Scopul general al cursului este de a dezvălui studenților care finalizează învățământul general de matematică unele aspecte istorice ale matematicii și de a arăta, într-o oarecare măsură, natura creativității matematice. Panorama generală a dezvoltării ideilor și teoriilor matematice, din perioadele babiloniene și egiptene până la începutul secolului al XX-lea, este examinată într-o formă concisă. Cursul include o secțiune „Matematică și informatică”, care oferă o privire de ansamblu asupra reperelor din istoria tehnologiei computerelor, fragmente din istoria dezvoltării computerelor în Rusia și fragmente din istoria informaticii. O listă destul de mare de referințe și unele materiale de referință pentru munca independentă și pentru pregătirea rezumatelor sunt oferite ca materiale didactice.

• Perioada de acumulare a cunoștințelor matematice.
  Formarea conceptelor primare: numere și forme geometrice. Matematica în țările civilizațiilor antice - în Egiptul Antic, Babilon, China, India. Tipuri de bază de sisteme numerice. Primele realizări ale aritmeticii, geometriei, algebrei.
• Matematica mărimilor constante.
  Formarea științei matematice (sec. VI î.Hr. – sec. VI d.Hr.). Crearea matematicii ca știință deductivă abstractă în Grecia Antică. Condiții pentru dezvoltarea matematicii în Grecia Antică. Scoala lui Pitagora. Descoperirea incomensurabilității și crearea algebrei geometrice. Probleme celebre ale antichității. Metoda epuizării, metode infinitezimale ale lui Eudox și Arhimede. Construcția axiomatică a matematicii în Elementele lui Euclid. „Secțiuni conice” de Apollonius. Știința primelor secole ale erei noastre: „Mecanica” lui Heron, „Almagest” al lui Ptolemeu, „Geografia” sa, apariția unei noi algebre cu litere în lucrările lui Diophantus și începutul studiului ecuațiilor nedefinite. Declinul științei antice.
  Matematica popoarelor din Asia Centrală și Orientul arab în secolele VII-XVI. Separarea algebrei într-un domeniu independent al matematicii. Formarea trigonometriei în aplicațiile matematicii la astronomie. Starea cunoștințelor matematice în Europa de Vest și Rusia în Evul Mediu. „Cartea lui Abacus” de Leonardo din Pisa. Deschiderea primelor universități. Progresele în matematică ale Renașterii.
• Panoramă a dezvoltării matematicii în secolele XVII-XIX.
  Revoluția științifică a secolului al XVII-lea. și crearea matematicii variabilelor. Primele academii de științe. Analiza matematică și legătura ei cu mecanica în secolele XVII-XVIII. Lucrări ale lui Euler, Lagrange, Laplace. Perioada de glorie a matematicii în Franța în timpul Revoluției și deschiderea Școlii Politehnice.
• Algebra secolele XVI-XIX.
  Progrese în algebră în secolul al XVI-lea: rezolvarea ecuațiilor algebrice de gradul III și IV și introducerea numerelor complexe. Crearea calculului literal de către F. Viète și începutul teoriei generale a ecuațiilor (Viète, Descartes). Teorema fundamentală a algebrei a lui Euler și demonstrarea acesteia. Problema rezolvării ecuațiilor în radicali. Teorema lui Abel privind imposibilitatea de rezolvare a ecuațiilor de grad n > 4 în radicali. Rezultatele lui Abel. teoria Galois; introducerea grupului și a domeniului. Marșul triumfal al teoriei grupurilor: rolul său în algebră, geometrie, analiză și știința matematică. Conceptul de spațiu vectorial n-dimensional. Abordarea axiomatică a lui Dedekind și crearea algebrei abstracte.
• Dezvoltarea analizei matematice.
  Formarea matematicii cantităților variabile în secolul al XVII-lea, legătura cu astronomia: legile lui Kepler și lucrările lui Galileo, dezvoltarea ideilor lui Copernic. Invenția logaritmilor. Forme diferenţiate şi metode de integrare în lucrările lui Kepler, Cavalieri, Fermat, Descartes, Pascal, Wallis, N. Mercator. Crearea analizei matematice de către Newton și Leibniz. Analiza matematică în secolul al XVIII-lea. și legătura ei cu știința naturii. opera lui Euler. Doctrina funcțiilor. Crearea și dezvoltarea calculului variațiilor, teoria ecuațiilor diferențiale și teoria ecuațiilor integrale. Serii de putere și serii trigonometrice. Teoria generală a funcțiilor unei variabile complexe de Riemann și Weierstrass. Formarea analizei funcționale. Probleme de fundamentare a analizei matematice. Construirea lui se bazează pe doctrina limitelor. Lucrări de Cauchy, Bolzano și Weierstrass. Teorii ale numărului real (de la Eudoxus la Dedekind). Crearea teoriei mulțimilor infinite de către Cantor și Dedekind. Primele paradoxuri și probleme ale fundamentelor matematicii.
• Matematica în Rusia (recenzie).
  Cunoștințe matematice înainte de secolul al XVII-lea. Reformele lui Petru I. Fondarea Academiei de Științe din Sankt Petersburg și a Universității din Moscova. Şcoala de matematică din Sankt Petersburg (M.V. Ostrogradsky, P.L. Cebyshev, A.A. Markov, A.M. Lyapunov). Principalele direcții ale creativității lui Cebyshev. Viața și opera lui S.V. Kovalevskaya. Organizarea unei societăți matematice. Culegere matematică. Primele școli științifice din URSS. Școala de teorie a funcției din Moscova (N.N. Luzin, D.F. Egorov și studenții lor). Matematică la Universitatea din Moscova. Matematică la Universitatea Ural, școli de matematică Ural (P.G. Kontorovich, G.I. Malkin, E.A. Barbashin, V.K. Ivanov, S.B. Stechkin, A.F. Sidorov).
• Matematică și informatică (prezentare generală)
  Repere ale tehnologiei informatice de la mașina de schiță a lui Leonardo da Vinci până la primele computere.
  Fragmente din istoria computerelor. Problema automatizării calculelor complexe (proiectarea aeronavei, fizica atomică etc.). Conectarea electronicii și a logicii: sistemul binar al lui Leibniz, algebra logicii lui J. Boole. „Informatică” și „Informatică”. Informatica teoretica si aplicata. Noi tehnologii informaționale: direcția științifică - inteligența artificială și aplicațiile acesteia (folosirea metodelor logice pentru a demonstra corectitudinea programelor, asigurarea unei interfețe în limbaj natural profesional cu pachete de aplicații software etc.).
  Fragmente din istoria dezvoltării computerelor în Rusia. Dezvoltări ale S.A. Lebedev și studenții săi, aplicarea lor (calcularea orbitelor planetelor mici, întocmirea hărților din studii geodezice, crearea dicționarelor și a programelor de traducere etc.). Crearea mașinilor casnice (A.A. Lyapunov, A.P. Ershov, B.I. Rameev, M.R. Shura-Bura, G.P. Lopato, M.A. Kartsev și mulți alții), apariția computerelor personale. Utilizarea cu mai multe fațete a mașinilor: controlul zborurilor spațiale, observarea spațiului cosmic, în munca științifică, pentru controlul proceselor tehnologice, prelucrarea datelor experimentale, dicționare și traducători electronici, sarcini economice, mașini pentru profesori și elevi, calculatoare de uz casnic etc.).

SUBIECTE ALE REZUMELOR

1. Seria biografică.
2. Istoria formării și dezvoltării unei anumite ramuri a matematicii într-o anumită perioadă. Istoria formării și dezvoltării matematicii într-o anumită perioadă istorică într-o anumită stare.
3. Istoria apariției centrelor științifice și rolul acestora în dezvoltarea ramurilor specifice ale matematicii.
4. Istoria formării și dezvoltării informaticii în anumite perioade de timp.
5. Fondatorii unor domenii ale informaticii.
6. Oameni de știință remarcabili specifici și cultură mondială în diferite perioade.
7. Din istoria matematicii ruse (o epocă istorică specifică și indivizi specifici).

1. Mecanica antică („Echipament militar al antichității”).
2. Matematica în timpul califatului arab.
3. Fundamentele geometriei: de la Euclid la Hilbert.
4. Remarcabilul matematician Niels Henrik Abel.
5. Enciclopedul din secolul al XV-lea Gerolamo Cardano.
6. Marea familie Bernoulli.
7. Figuri proeminente în dezvoltarea teoriei probabilităților (de la Laplace la Kolmogorov).
8. Perioada precursorului creării calculului diferențial și integral.
9. Newton și Leibniz sunt creatorii calculului diferențial și integral.
10. Alexey Andreevich Lyapunov este creatorul primului computer din Rusia.
11. „Pasiunea pentru știință” (S.V. Kovalevskaya).
12. Blaise Pascal.
13. De la abac la computer.
14. „A putea da direcție este un semn de geniu.” Serghei Alekseevici Lebedev. Dezvoltator și proiectant al primului computer din Uniunea Sovietică.
15. Mândria științei ruse este Pafnutiy Lvovich Chebyshev.
16. François Viète este părintele algebrei moderne și un criptograf strălucit.
17. Andrei Nikolaevici Kolmogorov și Pavel Sergeevich Alexandrov sunt fenomene unice ale culturii ruse, comoara ei națională.
18. Cibernetică: neuroni – automate – perceptroni.
19. Leonhard Euler și Rusia.
20. Matematica în Rusia de la Petru I la Lobaciovski.
21. Pierre Fermat și René Descartes.
22. Cum a fost inventat computerul personal.
23. Din istoria criptografiei.
24. Generalizarea conceptului de spațiu geometric. Istoria creării și dezvoltării topologiei.
25. Raportul de aur în muzică, astronomie, combinatorie și pictură.
26. Raportul de aur în sistemul solar.
27. Limbaje de programare, clasificarea și dezvoltarea lor.
28. Teoria probabilității. Aspect al istoriei.
29. Istoria dezvoltării geometriei non-euclidiene (Lobachevsky, Gauss, Bolyai, Riemann).
30. Regele teoriei numerelor este Carl Friedrich Gauss.
31. Trei probleme celebre ale antichității ca stimulent pentru apariția și dezvoltarea diferitelor ramuri ale matematicii.
32. Aryabhata, „Copernic al Orientului”.
33. David Gilbert. 23 probleme Hilbert.
34. Dezvoltarea conceptului de număr de la Eudoxus la Dedekind.
35. Metode integrale în Eudoxus și Arhimede.
36. Întrebări de metodologie matematică. Ipoteze, legi și fapte.
37. Întrebări de metodologie matematică. Metode ale matematicii.
38. Întrebări de metodologie matematică. Structură, forțe motrice, principii și modele.
39. Pitagora este un filozof și matematician.
40. Galileo Galilei. Formarea mecanicii clasice.
41. Calea vieții și activitatea științifică a lui M.V. Ostrogradsky.
42. Contribuția oamenilor de știință ruși la teoria probabilității.
43. Dezvoltarea matematicii în Rusia în secolele al XVIII-lea și al XIX-lea.
44. Istoria descoperirii logaritmilor și a legăturii lor cu zonele.
45. Din istoria dezvoltării tehnologiei informatice.
46. Calculatoare înainte de era electronică. Primele calculatoare.
47. Repere în istoria tehnologiei de calcul rusești și a matematicii computerizate.
48. Istoria dezvoltării sistemelor de operare. Cronologia apariției WINDOWS 98.
49. B. Pascal, G. Leibniz, P. Cebyshev.
50. Norbert Wiener, Claude Shannon și teoria informaticii.
51. Din istoria matematicii din Rusia.
52. Viața și opera lui Gauss.
53. Formarea și dezvoltarea topologiei.
54. Évariste Galois – matematician și revoluționar.
55. Raportul de aur de la Leonardo Fibonacci și Leonardo da Vinci până în secolul XXI.
56. Matematica în Rusia în secolele XVIII-XIX.
57. Informatică, probleme de istorie.
58. Din istoria matematicii ruse: N.I. Ostrogradsky, S.V.
59. Matematică antică secolele VI-IV. î.Hr.
60. Limbaje de programare: probleme istorice.
61. Pierre Fermat și René Descartes.
62. Leonard Euler.
63. Istoria creării calculului integral și diferențial de I. Newton și G. Leibniz.
64. Matematica secolului al XVII-lea ca precursor al creării analizei matematice.
65. Analiza matematică după Newton și Leibniz: critică și justificare.
66. Matematica secolelor al XVII-lea, al XVIII-lea: formarea geometriilor analitice, proiective și diferențiale.

Arabă Bulgară Chineză Croată Cehă Daneză Olandeză Engleză Estonă Finlandeză Franceză Germană Greacă Ebraică Hindi Maghiară Islandeză Indoneziană Italiană Japoneză Coreeană Letonă Lituaniană Malgașă Norvegiană Persană Poloneză Portugheză Română Rusă Sârbă Slovacă Slovenă Spaniolă Suedeză Thai Turcă Vietnameză

definiție - Analiză_matematică

În procesul educațional, analiza include:

În același timp, sunt date opțional elemente de analiză funcțională și teoria integralei Lebesgue, iar TFKP, calculul variațiilor și teoria ecuațiilor diferențiale sunt predate în cursuri separate. Rigoarea prezentării urmează modele de la sfârșitul secolului al XIX-lea și în special folosește teoria multimilor naivă.

Programul cursului de analiză predat la universitățile din Federația Rusă corespunde aproximativ cu programul cursului anglo-american „Calcul”.

Poveste

Predecesorii analizei matematice au fost metoda antică a epuizării și metoda indivizibililor. Toate cele trei direcții, inclusiv analiza, sunt legate de o idee inițială comună: descompunerea în elemente infinitezimale, a căror natură, totuși, părea destul de vagă autorilor ideii. abordare algebrică ( calcul infinitezimal) începe să apară în Wallis, James Gregory și Barrow. Noul calcul ca sistem a fost creat în întregime de Newton, care însă nu și-a publicat multă vreme descoperirile.

Data oficială de naștere a calculului diferențial poate fi considerată mai, când Leibniz a publicat primul său articol „O nouă metodă de înalte și scăzute...”. Acest articol, într-o formă concisă și inaccesibilă, a expus principiile unei noi metode numită calcul diferențial.

Leibniz și studenții săi

Aceste definiții sunt explicate geometric, în timp ce în Fig. incrementele infinitezimale sunt descrise ca finite. Considerarea se bazează pe două cerințe (axiome). Primul:

Se cere ca două mărimi care diferă una de cealaltă doar printr-o cantitate infinitezimală să poată fi luate [la simplificarea expresiilor?] indiferent una în loc de alta.

Continuarea fiecărei astfel de linii se numește tangentă la curbă. Investigand tangenta care trece prin punct, L'Hopital acorda o mare importanta cantitatii

,

atingând valori extreme la punctele de inflexiune ale curbei, în timp ce relației cu nu i se acordă nicio semnificație specială.

Este de remarcat să găsiți puncte extreme. Dacă, cu o creștere continuă a diametrului, ordonata crește mai întâi și apoi scade, atunci diferența este mai întâi pozitivă față de , și apoi negativă.

Dar orice valoare în continuă creștere sau scădere nu poate trece de la pozitiv la negativ fără a trece prin infinit sau zero... Rezultă că diferența dintre valoarea cea mai mare și cea mai mică trebuie să fie egală cu zero sau infinit.

Această formulare probabil nu este fără cusur, dacă ne amintim de prima cerință: să zicem, , apoi în virtutea primei cerințe

;

la zero, partea dreaptă este zero și partea stângă nu. Se pare că ar fi trebuit spus că poate fi transformat în conformitate cu prima cerință astfel încât la punctul maxim . . În exemple, totul se explică de la sine, iar doar în teoria punctelor de inflexiune L'Hopital scrie că este egal cu zero în punctul maxim, fiind împărțit la .

În plus, numai cu ajutorul diferențialelor, sunt formulate condiții extreme și sunt luate în considerare un număr mare de probleme complexe legate în principal de geometria diferențială pe plan. La sfârșitul cărții, în cap. 10, stabilește ceea ce se numește acum regula lui L'Hopital, deși într-o formă neobișnuită. Fie ordonata curbei să fie exprimată ca o fracție, al cărei numărător și numitor dispar la . Atunci punctul curbei c are o ordonată egală cu raportul dintre diferenţialul numărătorului şi diferenţialul numitorului luat la .

Conform planului lui L'Hôpital, ceea ce a scris a constituit prima parte a Analizei, în timp ce a doua trebuia să conțină calcul integral, adică o metodă de găsire a conexiunii dintre variabile pe baza conexiunii cunoscute a diferențialelor lor. Prima sa prezentare a fost făcută de Johann Bernoulli în a sa Prelegeri de matematică despre metoda integrală. Aici este dată o metodă pentru a lua majoritatea integralelor elementare și sunt indicate metode pentru rezolvarea multor ecuații diferențiale de ordinul întâi.

Subliniind utilitatea practică și simplitatea noii metode, Leibniz a scris:

Ceea ce o persoană versată în acest calcul poate obține direct în trei rânduri, alți oameni învățați au fost nevoiți să caute urmând ocoluri complexe.

Euler

Schimbările care au avut loc în următoarea jumătate de secol sunt reflectate în tratatul amplu al lui Euler. Prezentarea analizei se deschide cu o „Introducere” în două volume, care conține cercetări asupra diferitelor reprezentări ale funcțiilor elementare. Termenul „funcție” apare pentru prima dată numai în Leibniz, dar Euler a fost cel care l-a pus pe primul loc. Interpretarea originală a conceptului de funcție a fost că o funcție este o expresie pentru numărare (germană. Rechnungsausdrϋck) sau expresie analitică.

O funcție de mărime variabilă este o expresie analitică compusă într-un fel din această cantitate variabilă și numere sau cantități constante.

Subliniind că „principala diferență dintre funcții constă în modul în care sunt compuse din variabile și constante”, Euler enumeră acțiunile „prin care cantitățile pot fi combinate și amestecate între ele; aceste acțiuni sunt: ​​adunarea și scăderea, înmulțirea și împărțirea, exponențiarea și extragerea rădăcinilor; Aceasta ar trebui să includă și soluția ecuațiilor [algebrice]. Pe lângă aceste operații, numite algebrice, există multe altele, transcendentale, precum: exponențiale, logaritmice și nenumărate altele, livrate prin calcul integral.” Această interpretare a făcut posibilă manipularea cu ușurință a funcțiilor cu mai multe valori și nu a necesitat o explicație a câmpului pentru care funcția a fost considerată: expresia de numărare a fost definită pentru valori complexe ale variabilelor chiar și atunci când acest lucru nu a fost necesar pentru problema de sub considerare.

Operațiile în expresie erau permise numai în numere finite, iar transcendentalul pătrundea cu ajutorul unui număr infinit de mare. În expresii, acest număr este folosit împreună cu numerele naturale. De exemplu, o astfel de expresie pentru exponent este considerată acceptabilă

,

în care doar autorii de mai târziu au văzut tranziția ultimă. Au fost efectuate diverse transformări cu expresii analitice, ceea ce i-a permis lui Euler să găsească reprezentări pentru funcții elementare sub formă de serie, produse infinite etc. Euler transformă expresii pentru numărare așa cum se întâmplă în algebră, fără a acorda atenție posibilității de calculare a valorii. a unei funcţii la un punct pentru fiecare din formulele scrise.

Spre deosebire de L'Hopital, Euler examinează în detaliu funcțiile transcendentale și în special cele două clase ale lor cele mai studiate - exponențiale și trigonometrice. El descoperă că toate funcțiile elementare pot fi exprimate folosind operații aritmetice și două operații - luând logaritmul și exponentul.

Dovada în sine demonstrează perfect tehnica utilizării infinitului de mare. După ce a definit sinusul și cosinusul folosind cercul trigonometric, Euler a derivat următoarele din formulele de adunare:

Presupunând și , el obține

,

eliminând cantități infinitezimale de ordin superior. Folosind aceasta și o expresie similară, Euler a obținut celebra sa formulă

.

După ce a indicat diferite expresii pentru funcții care sunt acum numite elementare, Euler trece la considerarea curbelor pe un plan desenat prin mișcarea liberă a mâinii. În opinia sa, nu este posibil să se găsească o singură expresie analitică pentru fiecare astfel de curbă (vezi, de asemenea, Disputa șiruri). În secolul al XIX-lea, la instigarea lui Casorati, această afirmație a fost considerată eronată: conform teoremei lui Weierstrass, orice curbă continuă în sensul modern poate fi aproximativ descrisă prin polinoame. De fapt, Euler a fost cu greu convins de acest lucru, pentru că mai avea nevoie să rescrie trecerea la limită folosind simbolul.

Euler își începe prezentarea calculului diferențial cu teoria diferențelor finite, urmată în al treilea capitol de o explicație filozofică conform căreia „o cantitate infinitezimală este exact zero”, ceea ce, mai ales, nu se potrivea contemporanilor lui Euler. Apoi, diferențialele sunt formate din diferențe finite la un increment infinitezimal și din formula de interpolare a lui Newton - formula lui Taylor. Această metodă se întoarce în esență la lucrarea lui Taylor (1715). În acest caz, Euler are o relație stabilă, care, totuși, este considerată ca o relație a două infinitezimale. Ultimele capitole sunt dedicate calculului aproximativ folosind serii.

În calculul integral în trei volume, Euler interpretează și introduce conceptul de integrală după cum urmează:

Funcția a cărei diferență se numește integrală și se notează prin semnul plasat în față.

În general, această parte a tratatului lui Euler este dedicată unei probleme mai generale, din punct de vedere modern, a integrării ecuațiilor diferențiale. În același timp, Euler găsește o serie de integrale și ecuații diferențiale care conduc la noi funcții, de exemplu, -funcții, funcții eliptice etc. O dovadă riguroasă a naturii lor neelementare a fost dată în anii 1830 de Jacobi pentru funcțiile eliptice. şi de Liouville (vezi funcţiile elementare).

Lagrange

Următoarea lucrare majoră care a jucat un rol semnificativ în dezvoltarea conceptului de analiză a fost Teoria funcţiilor analitice Povestirea extinsă a lui Lagrange și Lacroix a lucrării lui Lagrange într-o manieră oarecum eclectică.

Dorind să scape cu totul de infinitezimal, Lagrange a inversat legătura dintre derivate și seria Taylor. Prin funcție analitică Lagrange a înțeles o funcție arbitrară studiată prin metode analitice. El a desemnat funcția însăși ca , oferind o modalitate grafică de a scrie dependența - mai devreme, Euler s-a descurcat doar cu variabile. Pentru aplicarea metodelor de analiză, conform lui Lagrange, este necesar ca funcția să fie extinsă într-o serie

,

ai căror coeficienţi vor fi funcţii noi. Rămâne să o numim derivată (coeficient diferențial) și să o notăm ca . Astfel, conceptul de derivat este introdus pe pagina a doua a tratatului și fără ajutorul infinitezimalelor. Rămâne de notat că

,

prin urmare coeficientul este de două ori mai mare decât derivata derivatei, adică

etc.

Această abordare a interpretării conceptului de derivată este folosită în algebra modernă și a servit drept bază pentru crearea teoriei funcțiilor analitice a lui Weierstrass.

Lagrange a operat cu serii precum cele formale și a obținut o serie de teoreme remarcabile. În special, pentru prima dată și destul de riguros a dovedit solubilitatea problemei inițiale pentru ecuații diferențiale obișnuite în serii de puteri formale.

Problema evaluării acurateții aproximărilor oferite de sumele parțiale ale seriei Taylor a fost pusă pentru prima dată de Lagrange: în cele din urmă Teorii ale funcţiilor analitice el a derivat ceea ce se numește acum formula lui Taylor cu un termen de rest în forma Lagrange. Cu toate acestea, spre deosebire de autorii moderni, Lagrange nu a văzut nevoia de a folosi acest rezultat pentru a justifica convergența seriei Taylor.

Întrebarea dacă funcțiile utilizate în analiză pot fi într-adevăr extinse într-o serie de puteri a devenit ulterior subiect de dezbatere. Desigur, Lagrange știa că în anumite puncte funcțiile elementare nu pot fi extinse într-o serie de puteri, dar în aceste puncte nu sunt diferențiabile în niciun sens. Cauchy în a lui Analiza algebrică a citat funcția ca contraexemplu

extins cu zero la zero. Această funcție este netedă peste tot pe axa reală și la zero are o serie Maclaurin zero, care, prin urmare, nu converge către valoarea . Față de acest exemplu, Poisson a obiectat că Lagrange a definit funcția ca o singură expresie analitică, în timp ce în exemplul lui Cauchy funcția este definită diferit la zero și la . Abia la sfârșitul secolului al XIX-lea a demonstrat Pringsheim că există o funcție infinit diferențiabilă, dată de o singură expresie, pentru care seria Maclaurin diverge. Un exemplu de astfel de funcție este expresia

.

Dezvoltare în continuare

În ultima treime a secolului al XIX-lea, Weierstrass a aritmetizat analiza, considerând justificarea geometrică ca fiind insuficientă, și a propus o definiție clasică a limitei prin limbajul ε-δ. El a creat și prima teorie riguroasă a mulțimii numerelor reale. În același timp, încercările de îmbunătățire a teoremei de integrabilitate Riemann au condus la crearea unei clasificări a discontinuității funcțiilor reale. Au fost descoperite și exemple „patologice” (funcții continue care nu sunt diferențiate nicăieri, curbe de umplere a spațiului). În acest sens, Jordan a dezvoltat teoria măsurării, iar Cantor a dezvoltat teoria mulțimilor, iar la începutul secolului al XX-lea, analiza matematică a fost oficializată cu ajutorul lor. O altă dezvoltare importantă a secolului al XX-lea a fost dezvoltarea analizei non-standard ca o abordare alternativă pentru justificarea analizei.

Secţiuni de analiză matematică

Vezi si

Bibliografie

Articole enciclopedice

Literatura educațională

Manuale standard

De mulți ani, următoarele manuale au fost populare în Rusia:

Unele universități au propriile ghiduri de analiză:

• Matematică la o universitate tehnică Colecție de manuale în 21 de volume.

• Bogdanov Yu. Prelegeri de analiză matematică (în două părți). - Minsk: BSU, 1974. - 357 p.

Manuale avansate

Manuale:

• Rudin U. Fundamentele analizei matematice. M., 1976 - o carte mică, scrisă foarte clar și concis.

Probleme de dificultate crescută:

• G. Polia, G. Szege, Probleme și teoreme din analiză.

1. Perioada de creare a matematicii cantităților variabile. Crearea geometriei analitice, calcul diferenţial şi integral

În secolul al XVII-lea Începe o nouă perioadă în istoria matematicii - perioada matematicii cantităților variabile. Apariția sa este asociată în primul rând cu succesele astronomiei și mecanicii.

Kepler în 1609-1619 a descoperit și formulat matematic legile mișcării planetare. Până în 1638, Galileo a creat mecanica mișcării libere a corpurilor, a fondat teoria elasticității și a aplicat metode matematice pentru a studia mișcarea, pentru a găsi modele între calea mișcării, viteza și accelerația acesteia. Newton a formulat legea gravitației universale până în 1686.

Primul pas decisiv în crearea matematicii cantităților variabile a fost apariția cărții lui Descartes „Geometrie”. Principalele servicii ale lui Descartes pentru matematică sunt introducerea lui de mărimi variabile și crearea geometriei analitice. În primul rând, a fost interesat de geometria mișcării și, aplicând metode algebrice la studiul obiectelor, a devenit creatorul geometriei analitice.

Geometria analitică a început odată cu introducerea unui sistem de coordonate. În onoarea creatorului, un sistem de coordonate dreptunghiular format din două axe care se intersectează în unghi drept, scale de măsurare introduse pe ele și un punct de referință - punctul de intersecție al acestor axe - se numește sistem de coordonate pe un plan. Împreună cu a treia axă, este un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu.

Prin anii 60 ai secolului al XVII-lea. Au fost dezvoltate numeroase metode pentru a calcula zonele cuprinse de diferite linii curbe. A fost nevoie de o singură apăsare pentru a crea un singur calcul integral din tehnici disparate.

Metodele diferențiale au rezolvat problema principală: cunoașterea unei linii curbe, găsirea tangentelor acesteia. Multe probleme de practică au condus la formularea unei probleme inverse. În procesul de rezolvare a problemei, a devenit clar că metodele de integrare erau aplicabile acesteia. Astfel, s-a stabilit o conexiune profundă între metodele diferențiale și integrale, care a creat baza unui calcul unificat. Cea mai veche formă de calcul diferențial și integral este teoria fluxiunilor, dezvoltată de Newton.

Matematicienii secolului al XVIII-lea a lucrat concomitent în domeniile științelor naturale și tehnologiei. Lagrange a creat bazele mecanicii analitice. Lucrările sale au arătat câte rezultate pot fi obținute în mecanică datorită metodelor puternice de analiză matematică. Lucrarea monumentală a lui Laplace „Celestial Mechanics” a rezumat toate lucrările anterioare în acest domeniu.

secolul al XVIII-lea a dat matematicii un aparat puternic - analiza infinitezimale. În această perioadă, Euler a introdus simbolul f(x) pentru o funcție în matematică și a arătat că dependența funcțională a fost principalul obiect de studiu în analiza matematică. Au fost dezvoltate metode pentru calcularea derivatelor parțiale, integralelor multiple și curbilinii și diferențialelor funcțiilor multor variabile.

În secolul al XVIII-lea Din analiza matematică au apărut o serie de discipline matematice importante: teoria ecuațiilor diferențiale, calculul variațiilor. În acest moment, a început dezvoltarea teoriei probabilităților.

Rădăcinile ideologice ale geometriei analitice se află în solul fertil al matematicii grecești antice clasice. Al doilea cel mai epocă după strălucitele „Principii” euclidiene este tratatul fundamental al lui Apollonius din Perga (c. 260 - 170 î.Hr....

Metodă analitică în rezolvarea problemelor planimetrice

Geometria analitică nu are un conținut strict definit și factorul determinant pentru aceasta nu este subiectul cercetării, ci metoda...

Cercetare Funcțională

Cercetare Funcțională

Concepte cheie Maxim local. Minimum local. Extremul local. Monotonitatea funcției. 1. Extreme locale ale unei funcții Fie dată pe mulțimea X funcția y = f (x) și x0 punctul interior al mulțimii X...

Cercetare Funcțională

Să luăm în considerare câteva teoreme care ne vor permite să studiem în continuare comportamentul funcțiilor. Ele sunt numite teoreme fundamentale ale analizei matematice sau teoreme fundamentale ale calculului diferenţial...

Aplicarea unei integrale definite la rezolvarea problemelor practice

Aplicarea calculului diferențial și integral la rezolvarea problemelor fizice și geometrice în MATLab

Istoria conceptului de integrală este strâns legată de problemele de găsire a pătrarilor. Matematicienii Greciei Antice și Romei au numit probleme legate de cuadratura unei anumite figuri plane probleme pe care acum le clasificăm drept probleme pentru calcularea ariilor...

Folosind derivate și integrale pentru a rezolva ecuații și inegalități

la demonstrarea inegalităţilor TEOREMA 1 (Rolle) Fie ca funcţia f:R să îndeplinească condiţiile: 1) fC; 2) x(a,b) există f/(x); 3) f(a)=f(b). Atunci C(a,b): f/(C)=0. Semnificația geometrică a teoremei lui Rolle: când condițiile 1)-3) ale teoremei sunt îndeplinite pe intervalul (a...

Aplicarea derivatelor la rezolvarea problemelor

Slide 2

Analiza matematică este un set de ramuri ale matematicii dedicate studiului funcțiilor și generalizărilor acestora prin metode de calcul diferențial și integral.

Slide 3

Metoda de epuizare

O metodă străveche de studiere a zonei sau a volumului figurilor curbe.

Slide 4

Metoda a fost următoarea: pentru a găsi aria (sau volumul) unei anumite figuri, în această figură s-a încadrat o succesiune monotonă de alte figuri și s-a dovedit că ariile (volumele) acestora se apropie la infinit de aria (volumul) dorită. figura.

Slide 5

În 1696, L'Hopital a scris primul manual, stabilind o nouă metodă aplicată teoriei curbelor plane. El a numit-o Analiza infinitezimale, dând astfel unul dintre nume noii ramuri a matematicii. În introducere, L'Hopital conturează istoria apariției noii analize, stăruind pe lucrările lui Descartes, Huygens, Leibniz și, de asemenea, își exprimă recunoștința față de acesta din urmă și frații Bernoulli.

Slide 6

Termenul „funcție” apare pentru prima dată abia în 1692 la Leibniz, dar Euler a fost cel care l-a adus în prim-plan. Interpretarea originală a conceptului de funcție a fost că o funcție este o expresie pentru numărare sau o expresie analitică.

Slide 7

„Teoria funcțiilor analitice” („Th.orie des fonctions analytiques”, 1797). În Teoria funcțiilor analitice, Lagrange prezintă celebra sa formulă de interpolare, care l-a inspirat pe Cauchy să dezvolte o bază riguroasă pentru analiză.

Slide 8

Lema importantă a lui Fermat poate fi găsită în manualele de calcul. De asemenea, a formulat legea generală de diferențiere a puterilor fracționale.

Pierre de Fermat (17 august 1601 - 12 ianuarie 1665) a fost un matematician francez, unul dintre creatorii geometriei analitice, analizei matematice, teoriei probabilităților și teoriei numerelor. Fermat, folosind reguli aproape moderne, a găsit tangente la curbele algebrice.

Slide 9

René Descartes (31 martie 1596 - 11 februarie 1650) a fost un matematician, filozof, fizician și fiziolog francez, creator al geometriei analitice și al simbolismului algebric modern. În 1637, principala lucrare de matematică a lui Descartes, Discursul despre metodă, a fost publicată. Această carte a prezentat geometria analitică, iar în anexele sale numeroase rezultate în algebră, geometrie, optică și multe altele. De remarcat în mod deosebit este simbolismul matematic al lui Vieta pe care l-a reelaborat: a introdus semnele acum general acceptate pentru variabile și cantități cerute (x, y, z, ...) și pentru coeficienții de litere. (a, b, c, ...)

Slide 10

François Viête (1540 -1603) - matematician francez, fondatorul algebrei simbolice. După studii și profesie principală - avocat. În 1591 a introdus notația cu litere nu numai pentru cantitățile necunoscute, ci și pentru coeficienții ecuațiilor. El a fost responsabil pentru stabilirea unei metode uniforme de rezolvare a ecuațiilor de gradul 2, 3 și 4. Printre descoperiri, Viète însuși a apreciat în mod deosebit stabilirea relației dintre rădăcini și coeficienți ai ecuațiilor.

Slide 11

GalileoGalilei (15 februarie 1564, Pisa - 8 ianuarie 1642) - fizician, mecanic, astronom, filozof și matematician italian, care a avut o influență semnificativă asupra științei timpului său A formulat „paradoxul lui Galileo”: există tot atâtea numere naturale deoarece există pătratele lor, deși majoritatea numerelor nu sunt pătrate. Acest lucru a determinat cercetări suplimentare asupra naturii mulțimilor infinite și a clasificării lor; Procesul s-a încheiat cu crearea teoriei mulțimilor.

Slide 12

„Noua stereometrie a butoaielor de vin”

Când Kepler a cumpărat vin, a fost uimit de modul în care comerciantul a determinat capacitatea butoiului. Vânzătorul a luat stickus-ul în diviziuni și cu ajutorul lui a determinat distanța de la orificiul de umplere până la punctul cel mai îndepărtat al butoiului. După ce a făcut acest lucru, a spus imediat câți litri de vin erau într-un butoi dat. Astfel, omul de știință a fost primul care a atras atenția asupra unei clase de probleme, al căror studiu a dus la crearea calculului integral.

Slide 13

Deci, de exemplu, pentru a găsi formula pentru volumul unui tor, Kepler a împărțit-o cu secțiuni meridionale într-un număr infinit de cercuri, a căror grosime la exterior era puțin mai mare decât la interior. Volumul unui astfel de cerc este egal cu volumul unui cilindru cu o bază egală cu secțiunea transversală a torului și o înălțime egală cu grosimea cercului din partea sa din mijloc. De aici s-a dovedit imediat că volumul torului este egal cu volumul unui cilindru, a cărui aria de bază este egală cu aria secțiunii transversale a torului, iar înălțimea este egală cu lungimea a cercului, care este descris de punctul F - centrul secțiunii transversale a torusului.

Slide 14

Metoda indivizibilă

Justificarea teoretică a noii metode de a găsi zone și volume a fost propusă în 1635 de către Cavalieri. El a înaintat următoarea teză: Figurile sunt legate între ele ca toate liniile lor, luate conform oricărei [baze de paralele] regulate, iar corpurile - ca toate planurile lor, luate după orice regulat.

Slide 15

De exemplu, să calculăm aria unui cerc. Formula pentru circumferință: considerată cunoscută. Să împărțim cercul (din stânga în Fig. 1) în inele infinitezimale. Să luăm în considerare și un triunghi (în dreapta în Fig. 1) cu lungimea bazei L și înălțimea R, care este, de asemenea, împărțit în secțiuni paralele cu baza. Fiecare inel cu raza R și lungime poate fi asociat cu una dintre secțiunile unui triunghi de aceeași lungime. Apoi, conform principiului lui Cavalieri, zonele lor sunt egale. Și aria unui triunghi este ușor de găsit: .

Slide 16

S-a lucrat la prezentare:

Zharkov Alexander Kiseleva Marina Ryasov Mihail Cherednichenko Alina

Vizualizați toate diapozitivele