ORT (vector unitar). Vectori și operații pe vectori Aflați coordonatele vectorului unitar al unui vector
Vector unitar- Acest vector, a cărui valoare absolută (modul) este egală cu unitatea. Pentru a desemna un vector unitar, vom folosi indicele e Deci, dacă este dat un vector A, atunci vectorul său unitar va fi vectorul A e. Acest vector unitar este îndreptat în aceeași direcție cu vectorul însuși A, iar modulul său este egal cu unu, adică a e = 1.
Evident, A= a A e (a - modul vectorial A). Aceasta rezultă din regula prin care se realizează operația de înmulțire a unui scalar cu un vector.
Vectori unitari adesea asociat cu axele de coordonate ale unui sistem de coordonate (în special, cu axele unui sistem de coordonate carteziene). Direcțiile acestora vectori coincid cu direcțiile axelor corespunzătoare, iar originile lor sunt adesea combinate cu originea sistemului de coordonate.
Lasă-mă să-ți amintesc asta Sistemul de coordonate cartezieneîn spațiu, se numește în mod tradițional un trio de axe reciproc perpendiculare care se intersectează într-un punct numit originea coordonatelor. Axele de coordonate sunt de obicei notate cu literele X, Y, Z și sunt numite axa absciselor, axa ordonatelor și, respectiv, axa aplicată. Descartes însuși a folosit o singură axă, pe care erau trasate abscisele. Meritul folosirii sisteme topoarele aparține elevilor săi. Prin urmare sintagma Sistemul de coordonate carteziene greșit din punct de vedere istoric. E mai bine să vorbim dreptunghiular sistem de coordonate sau sistem de coordonate ortogonal. Cu toate acestea, nu vom schimba tradițiile și în viitor vom presupune că sistemele de coordonate carteziene și dreptunghiulare (ortogonale) sunt unul și același.
Vector unitar, îndreptată de-a lungul axei X, se notează i, vector unitar, îndreptată de-a lungul axei Y, se notează j, A vector unitar, îndreptat de-a lungul axei Z, este notat k. Vectori i, j, k sunt numite orts(Fig. 12, stânga), au module unice, adică
i = 1, j = 1, k = 1.
Topoarele și vectori unitari sistem de coordonate dreptunghiularîn unele cazuri au denumiri și denumiri diferite. Astfel, axa de abscisă X poate fi numită axa tangentă, iar vectorul său unitar este notat τ (litera greacă mică tau), axa ordonatelor este axa normală, vectorul său unitar este notat n, axa aplicată este axa binormală, vectorul său unitar este notat b. De ce să schimbi numele dacă esența rămâne aceeași?
Faptul este că, de exemplu, în mecanică, atunci când se studiază mișcarea corpurilor, sistemul de coordonate dreptunghiular este folosit foarte des. Deci, dacă sistemul de coordonate însuși este staționar și modificarea coordonatelor unui obiect în mișcare este urmărită în acest sistem staționar, atunci de obicei axele sunt desemnate X, Y, Z și lor. vectori unitari respectiv i, j, k.
Dar adesea, atunci când un obiect se mișcă de-a lungul unui fel de traseu curbiliniu (de exemplu, într-un cerc), este mai convenabil să luăm în considerare procesele mecanice din sistemul de coordonate care se mișcă cu acest obiect. Pentru un astfel de sistem de coordonate în mișcare sunt folosite alte nume de axe și vectorii lor unitari. Doar așa este. În acest caz, axa X este direcționată tangențial la traiectoria în punctul în care se află în prezent acest obiect. Și atunci această axă nu se mai numește axa X, ci axa tangentă, iar vectorul ei unitar nu mai este desemnat i, A τ . Axa Y este îndreptată de-a lungul razei de curbură a traiectoriei (în cazul mișcării într-un cerc - spre centrul cercului). Și deoarece raza este perpendiculară pe tangente, axa se numește axă normală (perpendiculară și normală sunt același lucru). Vectorul unitar al acestei axe nu mai este notat j, A n. A treia axă (fostă Z) este perpendiculară pe cele două anterioare. Acesta este un binormal cu orth b(Fig. 12, dreapta). Apropo, în acest caz așa sistem de coordonate dreptunghiular adesea denumite „naturale” sau naturale.
Vor fi, de asemenea, sarcini pe care le puteți rezolva singur, la care puteți vedea răspunsurile.
Concept de vector
Înainte de a învăța totul despre vectori și operațiunile pe ei, pregătiți-vă să rezolvați o problemă simplă. Există un vector al antreprenoriatului tău și un vector al abilităților tale inovatoare. Vectorul antreprenoriatului te conduce la Obiectivul 1, iar vectorul abilităților inovatoare te conduce către Scopul 2. Regulile jocului sunt de așa natură încât nu te poți deplasa pe direcțiile acestor doi vectori deodată și nu poți atinge două obiective deodată. Vectorii interacționează sau, vorbind în limbaj matematic, se efectuează o operațiune asupra vectorilor. Rezultatul acestei operațiuni este vectorul „Rezultat”, care vă duce la Obiectivul 3.
Acum spuneți-mi: rezultatul cărei operațiuni pe vectorii „Antreprenoriat” și „Abilități inovatoare” este vectorul „Rezultat”? Dacă nu vă puteți da seama imediat, nu vă descurajați. Pe măsură ce progresați prin această lecție, veți putea răspunde la această întrebare.
După cum am văzut deja mai sus, vectorul vine în mod necesar dintr-un anumit punct Aîn linie dreaptă până la un punct B. În consecință, fiecare vector are nu numai o valoare numerică - lungime, ci și o valoare fizică și geometrică - direcție. De aici rezultă prima, cea mai simplă definiție a unui vector. Deci, un vector este un segment direcționat care vine dintr-un punct A până la punctul B. Se desemnează astfel: .
Și pentru a începe diverse operatii cu vectori , trebuie să ne familiarizăm cu încă o definiție a unui vector.
Un vector este un tip de reprezentare a unui punct care trebuie atins de la un punct de plecare. De exemplu, un vector tridimensional este de obicei scris ca (x, y, z) . În termeni foarte simpli, aceste numere înseamnă cât de departe trebuie să mergi în trei direcții diferite pentru a ajunge la un punct.
Fie dat un vector. în care X = 3 (mâna dreaptă arată spre dreapta), y = 1 (mâna stângă arată înainte) z = 5 (sub punct este o scară care duce sus). Folosind aceste date, vei găsi un punct mergând 3 metri în direcția indicată de mâna dreaptă, apoi 1 metru în direcția indicată de mâna stângă, iar apoi te așteaptă o scară și, înălțându-se cu 5 metri, vei găsi în sfârșit. tu insuti la punctul final.
Toți ceilalți termeni sunt clarificări ale explicației prezentate mai sus, necesare pentru diferite operații pe vectori, adică rezolvarea unor probleme practice. Să trecem prin aceste definiții mai riguroase, concentrându-ne pe probleme tipice vectoriale.
Exemple fizice Mărimile vectoriale pot fi deplasarea unui punct material care se mișcă în spațiu, viteza și accelerația acestui punct, precum și forța care acționează asupra acestuia.
Vector geometric prezentate în spațiu bidimensional și tridimensional în formă segment direcţional. Acesta este un segment care are un început și un sfârșit.
Dacă A- începutul vectorului, și B- sfârșitul acestuia, apoi vectorul este notat cu simbolul sau cu o literă mică . În figură, sfârșitul vectorului este indicat printr-o săgeată (Fig. 1)
Lungime(sau modul) a unui vector geometric este lungimea segmentului care îl generează
Cei doi vectori sunt numiți egal , daca pot fi combinate (daca directiile coincid) prin transfer paralel, i.e. dacă sunt paralele, îndreptate în aceeași direcție și au lungimi egale.
În fizică este adesea considerat vectori fixați, specificat de punctul de aplicare, lungime și direcție. Dacă punctul de aplicare al vectorului nu contează, atunci acesta poate fi transferat, menținându-și lungimea și direcția, în orice punct din spațiu. În acest caz, vectorul este numit gratuit. Vom fi de acord să luăm în considerare numai vectori liberi.
Operații liniare pe vectori geometrici
Înmulțirea unui vector cu un număr
Produsul unui vector pe număr este un vector care se obține dintr-un vector prin întindere (at ) sau comprimare (at ) cu un factor, iar direcția vectorului rămâne aceeași dacă , și se schimbă în opus dacă . (Fig. 2)
Din definiție rezultă că vectorii și = sunt întotdeauna situați pe una sau drepte paralele. Astfel de vectori se numesc coliniare. (Putem spune, de asemenea, că acești vectori sunt paraleli, dar în algebra vectorială se obișnuiește să spunem „coliniar”). Este adevărat și invers: dacă vectorii sunt coliniari, atunci ei sunt legați prin relația
În consecință, egalitatea (1) exprimă condiția de coliniaritate a doi vectori.
Adunarea și scăderea vectorilor
Când adăugați vectori trebuie să știți asta Cantitate vectori și se numește vector, al cărui început coincide cu începutul vectorului, iar sfârșitul - cu sfârșitul vectorului, cu condiția ca începutul vectorului să fie atașat la sfârșitul vectorului. (Fig. 3)
Această definiție poate fi distribuită pe orice număr finit de vectori. Lasă-le să fie date în spațiu n vectori liberi. Când se adună mai mulți vectori, suma lor este considerată ca fiind vectorul de închidere, începutul căruia coincide cu începutul primului vector și sfârșitul cu sfârșitul ultimului vector. Adică, dacă atașați începutul vectorului la sfârșitul vectorului și începutul vectorului la sfârșitul vectorului etc. și, în sfârșit, până la sfârșitul vectorului - începutul vectorului, apoi suma acestor vectori este vectorul de închidere 
, al cărui început coincide cu începutul primului vector, iar sfârșitul - cu sfârșitul ultimului vector. (Fig. 4)
Termenii se numesc componente ale vectorului, iar regula formulată este regula poligonului. Este posibil ca acest poligon să nu fie plat.
Când un vector este înmulțit cu numărul -1, se obține vectorul opus. Vectorii și au aceleași lungimi și direcții opuse. Suma lor dă vector zero, a cărui lungime este zero. Direcția vectorului zero nu este definită.
În algebra vectorială, nu este nevoie să luăm în considerare operația de scădere separat: scăderea unui vector dintr-un vector înseamnă adăugarea vectorului opus la vector, adică. 
Exemplul 1. Simplificați expresia:
.
,
adică, vectorii pot fi adunați și înmulțiți cu numere în același mod ca polinoamele (în special, probleme de simplificare a expresiilor). De obicei, necesitatea de a simplifica expresii similare liniar cu vectori apare înainte de a calcula produsele vectorilor.
Exemplul 2. Vectori și servesc ca diagonale ale paralelogramului ABCD (Fig. 4a). Exprimați prin și vectorii , , și , care sunt laturile acestui paralelogram.
Soluţie. Punctul de intersecție al diagonalelor unui paralelogram bisectează fiecare diagonală. Găsim lungimile vectorilor solicitați în enunțul problemei fie ca jumătate din sumele vectorilor care formează un triunghi cu cei solicitați, fie ca jumătate din diferențe (în funcție de direcția vectorului care servește drept diagonală), fie, ca și în ultimul caz, jumătate din suma luată cu semnul minus. Rezultatul sunt vectorii necesari în formularea problemei:
Există toate motivele să credem că acum ați răspuns corect la întrebarea despre vectorii „Antreprenoriat” și „Abilități inovatoare” de la începutul acestei lecții. Răspuns corect: pe acești vectori se efectuează o operație de adunare.
Rezolvați singur problemele vectoriale și apoi uitați-vă la soluții
Cum se află lungimea sumei vectorilor?
Această problemă ocupă un loc special în operațiile cu vectori, deoarece implică utilizarea proprietăților trigonometrice. Să presupunem că întâlniți o sarcină ca următoarea:
Lungimile vectorului sunt date 
și lungimea sumei acestor vectori. Aflați lungimea diferenței dintre acești vectori.
Soluțiile la aceasta și alte probleme similare și explicații despre cum să le rezolvi sunt în lecție " Adunarea vectorială: lungimea sumei vectorilor și teorema cosinusului ".
Și puteți verifica soluția la astfel de probleme la Calculator online „Latura necunoscută a unui triunghi (adunare vectorială și teorema cosinusului)” .
Unde sunt produsele vectorilor?
Produsele vector-vector nu sunt operații liniare și sunt considerate separat. Și avem lecții „Produs scalar al vectorilor” și „Produși vectoriali și mixți ai vectorilor”.
Proiecția unui vector pe o axă
Proiecția unui vector pe o axă este egală cu produsul dintre lungimea vectorului proiectat și cosinusul unghiului dintre vector și axă:
După cum se știe, proiecția unui punct A pe linie dreaptă (plan) se află baza perpendicularei căzute din acest punct pe linie dreaptă (plan).
Fie un vector arbitrar (Fig. 5) și și proiecțiile originii sale (puncte A) și sfârșit (puncte B) pe axă l. (Pentru a construi o proiecție a unui punct A) trageți o linie dreaptă prin punct A un plan perpendicular pe o dreaptă. Intersecția dreptei și a planului va determina proiecția necesară.
Componentă vectorială pe axa l se numește un astfel de vector situat pe această axă, al cărui început coincide cu proiecția începutului, iar sfârșitul cu proiecția sfârșitului vectorului.
Proiecția vectorului pe axă l număr numit
,
egală cu lungimea vectorului component pe această axă, luată cu semnul plus dacă direcția componentelor coincide cu direcția axei l, și cu semnul minus dacă aceste direcții sunt opuse.
Proprietățile de bază ale proiecțiilor vectoriale pe o axă:
1. Proiecțiile vectorilor egali pe aceeași axă sunt egale între ele.
2. Când un vector este înmulțit cu un număr, proiecția lui este înmulțită cu același număr.
3. Proiecția sumei vectorilor pe orice axă este egală cu suma proiecțiilor sumelor vectorilor pe aceeași axă.
4. Proiecția vectorului pe axă este egală cu produsul dintre lungimea vectorului proiectat și cosinusul unghiului dintre vector și axă:
.
Soluţie. Să proiectăm vectori pe axă l așa cum este definit în contextul teoretic de mai sus. Din Fig. 5a este evident că proiecția sumei vectorilor este egală cu suma proiecțiilor vectorilor. Calculăm aceste proiecții:
Găsim proiecția finală a sumei vectorilor:
Relația dintre un vector și un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu
A face cunoștință Sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu a avut loc în lecția corespunzătoare, este indicat să îl deschideți într-o fereastră nouă.
Într-un sistem ordonat de axe de coordonate 0xyz axă Bou numit axa x, axa 0y – axa y, și axa 0z – axa aplicate.
Cu un punct arbitrar M vector de conectare spațială
numit vector rază puncte Mși proiectați-l pe fiecare dintre axele de coordonate. Să notăm mărimile proiecțiilor corespunzătoare:
Numerele x, y, z sunt numite coordonatele punctului M, respectiv abscisă, ordonatăȘi aplica, și sunt scrise ca un punct ordonat de numere: M(x;y;z)(Fig. 6).
Se numește un vector de unitate de lungime a cărui direcție coincide cu direcția axei vector unitar(sau ortom) topoare. Să notăm prin
În consecință, vectorii unitari ai axelor de coordonate Bou, Oi, Oz
Teorema. Orice vector poate fi extins în vectori unitari ai axelor de coordonate:
(2)
Egalitatea (2) se numește expansiunea vectorului de-a lungul axelor de coordonate. Coeficienții acestei expansiuni sunt proiecțiile vectorului pe axele de coordonate. Astfel, coeficienții de expansiune (2) ai vectorului de-a lungul axelor de coordonate sunt coordonatele vectorului.
După alegerea unui anumit sistem de coordonate în spațiu, vectorul și tripletul coordonatelor sale se determină unic unul pe celălalt, astfel încât vectorul poate fi scris sub forma
Reprezentările vectorului în forma (2) și (3) sunt identice.
Condiție de coliniaritate a vectorilor în coordonate
După cum am observat deja, vectorii sunt numiți coliniari dacă sunt legați prin relație
Să fie dați vectorii 
. Acești vectori sunt coliniari dacă coordonatele vectorilor sunt legate prin relație
,
adică coordonatele vectorilor sunt proporţionale.
Exemplul 6. Se dau vectori 
. Acești vectori sunt coliniari?
Soluţie. Să aflăm relația dintre coordonatele acestor vectori:
.
Coordonatele vectorilor sunt proporționale, prin urmare, vectorii sunt coliniari sau, ceea ce este același, paraleli.
Lungimea vectorului și cosinusurile de direcție
Datorită perpendicularității reciproce a axelor de coordonate, lungimea vectorului
egală cu lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic construit pe vectori
și se exprimă prin egalitate
(4)
Un vector este complet definit prin specificarea a două puncte (început și sfârșit), astfel încât coordonatele vectorului pot fi exprimate în termeni de coordonatele acestor puncte.
Fie, într-un sistem de coordonate dat, originea vectorului să fie în punct
iar sfârșitul este la punct
Din egalitate
Urmează asta
sau sub formă de coordonate
Prin urmare, coordonatele vectoriale sunt egale cu diferențele dintre aceleași coordonate ale sfârșitului și începutului vectorului . Formula (4) în acest caz va lua forma
Se determină direcția vectorului cosinus de direcție . Acestea sunt cosinusurile unghiurilor pe care le face vectorul cu axele Bou, OiȘi Oz. Să notăm aceste unghiuri în consecință α , β Și γ . Apoi cosinusurile acestor unghiuri pot fi găsite folosind formulele
Cosinusurile de direcție ale unui vector sunt, de asemenea, coordonatele vectorului acelui vector și, prin urmare, vectorul vectorului
.
Având în vedere că lungimea vectorului unitar este egală cu o unitate, adică
,
obținem următoarea egalitate pentru cosinusurile direcției:
Exemplul 7. Aflați lungimea vectorului X = (3; 0; 4).
Soluţie. Lungimea vectorului este
Exemplul 8. Puncte acordate:
Aflați dacă triunghiul construit pe aceste puncte este isoscel.
Soluţie. Folosind formula de lungime vectorială (6), găsim lungimile laturilor și determinăm dacă există două egale între ele:
Au fost găsite două laturi egale, prin urmare nu este nevoie să căutați lungimea celei de-a treia laturi, iar triunghiul dat este isoscel.
Exemplul 9. Aflați lungimea vectorului și cosinusurile direcției acestuia dacă 
.
Soluţie. Coordonatele vectoriale sunt date:
.
Lungimea vectorului este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor vectoriale:
.
Găsirea cosinusurilor direcției:
Rezolvați singur problema vectorului și apoi uitați-vă la soluție
Operații pe vectori dați sub formă de coordonate
Fie dați doi vectori și, definiți prin proiecțiile lor:
Să indicăm acțiunile asupra acestor vectori.
Modificarea coordonatelor x2 - x1 este de obicei indicată prin simbolul Δx12 (a se citi „delta x unu, doi”). Această intrare înseamnă că în perioada de timp de la momentul t1 la momentul t2 modificarea coordonatei corpului este Δx12 = x2 - x1. Astfel, dacă corpul s-a deplasat în direcția pozitivă a axei X a sistemului de coordonate selectat (x2 > x1), atunci Δx12 >
În fig. 45 prezintă un corp de punct B, care se mișcă în direcția negativă a axei X În perioada de timp de la t1 la t2, se deplasează de la un punct cu o coordonată x1 mai mare la un punct cu o coordonată x2 mai mică. Ca urmare, modificarea coordonatei punctului B în perioada de timp considerată este Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) m = -3 m Vectorul de deplasare în acest caz va fi direcționat în direcția negativă a axa X și modulul său |Δx12| egal cu 3 m Din exemplele luate în considerare se pot trage următoarele concluzii.
În exemplele luate în considerare (vezi Fig. 44 și 45), corpul se mișca întotdeauna într-o direcție.
Cum să găsiți modulul de deplasare în fizică (Poate că există o formulă universală?)
Prin urmare, calea parcursă de acesta este egală cu modulul de modificare a coordonatelor corpului și cu modulul de deplasare: s12 = |Δx12|.
Să determinăm modificarea coordonatelor și deplasarea corpului în perioada de timp de la t0 = 0 la t2 = 7 s. În conformitate cu definiția, modificarea coordonatei Δx02 = x2 - x0 = 2 m >
Acum să determinăm calea pe care corpul a parcurs-o în aceeași perioadă de timp de la t0 = 0 la t2 = 7 s. În primul rând, corpul a parcurs 8 m într-o direcție (care corespunde modulului de modificare a coordonatelor Δx01), apoi 6 m în direcția opusă (această valoare corespunde modulului de modificare a coordonatelor Δx12). Aceasta înseamnă că întregul corp a călătorit 8 + 6 = 14 (m). Prin definiția traseului, în intervalul de timp de la t0 la t2 corpul a parcurs o distanță s02 = 14 m.
Rezultate
Mișcarea unui punct într-o perioadă de timp este un segment direcționat al unei linii drepte, începutul căruia coincide cu poziția inițială a punctului, iar sfârșitul cu poziția finală a punctului.
Întrebări
Exerciții
Vectori, acțiuni cu vectori
teorema lui Pitagora teorema cosinusului
Vom nota lungimea vectorului cu . Modulul unui număr are o notație similară, iar lungimea unui vector este adesea numită modulul unui vector.
, Unde 
.
Prin urmare, 
.
Să ne uităm la un exemplu.
:
.
Prin urmare, lungimea vectorului 
.
Calculați lungimea vectorului 
, prin urmare, 
Începutul paginii
Să ne uităm la soluțiile exemplelor.
.
In miscare
:
:
.
.
Începutul paginii
Prin urmare, .
sau ,sau ,
Nu ai timp să-ți dai seama?
Comanda o solutie
Începutul paginii
Până acum, am luat în considerare doar mișcarea uniformă rectilinie. În acest caz, corpurile punctuale s-au deplasat în sistemul de referință selectat fie în direcția pozitivă, fie în direcția negativă a axei de coordonate X. Am constatat că, în funcție de direcția de mișcare a corpului, de exemplu, în perioada de timp din momentul t1 la momentul t2, modificarea coordonatei corpului (x2 - x1 ) poate fi pozitivă, negativă sau egală cu zero (dacă x2 = x1).
Modificarea coordonatelor x2 - x1 este de obicei indicată prin simbolul Δx12 (a se citi „delta x unu, doi”). Această intrare înseamnă că în perioada de timp de la momentul t1 la momentul t2 modificarea coordonatei corpului este Δx12 = x2 - x1. Astfel, dacă corpul s-a deplasat în direcția pozitivă a axei X a sistemului de coordonate selectat (x2 > x1), atunci Δx12 > 0. Dacă mișcarea a avut loc în direcția negativă a axei X (x21), atunci Δx12
Este convenabil să determinați rezultatul mișcării folosind o mărime vectorială. O astfel de mărime vectorială este deplasarea.
Mișcarea unui punct într-o perioadă de timp este un segment direcționat al unei linii drepte, începutul căruia coincide cu poziția inițială a punctului, iar sfârșitul cu poziția finală a punctului.
Ca orice mărime vectorială, deplasarea este caracterizată prin modul și direcție.
Vom înregistra vectorul de mișcare a unui punct în perioada de timp de la t1 la t2 în felul următor: Δx12.
Să explicăm acest lucru cu un exemplu. Lăsați un punct A (corp punct) să se miște în direcția pozitivă a axei X și, pe o perioadă de timp de la t1 la t2, să se deplaseze de la un punct cu coordonata x1 la un punct cu o coordonată x2 mai mare (Fig. 44). În acest caz, vectorul deplasare este îndreptat în direcția pozitivă a axei X, iar mărimea sa este egală cu modificarea coordonatei pe perioada de timp luată în considerare: Δx12 = x2 - x1 = (5 - 2) m = 3 m.
În fig. 45 prezintă un corp punctual B, care se mișcă în direcția negativă a axei X.
Pe parcursul perioadei de timp de la t1 la t2, se deplasează de la un punct cu o coordonată x1 mai mare la un punct cu o coordonată x2 mai mică. Ca urmare, modificarea coordonatei punctului B în perioada de timp considerată este Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) m = -3 m Vectorul de deplasare în acest caz va fi direcționat în direcția negativă a axa X și modulul său |Δx12| egal cu 3 m Din exemplele luate în considerare se pot trage următoarele concluzii.
Direcția de mișcare în timpul mișcării rectilinie într-o direcție coincide cu direcția de mișcare.
Modulul vectorului deplasare este egal cu modulul modificării coordonatelor corpului în perioada de timp considerată.
În viața de zi cu zi, conceptul de „cale” este folosit pentru a descrie rezultatul final al mișcării. De obicei, drumul este notat cu simbolul S.
Calea este întreaga distanță parcursă de un corp punct în perioada de timp luată în considerare.
Ca orice distanță, calea este o cantitate nenegativă. De exemplu, traseul parcurs de punctul A din exemplul considerat (vezi Fig. 44) este egal cu trei metri. Distanța parcursă de punctul B este de asemenea de trei metri.
În exemplele luate în considerare (vezi Fig. 44 și 45), corpul se mișca întotdeauna într-o direcție. Prin urmare, calea parcursă de acesta este egală cu modulul de modificare a coordonatelor corpului și cu modulul de deplasare: s12 = |Δx12|.
Dacă corpul s-a mișcat tot timpul într-o direcție, atunci calea parcursă de acesta este egală cu modulul de deplasare și modulul de schimbare a coordonatelor.
Situația se va schimba dacă corpul își schimbă direcția de mișcare în perioada de timp luată în considerare.
În fig. 46 arată cum s-a deplasat un corp punctual din momentul t0 = 0 până la momentul t2 = 7 s. Până la momentul t1 = 4 s, mișcarea a avut loc uniform în direcția pozitivă a axei X. Ca urmare, modificarea coordonatelor Δx01 = x1 - x0 = (11 - 3) m = -8 m corpul a început să se miște în direcția negativă a axei X până în momentul t2 = 7 s. În acest caz, modificarea coordonatelor sale este Δx12 = x2 - x1 = (5 - 11) m = -6 m Graficul acestei mișcări este prezentat în Fig. 47.
Să determinăm modificarea coordonatelor și deplasarea corpului în perioada de timp de la t0 = 0 la t2 = 7 s. În conformitate cu definiția, modificarea coordonatei Δx02 = x2 - x0 = 2 m > 0. Prin urmare, deplasarea Δx02 este direcționată în direcția pozitivă a axei X, iar modulul său este egal cu 2 m.
Acum să determinăm calea pe care corpul a parcurs-o în aceeași perioadă de timp de la t0 = 0 la t2 = 7 s. În primul rând, corpul a parcurs 8 m într-o direcție (care corespunde modulului de modificare a coordonatelor Δx01), apoi 6 m în direcția opusă (această valoare corespunde modulului de modificare a coordonatelor Δx12).
Traiectorie
Aceasta înseamnă că întregul corp a călătorit 8 + 6 = 14 (m). Prin definiția traseului, în intervalul de timp de la t0 la t2 corpul a parcurs o distanță s02 = 14 m.
Exemplul analizat ne permite să concluzionam:
În cazul în care un corp își schimbă direcția de mișcare în perioada de timp luată în considerare, traseul (întreaga distanță parcursă de corp) este mai mare atât decât modulul de mișcare al corpului, cât și modulul de modificare a coordonatelor lui. corpul.
Acum imaginați-vă că corpul, după timpul t2 = 7 s, și-a continuat mișcarea în direcția negativă a axei X până la t3 = 8 s în conformitate cu legea prezentată în Fig. 47 linie punctată. Ca urmare, în momentul de timp t3 = 8 s, coordonatele corpului a devenit egală cu x3 = 3 m. Este ușor de determinat că în acest caz mișcarea corpului în perioada de timp de la t0 la t3 s este egal cu Δx13 = 0.
Este clar că dacă știm doar deplasarea unui corp în timpul mișcării sale, atunci nu putem spune cum s-a mișcat corpul în acest timp. De exemplu, dacă s-ar ști doar despre un corp că coordonatele sale inițiale și finale sunt egale, atunci am spune că în timpul mișcării deplasarea acestui corp este zero. Ar fi imposibil să spunem ceva mai specific despre natura mișcării acestui corp. În astfel de condiții, organismul ar putea, în general, să stea nemișcat pentru întreaga perioadă de timp.
Mișcarea unui corp într-o anumită perioadă de timp depinde doar de coordonatele inițiale și finale ale corpului și nu depinde de modul în care s-a mișcat corpul în această perioadă de timp.
Rezultate
Mișcarea unui punct într-o perioadă de timp este un segment direcționat al unei linii drepte, începutul căruia coincide cu poziția inițială a punctului, iar sfârșitul cu poziția finală a punctului.
Mișcarea unui corp punctual este determinată doar de coordonatele finale și inițiale ale corpului și nu depinde de modul în care corpul s-a deplasat în perioada de timp considerată.
Calea este întreaga distanță parcursă de un corp punct în perioada de timp luată în considerare.
Dacă corpul nu și-a schimbat direcția de mișcare în timpul mișcării, atunci calea parcursă de acest corp este egală cu modulul deplasării sale.
Dacă corpul și-a schimbat direcția de mișcare în perioada de timp considerată, traseul este mai mare atât decât modulul de deplasare al corpului, cât și modulul de schimbare a coordonatelor corpului.
Calea este întotdeauna o cantitate nenegativă. Este egal cu zero numai dacă pe întreaga perioadă de timp luată în considerare corpul a fost în repaus (în picioare).
Întrebări
- Ce este mișcarea? De ce depinde?
- Ce este o cale? De ce depinde?
- Cum diferă o cale de mișcarea și schimbarea coordonatelor în aceeași perioadă de timp, în care corpul s-a deplasat în linie dreaptă fără a schimba direcția de mișcare?
Exerciții
- Folosind legea mișcării în formă grafică, prezentată în Fig. 47, descrieți natura mișcării corpului (direcție, viteză) la diferite intervale de timp: de la t0 la t1, de la t1 la t2, de la t2 la t3.
- Câinele Proton a fugit din casă la momentul t0 = 0, iar apoi, la comanda proprietarului său, la momentul t4 = 4 s, s-a repezit înapoi. Știind că Protonul rula tot timpul în linie dreaptă și mărimea vitezei sale |v| = 4 m/s, determinați grafic: a) modificarea coordonatelor și a traseului Protonului în perioada de timp de la t0 = 0 la t6 = 6 s; b) traseul protonului pe intervalul de timp de la t2 = 2 s la t5 = 5 s.
Vectori, acțiuni cu vectori
Găsirea lungimii unui vector, exemple și soluții.
Prin definiție, un vector este un segment direcționat, iar lungimea acestui segment pe o scară dată este lungimea vectorului. Astfel, sarcina de a afla lungimea unui vector în plan și în spațiu se reduce la găsirea lungimii segmentului corespunzător. Pentru a rezolva această problemă avem la dispoziție toate mijloacele de geometrie, deși în majoritatea cazurilor este suficientă teorema lui Pitagora. Cu ajutorul acestuia, puteți obține o formulă pentru calcularea lungimii unui vector din coordonatele sale într-un sistem de coordonate dreptunghiular, precum și o formulă pentru găsirea lungimii unui vector din coordonatele punctelor sale de început și de sfârșit. Când vectorul este o latură a unui triunghi, lungimea acestuia poate fi găsită prin teorema cosinusului, dacă se cunosc lungimile celorlalte două laturi și unghiul dintre ele.
Aflarea lungimii unui vector din coordonate.
Vom nota lungimea vectorului cu .
dicționar fizic (cinematică)
Modulul unui număr are o notație similară, iar lungimea unui vector este adesea numită modulul unui vector.
Să începem prin a găsi lungimea unui vector pe un plan folosind coordonatele.
Să introducem un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy pe plan. Fie specificat un vector în el și să aibă coordonate. Obținem o formulă care ne permite să aflăm lungimea unui vector prin coordonatele și .
Să trasăm vectorul de la origine (din punctul O). Să notăm proiecțiile punctului A pe axele de coordonate ca și, respectiv, și să considerăm un dreptunghi cu diagonala OA.
În virtutea teoremei lui Pitagora, egalitatea este adevărată , Unde . Din definirea coordonatelor vectoriale într-un sistem de coordonate dreptunghiular, putem afirma că și , și prin construcție, lungimea OA este egală cu lungimea vectorului, prin urmare, .
Prin urmare, formula pentru determinarea lungimii unui vector după coordonatele sale pe plan are forma .
Dacă vectorul este reprezentat ca o expansiune în vectori de coordonate , apoi lungimea sa este calculată folosind aceeași formulă , deoarece în acest caz coeficienții și sunt coordonatele vectorului într-un sistem de coordonate dat.
Să ne uităm la un exemplu.
Aflați lungimea vectorului dat în sistemul de coordonate carteziene.
Aplicați imediat formula pentru a găsi lungimea vectorului din coordonate :
Acum obținem formula pentru găsirea lungimii vectorului în funcție de coordonatele sale în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiu.
Să trasăm vectorul de la origine și să notăm proiecțiile punctului A pe axele de coordonate ca și . Apoi putem construi un paralelipiped dreptunghiular pe laturi, în care OA va fi diagonala.
În acest caz (deoarece OA este diagonala unui paralelipiped dreptunghiular), de unde . Determinarea coordonatelor vectorului ne permite să scriem egalități, iar lungimea OA este egală cu lungimea dorită a vectorului, prin urmare, .
Prin urmare, lungimea vectorului în spațiu este egal cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale, adică găsit prin formula .
Calculați lungimea vectorului , unde sunt vectorii unitari ai sistemului de coordonate dreptunghiulare.
Ni se oferă o descompunere vectorială în vectori de coordonate de forma , prin urmare, . Apoi, folosind formula pentru găsirea lungimii unui vector din coordonate, avem .
Începutul paginii
Lungimea unui vector prin coordonatele punctelor sale de început și de sfârșit.
Cum să găsiți lungimea unui vector dacă sunt date coordonatele punctelor sale de început și de sfârșit?
În paragraful anterior, am obținut formule pentru găsirea lungimii unui vector din coordonatele sale pe un plan și în spațiu tridimensional. Apoi le putem folosi dacă găsim coordonatele vectorului din coordonatele punctelor începutului și sfârșitului său.
Astfel, dacă punctele și sunt date pe plan, atunci vectorul are coordonate iar lungimea sa se calculează prin formula , și formula pentru găsirea lungimii unui vector din coordonatele punctelor iar spațiul tridimensional are forma .
Să ne uităm la soluțiile exemplelor.
Aflați lungimea vectorului dacă este într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare .
Puteți aplica imediat formula pentru a găsi lungimea unui vector din coordonatele punctelor de început și de sfârșit din plan :
A doua soluție este să determinați coordonatele vectorului prin coordonatele punctelor și să aplicați formula :
.
Determinați la ce valori lungimea vectorului este egală dacă .
Lungimea vectorului de la coordonatele punctelor de început și de sfârșit poate fi găsită ca
Echivalând valoarea rezultată a lungimii vectorului cu , le calculăm pe cele necesare:
Începutul paginii
Aflarea lungimii unui vector folosind teorema cosinusului.
Majoritatea problemelor care implică găsirea lungimii unui vector sunt rezolvate în coordonate. Totuși, când coordonatele vectorului nu sunt cunoscute, trebuie să căutăm alte soluții.
Fie cunoscute lungimile a doi vectori și unghiul dintre ei (sau cosinusul unghiului) și trebuie să găsiți lungimea vectorului sau . În acest caz, folosind teorema cosinusului din triunghiul ABC, puteți calcula lungimea laturii BC, care este egală cu lungimea dorită a vectorului.
Să analizăm soluția exemplului pentru a clarifica ceea ce s-a spus.
Lungimile vectorilor și sunt egale cu 3, respectiv 7, iar unghiul dintre ei este egal cu . Calculați lungimea vectorului.
Lungimea vectorului este egală cu lungimea laturii BC din triunghiul ABC. Din condiția cunoaștem lungimile laturilor AB și AC ale acestui triunghi (sunt egale cu lungimile vectorilor corespunzători), precum și unghiul dintre ele, deci avem suficiente date pentru a aplica teorema cosinusului:
Prin urmare, .
Deci, pentru a găsi lungimea unui vector din coordonate, folosim formulele sau ,
în funcție de coordonatele punctelor de început și de sfârșit ale vectorului - sau ,
în unele cazuri teorema cosinusului conduce la rezultat.
Nu ai timp să-ți dai seama?
Comanda o solutie
Începutul paginii
- Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară. Volumul unu: elemente de algebră liniară și geometrie analitică.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Clasele 7 – 9: manual pentru instituțiile de învățământ general.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Manual pentru clasele 10-11 de liceu.
Caută Prelegeri
Vector pătrat scalar
Ce se întâmplă dacă un vector este înmulțit cu el însuși?
Numărul este sunat pătrat scalar vector și sunt notate ca .
Prin urmare, vector scalar pătrategal cu pătratul lungimii unui vector dat:
În geometrie, un vector este un segment direcționat sau o pereche ordonată de puncte în spațiul euclidian. Ortom vector este vectorul unitar al unui spațiu vectorial normalizat sau un vector a cărui normă (lungime) este egală cu unu.
Vei avea nevoie
- Cunoștințe de geometrie.
Instrucțiuni
Mai întâi trebuie să calculați lungimea vector. După cum se știe, lungimea (modulul) vector egal cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor. Fie dat un vector cu coordonatele: a(3, 4). Atunci lungimea sa este |a| = (9 + 16)^1/2 sau |a|=5.
Pentru a găsi ort vector a, trebuie să împărțiți fiecare la lungimea sa. Rezultatul va fi un vector numit orth sau vector unitar. Pentru vector a(3, 4) ort va fi vectorul a(3/5, 4/5). Vectorul a` va fi unitate pentru vector A.
Pentru a verifica dacă ort-ul este găsit corect, puteți face următoarele: găsiți lungimea ort-ului rezultat dacă este egal cu unu, atunci totul a fost găsit corect, atunci s-a strecurat în calcule; Să verificăm dacă ort a` este găsit corect. Lungime vector a` este egal cu: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Deci, lungimea vector a` este egal cu unu, ceea ce înseamnă că vectorul unitar a fost găsit corect.
