde la întrebarea din problema 3, este suficient să setați a=e, b=p și să folosiți afirmația (1). Deci ep > pe. Problema 3 este rezolvată.

Problema 1.4. Doi turiști au mers pe același traseu. În prima zi au mers pe aceeași distanță. În fiecare dintre zilele următoare, primul turist a mărit distanța parcursă, față de precedentele, cu aceeași distanță, iar al doilea - de același număr de ori. S-a dovedit că în a n-a zi (n>2) a călătoriei, turiștii au parcurs din nou aceeași distanță. Demonstrați că în n zile primul turist a parcurs o distanță mai mare decât al doilea.

Distanța parcursă de primul turist în n zile este suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, iar al doilea este suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice. Să notăm aceste distanțe ca Sn și, respectiv, Sn/. Dacă a este primul termen al progresiei, d este diferența progresiei aritmetice, q este numitorul progresiei geometrice, atunci

Echivalând termenii n-a ai progresiilor, găsim

Apoi , unde q>1 (după condițiile problemei). Problema 4 va fi rezolvată dacă arătăm asta , unde n>2, q>1 (2)

Pentru n=3 avem, ceea ce este echivalent cu inegalitatea evidentă. Presupunând că inegalitatea (2) este valabilă pentru n=k, o demonstrăm pentru n=k+1. Avem

Pentru a completa demonstrația, este suficient să verificăm că expresia pentru k>2. Aici este indicat să apelezi la derivat.

Fie Derivată pozitivă pentru x>1. Prin urmare f crește pentru x>1. Deoarece f(1)=0 și funcția f este continuă în punctul x=1, atunci f(x)>0 pentru x>1, adică. f(q)>0. Deci Sn>Sn/. Problema 4 este rezolvată.

1.2. Utilizarea teoremelor de bază ale calculului diferențial pentru a demonstra inegalitățile

TEOREMA 1 (Rolle) Fie ca funcția f:®R să îndeplinească condițiile:

1) fÎC; 2) "xО(a,b) există f/(x); 3) f(a)=f(b). Atunci $CО(a,b): f/(C)=0.

Sensul geometric al teoremei lui Rolle: când sunt îndeplinite condițiile 1)-3) ale teoremei, pe intervalul (a,b) există un punct C în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa absciselor. În practică, se utilizează mai des următoarea afirmație a teoremei lui Rolle: între oricare două zerouri ale unei funcții diferențiabile, există cel puțin un zero al derivatei.

TEOREMA 2 (Lagrange despre valoarea medie, sau despre incrementul finit). Să presupunem că funcția f:®R îndeplinește condițiile:

1) fÎC; 2) „xО(a,b) există f/(x). Atunci $CО(a,b): f(b)-f(a)=f/(C)(b-a).

Raportul (f(b)-f(a))/(b-a) este tangenta unghiului de înclinare la axa de abscisă a secantei care trece prin punctele (a, f(a)), (b, f). (b)). Semnificația geometrică a teoremei lui Lagrange: când sunt îndeplinite condițiile 1)-2) ale teoremei, pe intervalul (a,b) există un punct C în care tangenta la graficul funcției în punctul (C, f( C)) este paralelă cu secantei.

Corolar 1. Fie ca funcția f:®R să aibă o derivată f/ pe (a,b) și „xО(a,b) f/(x)=0. Atunci pentru unele LО R „xО(a,b) f (x)=L.

Corolarul 2. Funcțiile f:®R, g:®R au derivate f/ și g/ pe (a,b) și „xО(a,b) f/(x)=g/(x). Atunci, pentru unele numărul LÌ R "xО(a,b): f(x)=g(x)+L.

Corolarul 3. Fie ca funcția f:®R să aibă derivata f/ pe (a,b) și pentru unele LÌ R "xО(a,b) f/(x)=L. Atunci pentru unele MО R "xО(a ,b): f(x)=Lx+M.

TEOREMA 3 (Cauchy). Fie funcţiile f:®R, g:®R să îndeplinească condiţiile: 1) f, gÎC; 2) "xО(a,b) există derivate f/ și g/; 3) "xО(a,b) g/(x)¹0.

Atunci $CО(a,b): (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f/(C)/g/(C).

Teorema lui Lagrange este un caz special al teoremei lui Cauchy cu g(x)=x, xО.

Problema 1.5. Demonstrați că pentru orice x, y Ì R: ½sin x – sin y½£½x–y1; x, y М R: ½cos x – cos y½£½x–y½; x, y М R: ½arctg x – arctg y½£½x–y½;

x, y М teorema lui Lagrange:

$CÎ(x,y): ½sin x – sin y½=½cos C½(x–y). Luând în considerare inegalitatea ½cos u1£1, uОR, obținem inegalitatea necesară.

Problema 1.6. Demonstrați că pentru orice x Ì R: ex ³ 1+x, iar egalitatea poate fi dacă și numai dacă x=0.

Fie x>0 mai întâi. Prin teorema lui Lagrange pentru funcția f(u)=eu, uО,

$CО(0,x): ex – e0 = eC(x-0)>x, deoarece eC>1 pentru C>0. Dacă x<0, то теорему Лагранжа используем для функции f(u)=eu, uÎ. Имеем $CÎ(x,0): e0 – ex = eC(0-x)<–x, так как –x>0 și eC<1 для C<0. Таким образом, при x¹0 имеем ex >1+x.

Problema 1.7. Demonstrați că pentru orice x >0: ex>1+x+(x2/2).

Pentru a demonstra inegalitatea, aplicăm funcțiilor teorema lui Cauchy

f(u)=eu, g(u)=1+u+(u2/2), uО. Se obține $CО(0,x): (ex – e0)/(1+x+(x2/2)–1) = eC/(1+c). Ținând cont de inegalitatea dovedită, găsim (ex-1)/(x+(x2/2))>1, de unde ex>1+x+(x2/2).

Problema 1.8. Demonstrați că pentru 0 (2/p)x.

Fie f(x)=(sin x)/x (0 f(p/2)=2/p, dacă 0

Problema 1.9. Demonstrați că pentru x>0 cos x >1–(1/2)x2 este valabil.

Funcția f(x)=cos x –1+(1/2)x2 este egală cu 0 la x=0. Derivata sa, pentru x>0,

f/(x) = –sin x+x>0 (sau sin x< x). Т.е., функция f(x) для x³0 возрастающая, а при x<0 будет f(x)>f(0)=0, adică cos x>1–(1/2)x2.

Prin urmare, în mod similar pentru x>0 obținem sin x>x–(1/6)x3.

Problema 1.10. Demonstrați că la 0 X+(1/3)x3.

Pentru aceasta, este suficient să stabilim că pentru x indicat derivata funcției tan x–x–(1/3)x3, egală cu sec2x–1–x2, este pozitivă, adică. că tan2x – x2>0, iar aceasta duce la binecunoscuta inegalitate tan x>x.

Problema 1.11. Demonstrați că pentru x>0 ln x £ x-1 este valabil.

Deoarece funcția f(x)=ln x–x (x>0) are o derivată f/(x)=(1/x)–1 > 0 (la 0 1), apoi funcția crește în timp ce x se modifică pe intervalul (0,1] și scade pe interval și la capetele acestuia ia valori de diferite semne, apoi între a și b există un punct c în care f( c) = 0.

Problema 1.12. Rezolvați ecuația

Observați care este rădăcina ecuației. Să demonstrăm că această ecuație nu are alte rădăcini. Să studiem funcția f, unde , la monotonie. Derivat . Să stabilim intervalele peste care funcția își păstrează semnul. Pentru a face acest lucru, îl examinăm pentru monotonitate. Derivat . De la , apoi la . Prin urmare, funcția crește pentru valorile pozitive ale lui x; . Prin urmare, când . Datorită parității funcției, aceasta ia valori pozitive pentru toate. În consecință, f crește de-a lungul întregii drepte numerice. Conform proprietății 1, ecuația are cel mult o rădăcină. Deci, este singura rădăcină a ecuației.

Problema 1.13. Rezolvarea sistemului de ecuații

Sistemul este echivalent cu următorul:

Din prima ecuație rezultă că , din a doua – . Să exprimăm x din prima ecuație în termeni de y: , . Apoi . punând, primim sau . Derivata functiei f, unde , este egala cu . este negativ pentru toate valorile lui t. Astfel, funcția f scade. Prin urmare, ecuația are cel mult o rădăcină. Să observăm care este rădăcina lui. Deci, singura soluție pentru sistem.

Problema 1.14. Demonstrați că ecuația are o singură rădăcină situată în interval.

Ecuația este redusă prin transformări echivalente la forma , unde . Funcția f este în creștere, deoarece în fața tuturor. Conform proprietății 1, o ecuație are cel mult o soluție. Funcția f este continuă; în plus, , . În virtutea proprietății 2, ecuația de pe interval are rădăcină.

În problema 3 s-a cerut să se demonstreze că rădăcina ecuației aparține unui anumit interval. Am folosit proprietatea 2 a unei funcții continue pe un segment care ia valori de diferite semne la capetele acestui segment. Această cale nu duce întotdeauna la obiectiv atunci când rezolvăm astfel de probleme. Uneori este recomandabil să folosiți următoarea proprietate a funcțiilor diferențiabile.

Proprietatea 3 (teorema lui Rolle). Dacă funcția f este continuă pe intervalul , diferențiabilă pe intervalul (a,b) și f(a)=f(b), atunci există un punct astfel încât .

În limbajul geometric, proprietatea 3 înseamnă următoarele: dacă , atunci pe graficul curbei există un punct C cu coordonate unde tangenta la grafic este paralelă cu axa x.

Problema 1.15. Demonstrați că ecuația pentru , are cel mult o rădăcină reală.

Să presupunem că ecuația are cel puțin două rădăcini și . Funcția f, unde este diferențiabilă pe întreaga linie reală. Deoarece , atunci conform proprietății 3, derivata sa pe interval are rădăcină. Cu toate acestea, ecuația nu are soluții. Contradicția rezultată arată că ecuația nu poate avea mai mult de o rădăcină.

Problema 1.16. Demonstrați că polinomul , ,

Are cel mult n rădăcini.

Conform proprietății 3, între două rădăcini ale unui polinom se află cel puțin o rădăcină a derivatei sale. Prin urmare, dacă un polinom f(x) are rădăcini diferite, atunci derivata sa trebuie să aibă cel puțin (k-1) rădăcini. În același mod – nu mai puțin de k-2 rădăcini etc., derivata a n-a – nu mai puțin de (k-n) rădăcini, . Acest lucru este imposibil deoarece este o constantă diferită de zero.

Problema 1.17. Demonstrați că un polinom are o rădăcină între 0 și 1 ().

Aplicarea proprietății 2 nu duce la obiectiv, deoarece . Se consideră funcția g, unde . Pentru aceasta, funcția f este o derivată. Din moment ce , apoi conform proprietății 3, pentru unii .

Problema 1.18. Demonstrați că ecuația nu are rădăcini reale.

Lăsa , Apoi . Dacă x este rădăcina ecuației, atunci , i.e. funcţia f, datorită continuităţii sale, scade în vecinătatea fiecărei rădăcini. Rețineți că dacă ecuația are rădăcini, atunci acestea sunt negative. Se știe că un polinom de gradul al n-lea nu are mai mult de n rădăcini. Să notăm prin - cea mai mare dintre rădăcini. Apoi există așa ceva care . Deoarece , atunci intervalul trebuie să conțină rădăcina x a polinomului f(x). a primit o contradicție.

Să considerăm o ecuație de forma , unde f, g sunt reciproc inverse, crescând funcții care au aceleași domenii de definiție. Să arătăm că această ecuație este echivalentă cu ecuația. (3)

De fapt, fie a rădăcina ecuației (3), adică. . Avand in vedere ca domeniul de definitie al functiei g coincide cu multimea de valori a functiei f si invers, putem scrie: , sau , adică , și este rădăcina ecuației.

Înapoi, să, dar. Apoi sau. primul caz. Aceeași contradicție apare și în al doilea caz.

Astfel, a fost obținută o metodă particulară de transformare echivalentă a ecuațiilor.

Problema 1.19. Rezolvați ecuația.

Să rescriem această ecuație sub forma . Funcţie este continuă, crescătoare (ca suma a două funcții crescătoare și ), prin urmare are inversă. Să o găsim: , . Deci, inversul lui f este funcția , care coincide cu partea dreaptă a ecuației. Pe baza celor dovedite mai sus, ecuația este echivalentă cu ecuația . Este clar care este rădăcina ecuației. Să ne asigurăm că ecuația nu are alte rădăcini.

Lăsa . Apoi este pozitivă ca diferență dintre media aritmetică și media geometrică a două numere pozitive și .Astfel, funcția h crește de-a lungul întregii axe a numerelor. Deoarece , atunci h(x)>0 pentru și pentru , i.e. este singura rădăcină a ecuației.

Secțiunea 2. Antiderivată și integrală în probleme de matematică elementară

2.1. Aplicarea integralei funcțiilor monotone la demonstrarea inegalităților

Dacă la , atunci este egal cu aria unui trapez curbiliniu delimitat de graficul funcției, un segment al axei x și perpendiculare pe axa x în punctele a și b.

Fie funcția f pozitivă, continuă și crescătoare cu . Să împărțim segmentul în n părți prin puncte.

Suma este egală cu suma ariilor dreptunghiurilor construite pe segmente ca pe baze, cu înălțimi, i.e. egală cu aria unei figuri în trepte „înscrise” într-un trapez curbat. Deoarece funcția f crește, această zonă este mai mică decât aria trapezului curbat. De aici

(2.1)

În mod similar, luând în considerare aria figurii în trepte „descrise”, obținem

(2.2)

Dacă funcția f este pozitivă, continuă și descrescătoare cu , atunci

Să arătăm cu o serie de exemple modul în care relațiile (2.1)-(2.3) sunt folosite pentru a demonstra inegalitățile.

Sarcina 2.1. Demonstrați că dacă , atunci .

Expresia coincide cu partea stângă a inegalității (2.1), unde . Funcția pe interval este crescătoare, continuă, pozitivă. Prin urmare, conform (1), . Funcția este o antiderivată a funcției deoarece

. De aceea . Partea stângă a dublei inegalități este dovedită. Partea dreaptă se obține din relația (2.2) pentru funcție sub aceleași ipoteze.

La rezolvarea problemei 1, am folosit faptul că aria unui trapez curbiliniu, limitată de graficul unei funcții continue, pozitive, crescătoare, un segment al axei x și linii drepte, este închisă între zonele dreptunghiurilor construită atât pe bază, cu înălțimi și, respectiv.

Zonele dreptunghiurilor oferă, în general, aproximări destul de grosiere pentru aria unui trapez curbiliniu. Estimări mai precise se obțin prin împărțirea segmentului într-un număr suficient de mare de părți.

Problema 2.2. Lăsa . Demonstrează asta pentru toată lumea .

Să luăm în considerare și funcția . Este continuă, pozitivă și în scădere. Să folosim inegalitatea (2.3), unde . (Punctele împart segmentul în segmente de lungime egală). Primim

De aici . In afara de asta,

.

În soluția de mai sus, expresia pentru a fost ușor reprezentată sub forma zonei unei figuri în trepte. Pentru a folosi metoda de demonstrare a inegalităților luate în considerare în problemă, este adesea necesară transformarea mai întâi a expresiilor găsite în inegalități.

Problema 2.3. Demonstrați că pentru fiecare număr natural n .

Partea stângă a inegalității pentru poate fi reprezentată după cum urmează:

Luați în considerare o funcție pe un segment. Acest segment este punctat , se împarte în n părți egale de lungime 1. Expresie

egală cu suma ariilor dreptunghiurilor construite pe segmente ca pe baze cu înălţimi . Funcția la

Pozitiv, continuu, în scădere. Prin urmare, putem folosi inegalitatea (2.3). Avem

Rețineți că atunci când inegalitatea este evidentă.

2.2. Monotonitatea integralei

Din definiția integralei rezultă că pentru o funcție nenegativă f care este continuă pe un interval pentru toate .

Teorema 1. Fie funcțiile f și g continue pe interval și pentru toate . Apoi pentru toată lumea: . Această proprietate se numește monotonitatea integralei.

Folosind teorema 1, prin integrarea ambelor părți ale inegalității termen cu termen, putem obține o serie întreagă de noi inegalități. De exemplu,

la avem o inegalitate evidentă. Să aplicăm Teorema 1, setarea . Funcțiile f, g îndeplinesc condițiile teoremei pe intervalul . Prin urmare, pentru un arbitrar: , i.e. (1). Aplicând aceeași metodă la inegalitatea (1), obținem , sau . De aici . Continuând în mod similar, avem ,

etc.

În exemplul luat în considerare, alegerea inegalității inițiale nu a fost dificilă. În alte cazuri, acest prim pas în rezolvarea problemei nu este atât de evident. Teorema 1 oferă în esență o metodă pentru obținerea inegalității inițiale.

Să presupunem că vrem să verificăm adevărul unei inegalități

Dacă relația este adevărată, atunci, conform teoremei 1, este valabilă și inegalitatea

, sau (2.5).

Dacă inegalitatea este valabilă, atunci adunând-o termen cu termen cu (2.4), stabilim validitatea inegalității (2.5).

Problema 2.4. Demonstrați că pentru . (2,6)

Rescriem inegalitatea (2.6) sub forma . Laturile stânga și dreapta ale ultimei inegalități sunt funcții ale . Notând , obținem (2.7). Să demonstrăm că (2.7) este satisfăcută pentru . Să găsim derivatele ambelor părți ale inegalității (2.7). În consecință avem:

. La . Într-adevăr, . Aplicând teorema 1 pentru funcții și pentru , obținem . De atunci

. Prin urmare, pentru , urmează (2.6).

Problema 2.5. Demonstrați că atunci când: .

Să calculăm derivatele părților din stânga și din dreapta:

Este clar că, din moment ce , . Deoarece ambele sunt funcții continue, atunci, conform teoremei 1, inegalitatea este valabilă

, adică , . Problema 2.5. rezolvat.

Teorema 1 ne permite să stabilim adevărul inegalităților nestricte. Declarația cuprinsă în acesta poate fi întărită prin solicitarea îndeplinirii unor condiții suplimentare.

Teorema 2. Fie îndeplinite condițiile teoremei 1 și, în plus, pentru unii există o inegalitate strictă . Atunci și inegalitatea strictă este valabilă .

Problema 2.6. Demonstrați că atunci când: (2.8).

Mai întâi ar trebui să verificați inegalitatea corespunzătoare pentru derivatele părților stângi și drepte, de exemplu. ce, sau. Valabilitatea lui pentru poate fi stabilită prin aplicarea teoremei 1 la inegalitatea . Deoarece, în plus, sunt îndeplinite toate condițiile teoremei 2. Prin urmare, inegalitatea strictă este valabilă: , , sau , . După transformări ajungem la inegalitate (2.8).

2.3. Integrale ale funcțiilor convexe

Când rezolvați multe probleme, este recomandabil să utilizați următoarea abordare.

Să împărțim segmentul pe care este dată funcția continuă f. în n părți cu puncte. Să construim trapeze dreptunghiulare, ale căror baze sunt segmentele xkyk, xk+1yk+1, iar înălțimile sunt xkxk+1, k=0,1,...,n-1. Suma ariilor acestor trapeze pentru un n suficient de mare este aproape de aria unui trapez curbat. Pentru ca acest fapt să fie aplicat la demonstrarea inegalităților, funcția f trebuie să îndeplinească unele cerințe suplimentare.

Fie funcția f diferențiabilă de două ori pe un anumit interval și în fiecare punct al acestui interval f//(x)>0. Aceasta înseamnă că funcția f/ crește, adică. Când vă deplasați de-a lungul curbei de la stânga la dreapta, unghiul de înclinare al tangentei la grafic crește. Cu alte cuvinte, tangenta se rotește în direcția opusă direcției de rotație în sensul acelor de ceasornic. În același timp, graficul „se îndoaie în sus”, „se bomba în jos”. O astfel de funcție se numește convexă. Graficul unei funcții convexe este situat „sub” acordurile sale și „deasupra” tangentelor sale. În mod similar, dacă f//(x)<0, то f/ убывает, касательная вращается по часовой стрелке и график лежит «выше» своих хорд, но «ниже» своих касательных. Такая функция называется вогнутой.

Funcția este concavă în domeniul său de definiție, deoarece . A doua derivată a funcției este pozitivă pe întreaga dreaptă numerică. Prin urmare, este o funcție convexă. Pentru o funcție, derivata a doua la, la, i.e. funcția pe interval

Concav, dar convex.

Problema 2.7. Demonstrează asta

Partea stângă a acestei inegalități este egală cu aria unui trapez dreptunghiular, ale cărui baze sunt egale cu valorile funcției în puncte și , adică. și , iar înălțimea este . Funcția este convexă. Prin urmare, aria unui trapez curbiliniu, limitată de graficul său, liniile drepte și un segment al axei x, este mai mică decât aria unui trapez dreptunghiular. Asa de,

.

Un rezultat similar este valabil și în cazul general. Fie funcția f de pe segment continuă, pozitivă și convexă. Apoi

(2.9)

Dacă o funcție continuă, pozitivă f este concavă, atunci

(2.10)

Problema 2.8. Demonstrați că inegalitatea este valabilă pentru

Funcţie continuu, pozitiv, concav. Prin urmare, inegalitatea (2) este satisfăcută pentru aceasta, unde . Avem

.

Graficul unei funcții f care este convexă pe un segment se află deasupra oricărei tangente la acest grafic, în special tangentei trasate prin punctul curbei cu abscisa.

Dacă tangenta intersectează axa x în afara segmentului, atunci decupează un trapez dreptunghiular dintr-un trapez curbiliniu și nu un triunghi. Aria unui trapez dreptunghiular este egală cu produsul dintre linia mediană și înălțimea acestuia. De aceea

(2.11)

în mod similar, dacă funcția f este concavă, atunci

(2.12)

Relația rămâne valabilă dacă tangenta la grafic intersectează axa x în punctele a și b.

Problema 2.9. Demonstrați că dacă 0

Reprezintă aria unui trapez curbat delimitată de linii , adică . O tangentă la o curbă într-un punct decupează un trapez dreptunghiular dintr-un trapez curbiliniu, a cărui înălțime este , iar linia de mijloc este . Aria acestui trapez este de . Conform inegalității (2.6), .

Să ne asigurăm că tangenta specificată taie un trapez și nu un triunghi. Pentru a face acest lucru, este suficient să verificați dacă punctul de intersecție cu axa x se află în afara segmentului. Ecuația unei tangente la o curbă într-un punct are forma . În acest caz , adică există o ecuație tangentă. Punând în ea, găsim abscisa punctului de intersecție a tangentei cu axa: , h etc.

Din relațiile (2.9)-(2.12) putem obține noi inegalități. Inegalitățile (2.9) și (2.11) împreună oferă o estimare inferioară și superioară pentru integrala unei funcții continue, pozitive și convexe. Obținem estimări similare pentru integralele funcțiilor concave din inegalitățile (2.10) și (2.12). Să revenim la problema 2.9. S-a putut rezolva prin aplicarea inegalității (3) funcției pe interval. În plus, din cauza inegalității (2,9)

, adică .

Combinând acest rezultat cu inegalitatea demonstrată în problema 2.9, obținem inegalitatea dublă

2.4. Unele inegalități clasice și aplicațiile lor

Să prezentăm derivarea unor inegalități remarcabile folosind calculul integral. Aceste inegalități sunt utilizate pe scară largă în matematică, inclusiv în rezolvarea problemelor elementare.

Fie y=f(x) o funcție continuă care crește la x>0. În plus, f(0)=0, f(a)=b, unde a, b sunt numere reale pozitive. Dintr-un curs școlar de matematică știm că dacă o funcție f este crescătoare și continuă pe un anumit interval, atunci există o funcție f-1, inversul lui f. Domeniul său de definiție coincide cu setul de valori al lui f. funcția f-1 este continuă și crește în domeniul său de definiție.

Rezultă că pentru o funcție dată f există o funcție inversă crescătoare continuă f-1 astfel încât f-1(0)=0, f-1(b)=a. Graficele de dependență y=f(x) și x=f-1(y) coincid.

Aria S1 a unui trapez curbat mărginit de liniile y=f(x), y=0, x=0, x=a este egală cu .

Aria S2 a unui trapez curbiliniu mărginit de liniile x=f-1(y), x=0, y=0, y=b este egală cu

În ultima egalitate am redenumit variabila de integrare, care, desigur, nu este importantă la calcularea integralei. Deoarece aria dreptunghiului este egală cu suma ariilor S1 și S2, atunci

Se poate dovedi că f(a) nu este egal cu un număr dat b, adică. f(a)>b sau f(a)

În fiecare dintre aceste cazuri, aria dreptunghiului este mai mică decât suma ariilor trapezelor curbate, egală cu S1 + S2.

Combinând aceste trei cazuri, obținem următorul rezultat.

Fie f și f-1 două funcții inverse reciproc crescătoare continue care dispar la origine. Atunci pentru a>0, b>0 inegalitatea este valabilă

(2.13)

Egalitatea apare dacă și numai dacă b=f(a). Această inegalitate se numește inegalitatea lui Young. Este sursa altor inegalități importante.

Exemplul 2.10. Funcția f, unde f(x)=x, satisface condițiile în care relația (1) este valabilă. În continuare, f-1(x)=x. De aceea

(2.14)

Exemplul 2.11. Funcția f, unde f(x)=xa, a>0, este continuă, crește la x>0, f(0)=0. Inversa sa este funcția f-1, unde f-1(x)=x1/a. Din inegalitatea (2.13) avem

. După ce a desemnat , primim

(2.15)

Din inegalitatea (2.15) se poate obține cunoscuta inegalitate Hölder:

Din inegalitatea (2.15) poate fi derivată și așa-numita inegalitate integrală de Hölder:

Presupunând r=2, obținem binecunoscuta inegalitate Cauci-Bunyakovsky:

Problema 2.21. Demonstrați că pentru unul arbitrar este valabil

Este suficient să se dovedească inegalitatea pentru . Punând inegalitatea, avem

Deoarece , , apoi primim , sau .

Bibliografie

1. Algebră și analiză de bază pentru clasele 9-10 / Ed. UN. Kolmogorov. – M.: Educație, 1986. – 336 p.

2. Brodsky Ya.S., Slipenko A.K. Derivată și integrală în inegalități, ecuații, identități. – K., Şcoala Vyshcha, 1988. – 120 p.

3. Dorogovtsev A.Ya. Integral și yogo zastosuvannya. – K.: Școala Vishcha. 1974. – 125 p.

4. Dorofeev G.M. Aplicarea derivatelor în rezolvarea problemelor la un curs de matematică școlar // Matematică la școală. – 1980. – Nr. 5 – p. 12-21, nr. 6 – p. 24-30.

5. Rizhov Yu.M. E ca o stagnare. – Şcoala K. Vishcha, 1977. – 83 p.

6. Ushakov R.P., Khatset B.I. Funcții și inegalități modificate. – Şcoala K. Vishcha, 1986. – 112 p.

7. Shunda N.M., Tomusyak A.A. Atelier de analiză matematică: Introducere în analiză. Numere diferențiale. Navch. Pos_bnik – K., Şcoala Vishcha, 1993. – 375 p.

Dovada identității poate fi uneori obținută folosind o remarcă evidentă:

Dacă într-un anumit interval o funcție este identic egală cu o constantă, atunci derivata ei pe acest interval este constant egală cu zero:

pe
pe
.

Sarcină 1. Verificați identitatea:

Să calculăm derivata ei (prin X):

Prin urmare (remarca)
. Prin urmare,
care este echivalent cu identitatea (1).

Sarcină 2. Verificați identitatea:

(2)

Dovada: Luați în considerare funcția

Să demonstrăm asta

Să-i găsim derivata:

Mijloace
.
La x=0
Prin urmare, identitatea (2) este adevărată.

În legătură cu exemplele luate în considerare, se poate observa că la găsirea constantei de integrare CU Este util să se fixeze valorile variabilei prin care se realizează diferențierea în așa fel încât să se obțină calcule cât mai simple posibile.

9.3. Utilizarea derivatelor pentru a simplifica expresii algebrice și trigonometrice.

Tehnica utilizării derivatei pentru a transforma expresii algebrice și trigonometrice se bazează pe faptul că derivata are uneori o formă mult mai simplă decât funcția originală, datorită căreia se integrează ușor, ceea ce vă permite să găsiți transformarea dorită a originalului. expresie:

Problema 1 Simplificați expresia:

Soluţie: După ce am desemnat această expresie
vom avea:

Astfel, expresia dată (1) este egală cu
.

Sarcina 2. Simplificați expresia:

Soluţie: Notând această expresie prin
, vom avea:

iar la
primim:

Asa de

Sarcină 3. Simplificați scrierea funcției:

Soluție: Utilizarea trigonometriei convenționale va duce la calcule relativ greoaie. Este mai convenabil să folosiți derivatul aici:

De aici

Sa gasim :

Astfel, funcția (2) este egală cu

Sarcină 4. Simplificați notația polinomului:

Rezolvare: Notăm polinomul (3) cu
și găsiți secvenţial prima și a doua derivată a acestei funcții:

Este clar că
De aceea
, Unde
, sa gasim : la

,
.

9.4 Factorizarea unei expresii folosind derivata.

Sarcină 1. Factorizați expresia:

Soluție: numărare variabilă și Și constantă fixă ​​(parametri) și notând expresia dată prin
, vom avea:

Prin urmare (2)

Unde - constantă, adică în acest caz – o expresie în funcție de parametri Și . A găsi în egalitate
sa punem
Apoi
.

Primim

Sarcină 2. Factorizați expresia:

Rezolvare: Din moment ce variabila este inclusă în această expresie în cea mai mică măsură, considerați-o ca o funcție
si vom avea:

primim:

Astfel, expresia originală (3) este egală cu

Sarcină 3. Factorizați expresia:

Rezolvare: Notând această expresie prin
și numărând Și constantă, obținem:

de unde, de unde depinde doar de Și . Punerea în această identitate
, primim
Și

Pentru factorizarea celui de-al doilea factor, folosim aceeași tehnică, dar considerăm ca o variabilă , deoarece această variabilă este inclusă într-o măsură mai mică decât . Referindu-se la el ca
și numărând Și constantă, vom avea:

Astfel, expresia originală (4) este egală cu

9.5. Aplicarea derivatei în problemele existenței rădăcinilor ecuațiilor.

Folosind derivata, puteți determina câte soluții are o ecuație. Rolul principal îl joacă aici studiul funcțiilor pentru monotonitate și găsirea valorilor sale extreme. În plus, se utilizează proprietatea funcțiilor monotone:

Sarcină 1. Dacă funcţia crește sau scade pe un anumit interval, apoi pe acest interval ecuația
are cel mult o rădăcină.

Rezolvare: Domeniul de definire al acestei ecuații este intervalul
definirea unei funcţii pe acest interval , punând

Apoi

,

si astfel functia - crescător, deci această ecuație (1) nu poate avea mai multe soluții.

Sarcină 2. La ce valori
are soluții ale ecuației

Rezolvare: domeniul ecuației este un segment
, luați în considerare funcția , punând

Apoi în intervalul deschis

, la fel este singurul punct critic al funcției , care este evident punctul maxim. Deoarece

Acea va lua cea mai mare valoare la , iar cea mai mică valoare este la
.

Din moment ce funcţia este continuă, atunci intervalul său de valori este un segment
, între valoarea sa cea mai mică și cea mai mare. Cu alte cuvinte, ecuația inițială (2) are soluții pentru
.