Astăzi vom vorbi despre ordin de executare matematic actiuni. Ce acțiuni ar trebui să întreprinzi mai întâi? Adunarea și scăderea sau înmulțirea și împărțirea. Este ciudat, dar copiii noștri au probleme în rezolvarea expresiilor aparent elementare.

Deci, amintiți-vă că expresiile din paranteze sunt evaluate mai întâi

38 – (10 + 6) = 22 ;

Procedură:

1) între paranteze: 10 + 6 = 16;

2) scădere: 38 – 16 = 22.

Dacă o expresie fără paranteze implică doar adunare și scădere, sau doar înmulțire și împărțire, atunci operațiile sunt efectuate în ordine de la stânga la dreapta.

10 : 2 × 4 = 20;

Procedură:

1) de la stânga la dreapta, împărțirea întâi: 10 ÷ 2 = 5;

2) înmulțire: 5 × 4 = 20;

10 + 4 – 3 = 11, adică:

1) 10 + 4 = 14 ;

2) 14 – 3 = 11 .

Dacă într-o expresie fără paranteze nu există doar adunarea și scăderea, ci și înmulțirea sau împărțirea, atunci acțiunile se execută în ordine de la stânga la dreapta, dar înmulțirea și împărțirea au prioritate, se efectuează mai întâi, urmate de adunare și scădere.

18 ÷ 2 – 2 × 3 + 12 ÷ 3 = 7

Procedură:

1) 18 ÷ 2 = 9;

2) 2 × 3 = 6;

3) 12 ÷ 3 = 4;

4) 9 – 6 = 3; acestea. de la stânga la dreapta – rezultatul primei acțiuni minus rezultatul celei de-a doua;

5) 3 + 4 = 7; acestea. rezultatul celei de-a patra acțiuni plus rezultatul celei de-a treia;

Dacă o expresie conține paranteze, atunci se efectuează mai întâi expresiile din paranteze, apoi înmulțirea și împărțirea și abia apoi adunarea și scăderea.

30 + 6 × (13 – 9) = 54, adică:

1) expresie între paranteze: 13 – 9 = 4;

2) înmulțire: 6 × 4 = 24;

3) adunare: 30 + 24 = 54;

Deci, să rezumam. Înainte de a începe calculul, trebuie să analizați expresia: dacă conține paranteze și ce acțiuni conține. După aceasta, procedați cu calculele în următoarea ordine:

1) acțiunile cuprinse între paranteze;

2) înmulțirea și împărțirea;

3) adunarea și scăderea.

Dacă doriți să primiți anunțuri cu articolele noastre, abonați-vă la newsletter-ul „“.

Această lecție discută în detaliu procedura de efectuare a operațiilor aritmetice în expresii fără paranteze și cu paranteze. Elevii au posibilitatea, în timp ce îndeplinesc temele, să stabilească dacă semnificația expresiilor depinde de ordinea în care sunt efectuate operațiile aritmetice, să afle dacă ordinea operațiilor aritmetice este diferită în expresiile fără paranteze și cu paranteze, să exerseze aplicarea regula învăţată, pentru a găsi şi corecta erorile făcute la determinarea ordinii acţiunilor.

În viață, efectuăm constant un fel de acțiune: mergem, studiem, citim, scriem, numărăm, zâmbim, ne certam și facem pace. Efectuăm aceste acțiuni în diferite ordine. Uneori pot fi schimbate, alteori nu. De exemplu, când te pregătești de școală dimineața, poți mai întâi să faci exerciții, apoi să-ți faci patul sau invers. Dar nu poți merge mai întâi la școală și apoi te îmbraci.

În matematică, este necesar să se efectueze operații aritmetice într-o anumită ordine?

Sa verificam

Să comparăm expresiile:
8-3+4 și 8-3+4

Vedem că ambele expresii sunt exact aceleași.

Să efectuăm acțiuni într-o expresie de la stânga la dreapta, iar în cealaltă de la dreapta la stânga. Puteți folosi numere pentru a indica ordinea acțiunilor (Fig. 1).

Orez. 1. Procedura

În prima expresie, vom efectua mai întâi operația de scădere și apoi vom adăuga numărul 4 la rezultat.

În a doua expresie, găsim mai întâi valoarea sumei și apoi scădem rezultatul rezultat 7 din 8.

Vedem că semnificațiile expresiilor sunt diferite.

Să conchidem: ordinea în care se efectuează operaţiile aritmetice nu poate fi modificată.

Să învățăm regula pentru efectuarea operațiilor aritmetice în expresii fără paranteze.

Dacă o expresie fără paranteze include doar adunarea și scăderea sau doar înmulțirea și împărțirea, atunci acțiunile sunt efectuate în ordinea în care sunt scrise.

Sa exersam.

Luați în considerare expresia

Această expresie conține doar operații de adunare și scădere. Aceste acțiuni sunt numite acțiuni de primă etapă.

Efectuăm acțiunile de la stânga la dreapta în ordine (Fig. 2).

Orez. 2. Procedura

Luați în considerare a doua expresie

Această expresie conține doar operații de înmulțire și împărțire - Acestea sunt acțiunile din a doua etapă.

Efectuăm acțiunile de la stânga la dreapta în ordine (Fig. 3).

Orez. 3. Procedura

În ce ordine se efectuează operațiile aritmetice dacă expresia conține nu numai adunarea și scăderea, ci și înmulțirea și împărțirea?

Dacă o expresie fără paranteze include nu numai operațiile de adunare și scădere, ci și de înmulțire și împărțire, sau ambele operații, atunci mai întâi efectuați în ordine (de la stânga la dreapta) înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea.

Să ne uităm la expresie.

Să gândim așa. Această expresie conține operațiile de adunare și scădere, înmulțire și împărțire. Acționăm conform regulilor. Mai întâi, efectuăm în ordine (de la stânga la dreapta) înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea. Să aranjam ordinea acțiunilor.

Să calculăm valoarea expresiei.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

În ce ordine se efectuează operațiile aritmetice dacă într-o expresie există paranteze?

Dacă o expresie conține paranteze, valoarea expresiilor din paranteze este evaluată mai întâi.

Să ne uităm la expresie.

30 + 6 * (13 - 9)

Vedem că în această expresie există o acțiune între paranteze, ceea ce înseamnă că vom efectua mai întâi această acțiune, apoi înmulțirea și adunarea în ordine. Să aranjam ordinea acțiunilor.

30 + 6 * (13 - 9)

Să calculăm valoarea expresiei.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Cum ar trebui să se stabilească corect ordinea operațiilor aritmetice într-o expresie numerică?

Înainte de a începe calculele, trebuie să vă uitați la expresie (aflați dacă conține paranteze, ce acțiuni conține) și abia apoi să efectuați acțiunile în următoarea ordine:

1. acțiuni scrise între paranteze;

2. înmulțirea și împărțirea;

3. adunarea și scăderea.

Diagrama vă va ajuta să vă amintiți această regulă simplă (Fig. 4).

Orez. 4. Procedura

Sa exersam.

Să luăm în considerare expresiile, să stabilim ordinea acțiunilor și să efectuăm calcule.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Vom acționa conform regulii. Expresia 43 - (20 - 7) +15 conține operații între paranteze, precum și operații de adunare și scădere. Să stabilim o procedură. Prima acțiune este de a efectua operația între paranteze, iar apoi, în ordine de la stânga la dreapta, scăderea și adunarea.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

Expresia 32 + 9 * (19 - 16) conține operații între paranteze, precum și operații de înmulțire și adunare. Conform regulii, executam mai intai actiunea din paranteze, apoi inmultirea (inmultim numarul 9 cu rezultatul obtinut prin scadere) si adunare.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

În expresia 2*9-18:3 nu există paranteze, dar există operații de înmulțire, împărțire și scădere. Acționăm conform regulilor. Mai întâi, efectuăm înmulțirea și împărțirea de la stânga la dreapta, apoi scădem rezultatul obținut din împărțire din rezultatul obținut prin înmulțire. Adică prima acțiune este înmulțirea, a doua este împărțirea, iar a treia este scăderea.

2*9-18:3=18-6=12

Să aflăm dacă ordinea acțiunilor din următoarele expresii este corect definită.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Să gândim așa.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

Nu există paranteze în această expresie, ceea ce înseamnă că mai întâi facem înmulțirea sau împărțirea de la stânga la dreapta, apoi adunarea sau scăderea. În această expresie, prima acțiune este împărțirea, a doua este înmulțirea. A treia acțiune ar trebui să fie adunarea, a patra - scăderea. Concluzie: procedura este determinată corect.

Să găsim valoarea acestei expresii.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Să continuăm să vorbim.

A doua expresie contine paranteze, ceea ce inseamna ca mai intai executam actiunea intre paranteze, apoi de la stanga la dreapta inmultirea sau impartirea, adunarea sau scaderea. Verificăm: prima acțiune este între paranteze, a doua este împărțirea, a treia este adunarea. Concluzie: procedura este definită incorect. Să corectăm erorile și să găsim sensul expresiei.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Această expresie conține și paranteze, ceea ce înseamnă că mai întâi executăm acțiunea în paranteze, apoi de la stânga la dreapta înmulțirea sau împărțirea, adunarea sau scăderea. Să verificăm: prima acțiune este între paranteze, a doua este înmulțirea, a treia este scăderea. Concluzie: procedura este definită incorect. Să corectăm erorile și să găsim sensul expresiei.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Să terminăm sarcina.

Să aranjam ordinea acțiunilor în expresie folosind regula învățată (Fig. 5).

Orez. 5. Procedura

Nu vedem valori numerice, așa că nu vom putea găsi sensul expresiilor, dar vom exersa aplicarea regulii pe care am învățat-o.

Acționăm conform algoritmului.

Prima expresie conține paranteze, ceea ce înseamnă că prima acțiune este între paranteze. Apoi de la stânga la dreapta înmulțirea și împărțirea, apoi de la stânga la dreapta scăderea și adunarea.

A doua expresie conține și paranteze, ceea ce înseamnă că facem prima acțiune între paranteze. După aceea, de la stânga la dreapta, înmulțirea și împărțirea, după aceea, scăderea.

Să ne verificăm singuri (Fig. 6).

Orez. 6. Procedura

Astăzi la clasă am aflat despre regula pentru ordinea acțiunilor în expresii fără și cu paranteze.

Bibliografie

1. M.I. Moreau, M.A. Bantova și alții Matematică: manual. Clasa a III-a: în 2 părți, partea 1. - M.: „Iluminări”, 2012.
2. M.I. Moreau, M.A. Bantova și alții Matematică: manual. Clasa a III-a: în 2 părți, partea a 2-a. - M.: „Iluminări”, 2012.
3. M.I. Moro. Lecții de matematică: Recomandări metodologice pentru profesori. clasa a 3-a. - M.: Educație, 2012.
4. Document de reglementare. Monitorizarea și evaluarea rezultatelor învățării. - M.: „Iluminismul”, 2011.
5. „Școala Rusiei”: programe pentru școala primară. - M.: „Iluminismul”, 2011.
6. SI. Volkova. Matematică: Lucrări de test. clasa a 3-a. - M.: Educație, 2012.
7. V.N. Rudnitskaia. Teste. - M.: „Examen”, 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

Teme pentru acasă

1. Determinați ordinea acțiunilor în aceste expresii. Găsiți semnificația expresiilor.

2. Stabiliți în ce expresie se realizează această ordine de acțiuni:

1. înmulțire; 2. diviziune;. 3. adaos; 4. scădere; 5. adaos. Găsiți sensul acestei expresii.

3. Alcătuiți trei expresii în care se execută următoarea ordine a acțiunilor:

1. înmulțire; 2. adaos; 3. scădere

1. adaos; 2. scădere; 3. adaos

1. înmulțire; 2. diviziune; 3. adaos

Găsiți semnificația acestor expresii.

Și atunci când calculați valorile expresiilor, acțiunile sunt efectuate într-o anumită ordine, cu alte cuvinte, trebuie să observați ordinea acțiunilor.

În acest articol, ne vom da seama ce acțiuni ar trebui efectuate mai întâi și care după ele. Să începem cu cele mai simple cazuri, când expresia conține doar numere sau variabile legate prin semne plus, minus, înmulțire și împărțire. În continuare, vom explica ce ordine a acțiunilor trebuie urmată în expresiile cu paranteze. În cele din urmă, să ne uităm la ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii care conțin puteri, rădăcini și alte funcții.

Navigare în pagină.

Mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea

Școala oferă următoarele o regulă care determină ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii fără paranteze:

• acțiunile sunt efectuate în ordine de la stânga la dreapta,
• Mai mult, mai întâi se efectuează înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea.

Regula enunțată este percepută destul de firesc. Efectuarea acțiunilor în ordine de la stânga la dreapta se explică prin faptul că se obișnuiește să ținem înregistrări de la stânga la dreapta. Iar faptul că înmulțirea și împărțirea se fac înainte de adunare și scădere se explică prin semnificația pe care o poartă aceste acțiuni.

Să ne uităm la câteva exemple despre cum se aplică această regulă. De exemplu, vom lua cele mai simple expresii numerice pentru a nu fi distras de calcule, ci pentru a ne concentra anume pe ordinea acțiunilor.

Exemplu.

Urmați pașii 7−3+6.

Soluţie.

Expresia originală nu conține paranteze și nu conține înmulțire sau împărțire. Prin urmare, ar trebui să efectuăm toate acțiunile în ordine de la stânga la dreapta, adică mai întâi scădem 3 din 7, obținem 4, după care adăugăm 6 la diferența rezultată de 4, obținem 10.

Pe scurt, soluția se poate scrie astfel: 7−3+6=4+6=10.

Răspuns:

7−3+6=10 .

Exemplu.

Indicați ordinea acțiunilor în expresia 6:2·8:3.

Soluţie.

Pentru a răspunde la întrebarea problemei, să ne întoarcem la regula care indică ordinea de execuție a acțiunilor în expresii fără paranteze. Expresia originală conține doar operațiile de înmulțire și împărțire, iar conform regulii, acestea trebuie efectuate în ordine de la stânga la dreapta.

Răspuns:

La început Împărțim 6 la 2, înmulțim acest coeficient cu 8 și, în final, împărțim rezultatul cu 3.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei 17−5·6:3−2+4:2.

Soluţie.

Mai întâi, să stabilim în ce ordine ar trebui efectuate acțiunile din expresia originală. Conține atât înmulțirea și împărțirea, cât și adunarea și scăderea. În primul rând, de la stânga la dreapta, trebuie să efectuați înmulțirea și împărțirea. Deci înmulțim 5 cu 6, obținem 30, împărțim acest număr la 3, obținem 10. Acum împărțim 4 la 2 și obținem 2. Inlocuim valoarea gasita 10 in expresia originala in loc de 5·6:3, iar in loc de 4:2 - valoarea 2, avem 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.

Expresia rezultată nu mai conține înmulțire și împărțire, așa că rămâne de efectuat acțiunile rămase în ordine de la stânga la dreapta: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Răspuns:

17−5·6:3−2+4:2=7.

La început, pentru a nu confunda ordinea în care sunt efectuate acțiunile la calcularea valorii unei expresii, este convenabil să plasați numerele deasupra semnelor de acțiune care corespund ordinii în care sunt efectuate. Pentru exemplul anterior ar arăta astfel: .

Aceeași ordine a operațiilor - mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea - ar trebui urmată atunci când lucrați cu expresii cu litere.

Acțiuni din prima și a doua etapă

În unele manuale de matematică există o împărțire a operațiilor aritmetice în operații din prima și a doua etapă. Să ne dăm seama.

Definiție.

Acțiuni din prima etapă se numesc adunarea și scăderea, iar înmulțirea și împărțirea acțiuni în etapa a doua.

În acești termeni, regula de la paragraful anterior, care determină ordinea executării acțiunilor, se va scrie astfel: dacă expresia nu conține paranteze, atunci în ordine de la stânga la dreapta, acțiunile etapei a doua (înmulțire). și împărțirea) se execută mai întâi, apoi acțiunile primei etape (adunare și scădere).

Ordinea operațiilor aritmetice în expresii cu paranteze

Expresiile conțin adesea paranteze pentru a indica ordinea în care trebuie efectuate acțiunile. În acest caz o regulă care specifică ordinea de execuție a acțiunilor în expresii cu paranteze, se formulează astfel: mai întâi se execută acțiunile din paranteze, în timp ce înmulțirea și împărțirea se fac tot în ordine de la stânga la dreapta, apoi adunarea și scăderea.

Deci, expresiile dintre paranteze sunt considerate componente ale expresiei originale și păstrează ordinea acțiunilor deja cunoscute nouă. Să ne uităm la soluțiile la exemple pentru o mai mare claritate.

Exemplu.

Urmați acești pași 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Soluţie.

Expresia conține paranteze, așa că mai întâi să efectuăm acțiunile din expresiile incluse în aceste paranteze. Să începem cu expresia 7−2·3. În ea trebuie mai întâi să efectuați înmulțirea, iar abia apoi scăderea, avem 7−2·3=7−6=1. Să trecem la a doua expresie din paranteze 6−4. Există o singură acțiune aici - scăderea, o executăm 6−4 = 2.

Inlocuim valorile obtinute in expresia originala: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. În expresia rezultată, mai întâi facem înmulțirea și împărțirea de la stânga la dreapta, apoi scăderea, obținem 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. În acest moment, toate acțiunile sunt finalizate, am respectat următoarea ordine de implementare a acestora: 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Să scriem o scurtă soluție: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.

Răspuns:

5+(7−2·3)·(6−4):2=6.

Se întâmplă ca o expresie să conțină paranteze în paranteze. Nu trebuie să vă fie frică de acest lucru, trebuie doar să aplicați în mod consecvent regula menționată pentru a efectua acțiuni în expresii cu paranteze. Să arătăm soluția exemplului.

Exemplu.

Efectuați operațiile din expresia 4+(3+1+4·(2+3)) .

Soluţie.

Aceasta este o expresie cu paranteze, ceea ce înseamnă că execuția acțiunilor trebuie să înceapă cu expresia dintre paranteze, adică cu 3+1+4·(2+3) . Această expresie conține și paranteze, așa că trebuie să efectuați mai întâi acțiunile din ele. Să facem asta: 2+3=5. Înlocuind valoarea găsită, obținem 3+1+4·5. În această expresie, facem mai întâi înmulțirea, apoi adunarea, avem 3+1+4·5=3+1+20=24. Valoarea inițială, după înlocuirea acestei valori, ia forma 4+24 și nu mai rămâne decât să finalizați acțiunile: 4+24=28.

Răspuns:

4+(3+1+4·(2+3))=28.

În general, atunci când o expresie conține paranteze în paranteze, este adesea convenabil să se efectueze acțiuni începând cu parantezele interioare și trecând la cele exterioare.

De exemplu, să presupunem că trebuie să efectuăm acțiunile din expresia (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Mai întâi, efectuăm acțiunile din parantezele interioare, deoarece 4−6:2=4−3=1, apoi după aceasta expresia originală va lua forma (4+(4+1)−1)−1. Efectuăm din nou acțiunea din parantezele interioare, deoarece 4+1=5, ajungem la următoarea expresie (4+5−1)−1. Din nou executăm acțiunile dintre paranteze: 4+5−1=8 și ajungem la diferența 8−1, care este egală cu 7.

Sarcina 192.

Finalizați sarcinile oral.

• 1) Aflați suma numerelor 5 și 2. Scădeți această sumă din numărul 10.
• 2) La numărul 8 adaugă diferența dintre numerele 9 și 3.

Soluţie:

• 1) 10 - (5 + 2) = 3
• 2) 8 + (9 - 3) = 14

Sarcina 193.

Rola conținea 15 m de material textil. Primul cumpărător a achiziționat 5 m de țesătură, iar al doilea 3 m Câți metri de țesătură au mai rămas în rolă?
Pentru a afla câți metri de țesătură au rămas în rolă, vânzătorul a făcut acest lucru: a calculat câți metri de țesătură a vândut în total, apoi a scăzut numărul rezultat din 15.

15 - (5 + 3) = 7 (m)

Parantezele înseamnă că mai întâi, găsiți în mod clar suma și apoi efectuați acțiunea de scădere.

Sarcina 194.

Citește și calculează.
Din numărul 12 scădeți suma numerelor 7 și 2.

La numărul 8 se adaugă diferența numerelor 13 și 6.

Soluţie:

• 1) 12 - (7 + 2) = 3
• 2) 8 + (13 - 6) = 15

Sarcina 195.

În parcare erau 12 mașini. Mai întâi au plecat 4 mașini, apoi încă 3. Câte mașini au rămas în parcare?

Soluţie:

• 1) 12 - (4 + 3) = 5
• Răspuns: 5 mașini.

Sarcina 196.

O veveriță are 9 nuci, iar cealaltă are același număr. Câte nuci are o veveriță?

Soluţie:

• 1) 9 + 9 = 18
• Răspuns: 18 nuci.

Sarcina 197.

Citește și calculează.

• 1) Din numărul 14, scădeți diferența dintre numerele 7 și 2.
• 2) La numărul 8 se adaugă suma numerelor 3 și 6.

Soluţie:

• 1) 14 - (7 - 2) = 9
• 2) 8 + (3 + 6) = 17

Sarcina 198.

În parcare erau 13 camioane și cu 8 mașini mai puține. Au mai sosit încă 6 mașini. Câte mașini sunt în parcare?

Soluţie:

• 1) (13 - 8) + 6 = 11
• Răspuns: 11 mașini.

Sarcina 199.

Completați și rezolvați problema.
O sală de clasă are 7 calculatoare, iar cealaltă are 2 calculatoare... .

Soluţie:

O clasă are 7 calculatoare, iar cealaltă are 2 calculatoare mai puțin. Câte calculatoare sunt împreună în 2 săli de clasă?

• 1) 7 - 2 = 5
• 2) 7 + 5 = 12
• Expresie: (7 - 2) + 7 = 12
• Răspuns: 12 computere.

Sarcina 200.

Rezolvați exemple.

Soluţie:

Soluţie:

Sarcina 202.

Din fiecare exemplu de adunare, faceți două exemple de scădere.

9 + 7 = 16

14 - 6 = 8

Soluţie:

Sarcina 204.

Soluţie:

• 1) Adaugă 9 și 7 este egal cu 16. 9 plus 7 este egal cu 16. 9 mărit cu 7 este egal cu 16. Suma a nouă și șapte este egală cu șaisprezece.
• 2) 14 scade 6 este egal cu 8. 14 minus 6 este egal cu 8. 14 scade cu 6 este egal cu 8. Diferența de paisprezece și șase este egal cu opt.

Sarcina 205.

Dimineata s-au muls 9 litri de lapte de la vaca, | iar seara - cu 1 litru mai puțin. | Au rămas 3 litri de lapte din producția de lapte de seară, | iar restul a fost vândut. Câți litri de lapte s-au vândut din producția de lapte de seară?
Citiți întreaga problemă. Gândește-te la ce scrie.
Citiți problema în părțile în care este împărțită pe linii.
Rezolva problema.
Plan de rezolvare

• 1) Câți litri de lapte ați muls seara?
• 2) Câți litri de lapte s-au vândut din producția de lapte de seară?

Soluţie:

• 1) 9 - 1 = 8
• 2) 8 - 3 = 5
• Expresie: (9 - 1) - 3 = 5
• Raspuns: 5 litri.

Sarcina 206.

Sâmbătă, tatăl și fiul au tăiat împreună 4 copaci. Duminică, tatăl a tăiat 3 copaci, iar fiul a tăiat tot atâtea copaci. Câți copaci au tăiat în total în 2 zile?

Soluţie:

• 1) 3 + 3 = 6
• 2) 4 + 6 = 10
• Expresie: 4 + 3 + 3 = 10
• Răspuns: 10 copaci.

Sarcina 207.

Rezolvați exemple.

Soluţie:

14 - 6 - 6 = 2	7 + 5 + 1 = 13	16 - 8 + 1 = 9
14 - (6 - 6) = 14	7 + (5 + 1) = 13	16 - (8 + 1) = 7

Sarcina 208.

Intocmește o problemă pe baza desenului și rezolvă-o.

Soluţie:

Sub copac erau 12 mere. Un arici a luat 4 mere, iar celălalt a luat încă 3. Câte mere au rămas sub copac?

• 1) 4 + 3 = 7
• 2) 12 - 7 = 5
• Expresie: 12 - (4 + 3) = 5
• Răspuns: 5 mere.

Când lucrăm cu diverse expresii care includ numere, litere și variabile, trebuie să efectuăm un număr mare de operații aritmetice. Când facem o conversie sau calculăm o valoare, este foarte important să urmărim ordinea corectă a acestor acțiuni. Cu alte cuvinte, operațiile aritmetice au propria lor ordine specială de execuție.

În acest articol vă vom spune ce acțiuni trebuie făcute mai întâi și care după. În primul rând, să ne uităm la câteva expresii simple care conțin doar variabile sau valori numerice, precum și semne de împărțire, înmulțire, scădere și adunare. Apoi să luăm exemple cu paranteze și să ne gândim în ce ordine ar trebui calculate. În a treia parte vom oferi ordinea necesară a transformărilor și calculelor în acele exemple care includ semne de rădăcini, puteri și alte funcții.

Definiția 1

În cazul expresiilor fără paranteze, ordinea acțiunilor este determinată fără ambiguitate:

1. Toate acțiunile sunt efectuate de la stânga la dreapta.
2. Mai întâi facem împărțirea și înmulțirea, iar apoi scăderea și adunarea.

Sensul acestor reguli este ușor de înțeles. Ordinea tradițională de scriere de la stânga la dreapta definește succesiunea de bază a calculelor, iar necesitatea de a înmulți sau împărți mai întâi este explicată prin însăși esența acestor operații.

Să luăm câteva sarcini pentru claritate. Am folosit doar cele mai simple expresii numerice, astfel încât toate calculele să poată fi făcute mental. Astfel, vă puteți aminti rapid ordinea dorită și puteți verifica rapid rezultatele.

Exemplul 1

Condiție: calcula cat va fi 7 − 3 + 6 .

Soluţie

Nu există paranteze în expresia noastră, nu există nici înmulțire și împărțire, așa că efectuăm toate acțiunile în ordinea specificată. Mai întâi scadem trei din șapte, apoi adăugăm șase la restul și ajungem la zece. Iată o transcriere a întregii soluții:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Răspuns: 7 − 3 + 6 = 10 .

Exemplul 2

Condiție:în ce ordine trebuie efectuate calculele în expresie? 6:2 8:3?

Soluţie

Pentru a răspunde la această întrebare, să recitim regula pentru expresiile fără paranteze pe care am formulat-o mai devreme. Avem aici doar înmulțirea și împărțirea, ceea ce înseamnă că păstrăm ordinea scrisă a calculelor și numărăm secvențial de la stânga la dreapta.

Răspuns: Mai întâi împărțim șase la doi, înmulțim rezultatul cu opt și împărțim numărul rezultat la trei.

Exemplul 3

Condiție: calculați cât va fi 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2.

Soluţie

Mai întâi, să determinăm ordinea corectă a operațiilor, deoarece avem aici toate tipurile de bază de operații aritmetice - adunare, scădere, înmulțire, împărțire. Primul lucru pe care trebuie să-l facem este să împărțim și să înmulțim. Aceste acțiuni nu au prioritate unele față de altele, așa că le executăm în ordinea scrisă de la dreapta la stânga. Adică, 5 trebuie înmulțit cu 6 pentru a obține 30, apoi 30 împărțit la 3 pentru a obține 10. După aceea, împărțiți 4 la 2, acesta este 2. Să înlocuim valorile găsite în expresia originală:

17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Nu mai există împărțire sau înmulțire aici, așa că facem calculele rămase în ordine și obținem răspunsul:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Răspuns:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

Până când ordinea efectuării acțiunilor este bine memorată, puteți pune numere deasupra semnelor operațiilor aritmetice care indică ordinea de calcul. De exemplu, pentru problema de mai sus am putea scrie astfel:

Dacă avem expresii cu litere, atunci facem același lucru cu ele: mai întâi înmulțim și împărțim, apoi adunăm și scădem.

Care sunt acțiunile din prima și a doua etapă?

Uneori, în cărțile de referință, toate operațiile aritmetice sunt împărțite în acțiuni din prima și a doua etapă. Să formulăm definiția necesară.

Operațiile primei etape includ scăderea și adunarea, a doua - înmulțirea și împărțirea.

Cunoscând aceste nume, putem scrie regula dată anterior cu privire la ordinea acțiunilor astfel:

Definiția 2

Într-o expresie care nu conține paranteze, trebuie să efectuați mai întâi acțiunile etapei a doua în direcția de la stânga la dreapta, apoi acțiunile primei etape (în aceeași direcție).

Ordinea calculelor în expresii cu paranteze

Parantezele în sine sunt un semn care ne spune ordinea dorită a acțiunilor. În acest caz, regula necesară poate fi scrisă după cum urmează:

Definiția 3

Dacă în expresie există paranteze, atunci primul pas este efectuarea operației în ele, după care înmulțim și împărțim, apoi adunăm și scădem de la stânga la dreapta.

În ceea ce privește expresia parantetică în sine, aceasta poate fi considerată ca parte integrantă a expresiei principale. La calcularea valorii expresiei dintre paranteze, menținem aceeași procedură cunoscută nouă. Să ilustrăm ideea noastră cu un exemplu.

Exemplul 4

Condiție: calcula cat va fi 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.

Soluţie

Există paranteze în această expresie, așa că să începem cu ele. Mai întâi de toate, să calculăm cât va fi 7 − 2 · 3. Aici trebuie să înmulțim 2 cu 3 și să scădem rezultatul din 7:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

Calculăm rezultatul în a doua paranteză. Acolo avem o singură acțiune: 6 − 4 = 2 .

Acum trebuie să înlocuim valorile rezultate în expresia originală:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

Să începem cu înmulțirea și împărțirea, apoi efectuăm scăderea și obținem:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

Astfel se încheie calculele.

Răspuns: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.

Nu vă alarmați dacă starea noastră conține o expresie în care unele paranteze le încadrează pe altele. Trebuie doar să aplicăm regula de mai sus în mod consecvent tuturor expresiilor din paranteze. Să luăm această problemă.

Exemplul 5

Condiție: calcula cat va fi 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Soluţie

Avem paranteze în paranteze. Începem cu 3 + 1 + 4 · (2 ​​​​+ 3), și anume 2 + 3. Va fi 5. Valoarea va trebui înlocuită în expresie și calculată că 3 + 1 + 4 · 5. Ne amintim că mai întâi trebuie să înmulțim și apoi să adăugăm: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Înlocuind valorile găsite în expresia originală, calculăm răspunsul: 4 + 24 = 28 .

Răspuns: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​​​+ 3)) = 28.

Cu alte cuvinte, atunci când calculăm valoarea unei expresii care include paranteze în paranteze, începem cu parantezele interioare și ne îndreptăm spre cele exterioare.

Să presupunem că trebuie să aflăm cât va fi (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1. Începem cu expresia din parantezele interioare. Deoarece 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1, expresia originală poate fi scrisă ca (4 + (4 + 1) − 1) − 1. Privind din nou parantezele interioare: 4 + 1 = 5. Am ajuns la expresie (4 + 5 − 1) − 1 . Noi numărăm 4 + 5 − 1 = 8 și ca rezultat obținem diferența 8 - 1, al cărei rezultat va fi 7.

Ordinea calculului în expresii cu puteri, rădăcini, logaritmi și alte funcții

Dacă condiția noastră conține o expresie cu o putere, rădăcină, logaritm sau funcție trigonometrică (sinus, cosinus, tangentă și cotangentă) sau alte funcții, atunci în primul rând calculăm valoarea funcției. După aceasta, acționăm conform regulilor specificate în paragrafele precedente. Cu alte cuvinte, funcțiile sunt egale ca importanță cu expresia cuprinsă între paranteze.

Să ne uităm la un exemplu de astfel de calcul.

Exemplul 6

Condiție: aflați cât este (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7.

Soluţie

Avem o expresie cu grad, a cărei valoare trebuie găsită mai întâi. Numărăm: 6 2 = 36. Acum să substituim rezultatul în expresie, după care va lua forma (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7.

(3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Răspuns: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

Într-un articol separat dedicat calculării valorilor expresiilor, oferim alte exemple mai complexe de calcule în cazul expresiilor cu rădăcini, grade etc. Vă recomandăm să vă familiarizați cu el.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter