Reguli de cerc înscris. Un cerc circumscris în jurul unui triunghi. Lecții complete - Knowledge Hypermarket. Bisectoare perpendiculară pe un segment de dreaptă

Triunghi înscris- un triunghi ale cărui vârfuri se află toate pe cerc. Apoi se spune că cercul este circumscris în jurul triunghiului.
În mod evident, distanța de la centrul cercului circumscris la fiecare dintre vârfurile triunghiului este aceeași și egală cu raza acestui cerc.
În jurul oricărui triunghi poți descrie un cerc și doar unul.

Cerc înscrisîntr-un triunghi dacă atinge toate laturile sale. Atunci triunghiul însuși va fi descrisîn jurul cercului. Distanța de la centrul cercului înscris la fiecare dintre laturile triunghiului este egală cu raza acestui cerc.
Puteți înscrie un cerc în orice triunghi și doar unul.

Încercați să descrii singur un cerc în jurul unui triunghi și introduce cerc în triunghi.
De ce crezi că centrul cercului este punctul de intersecție al bisectoarelor unui triunghi, iar centrul cercului este punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare pe laturile sale?

În problemele USE, cel mai des se întâlnesc triunghiuri regulate înscrise și circumscrise.

Există și alte sarcini. Pentru a le rezolva vei avea nevoie încă două formule pentru aria unui triunghi, și teorema sinusului.

Pătrat triunghi egal cu jumătate din produsul perimetrului său și raza cercului înscris.

S = p r,
unde p = ( a+b+c) - semiperimetrul,
r este raza unui cerc înscris într-un triunghi.

Există o altă formulă, folosită în principal în problemele din partea C:

Unde a, b, c- laturile triunghiului, R - raza cercului circumscris.

Adevărat pentru orice triunghi teorema sinusului:

1. Raza unui cerc înscris într-un triunghi dreptunghic isoscel este 2. Aflați ipotenuza c a acestui triunghi. Vă rugăm să indicați în răspunsul dvs.

Triunghiul este dreptunghiular și isoscel. Aceasta înseamnă că picioarele sale sunt aceleași. Fiecare picior să fie egal A. Atunci ipotenuza este egală A .
Scriem aria triunghiului ABC în două moduri:

Echivalând aceste expresii, obținem că . Din moment ce, primim asta. Apoi .
Vom scrie răspunsul.

2. Latura AB a unui triunghi obtuz ABC este egală cu raza cercului circumscris în jurul lui. Găsiți unghiul C. Dați răspunsul în grade.

Conform legii sinusurilor,

Obținem că sin C = . Unghiul C este obtuz. Deci este egal cu 150°.

Raspuns: 150.

3. Laturile unui triunghi isoscel sunt 40, iar baza este 48. Aflați circumraza acestui triunghi.

Unghiurile triunghiului nu sunt date. Ei bine, să-i exprimăm zona în două moduri diferite.

S = ah, unde h este înălțimea triunghiului. Nu este greu de găsit - la urma urmei, într-un triunghi isoscel, altitudinea este și mediana, adică împarte latura AB în jumătate. Folosind teorema lui Pitagora găsim h = 32. Atunci R = 25.

EGE-Study » Materiale didactice » Geometrie: de la zero la C4 » Patrulatere înscrise și circumscrise

Obiectivele lecției:

• Aprofundați-vă cunoștințele pe tema „Cerc în triunghiuri”

Obiectivele lecției:

• Sistematizează cunoștințele pe această temă
• Pregătiți-vă să rezolvați probleme de complexitate crescută.

Planul lecției:

1. Introducere.
2. Partea teoretică.
3. Pentru un triunghi.
4. Partea practică.

Introducere.

Tema „Cercuri înscrise și circumscrise în triunghiuri” este una dintre cele mai dificile din cursul de geometrie. Ea petrece foarte puțin timp în clasă.

Problemele geometrice pe această temă sunt incluse în partea a doua a Examenului Unificat de Stat pentru cursul de liceu.
Finalizarea cu succes a acestor sarcini necesită o cunoaștere solidă a faptelor geometrice de bază și o anumită experiență în rezolvarea problemelor geometrice.

Partea teoretică.

Circumferința unui poligon- un cerc care contine toate varfurile unui poligon. Centrul este punctul (notat de obicei O) al intersecției bisectoarelor perpendiculare pe laturile poligonului.

Proprietăți.

Circumcentrul unui n-gon convex se află în punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare pe laturile sale. Ca o consecință: dacă un cerc este circumscris lângă un n-gon, atunci toate bisectoarele perpendiculare la laturile sale se intersectează într-un punct (centrul cercului).
Un cerc poate fi desenat în jurul oricărui poligon regulat.

Pentru un triunghi.

Un cerc se numește circumscris unui triunghi dacă trece prin toate vârfurile sale.

Un cerc poate fi descris în jurul oricărui triunghi și unul singur. Centrul său va fi punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare.

Pentru un triunghi ascuțit, centrul cercului circumscris se află interior, pentru unul în unghi obtuz - în afara triunghiului, pentru unul dreptunghiular - la mijlocul ipotenuzei.

Raza cercului circumscris poate fi găsită folosind formulele:

Unde:
a,b,c- laturile triunghiului,
α - unghi opus laturii a,
S- aria unui triunghi.

Dovedi:

t.O - punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare pe laturile ΔABC

Dovada:

1. ΔAOC - isoscel, deoarece OA=OC (ca raze)
2. ΔAOC - isoscel, perpendicular OD - mediană și înălțime, i.e. deci O se află pe bisectoarea perpendiculară pe latura AC
3. Se dovedește în mod similar că t.O se află pe bisectoarele perpendiculare pe laturile AB și BC

Q.E.D.

Cometariu.

O linie dreaptă care trece prin mijlocul unui segment perpendicular pe acesta este adesea numită bisectoare perpendiculară. În acest sens, se spune uneori că centrul unui cerc circumscris unui triunghi se află la intersecția bisectoarelor perpendiculare pe laturile triunghiului.

Subiecte > Matematică > Matematică clasa a VII-a

Definiția 2

Un poligon care satisface condiția definiției 1 se numește circumscris unui cerc.

Figura 1. Cerc înscris

Teorema 1 (despre un cerc înscris într-un triunghi)

Teorema 1

Puteți înscrie un cerc în orice triunghi și doar unul.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $ABC$. Să desenăm bisectoare în el care se intersectează în punctul $O$ și să tragem perpendiculare din el pe laturile triunghiului (Fig. 2)

Figura 2. Ilustrarea teoremei 1

Existență: Să desenăm un cerc cu centrul în punctul $O$ și raza $OK.\ $Deoarece punctul $O$ se află pe trei bisectoare, este echidistant de laturile triunghiului $ABC$. Adică $OM=OK=OL$. În consecință, cercul construit trece și prin punctele $M\ și\ L$. Deoarece $OM,OK\ și\ OL$ sunt perpendiculare pe laturile triunghiului, atunci după teorema tangentei cercului, cercul construit atinge toate cele trei laturi ale triunghiului. Prin urmare, din cauza arbitrarului unui triunghi, un cerc poate fi înscris în orice triunghi.

Unicitate: Să presupunem că un alt cerc cu centrul în punctul $O"$ poate fi înscris în triunghiul $ABC$. Centrul său este echidistant de laturile triunghiului și, prin urmare, coincide cu punctul $O$ și are o rază egală cu lungime $OK$ Dar atunci acest cerc va coincide cu primul.

Teorema a fost demonstrată.

Corolarul 1: Centrul unui cerc înscris într-un triunghi se află în punctul de intersecție al bisectoarelor sale.

Iată câteva fapte legate de conceptul de cerc înscris:

Nu orice patrulater poate încadra într-un cerc.

În orice patrulater circumscris, sumele laturilor opuse sunt egale.

Dacă sumele laturilor opuse ale unui patrulater convex sunt egale, atunci poate fi înscris un cerc în el.

Definiția 3

Dacă toate vârfurile unui poligon se află pe un cerc, atunci cercul se numește circumscris poligonului (Fig. 3).

Definiția 4

Un poligon care satisface definiția 2 se spune că este înscris într-un cerc.

Figura 3. Cerc circumscris

Teorema 2 (despre cercul circumferitor al unui triunghi)

Teorema 2

În jurul oricărui triunghi poți descrie un cerc și doar unul.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $ABC$. Să desenăm bisectoare perpendiculare în el, care se intersectează în punctul $O$ și să o conectăm cu vârfurile triunghiului (Fig. 4)

Figura 4. Ilustrarea teoremei 2

Existență: Să construim un cerc cu centrul în punctul $O$ și raza $OC$. Punctul $O$ este echidistant de vârfurile triunghiului, adică $OA=OB=OC$. În consecință, cercul construit trece prin toate vârfurile unui triunghi dat, ceea ce înseamnă că este circumscris acestui triunghi.

Unicitate: Să presupunem că un alt cerc poate fi descris în jurul triunghiului $ABC$ cu centrul său în punctul $O"$. Centrul său este echidistant de vârfurile triunghiului și, prin urmare, coincide cu punctul $O$ și are o rază egală cu lungimea $OC.$ Dar atunci acest cerc va coincide cu primul.

Teorema a fost demonstrată.

Corolarul 1: Centrul cercului circumscris triunghiului coincide cu punctul de intersecție al perpendicularelor sale bisectoriale.

Iată câteva fapte legate de conceptul de cerc circumscripționar:

Nu este întotdeauna posibil să descrii un cerc în jurul unui patrulater.

În orice patrulater ciclic, suma unghiurilor opuse este $(180)^0$.

Dacă suma unghiurilor opuse ale unui patrulater este $(180)^0$, atunci se poate trasa un cerc în jurul lui.

Un exemplu de problemă privind conceptele de cercuri înscrise și circumscrise

Exemplul 1

Într-un triunghi isoscel, baza are 8 cm și latura este de 5 cm. Aflați raza cercului înscris.

Soluţie.

Luați în considerare triunghiul $ABC$. Prin corolarul 1, știm că centrul cercului se află la intersecția bisectoarelor. Să desenăm bisectoarele $AK$ și $BM$, care se intersectează în punctul $O$. Să desenăm o perpendiculară $OH$ de la punctul $O$ la latura $BC$. Să desenăm o poză:

Figura 5.

Deoarece triunghiul este isoscel, atunci $BM$ este atât mediana, cât și înălțimea. După teorema lui Pitagora $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=$3. $OM=OH=r$ -- raza necesară a cercului înscris. Deoarece $MC$ și $CH$ sunt segmente de tangente care se intersectează, atunci după teorema tangentelor care se intersectează, avem $CH=MC=4\ cm$. Prin urmare, $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Din triunghiul $OHB$, conform teoremei lui Pitagora, obținem:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Răspuns:$\frac(4)(3)$.

Definiția 2

Un poligon care satisface condiția definiției 1 se numește circumscris unui cerc.

Figura 1. Cerc înscris

Teorema 1 (despre un cerc înscris într-un triunghi)

Teorema 1

Puteți înscrie un cerc în orice triunghi și doar unul.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $ABC$. Să desenăm bisectoare în el care se intersectează în punctul $O$ și să tragem perpendiculare din el pe laturile triunghiului (Fig. 2)

Figura 2. Ilustrarea teoremei 1

Existență: Să desenăm un cerc cu centrul în punctul $O$ și raza $OK.\ $Deoarece punctul $O$ se află pe trei bisectoare, este echidistant de laturile triunghiului $ABC$. Adică $OM=OK=OL$. În consecință, cercul construit trece și prin punctele $M\ și\ L$. Deoarece $OM,OK\ și\ OL$ sunt perpendiculare pe laturile triunghiului, atunci după teorema tangentei cercului, cercul construit atinge toate cele trei laturi ale triunghiului. Prin urmare, din cauza arbitrarului unui triunghi, un cerc poate fi înscris în orice triunghi.

Unicitate: Să presupunem că un alt cerc cu centrul în punctul $O"$ poate fi înscris în triunghiul $ABC$. Centrul său este echidistant de laturile triunghiului și, prin urmare, coincide cu punctul $O$ și are o rază egală cu lungime $OK$ Dar atunci acest cerc va coincide cu primul.

Teorema a fost demonstrată.

Corolarul 1: Centrul unui cerc înscris într-un triunghi se află în punctul de intersecție al bisectoarelor sale.

Iată câteva fapte legate de conceptul de cerc înscris:

Nu orice patrulater poate încadra într-un cerc.

În orice patrulater circumscris, sumele laturilor opuse sunt egale.

Dacă sumele laturilor opuse ale unui patrulater convex sunt egale, atunci poate fi înscris un cerc în el.

Definiția 3

Dacă toate vârfurile unui poligon se află pe un cerc, atunci cercul se numește circumscris poligonului (Fig. 3).

Definiția 4

Un poligon care satisface definiția 2 se spune că este înscris într-un cerc.

Figura 3. Cerc circumscris

Teorema 2 (despre cercul circumferitor al unui triunghi)

Teorema 2

În jurul oricărui triunghi poți descrie un cerc și doar unul.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $ABC$. Să desenăm bisectoare perpendiculare în el, care se intersectează în punctul $O$ și să o conectăm cu vârfurile triunghiului (Fig. 4)

Figura 4. Ilustrarea teoremei 2

Existență: Să construim un cerc cu centrul în punctul $O$ și raza $OC$. Punctul $O$ este echidistant de vârfurile triunghiului, adică $OA=OB=OC$. În consecință, cercul construit trece prin toate vârfurile unui triunghi dat, ceea ce înseamnă că este circumscris acestui triunghi.

Unicitate: Să presupunem că un alt cerc poate fi descris în jurul triunghiului $ABC$ cu centrul său în punctul $O"$. Centrul său este echidistant de vârfurile triunghiului și, prin urmare, coincide cu punctul $O$ și are o rază egală cu lungimea $OC.$ Dar atunci acest cerc va coincide cu primul.

Teorema a fost demonstrată.

Corolarul 1: Centrul cercului circumscris triunghiului coincide cu punctul de intersecție al perpendicularelor sale bisectoriale.

Iată câteva fapte legate de conceptul de cerc circumscripționar:

Nu este întotdeauna posibil să descrii un cerc în jurul unui patrulater.

În orice patrulater ciclic, suma unghiurilor opuse este $(180)^0$.

Dacă suma unghiurilor opuse ale unui patrulater este $(180)^0$, atunci se poate trasa un cerc în jurul lui.

Un exemplu de problemă privind conceptele de cercuri înscrise și circumscrise

Exemplul 1

Într-un triunghi isoscel, baza are 8 cm și latura este de 5 cm. Aflați raza cercului înscris.

Soluţie.

Luați în considerare triunghiul $ABC$. Prin corolarul 1, știm că centrul cercului se află la intersecția bisectoarelor. Să desenăm bisectoarele $AK$ și $BM$, care se intersectează în punctul $O$. Să desenăm o perpendiculară $OH$ de la punctul $O$ la latura $BC$. Să desenăm o poză:

Figura 5.

Deoarece triunghiul este isoscel, atunci $BM$ este atât mediana, cât și înălțimea. După teorema lui Pitagora $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=$3. $OM=OH=r$ -- raza necesară a cercului înscris. Deoarece $MC$ și $CH$ sunt segmente de tangente care se intersectează, atunci după teorema tangentelor care se intersectează, avem $CH=MC=4\ cm$. Prin urmare, $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Din triunghiul $OHB$, conform teoremei lui Pitagora, obținem:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Răspuns:$\frac(4)(3)$.

Considerăm un cerc înscris într-un triunghi (Fig. 302). Reamintim că centrul său O este situat la intersecția bisectoarelor unghiurilor interioare ale triunghiului. Segmentele OA, OB, OC care leagă O cu vârfurile triunghiului ABC vor împărți triunghiul în trei triunghiuri:

AOV, VOS, SOA. Înălțimea fiecăruia dintre aceste triunghiuri este egală cu raza și, prin urmare, ariile lor vor fi exprimate ca

Aria întregului triunghi S este egală cu suma acestor trei zone:

unde este semiperimetrul triunghiului. De aici

Raza cercului înscris este egală cu raportul dintre aria triunghiului și semiperimetrul său.

Pentru a obține o formulă pentru circumraza unui triunghi, demonstrăm următoarea propoziție.

Teorema a: În orice triunghi, latura este egală cu diametrul cercului circumscris înmulțit cu sinusul unghiului opus.

Dovada. Luați în considerare un triunghi arbitrar ABC și un cerc circumscris în jurul lui, a cărui rază va fi notată cu R (Fig. 303). Fie A unghiul ascuțit al triunghiului. Să desenăm razele OB, OS ale cercului și să aruncăm perpendiculara OK din centrul său O către latura BC a triunghiului. Rețineți că unghiul a al unui triunghi este măsurat cu jumătate din arcul BC, pentru care unghiul BOC este unghiul central. Din aceasta rezultă clar că . Prin urmare, din triunghiul dreptunghic RNS găsim , sau , care este ceea ce trebuia să demonstrăm.

Fig. dată. 303 iar raționamentul se referă la cazul unui unghi ascuțit al unui triunghi; Ar fi ușor de realizat demonstrația pentru cazurile de unghiuri drepte și obtuze (cititorul va face acest lucru singur), dar puteți folosi teorema sinusurilor (218.3). Din moment ce trebuie să fie de unde

Teorema sinusului este de asemenea scrisă în. formă

iar compararea cu forma de notație (218.3) dă pt

Raza cercului circumscris este egală cu raportul dintre produsul celor trei laturi ale triunghiului și aria sa cvadrupla.

Sarcină. Găsiți laturile unui triunghi isoscel dacă cercul său interior și, respectiv, circumferința lui au raze

Soluţie. Să scriem formule care exprimă razele cercurilor înscrise și circumscrise ale unui triunghi:

Pentru un triunghi isoscel cu o latură și o bază, aria este exprimată prin formula

sau, reducând fracția cu un factor diferit de zero, avem

ceea ce conduce la o ecuaţie pătratică în raport cu

Are doua solutii:

Înlocuind în loc de expresia sa în oricare dintre ecuațiile pentru sau R, vom găsi în sfârșit două răspunsuri la problema noastră:

Exerciții

1. Altitudinea unui triunghi dreptunghic trasat din vârful unui unghi drept, împărțind ipotenuza în raport Aflați raportul dintre fiecare catete la ipotenuză.

2. Bazele unui trapez isoscel circumscris unui cerc sunt egale cu a și b. Aflați raza cercului.

3. Două cercuri se ating în exterior. Tangentele lor comune sunt înclinate față de linia centrelor la un unghi de 30°. Lungimea segmentului tangent dintre punctele tangente este de 108 cm.Aflați razele cercurilor.

4. Catele unui triunghi dreptunghic sunt egale cu a și b. Găsiți aria unui triunghi ale cărui laturi sunt altitudinea și mediana triunghiului dat desenat din vârful unghiului drept și segmentul ipotenuzei dintre punctele de intersecție a acestora cu ipotenuza.

5. Laturile triunghiului sunt 13, 14, 15. Aflați proiecția fiecăruia dintre ele pe celelalte două.

6. Se cunosc latura și altitudinile unui triunghi.Găsiți laturile b și c.

7. Se cunosc două laturi ale triunghiului și mediana.Aflați a treia latură a triunghiului.

8. Având în vedere două laturi ale unui triunghi și un unghi a între ele: Aflați razele cercurilor înscrise și circumscrise.

9. Laturile triunghiului a, b, c sunt cunoscute. Care sunt segmentele în care sunt împărțite prin punctele de contact ale cercului înscris cu laturile triunghiului?