Ecuații liniare cu una și două variabile. Ecuație liniară în două variabile și graficul acesteia. Ecuație liniară cu o variabilă

Ecuație liniară este o ecuație algebrică. În această ecuație, gradul total al polinoamelor sale constitutive este egal cu unu.

Ecuațiile liniare sunt prezentate după cum urmează:

În formă generală: A 1 X 1 + A 2 X 2 + … + un n x n + b = 0

În formă canonică: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b.

Ecuație liniară cu o variabilă.

O ecuație liniară cu 1 variabilă se reduce la forma:

topor+ b=0.

De exemplu:

2x + 7 = 0. Unde a=2, b=7;

0,1x - 2,3 = 0. Unde a=0,1, b=-2,3;

12x + 1/2 = 0. Unde a=12, b=1/2.

Numărul de rădăcini depinde de AȘi b:

Când A= b=0 , ceea ce înseamnă că ecuația are un număr nelimitat de soluții, deoarece .

Când A=0 , b≠ 0 , ceea ce înseamnă că ecuația nu are rădăcini, deoarece .

Când A ≠ 0 , ceea ce înseamnă că ecuația are o singură rădăcină.

Ecuație liniară cu două variabile.

Ecuația cu variabila X este o egalitate de tip A(x)=B(x), Unde Topor)Și B(x)- expresii din X. La înlocuirea setului T valorile Xîn ecuație obținem o egalitate numerică adevărată, care se numește set de adevăr această ecuaţie sau rezolvarea unei ecuații date, și toate aceste valori ale variabilei sunt rădăcinile ecuației.

Ecuațiile liniare a 2 variabile sunt prezentate în următoarea formă:

În formă generală: ax + by + c = 0,

În formă canonică: ax + by = -c,

În formă de funcție liniară: y = kx + m, Unde .

Soluția sau rădăcinile acestei ecuații sunt următoarea pereche de valori variabile (X y), care o transformă într-o identitate. O ecuație liniară cu 2 variabile are un număr nelimitat de aceste soluții (rădăcini). Modelul geometric (graficul) al acestei ecuații este o linie dreaptă y=kx+m.

Dacă o ecuație conține x pătrat, atunci ecuația se numește

REZUMATUL LECȚIEI

Clasa: 7

UMK: Algebră clasa a VII-a: manual. pentru învăţământul general organizații / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk şi colab.]; editat de S.A. Teliakovsky. – Ed. a II-a. – M.: Educație, 2014

Subiect: Ecuații liniare în două variabile

Obiective: Introduceți elevii conceptele unei ecuații liniare cu două variabile și soluția acesteia, învățați cum să exprimați din ecuațieX prinla saula prinX .

UUD format:

Cognitiv: prezentați și justificați ipotezele, sugerați modalități de testare a acestora

de reglementare: compara metoda și rezultatul acțiunilor cuiva cu un anumit standard, detectează abaterile și diferențele față de standard; întocmește un plan și o secvență de acțiuni.

Comunicativ: stabilirea de relații de lucru; să colaboreze eficient și să promoveze cooperarea productivă.

Personal: fdezvoltarea abilităților de organizare a analizei activităților cuiva

Echipament:computer, proiector multimedia, ecran

În timpul orelor:

eu Organizarea timpului

Ascultă basmul despre Bunicul Egal și ghici despre ce vom vorbi astăzi

Basm „Bunicul-Egal”

Un bunic poreclit Ravnyalo locuia într-o colibă ​​la marginea unei păduri. Îi plăcea să glumească cu numerele. Bunicul va lua numerele de ambele părți ale lui, le va conecta cu semne și le va pune pe cele mai rapide între paranteze, dar asigurați-vă că o parte este egală cu cealaltă. Și apoi va ascunde un număr sub masca lui „X” și va cere nepotului său, micuța Ravnyalka, să-l găsească. Chiar dacă Ravnyalka este mic, el își știe lucrurile: va muta rapid toate numerele, cu excepția lui „X”, în cealaltă parte și nu va uita să le schimbe semnele în sens invers. Și numerele îi ascultă, efectuează rapid toate acțiunile la ordinele sale, iar „X” este cunoscut. Bunicul se uită la cât de inteligent face nepoata lui totul și se bucură: un bun înlocuitor pentru el crește.

Deci, despre ce este povestea asta?(despre ecuații)

II . Să ne amintim tot ce știm despre ecuațiile liniare și să încercăm să facem o paralelă între materialul pe care îl cunoaștem și noul material.

Ce tip de ecuație cunoaștem?(ecuație liniară cu o variabilă)

Să ne amintim definiția unei ecuații liniare cu o variabilă.

Care este rădăcina unei ecuații liniare într-o variabilă?

Să formulăm toate proprietățile unei ecuații liniare cu o variabilă.

1 parte din tabel este completată

ax = b, unde x este o variabilă, a, b sunt numere.

Exemplu: 3x = 6

Valoarea lui x la care ecuația devine adevărată

1) transferarea termenilor dintr-o parte a ecuației în alta, schimbându-le semnul în sens invers.

2) înmulțiți sau împărțiți ambele părți ale ecuației cu același număr, diferit de zero.

Ecuație liniară cu două variabile.

ax + vy = c, unde x, y sunt variabile, a, b.c sunt numere.

Exemplu:

x – y = 5

x + y = 56

2x + 6y =68

Valorile lui x, y care fac ecuația adevărată.

x=8; y=3 (8;3)

x=60; y = - 4 (60;-4)

Proprietățile 1 și 2 sunt adevărate.

3) ecuații echivalente:

x-y=5 și y=x-5

(8;3) (8;3)

După ce am completat prima parte a tabelului, pe baza analogiei, începem să completăm al doilea rând al tabelului, învățând astfel material nou.

III . Să revenim la subiect:ecuație liniară în două variabile . Însuși titlul subiectului sugerează că trebuie să introduceți o nouă variabilă, de exemplu y.

Există două numere x și y, unul mai mare decât celălalt cu 5. Cum se scrie relația dintre ele? (x – y = 5) aceasta este o ecuație liniară cu două variabile. Să formulăm, prin analogie cu definiția unei ecuații liniare cu o variabilă, definiția unei ecuații liniare cu două variabile (O ecuație liniară în două variabile este o ecuație de formatopor + de = c , Undea,b Șic - niște numere șiX Șiy -variabile).

Ecuația X – y= 5 cu x = 8, y = 3 se transformă în egalitatea corectă 8 – 3 = 5. Se spune că perechea de valori a variabilelor x = 8, y = 3 este o soluție a acestei ecuații.

Formulați definiția unei soluții la o ecuație cu două variabile (O soluție la o ecuație cu două variabile este o pereche de valori ale variabilelor care transformă această ecuație într-o egalitate adevărată)

Perechile de valori variabile sunt uneori scrise mai scurt: (8;3). Într-o astfel de notație, valoarea x este scrisă pe primul loc și valoarea y pe al doilea.

Ecuațiile cu două variabile care au aceleași soluții (sau nicio soluție) se numesc echivalente.

Ecuațiile cu două variabile au aceleași proprietăți ca și ecuațiile cu o variabilă:

Dacă mutați orice termen dintr-o ecuație dintr-o parte în alta, schimbându-i semnul, veți obține o ecuație echivalentă cu cea dată.

Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr (nu egal cu zero), obțineți o ecuație echivalentă cu cea dată.

Exemplul 1. Considerăm ecuația 10x + 5y = 15. Utilizând proprietățile ecuațiilor, exprimăm o variabilă în termenii alteia.

Pentru a face acest lucru, deplasați mai întâi de 10x din partea stângă la dreapta, schimbându-i semnul. Obținem ecuația echivalentă 5y = 15 - 10x.

Împărțind fiecare parte a acestei ecuații la numărul 5, obținem ecuația echivalentă

y = 3 - 2x. Astfel, am exprimat o variabilă în termenii alteia. Folosind această egalitate, pentru fiecare valoare a lui x putem calcula valoarea lui y.

Dacă x = 2, atunci y = 3 - 2 2 = -1.

Dacă x = -2, atunci y = 3 - 2· (-2) = 7. Perechile de numere (2; -1), (-2; 7) sunt soluții ale acestei ecuații. Astfel, această ecuație are infinite de soluții.

Din istorie. Problema rezolvării ecuațiilor în numere naturale a fost luată în considerare în detaliu în lucrările celebrului matematician grec Diophantus (sec. III). Tratatul său „Aritmetică” conține soluții ingenioase în numere naturale pentru o mare varietate de ecuații. În acest sens, ecuațiile cu mai multe variabile care necesită soluții în numere naturale sau întregi se numesc ecuații diofantine.

Exemplul 2. Faina este ambalata in saci de 3 kg si 2 kg. Câte pungi de fiecare tip ar trebui să luați pentru a face 20 kg de făină?

Să presupunem că trebuie să luăm x saci de 3 kg și y saci de 2 kg. Atunci 3x + 2y = 20. Este necesar să se găsească toate perechile de valori naturale ale variabilelor x și y care satisfac această ecuație. Primim:

2y = 20 - 3x

y =

Inlocuind in aceasta egalitate in loc de x succesiv toate numerele 1,2,3 etc., gasim pentru care valori ale lui x, valorile lui y sunt numere naturale.

Obținem: (2;7), (4;4), (6;1). Nu există alte perechi care să satisfacă această ecuație. Aceasta înseamnă că trebuie să luați fie 2 și 7, fie 4 și 4, fie 6 și, respectiv, 1 pachet.

IV . Lucrare din manualul (oral) nr. 1025, nr. 1027 (a)

Lucru independent cu testare în clasă.

1. Scrieți o ecuație liniară cu două variabile.

a) 3x + 6y = 5 c) xy = 11 b) x – 2y = 5

2. Este o pereche de numere o soluție a unei ecuații?

2x + y = -5 (-4;3), (-1;-3), (0;5).

3. Exprimați din ecuația liniară

4x – 3y = 12 a) x prin y b) y prin x

4. Găsiți trei soluții ale ecuației.

x + y = 27

V . Deci, pentru a rezuma:

Definiți o ecuație liniară cu două variabile.

Ceea ce se numește soluția (rădăcina) unei ecuații liniare cu două variabile.

Prezentați proprietățile unei ecuații liniare cu două variabile.

Notare.

Teme: paragraful 40, nr. 1028, nr. 1032

Învățarea rezolvării ecuațiilor este una dintre sarcinile principale pe care algebra le pune elevilor. Începând cu cele mai simple, când constă dintr-o necunoscută, și trecând la altele din ce în ce mai complexe. Dacă nu ați stăpânit acțiunile care trebuie efectuate cu ecuații din primul grup, va fi greu să le înțelegeți pe celelalte.

Pentru a continua conversația, trebuie să fiți de acord asupra notării.

Forma generală a unei ecuații liniare cu o necunoscută și principiul soluției acesteia

Orice ecuație care poate fi scrisă astfel:

a * x = b,

numit liniar. Aceasta este formula generală. Dar adesea în atribuiri ecuațiile liniare sunt scrise în formă implicită. Apoi este necesar să se efectueze transformări identice pentru a obține o notație general acceptată. Aceste acțiuni includ:

• paranteze de deschidere;
• mutarea tuturor termenilor cu o valoare variabilă în partea stângă a egalității, iar restul la dreapta;
• reducerea termenilor similari.

În cazul în care o cantitate necunoscută se află în numitorul unei fracții, trebuie să determinați valorile acesteia la care expresia nu va avea sens. Cu alte cuvinte, trebuie să cunoașteți domeniul de definire al ecuației.

Principiul prin care sunt rezolvate toate ecuațiile liniare se rezumă la împărțirea valorii din partea dreaptă a ecuației la coeficientul din fața variabilei. Adică, „x” va fi egal cu b/a.

Cazuri speciale de ecuații liniare și soluțiile acestora

În timpul raționamentului, pot apărea momente când ecuațiile liniare iau una dintre formele speciale. Fiecare dintre ele are o soluție specifică.

In prima situatie:

a * x = 0, și a ≠ 0.

Soluția unei astfel de ecuații va fi întotdeauna x = 0.

În al doilea caz, „a” ia valoarea egală cu zero:

0 * x = 0.

Răspunsul la o astfel de ecuație va fi orice număr. Adică are un număr infinit de rădăcini.

A treia situație arată astfel:

0 * x = in, unde în ≠ 0.

Această ecuație nu are sens. Pentru că nu există rădăcini care să-l satisfacă.

Vedere generală a unei ecuații liniare cu două variabile

Din numele său devine clar că există deja două cantități necunoscute în el. Ecuații liniare în două variabile arata asa:

a * x + b * y = c.

Deoarece există două necunoscute în înregistrare, răspunsul va arăta ca o pereche de numere. Adică nu este suficient să specificați o singură valoare. Acesta va fi un răspuns incomplet. O pereche de mărimi pentru care ecuația devine o identitate este o soluție a ecuației. Mai mult, în răspuns, variabila care vine prima în alfabet este întotdeauna scrisă prima. Uneori se spune că aceste cifre îl mulțumesc. Mai mult, poate exista un număr infinit de astfel de perechi.

Cum se rezolvă o ecuație liniară cu două necunoscute?

Pentru a face acest lucru, trebuie doar să selectați orice pereche de numere care se dovedește a fi corectă. Pentru simplitate, puteți lua una dintre necunoscutele egală cu un număr prim și apoi găsiți al doilea.

Când rezolvați, de multe ori trebuie să efectuați pași pentru a simplifica ecuația. Ele se numesc transformări identitare. În plus, următoarele proprietăți sunt întotdeauna adevărate pentru ecuații:

• fiecare termen poate fi mutat în partea opusă a egalității prin înlocuirea semnului său cu cel opus;
• Laturile stânga și dreapta ale oricărei ecuații pot fi împărțite la același număr, atâta timp cât acesta nu este egal cu zero.

Exemple de sarcini cu ecuații liniare

Prima sarcină. Rezolvați ecuații liniare: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

În ecuația care vine prima pe această listă, împărțiți pur și simplu 20 la 4. Rezultatul va fi 5. Acesta este răspunsul: x = 5.

A treia ecuație necesită efectuarea unei transformări de identitate. Acesta va consta în deschiderea parantezelor și aducerea unor termeni similari. După primul pas, ecuația va lua forma: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Apoi trebuie să mutați toate necunoscutele în partea stângă a ecuației, iar restul în dreapta. Ecuația va arăta astfel: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. După adăugarea unor termeni similari: 14x = 16. Acum arată la fel ca prima, iar soluția ei este ușor de găsit. Răspunsul va fi x=8/7. Dar în matematică ar trebui să izolați întreaga parte dintr-o fracție improprie. Apoi rezultatul va fi transformat, iar „x” va fi egal cu un întreg și o șapte.

În exemplele rămase, variabilele sunt la numitor. Aceasta înseamnă că mai întâi trebuie să aflați la ce valori sunt definite ecuațiile. Pentru a face acest lucru, trebuie să excludeți numerele la care numitorii merg la zero. În primul exemplu este „-4”, în al doilea este „-3”. Adică, aceste valori trebuie excluse din răspuns. După aceasta, trebuie să înmulțiți ambele părți ale egalității cu expresiile din numitor.

Deschizând parantezele și aducând termeni similari, în prima dintre aceste ecuații obținem: 5x + 15 = 4x + 16, iar în a doua 5x + 15 = 4x + 12. După transformări, soluția primei ecuații va fi x = -1. Al doilea se dovedește a fi egal cu „-3”, ceea ce înseamnă că acesta din urmă nu are soluții.

A doua sarcină. Rezolvați ecuația: -7x + 2y = 5.

Să presupunem că prima necunoscută x = 1, apoi ecuația va lua forma -7 * 1 + 2y = 5. Mutând factorul „-7” în partea dreaptă a egalității și schimbându-i semnul în plus, rezultă că 2y = 12. Aceasta înseamnă y =6. Răspuns: una dintre soluțiile ecuației x = 1, y = 6.

Forma generală a inegalității cu o variabilă

Toate situațiile posibile pentru inegalități sunt prezentate aici:

• a * x > b;
• a * x< в;
• a * x ≥b;
• a * x ≤в.

În general, arată ca o ecuație liniară simplă, doar semnul egal este înlocuit cu o inegalitate.

Reguli pentru transformările identitare ale inegalităților

La fel ca ecuațiile liniare, inegalitățile pot fi modificate conform anumitor legi. Ele se rezumă la următoarele:

1. orice expresie alfabetică sau numerică poate fi adăugată la partea stângă și dreaptă a inegalității, iar semnul inegalității rămâne același;
2. de asemenea, puteți înmulți sau împărți cu același număr pozitiv, iar acest lucru nu schimbă semnul;
3. La înmulțirea sau împărțirea cu același număr negativ, egalitatea va rămâne adevărată cu condiția ca semnul inegalității să fie inversat.

Vedere generală a inegalităților duble

Următoarele inegalități pot fi prezentate în probleme:

• V< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• V< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Se numește dublu deoarece este limitat de semne de inegalitate de ambele părți. Se rezolvă folosind aceleași reguli ca și inegalitățile obișnuite. Iar găsirea răspunsului se reduce la o serie de transformări identice. Până se obține cel mai simplu.

Caracteristici ale rezolvării inegalităților duble

Prima dintre ele este imaginea sa pe axa de coordonate. Nu este nevoie să folosiți această metodă pentru inegalități simple. Dar în cazuri dificile poate fi pur și simplu necesar.

Pentru a reprezenta o inegalitate, trebuie să marcați pe axă toate punctele care au fost obținute în timpul raționamentului. Acestea sunt valori nevalide, care sunt indicate prin puncte perforate, și valori din inegalitățile obținute în urma transformărilor. Și aici este important să desenați corect punctele. Dacă inegalitatea este strictă, adică< или >, atunci aceste valori sunt eliminate. În inegalitățile nestricte, punctele trebuie să fie umbrite.

Apoi este necesar să se indice sensul inegalităților. Acest lucru se poate face folosind umbrirea sau arce. Intersecția lor va indica răspunsul.

A doua caracteristică este legată de înregistrarea acesteia. Există două opțiuni oferite aici. Prima este inegalitatea finală. Al doilea este sub formă de intervale. Cu el se întâmplă să apară dificultăți. Răspunsul în spații arată întotdeauna ca o variabilă cu semn de apartenență și paranteze cu numere. Uneori există mai multe spații, atunci trebuie să scrieți simbolul „și” între paranteze. Aceste semne arată astfel: ∈ și ∩. Parantezele de spațiere joacă, de asemenea, un rol. Cel rotund este plasat atunci când punctul este exclus din răspuns, iar cel dreptunghiular include această valoare. Semnul infinitului este întotdeauna între paranteze.

Exemple de rezolvare a inegalităților

1. Rezolvați inegalitatea 7 - 5x ≥ 37.

După transformări simple, obținem: -5x ≥ 30. Împărțind la „-5” putem obține următoarea expresie: x ≤ -6. Acesta este deja răspunsul, dar se poate scrie în alt mod: x ∈ (-∞; -6].

2. Rezolvați inegalitatea dublă -4< 2x + 6 ≤ 8.

Mai întâi trebuie să scazi peste tot 6. Obții: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

O ecuație liniară cu două variabile are forma generală ax + by + c = 0. În ea, a, b și c sunt coeficienți - unele numere; iar x și y sunt variabile - numere necunoscute care trebuie găsite.

Soluția unei ecuații liniare cu două variabile este o pereche de numere x și y, pentru care ax + by + c = 0 este o egalitate adevărată.

O ecuație liniară dată în două variabile (de exemplu, 3x + 2y – 1 = 0) are un set de soluții, adică un set de perechi de numere pentru care ecuația este adevărată. O ecuație liniară cu două variabile este transformată într-o funcție liniară de forma y = kx + m, care este o dreaptă pe planul de coordonate. Coordonatele tuturor punctelor situate pe această dreaptă sunt soluții ale unei ecuații liniare în două variabile.

Dacă sunt date două ecuații liniare de forma ax + by + c = 0 și este necesar să găsim valori ale lui x și y pentru care ambele vor avea soluții, atunci spunem că trebuie rezolvarea sistemului de ecuații. Un sistem de ecuații este scris sub o acoladă comună. Exemplu:

Un sistem de ecuații nu poate avea soluție dacă dreptele care sunt graficele funcțiilor liniare corespunzătoare nu se intersectează (adică paralele între ele). Pentru a concluziona că nu există o soluție, este suficient să transformăm ambele ecuații liniare cu două variabile în forma y = kx + m. Dacă k este același număr în ambele ecuații, atunci sistemul nu are soluții.

Dacă un sistem de ecuații se dovedește a fi format din două ecuații identice (ceea ce poate să nu fie evident imediat, dar după transformări), atunci are un număr infinit de soluții. În acest caz vorbim despre incertitudine.

În toate celelalte cazuri, sistemul are o singură soluție. Această concluzie poate fi trasă din faptul că oricare două drepte neparalele se pot intersecta doar într-un punct. Acest punct de intersecție se va afla atât pe prima linie, cât și pe a doua, adică va fi o soluție atât pentru prima ecuație, cât și pentru a doua. Prin urmare, este o soluție a unui sistem de ecuații. Cu toate acestea, este necesar să se stipuleze situații în care sunt impuse anumite restricții asupra valorilor lui x și y (de obicei, în funcție de condițiile problemei). De exemplu, x > 0, y > 0. În acest caz, chiar dacă sistemul de ecuații are o soluție, dar nu îndeplinește condiția, atunci se trage concluzia că sistemul de ecuații nu are soluții în condițiile date .

Există trei moduri de a rezolva un sistem de ecuații:

1. Prin metoda de selecție. Cel mai adesea acest lucru este foarte greu de făcut.
2. Metoda grafică. Când două drepte (grafice ale funcțiilor ecuațiilor corespunzătoare) sunt trasate pe planul de coordonate și se găsește punctul lor de intersecție. Această metodă poate să nu dea rezultate precise dacă coordonatele punctului de intersecție sunt numere fracționale.
3. Metode algebrice. Sunt versatile și de încredere.

Am întâlnit adesea ecuații de forma ax + b = 0, unde a, b sunt numere, x este o variabilă. De exemplu, bx - 8 = 0, x + 4 = O, - 7x - 11 = 0 etc. Numerele a, b (coeficienții ecuației) pot fi oricare, cu excepția cazului în care a = 0.

Ecuația ax + b = 0, unde a, se numește o ecuație liniară cu o variabilă x (sau o ecuație liniară cu un x necunoscut). O putem rezolva, adică exprimăm x prin a și b:

Am observat mai devreme că destul de des model matematic situația reală este o ecuație liniară cu o variabilă sau o ecuație care, după transformări, se reduce la una liniară. Acum să ne uităm la această situație reală.

Din orașele A și B, distanța dintre care este de 500 km, două trenuri au plecat unul spre celălalt, fiecare cu viteza sa constantă. Se știe că primul tren a plecat cu 2 ore mai devreme decât al doilea. La 3 ore după plecarea celui de-al doilea tren, s-au întâlnit. Care sunt vitezele trenului?

Să creăm un model matematic al problemei. Fie x km/h viteza primului tren, y km/h viteza celui de-al doilea tren. Prima a fost pe drum 5 ore și, prin urmare, a parcurs o distanță de bx km. Al doilea tren a fost pe drum timp de 3 ore, adică. mers pe jos 3 km.

Întâlnirea lor a avut loc la punctul C. Figura 31 prezintă un model geometric al situației. În limbajul algebric poate fi descris după cum urmează:

5x + Zu = 500

sau
5x + Zu - 500 = 0.

Acest model matematic se numește ecuație liniară cu două variabile x, y.
Deloc,

ax + by + c = 0,

unde a, b, c sunt numere și , este liniară ecuația cu două variabile x și y (sau cu două necunoscute x și y).

Să revenim la ecuația 5x + 3 = 500. Observăm că dacă x = 40, y = 100, atunci 5 40 + 3 100 = 500 este o egalitate corectă. Aceasta înseamnă că răspunsul la întrebarea problemei poate fi următorul: viteza primului tren este de 40 km/h, viteza celui de-al doilea tren este de 100 km/h. O pereche de numere x = 40, y = 100 se numește soluție a ecuației 5x + 3 = 500. Se mai spune că această pereche de valori (x; y) satisface ecuația 5x + 3 = 500.

Din păcate, această soluție nu este singura (cu toții ne place certitudinea și lipsa de ambiguitate). De fapt, este posibilă și următoarea opțiune: x = 64, y = 60; într-adevăr, 5 64 + 3 60 = 500 este o egalitate corectă. Și aceasta: x = 70, y = 50 (deoarece 5 70 + 3 50 = 500 este o egalitate adevărată).

Dar, să zicem, o pereche de numere x = 80, y = 60 nu este o soluție a ecuației, deoarece cu aceste valori o egalitate adevărată nu funcționează:

În general, o soluție a ecuației ax + by + c = 0 este orice pereche de numere (x; y) care satisface această ecuație, adică transformă egalitatea cu variabilele ax + by + c = 0 într-un adevărat numeric. egalitate. Există o infinitate de astfel de soluții.

Cometariu. Să revenim încă o dată la ecuația 5x + 3 = 500, obținută în problema discutată mai sus. Dintre numărul infinit al soluțiilor sale se numără, de exemplu, următoarele: x = 100, y = 0 (într-adevăr, 5 100 + 3 0 = 500 este o egalitate numerică corectă); x = 118, y = - 30 (deoarece 5.118 + 3 (-30) = 500 este o egalitate numerică corectă). Cu toate acestea, fiind soluții ale ecuației, aceste perechi nu pot servi drept soluții la această problemă, deoarece viteza trenului nu poate fi egală cu zero (atunci nu se mișcă, ci stă nemișcat); Mai mult decât atât, viteza trenului nu poate fi negativă (atunci nu se deplasează spre alt tren, așa cum se menționează în enunțul problemei, ci în sens invers).

Exemplul 1. Desenați soluții pentru o ecuație liniară cu două variabile x + y - 3 = 0 prin puncte din planul de coordonate xOy.

Soluţie. Să selectăm mai multe soluții la o ecuație dată, adică mai multe perechi de numere care satisfac ecuația: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5) .

A. V. Pogorelov, Geometrie pentru clasele 7-11, Manual pentru instituțiile de învățământ

Conținutul lecției notele de lecție sprijinirea metodelor de accelerare a prezentării lecției cadru tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autotestare, instruiri, cazuri, întrebări teme pentru acasă întrebări de discuție întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini, grafice, tabele, diagrame, umor, anecdote, glume, benzi desenate, pilde, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole trucuri pentru pătuțurile curioși manuale dicționar de bază și suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment dintr-un manual, elemente de inovație în lecție, înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic pentru anul; recomandări metodologice; programe de discuții Lecții integrate