Prezentare - fracții în Babilon, Roma, Egipt - descoperirea fracțiilor zecimale. Lucrarea de cercetare „istoria originii fracțiilor” Apariția fracțiilor zecimale în Babilon

Fracțiile sunt încă considerate una dintre cele mai dificile domenii ale matematicii. Istoria fracțiilor datează de mai bine de o mie de ani. Capacitatea de a împărți un întreg în părți a apărut pe teritoriul Egiptului antic și Babilonului. De-a lungul anilor, operațiunile efectuate cu fracții au devenit mai complexe, iar forma înregistrării acestora s-a schimbat. Fiecare avea propriile sale caracteristici în „relația” cu această ramură a matematicii.

Ce este o fracție?

Când a apărut nevoia de a împărți un întreg în părți fără efort suplimentar, atunci au apărut fracțiile. Istoria fracțiilor este indisolubil legată de soluționarea problemelor utilitare. Termenul „fracție” în sine are rădăcini arabe și provine dintr-un cuvânt care înseamnă „a rupe, a împărți”. Puține s-au schimbat în acest sens din cele mai vechi timpuri. Definiția modernă este următoarea: o fracție este o parte sau o sumă a părților unei unități. În consecință, exemplele cu fracții reprezintă execuția secvențială a operațiilor matematice cu fracții de numere.

Astăzi există două moduri de a le înregistra. au apărut în vremuri diferite: primele sunt mai vechi.

A venit din timpuri imemoriale

Pentru prima dată au început să opereze cu fracțiuni în Egipt și Babilon. Abordarea matematicienilor celor două țări a avut diferențe semnificative. Totuși, începutul a fost făcut în același mod în ambele cazuri. Prima fracție a fost jumătate sau 1/2. Apoi a apărut un sfert, un al treilea și așa mai departe. Potrivit săpăturilor arheologice, istoria originii fracțiilor datează de aproximativ 5 mii de ani. Pentru prima dată, fracțiunile unui număr se găsesc în papirusurile egiptene și pe tăblițele de lut babiloniene.

Egiptul antic

Tipurile de fracții obișnuite de astăzi includ așa-numitele fracții egiptene. Ele reprezintă suma mai multor termeni de forma 1/n. Numătorul este întotdeauna unul, iar numitorul este un număr natural. Este greu de ghicit că astfel de fracții au apărut în Egiptul antic. Când am calculat, am încercat să notăm toate acțiunile sub forma unor astfel de sume (de exemplu, 1/2 + 1/4 + 1/8). Doar fracțiile 2/3 și 3/4 aveau denumiri separate; restul au fost împărțite în termeni. Existau tabele speciale în care fracțiile unui număr erau prezentate ca o sumă.

Cea mai veche referire cunoscută la un astfel de sistem se găsește în Papirusul matematic Rhind, datând de la începutul mileniului II î.Hr. Include un tabel de fracții și probleme de matematică cu soluții și răspunsuri prezentate ca sume de fracții. Egiptenii știau să adună, să împartă și să înmulțească fracții dintr-un număr. Fracțiile din Valea Nilului au fost scrise folosind hieroglife.

Reprezentarea unei fracții dintr-un număr ca sumă de termeni de forma 1/n, caracteristică Egiptului antic, a fost folosită de matematicieni nu numai din această țară. Până în Evul Mediu, fracțiile egiptene erau folosite în Grecia și în alte țări.

Dezvoltarea matematicii în Babilon

Matematica arăta diferit în regatul babilonian. Istoria apariției fracțiilor aici este direct legată de particularitățile sistemului de numere moștenite de statul antic de la predecesorul său, civilizația sumerian-akkadiană. Tehnologia de calcul în Babilon era mai convenabilă și mai avansată decât în ​​Egipt. Matematica din această țară a rezolvat o gamă mult mai largă de probleme.

Realizările babilonienilor de astăzi pot fi judecate după tăblițele de lut supraviețuitoare pline cu cuneiforme. Datorită particularităților materialului, au ajuns la noi în cantități mari. După unii, în Babilon, înainte de Pitagora, a fost descoperită o teoremă binecunoscută, care mărturisește fără îndoială dezvoltarea științei în această stare străveche.

Fracții: Istoria fracțiilor în Babilon

Sistemul numeric din Babilon era sexagesimal. Fiecare cifră nouă diferă de cea anterioară cu 60. Acest sistem a fost păstrat în lumea modernă pentru a indica timpul și unghiurile. Fracțiile au fost și sexagesimale. Pictogramele speciale au fost folosite pentru înregistrare. Ca și în Egipt, exemplele cu fracții conțineau simboluri separate pentru 1/2, 1/3 și 2/3.

Sistemul babilonian nu a dispărut odată cu statul. Fracțiile scrise în sistemul de 60 de cifre au fost folosite de astronomii și matematicienii antici și arabi.

Grecia antică

Istoria fracțiilor obișnuite a fost puțin îmbogățită în Grecia antică. Locuitorii din Hellas credeau că matematica ar trebui să opereze numai cu numere întregi. Prin urmare, expresiile cu fracții nu s-au găsit practic niciodată pe paginile tratatelor grecești antice. Cu toate acestea, pitagoreenii au adus o anumită contribuție la această ramură a matematicii. Ei au înțeles fracțiile ca rapoarte sau proporții, iar unitatea a fost, de asemenea, considerată indivizibilă. Pitagora și studenții săi au construit o teorie generală a fracțiilor, au învățat să efectueze toate cele patru operații aritmetice, precum și să compare fracții aducându-le la un numitor comun.

Sfantul Imperiu Roman

Sistemul roman de fracții a fost asociat cu o măsură a greutății numită „cură”. A fost împărțit în 12 acțiuni. 1/12 dintr-un as se numea uncie. Au fost 18 nume pentru fracții. Aici sunt câțiva dintre ei:

semi - jumătate de assa;

sextante - a șasea parte a fundului;

șapte uncie - jumătate de uncie sau 1/24 de fund.

Dezavantajul unui astfel de sistem era imposibilitatea reprezentării unui număr ca fracție cu numitorul 10 sau 100. Matematicienii romani au depășit dificultatea folosind procente.

Scrierea fracțiilor comune

În Antichitate, fracțiile erau deja scrise într-un mod familiar: un număr peste altul. Cu toate acestea, a existat o diferență semnificativă. Numătorul era situat sub numitor. Ei au început să scrie fracții astfel în India antică. Metoda modernă a fost folosită de arabi. Dar niciunul dintre popoarele numite nu a folosit o linie orizontală pentru a separa numărătorul și numitorul. Apare pentru prima dată în scrierile lui Leonardo din Pisa, mai cunoscut sub numele de Fibonacci, în 1202.

China

Dacă istoria apariției fracțiilor obișnuite a început în Egipt, atunci zecimale au apărut pentru prima dată în China. În Imperiul Celest au început să fie folosite în jurul secolului al III-lea î.Hr. Istoria fracțiilor zecimale a început cu matematicianul chinez Liu Hui, care a propus utilizarea lor în extragerea rădăcinilor pătrate.

În secolul al III-lea d.Hr., fracțiile zecimale au început să fie folosite în China pentru a calcula greutatea și volumul. Treptat au început să pătrundă din ce în ce mai adânc în matematică. În Europa însă, zecimalele au intrat în uz mult mai târziu.

Al-Kashi din Samarkand

Indiferent de predecesorii chinezi, fracțiile zecimale au fost descoperite de astronomul al-Kashi din orașul antic Samarkand. A trăit și a lucrat în secolul al XV-lea. Omul de știință și-a conturat teoria în tratatul „Cheia aritmeticii”, care a fost publicat în 1427. Al-Kashi a propus utilizarea unei noi forme de scriere a fracțiilor. Atât părțile întregi, cât și cele fracționale au fost acum scrise pe aceeași linie. Astronomul din Samarkand nu a folosit virgulă pentru a le separa. El a scris întregul număr și partea fracțională în diferite culori folosind cerneală neagră și roșie. Uneori, al-Kashi folosea și o linie verticală pentru a separa.

Decimale în Europa

Un nou tip de fracții a început să apară în lucrările matematicienilor europeni în secolul al XIII-lea. Trebuie remarcat faptul că nu erau familiarizați cu lucrările lui al-Kashi, precum și cu invenția chinezilor. Fracțiile zecimale au apărut în scrierile lui Jordan Nemorarius. Apoi au fost folosite deja în secolul al XVI-lea de un om de știință francez care a scris „Canonul matematic”, care conținea tabele trigonometrice. Viet a folosit fracții zecimale în ele. Pentru a separa părțile întregi și fracționale, omul de știință a folosit o bară verticală, precum și diferite dimensiuni de font.

Totuși, acestea au fost doar cazuri speciale de utilizare științifică. Fracțiile zecimale au început să fie folosite în Europa ceva mai târziu pentru a rezolva problemele de zi cu zi. Acest lucru s-a întâmplat datorită savantului olandez Simon Stevin la sfârșitul secolului al XVI-lea. A publicat lucrarea de matematică „Al zecelea” în 1585. În ea, omul de știință a conturat teoria utilizării fracțiilor zecimale în aritmetică, în sistemul monetar și pentru determinarea greutăților și măsurilor.

Punct, punct, virgulă

De asemenea, Stevin nu a folosit virgulă. El a separat cele două părți ale fracției folosind un zero înconjurat de un cerc.

Prima dată când o virgulă a separat două părți dintr-o fracție zecimală a fost în 1592. În Anglia, însă, au început să folosească un punct. În Statele Unite, zecimalele sunt încă scrise astfel.

Unul dintre inițiatorii folosirii ambelor semne de punctuație pentru a separa părțile întregi și fracționale a fost matematicianul scoțian John Napier. El și-a exprimat propunerea în 1616-1617. Omul de știință german a folosit și virgula

Fracții în Rus'

Pe pământul rusesc, primul matematician care a explicat împărțirea întregului în părți a fost călugărul Novgorod Kirik. În 1136, el a scris o lucrare în care a subliniat metoda „numărării anilor”. Kirik s-a ocupat de probleme de cronologie și calendar. În lucrarea sa, el a citat și împărțirea orei în părți: cincimi, douăzeci și cinci, și așa mai departe.

Împărțirea întregului în părți a fost folosită la calcularea sumei impozitului în secolele XV-XVII. S-au folosit operațiile de adunare, scădere, împărțire și înmulțire cu părți fracționale.

Cuvântul „fracție” însuși a apărut în Rus' în secolul al VIII-lea. Provine de la verbul „a împărți, a împărți în părți”. Strămoșii noștri au folosit cuvinte speciale pentru a numi fracțiile. De exemplu, 1/2 a fost desemnat ca jumătate sau jumătate, 1/4 ca un sfert, 1/8 ca jumătate, 1/16 ca jumătate și așa mai departe.

Teoria completă a fracțiilor, nu mult diferită de cea modernă, a fost prezentată în primul manual de aritmetică, scris în 1701 de Leonti Filippovici Magnitsky. „Aritmetica” a constat din mai multe părți. Autorul vorbește despre fracții în detaliu în secțiunea „Despre numerele rupte sau cu fracții”. Magnitsky oferă operații cu numere „rupte” și denumiri diferite ale acestora.

Astăzi, fracțiile sunt încă printre cele mai dificile ramuri ale matematicii. Nici istoria fracțiilor nu a fost simplă. Diferite popoare, uneori independente unele de altele, iar uneori împrumutând experiența predecesorilor lor, au ajuns la nevoia de a introduce, stăpâni și folosi fracții de numere. Studiul fracțiilor a luat naștere întotdeauna din observații practice și datorită problemelor presante. Era necesar să se împartă pâinea, să se delimiteze terenuri egale, să se calculeze impozitele, să se măsoare timpul și așa mai departe. Specificul utilizării fracțiilor și operațiilor matematice cu acestea depindea de sistemul numeric din stare și de nivelul general de dezvoltare al matematicii. Într-un fel sau altul, depășind mai bine de o mie de ani, secțiunea de algebră dedicată fracțiilor de numere a fost formată, dezvoltată și este folosită cu succes astăzi pentru o varietate de nevoi, atât practice, cât și teoretice.

1.4. Fracții în Roma Antică.

Romanii foloseau în principal doar fracțiuni concrete, care înlocuiau părți abstracte cu subdiviziuni ale măsurilor folosite. Acest sistem de fracții se baza pe împărțirea unei unități de greutate în 12 părți, care se numea fund. Așa au apărut fracțiile duozecimale romane, adică. fracții al căror numitor a fost întotdeauna doisprezece. A douăsprezecea parte a unui as se numea uncie. În loc de 1/12, romanii spuneau „o uncie”, 5/12 – „cinci uncii”, etc. Trei uncii se numeau un sfert, patru uncii o treime, șase uncii jumătate.

Iar calea, timpul și alte cantități au fost comparate cu un lucru vizual - greutatea. De exemplu, un roman ar putea spune că a mers șapte uncii dintr-o potecă sau că a citit cinci uncii dintr-o carte. În acest caz, desigur, nu a fost vorba despre cântărirea cărării sau a cărții. Aceasta însemna că 7/12 din călătorie fuseseră finalizate sau 5/12 din carte au fost citite. Iar pentru fracțiile obținute prin reducerea fracțiilor cu numitorul de 12 sau împărțirea a douăsprezecelea în altele mai mici, existau denumiri speciale. În total, au fost folosite 18 denumiri diferite pentru fracții. De exemplu, au fost folosite următoarele nume:

„scrupulus” - 1/288 assa,

"semis" - jumătate assa,

„sextanța” este a șasea parte a acesteia,

„semiouncie” - jumătate de uncie, adică 1/24 măgari etc.

Pentru a lucra cu astfel de fracții, a fost necesar să ne amintim tabelul de adunare și tabelul de înmulțire pentru aceste fracții. Prin urmare, negustorii romani știau cu tărie că, atunci când adăugați triens (1/3 assa) și sextani, rezultatul este semis, iar când înmulțim imp (2/3 assa) cu sescunce (2/3 uncie, adică 1/8 assa), rezultatul este o uncie . Pentru a facilita munca, au fost întocmite tabele speciale, dintre care unele au ajuns la noi.

O uncie era desemnată printr-o linie - jumătate de assa (6 uncii) - cu litera S (prima din cuvântul latin Semis - jumătate). Aceste două semne au servit la înregistrarea oricărei fracțiuni duozecimale, fiecare având propriul nume. De exemplu, 7\12 a fost scris astfel: S-.

În secolul I î.Hr., remarcabilul orator și scriitor roman Cicero a spus: „Fără cunoașterea fracțiilor, nimeni nu poate fi recunoscut ca știind aritmetica!”

Următorul fragment din opera celebrului poet roman din secolul I î.Hr. Horațiu, despre o conversație între un profesor și un elev într-una dintre școlile romane din acea epocă, este tipic:

Învățătorul: Fiul lui Albin să-mi spună cât va rămâne dacă din cinci uncii i se ia o uncie!

Student: O treime.

Profesorul: Așa e, cunoști bine fracțiile și vei putea salva proprietatea ta.

1.5. Fracții în Grecia Antică.

În Grecia Antică, aritmetica - studiul proprietăților generale ale numerelor - era separată de logistică - arta calculului. Grecii credeau că fracțiile pot fi folosite doar în logistică. Grecii operau liber toate operațiile aritmetice cu fracții, dar nu le recunoșteau ca numere. Fracțiile nu au fost găsite în lucrările grecești de matematică. Oamenii de știință greci credeau că matematica ar trebui să se ocupe doar de numere întregi. Ei au lăsat să schimbe fracțiile negustorilor, artizanilor, precum și astronomilor, topografilor, mecanicilor și altor „oameni de culoare”. „Dacă vrei să împarți o unitate, matematicienii te vor ridiculiza și nu-ți vor permite să o faci”, a scris Platon, fondatorul Academiei din Atena.

Dar nu toți matematicienii greci antici au fost de acord cu Platon. Astfel, în tratatul său „Despre măsurarea unui cerc”, Arhimede folosește fracții. Heron of Alexandria a manipulat, de asemenea, fracțiile liber. La fel ca egiptenii, el descompune o fracție în suma fracțiilor de bază. În loc de 12\13 scrie 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, în loc de 5\12 scrie 1\3 + 1\12 etc. Chiar și Pitagora, care a tratat numerele naturale cu trepidare sacră, atunci când a creat teoria scalei muzicale, a conectat principalele intervale muzicale cu fracții. Adevărat, Pitagora și studenții săi nu au folosit însuși conceptul de fracții. Ei și-au permis să vorbească doar despre raporturile numerelor întregi.

Deoarece grecii lucrau cu fracții doar sporadic, au folosit notații diferite. Heron și Diophantus au scris fracțiile în formă alfabetică, cu numărătorul plasat sub numitor. Pentru unele fracții au fost folosite denumiri separate, de exemplu, pentru 1\2 - L′′, dar, în general, numerotarea lor alfabetică a făcut dificilă desemnarea fracțiilor.

Pentru fracțiile unitare s-a folosit o notație specială: numitorul fracției a fost însoțit de o lovitură în dreapta, numărătorul nu a fost scris. De exemplu, în sistemul alfabetic însemna 32 și " - fracția 1\32. Există astfel de înregistrări ale fracțiilor obișnuite în care numărătorul cu un prim și numitorul luat de două ori cu două numere prime sunt scrise unul lângă altul pe o linie. Așa, de exemplu, Heron din Alexandria a notat fracția 3 \4:
.

Dezavantajul notației grecești pentru numerele fracționale se datorează faptului că grecii au înțeles cuvântul „număr” ca un set de unități, deci ceea ce considerăm acum ca un singur număr rațional - o fracție - grecii au înțeles ca raport dintre două numere întregi. Aceasta explică de ce fracțiile au fost rareori găsite în aritmetica greacă. Preferința a fost acordată fie fracțiilor cu numărător de unitate, fie fracțiilor sexagesimale. Domeniul în care calculele practice aveau cea mai mare nevoie de fracții exacte era astronomia, iar aici tradiția babiloniană era atât de puternică încât a fost folosită de toate națiunile, inclusiv de Grecia.

1.6. Fracții în Rus'

Primul matematician rus, cunoscut de noi pe nume, călugărul mănăstirii Novgorod Kirik, s-a ocupat de probleme de cronologie și calendar. În cartea sa scrisă de mână „Învățarea lui să spună unei persoane numerele tuturor anilor” (1136), i.e. „Instrucțiuni despre cum o persoană poate cunoaște numărul de ani” aplică împărțirea orei în cincimi, douăzeci și cincimi etc. fracții, pe care el le-a numit „ore fracționate” sau „caste”. Ajunge la cea de-a șaptea fracțiune de oră, din care sunt 937.500 într-o zi sau noapte, și spune că nu vine nimic din cea de-a șaptea fracțiune de oră.

În primele manuale de matematică (secolul al VII-lea), fracțiile au fost numite fracții, ulterior „numere sparte”. În limba rusă, cuvântul fracție a apărut în secolul al VIII-lea; provine de la verbul „droblit” - a rupe, a rupe în bucăți. La scrierea unui număr a fost folosită o linie orizontală.

În manualele vechi există următoarele nume de fracții în Rus':

1/2 - jumătate, jumătate

1/3 – treime

1/4 – par

1/6 – jumătate de treime

1/8 - jumătate

1/12 – jumătate de treime

1/16 - jumătate de jumătate

1/24 – jumătate și jumătate de treime (treime mică)

1/32 – jumătate jumătate jumătate (jumătate mică)

1/5 – piatina

1/7 - săptămână

1/10 este o zecime.

Măsura terenului de un sfert sau mai mică a fost folosită în Rusia -

jumatate de sfert, care se numea octina. Acestea erau fracții concrete, unități de măsurare a suprafeței pământului, dar octina nu putea măsura timpul sau viteza etc. Mult mai târziu, octina a început să însemne fracția abstractă 1/8, care poate exprima orice valoare.

Despre utilizarea fracțiilor în Rusia în secolul al XVII-lea, puteți citi următoarele în cartea lui V. Bellustin „Cum au ajuns oamenii treptat la aritmetica reală”: „Într-un manuscris din secolul al XVII-lea. „Articolul numeric privind decretul tuturor fracțiilor” începe direct cu desemnarea scrisă a fracțiilor și cu indicarea numărătorului și numitorului. La pronunțarea fracțiilor, sunt interesante următoarele caracteristici: a patra parte a fost numită un sfert, în timp ce fracțiile cu numitorul de la 5 la 11 erau exprimate în cuvinte care se termină în „ina”, astfel încât 1/7 este o săptămână, 1/5 este un cinci, 1/10 este o zecime; acțiunile cu numitori mai mari de 10 au fost pronunțate folosind cuvintele „loturi”, de exemplu 5/13 - cinci treisprezecemi de loturi. Numerotarea fracțiilor a fost împrumutată direct din sursele occidentale... Numărătorul era numit numărul de sus, numitorul era numit cel de jos.”

Încă din secolul al XVI-lea, abacul din scânduri a fost foarte popular în Rusia - calcule folosind un dispozitiv care a fost prototipul abacului rusesc. A făcut posibilă efectuarea rapidă și ușoară a operațiilor aritmetice complexe. Contul de scânduri era foarte răspândit în rândul comercianților, angajaților ordinelor de la Moscova, „măsuratori” - geodezi, economiști monahali etc.

În forma sa originală, abacul de tablă a fost special adaptat nevoilor de aritmetică avansată. Acesta este un sistem de impozitare în Rusia din secolele XV-XVII, în care, împreună cu adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor întregi, a fost necesar să se efectueze aceleași operații cu fracții, deoarece unitatea convențională de impozitare - plugul - a fost împărțit în părți.

Contul de scândură era format din două cutii pliabile. Fiecare cutie a fost împărțită în două (mai târziu doar în partea de jos); a doua casetă era necesară datorită naturii contului de numerar. În interiorul cutiei, oasele erau înșirate pe snururi sau fire întinse. În conformitate cu sistemul numeric zecimal, rândurile pentru numere întregi aveau 9 sau 10 zaruri; operațiile cu fracții se efectuau pe rânduri incomplete: un rând de trei zaruri era trei treimi, un rând de patru zaruri era patru sferturi (patru). Mai jos erau rânduri în care era câte un zar: fiecare zar reprezenta jumătate din fracția sub care se afla (de exemplu, zarul situat sub un rând de trei zaruri era jumătate dintr-o treime, zarul de sub el era jumătate din jumătate din o treime etc.). Adăugarea a două fracții „coezive” identice dă fracția de cel mai apropiat rang superior, de exemplu, 1/12+1/12=1/6 etc. În abac, adăugarea a două astfel de fracții corespunde trecerii la cel mai apropiat domino superior.

Fracțiile au fost însumate fără reducere la un numitor comun, de exemplu, „un sfert și jumătate de treime și o jumătate de jumătate” (1/4 + 1/6 + 1/16). Uneori operațiile cu fracții se făceau ca și cu întregi prin echivalarea întregului (plug) cu o anumită sumă de bani. De exemplu, dacă sokha = 48 de unități monetare, fracția de mai sus va fi 12 + 8 + 3 = 23 de unități monetare.

În aritmetica avansată a trebuit să se ocupe de fracții mai mici. Unele manuscrise oferă desene și descrieri ale „plăcilor de numărare” similare celor discutate, dar cu un număr mare de rânduri cu un singur os, astfel încât să poată fi așezate pe ele fracții de până la 1/128 și 1/96. Nu există nicio îndoială că au fost fabricate și instrumente corespunzătoare. Pentru comoditatea calculatoarelor, au fost date multe reguli ale „Codul oaselor mici”, adică. adunarea fracțiilor utilizate în mod obișnuit în calculele obișnuite, cum ar fi: trei patru pluguri și jumătate de plug și jumătate de plug etc. pana la jumatate jumatate jumatate jumatate jumatate un plug este un plug fara jumatate jumatate jumatate jumatate jumatate, i.e. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 etc.

Dar dintre fracții au fost luate în considerare doar 1/2 și 1/3, precum și cele obținute din ele folosind împărțirea secvențială la 2. „Numărarea scândurilor” nu era potrivită pentru operațiuni cu fracții din alte serii. Când se operează cu ele, a fost necesar să se facă referire la tabele speciale în care erau date rezultatele diferitelor combinații de fracții.

ÎN 1703 A fost publicat primul manual rusesc tipărit de matematică „Aritmetică”. Autorul Magnitsky Leonti Fillipovich. În partea a doua a acestei cărți, „Despre numerele rupte sau cu fracții”, este prezentat în detaliu studiul fracțiilor.

Magnitsky are un caracter aproape modern. Magnitsky se ocupă mai detaliat asupra calculului acțiunilor decât manualele moderne. Magnitsky consideră fracțiile ca numere numite (nu doar 1/2, ci 1/2 dintr-o rublă, pud etc.) și studiază operațiile cu fracții în procesul de rezolvare a problemelor. Că există un număr rupt, Magnitsky răspunde: „Un număr rupt nu este altceva, doar o parte a unui lucru declarată ca număr, adică jumătate de rublă este jumătate de rublă și este scrisă ca o rublă, sau o rublă, sau o rublă, sau două cincimi și tot felul de lucruri care sunt fie părți declarate ca număr, adică un număr rupt.” Magnitsky dă numele tuturor fracțiilor proprii cu numitori de la 2 la 10. De exemplu, fracții cu un numitor 6: un șaisprezece, doi șaisprezece, trei șaisprezece, patru șaisprezece, cinci șaisprezece.

Magnitsky folosește numele numărător, numitor, ia în considerare fracțiile improprie, numerele mixte, pe lângă toate acțiunile, izolează întreaga parte a unei fracții improprie.

Studiul fracțiilor a rămas întotdeauna cea mai dificilă secțiune a aritmeticii, dar, în același timp, în oricare dintre epocile anterioare, oamenii și-au dat seama de importanța studierii fracțiilor, iar profesorii au încercat să-și încurajeze elevii în poezie și proză. L. Magnitsky a scris:

Dar nu există aritmetică

Izho este întregul inculpat,

Și în aceste acțiuni nu există nimic,

Este posibil să răspunzi.

Oh, te rog, te rog,

Să poţi fi în părţi.

1.7. Fracții în China antică

În China, aproape toate operațiile aritmetice cu fracții obișnuite au fost stabilite până în secolul al II-lea. î.Hr e.; ele sunt descrise în corpul fundamental de cunoștințe matematice din China antică - „Matematica în nouă cărți”, a cărei ediție finală îi aparține lui Zhang Cang. Calculând pe baza unei reguli similare cu algoritmul lui Euclid (cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului), matematicienii chinezi au redus fracțiile. Înmulțirea fracțiilor a fost considerată ca găsirea suprafeței unui teren dreptunghiular, a cărui lungime și lățime sunt exprimate ca fracții. Diviziunea a fost luată în considerare folosind ideea de împărtășire, în timp ce matematicienii chinezi nu au fost jenați de faptul că numărul de participanți la divizie ar putea fi fracțional, de exemplu, 3⅓ persoane.

Inițial, chinezii au folosit fracții simple, care au fost denumite folosind hieroglifa de baie:

ban („jumătate”) –1\2;

shao ban („jumătate mică”) –1\3;

tai banh („jumătate mare”) –2\3.

Următoarea etapă a fost dezvoltarea unei înțelegeri generale a fracțiilor și formarea regulilor de operare cu acestea. Dacă în Egiptul antic se foloseau numai fracții alicote, atunci în China acestea, considerate fracțiuni-fen, erau considerate una dintre varietățile de fracții, și nu singurele posibile. Matematica chineză s-a ocupat de numere mixte încă din cele mai vechi timpuri. Cel mai vechi dintre textele matematice, Zhou Bi Xuan Jing (Canonul de calcul al Zhou Gnomon/Tratat de matematică despre Gnomon), conține calcule care ridică numere precum 247 933 / 1460 la puteri.

În „Jiu Zhang Xuan Shu” („Reguli de numărare în nouă secțiuni”), o fracție este considerată ca parte a unui întreg, care este exprimată în numărul n al fracțiilor sale-fen – m (n

În prima secțiune a „Jiu Zhang Xuan Shu”, care este în general dedicată măsurării câmpurilor, regulile de reducere, adunare, scădere, împărțire și înmulțire a fracțiilor, precum și compararea și „egalizarea” acestora sunt date separat. o astfel de comparație a trei fracții în care este necesar să se găsească media lor aritmetică (o regulă mai simplă pentru calcularea mediei aritmetice a două numere nu este dată în carte).

De exemplu, pentru a obține suma fracțiilor din eseul indicat, sunt oferite următoarele instrucțiuni: „Înmulțiți alternativ (hu cheng) numărătorii cu numitorii. Adaugă - acesta este dividendul (shi). Înmulțiți numitorii - acesta este divizorul (fa). Combinați dividendul și divizorul într-unul(e). Dacă există un rest, conectați-l la divizor.” Această instrucțiune înseamnă că, dacă se adună mai multe fracții, atunci numărătorul fiecărei fracții trebuie înmulțit cu numitorii tuturor celorlalte fracții. Când se „combină” dividendul (ca sumă a rezultatelor unei astfel de înmulțiri) cu un divizor (produsul tuturor numitorilor), se obține o fracție, care ar trebui redusă dacă este necesar și de care întreaga parte ar trebui separată prin diviziune. , atunci „restul” este numărătorul, iar divizorul redus este numitorul. Suma unui set de fracții este rezultatul unei astfel de împărțiri, constând dintr-un număr întreg plus o fracție. Afirmația „înmulțiți numitorii” înseamnă în esență reducerea fracțiilor la cel mai mare numitor comun al acestora.

Regula de reducere a fracțiilor în Jiu Zhang Xuan Shu conține un algoritm pentru găsirea celui mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului, care coincide cu așa-numitul algoritm euclidian, conceput pentru a determina cel mai mare divizor comun a două numere. Dar dacă acesta din urmă, după cum se știe, este dat în Principia într-o formulare geometrică, atunci algoritmul chinezesc este prezentat pur aritmetic. Algoritmul chinezesc pentru găsirea celui mai mare divizor comun, numit deng shu („același număr”), este construit ca scăderea secvențială a unui număr mai mic dintr-un număr mai mare. Fracția trebuie redusă cu acest număr de den shu. De exemplu, se propune reducerea fracției 49\91. Efectuăm scăderea secvenţială: 91 – 49 = 42; 49 – 42 = 7; 42 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 0. Dan shu = 7. Reduceți fracția cu acest număr. Obținem: 7\13.

Împărțirea fracțiilor în Jiu Zhang Xuan Shu este diferită de cea acceptată astăzi. Regula „jing fen” („ordinea diviziunii”) prevede că înainte de a împărți fracțiile, acestea trebuie reduse la un numitor comun. Astfel, procedura de împărțire a fracțiilor are un pas inutil: a/b: c/d = ad/bd: cb/bd = ad/cb. Abia în secolul al V-lea. Zhang Qiu-jian în lucrarea sa „Zhang Qiu-jian suan jing” („Canonul de numărare al lui Zhang Qiu-jian”) a scăpat de el, împărțind fracțiile după regula obișnuită: a/b: c/d = ad/ cb.

Poate că angajamentul îndelungat al matematicienilor chinezi față de un algoritm sofisticat pentru împărțirea fracțiilor s-a datorat dorinței de a-și menține universalitatea și utilizării unei table de numărare. În esență, constă în reducerea diviziunii fracțiilor la împărțirea numerelor întregi. Acest algoritm este valid dacă un număr întreg este divizibil cu un număr mixt. Împărțind, de exemplu, 2922 la 182 5 / 8, ambele numere au fost mai întâi înmulțite cu 8, ceea ce a făcut posibilă împărțirea în continuare a numerelor întregi: 23376:1461= 16

1.8. Fracții în alte stări de antichitate și Evul Mediu.

Dezvoltarea ulterioară a conceptului de fracție comună a fost realizată în India. Matematicienii acestei țări au reușit să treacă rapid de la fracțiile unitare la fracțiile generale. Pentru prima dată astfel de fracții se regăsesc în „Regulile frânghiei” de Apastamba (secolele VII-V î.Hr.), care conțin construcții geometrice și rezultatele unor calcule. În India s-a folosit un sistem de notație - poate din chineză, și poate de origine greacă târzie - în care numărătorul fracției era scris deasupra numitorului - ca și al nostru, dar fără linie de fracție, dar întreaga fracție a fost plasată într-un cadru dreptunghiular. Uneori se folosea și o expresie „cu trei etaje” cu trei numere într-un cadru; în funcție de context, aceasta ar putea însemna o fracție improprie (a + b/c) sau împărțirea numărului întreg a la fracția b/c.

De exemplu, fracție înregistrată ca

Regulile de lucru cu fracții, stabilite de omul de știință indian Bramagupta (secolul al VIII-lea), nu erau aproape deloc diferite de cele moderne. Ca și în China, în India, pentru a aduce la un numitor comun, numitorii tuturor termenilor s-au înmulțit mult timp, dar din secolul al IX-lea. folosit deja cel mai mic multiplu comun.

Arabii medievali au folosit trei sisteme pentru scrierea fracțiilor. Mai întâi, în maniera indiană, scriind numitorul sub numărător; Linia fracționată a apărut la sfârșitul secolului al XII-lea - începutul secolului al XIII-lea. În al doilea rând, oficialii, topografii și comercianții au folosit calculul fracțiilor alicote, similar cu cel egiptean, folosind fracții cu numitori care nu depășesc 10 (numai pentru astfel de fracții limba arabă are termeni speciali); valorile aproximative au fost adesea folosite; Oamenii de știință arabi au lucrat pentru a îmbunătăți acest calcul. În al treilea rând, oamenii de știință arabi au moștenit sistemul sexagesimal babilonian-grec, în care, la fel ca grecii, au folosit notația alfabetică, extinzând-o la părți întregi.

Notația indiană pentru fracții și regulile de operare cu acestea au fost adoptate în secolul al IX-lea. în țările musulmane datorită lui Muhammad de Khorezm (al-Khorezmi). În practica comercială din țările islamice, fracțiile unitare au fost utilizate pe scară largă; în știință, fracțiile sexagesimale și, într-o măsură mult mai mică, fracțiile obișnuite. Al-Karaji (secolele X-XI), al-Khassar (secolul XII), al-Kalasadi (secolul XV) și alți oameni de știință au prezentat în lucrările lor regulile de reprezentare a fracțiilor obișnuite sub formă de sume și produse ale fracțiilor unitare. Informațiile despre fracții au fost transferate în Europa de Vest de către comerciantul și omul de știință italian Leonardo Fibonacci din Pisa (secolul al XIII-lea). El a introdus cuvântul fracție, a început să folosească linia fracției (1202) și a dat formule pentru împărțirea sistematică a fracțiilor în fracții de bază. Numele de numărător și numitor au fost introduse în secolul al XIII-lea de Maximus Planud, un călugăr, om de știință și matematician grec. O metodă de reducere a fracțiilor la un numitor comun a fost propusă în 1556 de către N. Tartaglia. Schema modernă de adunare a fracțiilor obișnuite datează din 1629. la A. Girard.

II. Aplicarea fracțiilor ordinare

2.1 Fracții alicote

Problemele care utilizează fracții alicote constituie o clasă mare de probleme non-standard, inclusiv cele care au venit din cele mai vechi timpuri. Fracțiile alicote sunt folosite atunci când trebuie să împărțiți ceva în mai multe părți în cel mai mic număr de pași posibil. Descompunerea fracțiilor de forma 2/n și 2/(2n +1) în două fracții alicote este sistematizată sub formă de formule

Descompunerea în trei, patru, cinci etc. fracțiile alicote pot fi produse prin descompunerea unuia dintre termeni în două fracții, termenul următor în încă două fracții alicote etc.

Pentru a reprezenta un număr ca o sumă de fracții alicote, uneori trebuie să dai dovadă de o ingeniozitate extraordinară. Să presupunem că numărul 2/43 este exprimat astfel: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Este foarte incomod să efectuați operații aritmetice pe numere, descompunându-le în suma fracțiilor de unu. Prin urmare, în procesul de rezolvare a problemelor de descompunere a fracțiilor alicote sub forma unei sume de fracții alicote mai mici, a apărut ideea de a sistematiza descompunerea fracțiilor sub forma unei formule. Această formulă este valabilă dacă trebuie să descompuneți o fracție alicotă în două fracțiuni alicote.

Formula arată astfel:

1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)

Exemple de expansiune a fracțiilor:

1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.

Această formulă poate fi transformată pentru a obține următoarea egalitate utilă: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)

De exemplu, 1/6=1/(2 3)=1/2 -1/3

Adică, o fracție alicotă poate fi reprezentată prin diferența a două fracții alicote sau diferența a două fracții alicote, ai căror numitori sunt numere consecutive egale cu produsul lor.

Exemplu. Reprezentați numărul 1 ca sume ale diferitelor fracții alicote

a) trei termeni 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

b) patru termeni

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

c) cinci termeni

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

2.2 În loc de fracții mici, cele mari

La fabricile de mașini există o profesie foarte interesantă, se numește marker. Markerul marchează liniile de pe piesa de prelucrat de-a lungul cărora trebuie prelucrată această piesă pentru a-i da forma necesară.

Markerul trebuie să rezolve probleme geometrice interesante și uneori dificile, să efectueze calcule aritmetice etc.
„A fost necesar să se distribuie cumva 7 farfurii dreptunghiulare identice în ponderi egale între 12 părți. Ei au adus aceste 7 farfurii la marker și i-au cerut, dacă se poate, să marcheze farfuriile astfel încât niciuna să nu fie zdrobită în părți foarte mici. Deci, cea mai simplă soluție este: tăierea fiecărei plăci în 12 părți egale nu a fost potrivită, deoarece ar rezulta multe părți mici.
Este posibil să împărțiți aceste plăci în părți mai mari? Markerul s-a gândit, a făcut niște calcule aritmetice cu fracții și, în cele din urmă, a găsit cel mai economic mod de a împărți aceste plăci.
Ulterior, a zdrobit cu ușurință 5 farfurii pentru a le distribui în părți egale între șase părți, 13 farfurii pentru 12 părți, 13 farfurii pentru 36 de părți, 26 pentru 21 etc.

Se pare că markerul a prezentat fracția 7\12 ca o sumă a fracțiilor unitare 1\3 + 1\4. Aceasta înseamnă că, dacă din 7 plăci date, 4 sunt tăiate în trei părți egale fiecare, atunci obținem 12 treimi, adică o treime pentru fiecare parte. Tăiem cele 3 farfurii rămase în 4 părți egale fiecare, obținem 12 sferturi, adică un sfert pentru fiecare parte. În mod similar, folosind reprezentări ale fracțiilor sub forma unei sume de fracții unitare 5\6=1\2+1\3; 13\121\3+3\4; 13\36=1\4+1\9.

2.3 Divizări în circumstanțe dificile

Există o pildă răsăriteană binecunoscută că un tată le-a lăsat fiilor săi 17 cămile și le-a ordonat să se împartă între ei: jumătatea cea mai mare, cea din mijloc o treime, cea mai tânără o nouă. Dar 17 nu este divizibil cu 2, 3 sau 9. Fiii s-au îndreptat către înțelept. Înțeleptul era familiarizat cu fracțiile și era capabil să ajute în această situație dificilă.

A recurs la un truc. Înțeleptul și-a adăugat temporar cămila la turmă, apoi au fost 18. După ce a împărțit acest număr, așa cum se spune în testament, înțeleptul și-a luat cămila înapoi. Secretul este că părțile în care fiii urmau să împartă turma după voință nu se adună la 1. Într-adevăr, 1\2 + 1\3 + 1\9 = 17\18.

Există destul de multe astfel de sarcini. De exemplu, o problemă dintr-un manual rusesc despre 4 prieteni care au găsit un portofel cu 8 note de credit: unul pentru una, trei, cinci ruble, iar restul pentru zece ruble. De comun acord, unul dorea o a treia parte, a doua un sfert, a treia o cincime, a patra o a șasea. Cu toate acestea, nu au putut face acest lucru singuri: un trecător a ajutat, după ce și-a adăugat rubla. Pentru a rezolva această dificultate, un trecător a adăugat fracțiile unitare 1\3 + 1\4 + 1\5 + 1\6 = 57\60, satisfacând cererile prietenilor săi și câștigând 2 ruble pentru el.

III.Fracții interesante

3.1 Fracții de domino

Dominourile sunt un joc de masă popular în întreaga lume. Un joc de domino constă cel mai adesea din 28 de plăci dreptunghiulare. Un domino este o țiglă dreptunghiulară, al cărei față este împărțit printr-o linie în două părți pătrate. Fiecare parte conține de la zero la șase puncte. Dacă eliminați zarurile care nu conțin puncte pe cel puțin o jumătate (spații), atunci zarurile rămase pot fi considerate fracțiuni. Zarurile, dintre care ambele jumătăți conțin același număr de puncte (duble), sunt fracții improprii egale cu unu. Dacă mai eliminați aceste oase, veți rămâne cu 15 oase. Ele pot fi aranjate în diferite moduri și pot obține rezultate interesante.

1. Aranjare pe 3 rânduri, suma fracțiilor din fiecare dintre acestea fiind 2.

;
;

2. Aranjați toate cele 15 plăci în trei rânduri a câte 5 plăci fiecare, folosind unele dintre piesele de domino ca fracții improprii, cum ar fi 4/3, 6/1, 3/2 etc., astfel încât suma fracțiilor din fiecare rând egal cu numărul 10.

1\3+6\1+3\4+5\3+5\4=10

2\1+5\1+2\6+6\3+4\6=10

4\1+2\3+4\2+5\2+5\6=10

3. Aranjarea fracțiilor pe rânduri, a căror sumă va fi un număr întreg (dar diferit pe rânduri diferite).

3.2 Din timpuri imemoriale.

„A studiat această problemă cu meticulozitate.” Aceasta înseamnă că problema a fost studiată până la capăt, că nu rămâne nici cea mai mică ambiguitate. Și cuvântul ciudat „cu scrupule” provine de la numele roman pentru 1/288 assa – „scrupulus”.

— Intrarea în fracții. Această expresie înseamnă să te regăsești într-o situație dificilă.

„Ass” este o unitate de măsură a masei în farmacologie (lira farmacistului).

„Uncie” este o unitate de masă în sistemul englez de măsură, o unitate de măsură a masei în farmacologie și chimie.

IV. Concluzie.

Studiul fracțiilor a fost considerată cea mai dificilă secțiune a matematicii în orice moment și între toate popoarele. Cei care cunoșteau fracții erau ținuți la mare stimă. Autor al unui manuscris antic slav din secolul al XV-lea. scrie: „Nu este minunat că... în întregi, dar este lăudabil că în părți...”.

Am ajuns la concluzia că istoria fracțiilor este un drum șerpuit cu multe obstacole și dificultăți. În timp ce lucram la eseul meu, am învățat o mulțime de lucruri noi și interesante. Am citit multe cărți și secțiuni din enciclopedii. Am făcut cunoștință cu primele fracții cu care oamenii operau, cu conceptul de fracție alicotă și am învățat noi nume de oameni de știință care au contribuit la dezvoltarea doctrinei fracțiilor. Eu însumi am încercat să rezolv olimpiade și probleme de divertisment, am selectat independent exemple de descompunere a fracțiilor obișnuite în fracții alicote și am analizat soluția la exemplele și problemele prezentate în texte. Răspunsul la întrebarea pe care mi-am pus-o înainte de a începe lucrul la eseu: fracțiile obișnuite sunt necesare, sunt importante. A fost interesant să pregătesc prezentarea; a trebuit să apelez la profesor și colegii de clasă pentru ajutor. De asemenea, la tastare, pentru prima dată am întâmpinat nevoia de a introduce fracții și expresii fracționale. Mi-am prezentat rezumatul la o conferință școlară. Ea a jucat și în fața colegilor de clasă. Au ascultat cu mare atenție și, după părerea mea, au fost interesați.

Cred că am finalizat sarcinile pe care mi le-am stabilit înainte de a începe lucrul la rezumat.

Literatură.

1. Borodin A.I. Din istoria aritmeticii. Editura șef „Școala Vișcha”-K., 1986

2. Glazer G.I.Istoria matematicii la scoala: clasele IV-VI. Manual pentru profesori. – M.: Educație, 1981.

3. Ignatiev E.I. În regatul ingeniozității. Redacția principală de literatură fizică și matematică a editurii „Nauka”, M., 1978.

4. Kordemskoy G.A. Ingeniozitate matematică – ed. a 10-a, revizuită. Și suplimentar - M.: Unisam, MDS, 1994.

5. Stroik D.Ya. O scurtă prezentare a istoriei matematicii. M.: Nauka, 1990.

6.Enciclopedie pentru copii. Volumul 11. Matematică. Moscova, Avanta+, 1998.

7. /wiki.Material din Wikipedia - enciclopedia liberă.

Anexa 1.

Scara naturală

Toată lumea știe că Pitagora a fost un om de știință și, în special, autorul celebrei teoreme. Dar faptul că a fost și un muzician genial nu este atât de cunoscut. Combinația acestor talente i-a permis să fie primul care a ghicit despre existența unei scale naturale. Mai trebuia să dovedesc asta. Pitagora a construit o jumătate de instrument și o jumătate de dispozitiv pentru experimentele sale - un „monocord”. Era o cutie alungită cu o sfoară întinsă peste ea. Sub sfoară, pe capacul superior al cutiei, Pitagora a desenat o scară pentru a facilita împărțirea vizuală a șnurului în părți. Pitagora a efectuat multe experimente cu un monocord și, în cele din urmă, a descris matematic comportamentul unei coarde care sună. Lucrările lui Pitagora au stat la baza științei pe care o numim acum acustica muzicală. Se pare că pentru muzică, șapte sunete dintr-o octavă sunt la fel de natural ca zece degete de pe mâini în aritmetică. Deja coarda primului arc, oscilând după lovitură, a dat gata acel set de sunete muzicale pe care încă le folosim aproape neschimbate.

Din punctul de vedere al fizicii, o coardă și o coardă sunt una și aceeași. Și omul a făcut sfoara, acordând atenție proprietăților coardei arcului. Coarda care sună vibrează nu numai ca întreg, ci și în jumătăți, treimi, sferturi etc. Să abordăm acum acest fenomen din partea aritmetică. Jumătățile vibrează de două ori mai des decât un șir întreg, treimi - de trei ori, sferturi - de patru ori. Într-un cuvânt, de câte ori este mai mică partea vibratoare a coardei, frecvența oscilațiilor sale este de același număr de ori mai mare. Să presupunem că întregul șir vibrează la o frecvență de 24 de herți. Numărând fluctuațiile fracțiilor până la șaisprezecele, obținem seria de numere prezentată în tabel. Această secvență de frecvențe se numește naturală, adică. naturală, scară.

Anexa 2.

Probleme antice folosind fracții comune.

În manuscrisele antice și manualele antice de aritmetică din diferite țări există multe probleme interesante care implică fracții. Rezolvarea fiecăreia dintre aceste probleme necesită ingeniozitate considerabilă, ingeniozitate și abilitatea de a raționa.

1. Vine un cioban cu 70 de tauri. El este intrebat:

Câți aduci din turma ta numeroasă?

Păstorul răspunde:

Aduc două treimi dintr-o treime din vite. Numără câți tauri sunt în turmă?

Papirusul lui Ahmes (Egipt, aproximativ 2000 î.Hr).

2. Cineva a luat 1/13 din vistierie. Din ce a mai ramas, altul a luat 1/17. A lăsat în vistierie 192. Vrem să aflăm cât era inițial în vistierie

Papirus Akmim (secolul VI)

3. Călător! Cenușa lui Diophanthus este îngropată aici. Și cifrele pot spune, iată, cât de lungă a fost viața lui.

Partea a șasea din el a fost o copilărie minunată.

A douăsprezecea parte a vieții lui a trecut - apoi bărbia i-a fost acoperită cu puf.
Diophantus a petrecut a șaptea oară într-o căsătorie fără copii.

Au trecut cinci ani; a fost binecuvântat cu nașterea frumosului său fiu primul născut.
Căruia soarta i-a dat doar jumătate dintr-o viață frumoasă și strălucitoare pe pământ în comparație cu tatăl său.

Și într-o adâncă tristețe, bătrânul a acceptat sfârșitul sorții sale pământești, supraviețuind patru ani de când și-a pierdut fiul.

Spune-mi, câți ani de viață a îndurat Diophantus moartea?

4. Cineva, pe moarte, a lăsat moștenire: „Dacă soția mea naște un fiu, atunci să aibă 2/3 din moșie, iar soția să aibă restul. Dacă se naște o fiică, atunci i se va da 1/3 ei și 2/3 soției.” S-au născut gemeni - un fiu și o fiică. Cum se împarte proprietatea?

Problema romana antica (secolul II)

Găsiți trei numere astfel încât cel mai mare să depășească media cu o anumită parte a celui mai mic, astfel încât media să îl depășească pe cel mai mic cu o anumită parte a celui mai mare și astfel încât cel mai mic să depășească numărul 10 cu o anumită parte a mediei.

Tratat alexandrin al lui Diofant „Aritmetică” (secolele II-III d.Hr.)

5. O rață sălbatică zboară din Marea Sudului în Marea Nordului timp de 7 zile. O gâscă sălbatică zboară de la marea de nord la marea de sud timp de 9 zile. Acum rața și gâsca zboară în același timp. În câte zile se vor întâlni?

China (secolul al II-lea d.Hr.)

6. „Un negustor a trecut prin 3 cetăți, iar în primul oraș au încasat taxe de la el pentru jumătate și o treime din averea lui, iar în al doilea oraș pentru jumătate și o treime din averea rămasă și în al treilea oraș pentru jumătate și o treime din proprietatea rămasă. Și când a ajuns acasă, mai aveau 11 bani. Aflați câți bani avea comerciantul la început.”

Ananiy Shirakatsi. Colecția „Întrebări și răspunsuri” (VIIsecolul d.Hr).

Există o floare de kadamba,

Pentru o petală

O cincime dintre albine au scăzut.

Am crescut în apropiere

Toate în floare Simengda,

Și a treia parte se potrivește.

Găsiți diferența lor

Îndoiți-l de trei ori

Și plantează acele albine pe kutai.

Doar două nu au fost găsite

Niciun loc pentru tine nicăieri

Toată lumea zbura înainte și înapoi și peste tot

Sa bucurat de parfumul florilor.

Acum spune-mi

Calculând în mintea mea,

Câte albine sunt în total?

Veche problemă indiană (sec. XI).

8. „Găsiți un număr, știind că dacă scadeți o treime și un sfert din el, obțineți 10.”

Muhammad ibn Musa al Khwarizmi „Aritmetică” (secolul al IX-lea)

9. O femeie a mers în grădină să culeagă mere. Pentru a părăsi grădina, a trebuit să treacă prin patru uși, fiecare având un paznic. Femeia a dat jumătate din merele pe care le culesese gardianului de la prima uşă. Ajunsă la al doilea gardian, femeia i-a dat jumătate din cele rămase. La fel a făcut și cu al treilea gardian, iar când a împărțit merele cu al patrulea gardian, i-au mai rămas 10 mere. Câte mere a cules în grădină?

„1001 de nopți”

10. Numai „acea” și „acest” și jumătate din „aceasta” și „acest lucru” - ce procent din trei sferturi din „aceasta” și „acest lucru” va fi.

Manuscris antic al Rusiei antice (secolele X-XI)

11. Trei cazaci au venit la păstor să cumpere cai.

„Bine, vă vând cai”, a spus păstorul, „o să vând o jumătate de turmă și încă o jumătate de cal primului, jumătate din caii rămași și o jumătate de cal celui de-al doilea, al treilea va primi și jumătate. dintre caii rămași cu jumătate de cal.

Îmi voi lăsa doar 5 cai pentru mine.”

Cazacii au fost surprinși de cum păstorul va împărți caii în părți. Dar după câteva reflecții s-au calmat și înțelegerea a avut loc.

Câți cai a vândut păstorul fiecăruia dintre cazaci?

12. Cineva l-a întrebat pe profesor: „Spune-mi câți elevi ai în clasa ta, pentru că vreau să-mi înscriu fiul la tine.” Profesorul a răspuns: „Dacă mai vin tot atâtea elevi cât am eu, și jumătate mai mulți, și un sfert, și fiul tău, atunci voi avea 100 de elevi.” Întrebarea este, câți elevi a avut profesorul?

L. F. Magnitsky „Aritmetica” (1703)

13. Călătorul, ajungând din urmă pe celălalt, l-a întrebat: „Cât de departe este satul din față?” Un alt călător a răspuns: „Distanța față de satul din care vii este egală cu o treime din distanța totală dintre sate. Și dacă mai mergi două mile, vei fi exact la mijloc între sate. Câte mile mai au de parcurs primul călător?

L. F. Magnitsky „Aritmetica” (1703)

14.O țărancă vindea ouă la piață. Prima clientă și-a cumpărat jumătate din ouă și încă o jumătate de ou, a doua jumătate din restul și încă o jumătate de ou, iar a treia ultimele 10 ouă.

Câte ouă a adus țăranca la piață?

L. F. Magnitsky „Aritmetica” (1703)

15. Sotul si sotia au luat bani din aceeasi lada, si nu a mai ramas nimic. Soțul a luat 7/10 din toți banii, iar soția a luat 690 de ruble. Cât au fost toți banii?

L. N. Tolstoi „Aritmetică”

16. O opteme din număr

Luați-o și adăugați oricare

Jumătate de trei sute

Și cei opt vor depăși

Nu puțin - cincizeci

Trei sferturi. Voi fi bucuros,

Dacă cel care știe scorul

Îmi va spune numărul.

Johann Hemeling, profesor de matematică (1800)

17. Trei persoane au câștigat o anumită sumă de bani. Primul a reprezentat 1/4 din această sumă, al doilea -1/7, iar al treilea - 17 florini. Cât de mare este câștigurile totale?

Adam Riese (Germania, secolul al XVI-lea) 18. După ce a hotărât să-și împartă toate economiile în mod egal între toți fiii săi, cineva a făcut testament. „Cel mai mare dintre fiii mei ar trebui să primească 1000 de ruble și o opta din restul; următorul - 2000 de ruble și o opta din noul sold; al treilea fiu - 3.000 de ruble și o optime din soldul următor etc. Determinați numărul de fii și suma economiilor lăsate în moștenire.

Leonhard Euler (1780)

19. Trei oameni vor să cumpere o casă cu 24.000 de livre. Au convenit că primul va da jumătate, al doilea o treime, iar al treilea restul. Câți bani va da al treilea?

Fracții "," Comun fractii" Joc „Despre ce pot vorbi... pentru aritmetica mentală.” Sarcini pentru subiectul " Comun fractiişi acţiuni asupra lor” 1. U... filozof, scriitor. B. Pascal a fost neobișnuit talentat și versatil, viața lui a fost...

3.1.1. Despre originea fracțiilor.

Nevoia de numere fracționale a apărut ca urmare a activității umane practice. Nevoia de a găsi cotele unei unități a apărut printre strămoșii noștri atunci când împărțim prada după o vânătoare. Al doilea motiv semnificativ pentru apariția numerelor fracționale ar trebui luat în considerare măsurarea cantităților folosind unitatea de măsură selectată.

Așa au apărut fracțiile.

În istoria dezvoltării numerelor fracționale, întâlnim fracții de trei tipuri:

1) fracții sau fracții unitare în care numărătorul este unul, dar numitorul poate fi orice număr întreg;

2) fracții sistematice, în care numărătorii pot fi orice numere, dar numitorii pot fi doar numere de un anumit tip, de exemplu, puteri de zece sau șaizeci;

3) fracții generale în care numărătorii și numitorii pot fi orice numere.

Invenția acestor trei tipuri diferite de fracții a prezentat grade diferite de dificultate pentru omenire, astfel încât diferite tipuri de fracții au apărut în diferite epoci.

Cunoașterea unei persoane cu numerele fracționale a început cu fracții unitare cu numitori mici.

Conceptele „jumătate”, „al treilea”, „sfert”, „octogon” sunt adesea folosite de oameni care nu au studiat niciodată aritmetica fracțională. Fiecare națiune a inventat în mod independent aceste fracții simple în cursul dezvoltării sale.

Prima fracție la care au fost prezentați oamenii a fost jumătate. Deși numele tuturor fracțiilor următoare sunt legate de numele numitorilor lor (trei este „al treilea”, patru este „sfertul” etc.), acest lucru nu este valabil pentru jumătate - numele său în toate limbile nu are nimic de face cu cuvântul „doi”. Următoarea fracție a fost o treime.

Astfel, primele fracții în care ne introduce istoria sunt fracții de formă - așa-numitele fracții unitare sau alicote (din latinescul alicot - „mai multe”).

Fracțiile unitare se găsesc în cele mai vechi texte matematice care au supraviețuit, compuse cu mai bine de 5.000 de ani în urmă - papirusuri egiptene antice și tăblițe cuneiforme babiloniene.

În antichitate, fracțiile obișnuite au atins cea mai mare dezvoltare în India. În manuscrisele care datează din secolul al IV-lea î.Hr., se găsesc nu numai fracții unitare, ci și fracții cu numărătoare arbitrare. La începutul secolului al VII-lea, indienii cunoșteau și formulau regulile de operare cu fracții obișnuite. În Europa de Vest, inginerul flamand Simon Stevin a dat în 1585 o teorie clară și stabilită a fracțiilor ordinare.

3.1.2. Fracții în Egiptul Antic.

În Egiptul Antic, arhitectura a atins un nivel ridicat de dezvoltare. Pentru a construi piramide și temple grandioase, pentru a calcula lungimile, ariile și volumele figurilor, era necesar să se cunoască aritmetica. Din informațiile descifrate despre papirusuri, oamenii de știință au aflat că egiptenii de acum 4.000 de ani aveau un sistem de numere zecimal (dar nu pozițional) și erau capabili să rezolve multe probleme legate de nevoile de construcții, comerț și afaceri militare. Timp de multe secole, egiptenii au numit fracțiile „numere sparte”, iar prima fracție în care au fost introduși a fost 1/2. A urmat 1/4, 1/8, 1/16, ..., apoi 1/3, 1/6, ..., i.e. Cele mai simple fracții se numesc fracții unitare. Numătorul lor este întotdeauna unul.

Egiptenii au încercat să scrie toate fracțiile ca sume de fracții unitare (acțiuni). De exemplu, în schimb au scris . Fracția a fost scrisă ca fracții: . Este foarte incomod să efectuați operații aritmetice pe numere, descompunându-le de fiecare dată în suma fracțiilor de unu. Predilecția egipteană pentru fracții alicote are vreo explicație?

Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu. Luați în considerare următoarea problemă: „Împărțiți 7 pâini între 8 persoane”.

Iată cum a fost rezolvată această problemă pe Papirusul Rhind, un text matematic egiptean antic rescris în jurul anului 1650 î.Hr. scribul Ahmes.

Deoarece . Prin urmare, fiecărei persoane ar trebui să i se dea jumătate, un sfert și o optime de pâine. Acum este clar că trebuie să tăiați 4 pâini în jumătate, 2 pâini în 4 bucăți și doar o pâine în 8 bucăți.

Pentru a descompune fracțiile neunitare în suma celor unitare, existau tabele gata făcute, pe care scribii egipteni le foloseau pentru calculele necesare.

Se poate demonstra că fiecare număr rațional pozitiv poate fi reprezentat ca o fracție egipteană. Acest tip de sumă a fost folosit de matematicieni ca definiție pentru fracții din Egiptul antic până în Evul Mediu. În matematica modernă, fracțiile și zecimale sunt folosite în locul fracțiilor egiptene, dar fracțiile egiptene continuă să fie studiate în teoria numerelor și în istoria matematicii antice.

3.1.3. Fracții în Roma Antică.

Un sistem interesant de fracții era în Roma antică. Romanii foloseau în principal doar fracțiuni concrete, care înlocuiau părți abstracte cu subdiviziuni ale măsurilor folosite. Acest sistem de fracții se baza pe împărțirea unei unități de greutate în 12 părți, care se numea fund. Așa au apărut fracțiile duozecimale romane, adică. fracții al căror numitor a fost întotdeauna doisprezece. A douăsprezecea parte a unui as se numea uncie. Iar calea, timpul și alte cantități au fost comparate cu un lucru vizual - greutatea. De exemplu, un roman ar putea spune că a mers șapte uncii dintr-o potecă sau că a citit cinci uncii dintr-o carte. În acest caz, desigur, nu a fost vorba despre cântărirea cărării sau a cărții. Aceasta însemna că 7/12 din călătorie fuseseră finalizate sau 5/12 din carte au fost citite. Iar pentru fracțiile obținute prin reducerea fracțiilor cu numitorul de 12 sau împărțirea a douăsprezecelea în altele mai mici, existau denumiri speciale.

Chiar și acum ei spun uneori: „A studiat această chestiune cu meticulozitate”. Aceasta înseamnă că problema a fost studiată până la capăt, că nu rămâne nici cea mai mică ambiguitate. Și cuvântul ciudat „scrupulous” provine de la numele roman pentru 1/288 assa - „scrupulus”. Au fost, de asemenea, folosite următoarele nume: „semi” - jumătate de măgar, „sextans” - o șase din el, „semiouncie” - jumătate de uncie, de exemplu. 1/24 măgari etc. În total, au fost folosite 18 denumiri diferite pentru fracții. Pentru a lucra cu fracții, trebuia să vă amintiți tabelul de adunare și tabelul de înmulțire pentru aceste fracții. Prin urmare, negustorii romani știau cu tărie că, atunci când adăugați triens (1/3 assa) și sextani, rezultatul este semis, iar când înmulțim imp (2/3 assa) cu sescunce (2/3 uncie, adică 1/8 assa), rezultatul este o uncie . Pentru a facilita munca, au fost întocmite tabele speciale, dintre care unele au ajuns la noi.

În secolul I î.Hr., remarcabilul orator și scriitor roman Cicero a spus: „Fără cunoașterea fracțiilor, nimeni nu poate fi recunoscut ca știind aritmetica!”

Următorul fragment din opera celebrului poet roman din secolul I î.Hr. Horațiu despre o conversație între un profesor și un elev într-una dintre școlile romane din acea epocă este tipic:

Învățătorul: Fiul lui Albin să-mi spună cât va rămâne dacă din cinci uncii i se ia o uncie!

Student: O treime.

Profesorul: Așa e, cunoști bine fracțiile și vei putea salva proprietatea ta.

Acum „fundul” este o liră de farmacie.

3.1.4. Fracții sexagesimale babiloniene.

Originile sistemului sexagesimal sunt neclare. Poate că are legătură cu sistemul numeric duozecimal (60 = 5 × 12, unde 5 este numărul de degete de pe mână). Există, de asemenea, o ipoteză a lui O. Neugebauer că, după cucerirea akkadiană a statului sumerian, acolo au existat simultan două unități monetare de mult timp: sikelul (seclul) și mina, iar raportul lor a fost stabilit ca 1 mină = 60 de șekeli. . Mai târziu, această împărțire a devenit obișnuită și a dat naștere unui sistem corespunzător pentru înregistrarea oricăror numere.

Săpăturile efectuate în secolul al XX-lea printre ruinele orașelor antice din partea de sud a Mesopotamiei au scos la iveală un număr mare de tăblițe matematice cuneiforme. Oamenii de știință care le-au studiat au descoperit că 2000 î.Hr. e. Matematica a atins un nivel înalt de dezvoltare în rândul babilonienilor.

Numerotarea sexagesimală scrisă a babilonienilor a fost combinată din două icoane: o pană verticală ▼, care indică unul, și un semn convențional ◄, care indică zece.

Sistemul numeric pozițional se găsește pentru prima dată în textele cuneiforme babiloniene. Pena verticală a notat nu numai 1, ci și 60, 602, 603 etc. La început, babilonienii nu aveau un semn pentru zero în sistemul sexagesimal pozițional. Ulterior, a fost introdus semnul èè, înlocuind zeroul modern, pentru a separa cifrele unele de altele.

Originea sistemului de numere sexagesimal la babilonieni este legată, după cum cred oamenii de știință, de faptul că unitățile de măsură monetare și de greutate babiloniene au fost împărțite, datorită condițiilor istorice, în 60 de părți egale: 1 talent = 60 min; 1 mină = 60 de șekeli. Șaizecimile erau obișnuite în viața babilonienilor. De aceea au folosit fracții sexagesimale, care au întotdeauna numitorul 60 sau puterile lui: 602 = 3600, 603 = 216000 etc. În acest sens, fracțiile sexagesimale pot fi comparate cu fracțiile noastre zecimale. Matematica babiloniană a influențat matematica greacă. Urmele sistemului numeric sexagesimal babilonian au persistat în știința modernă în măsurarea timpului și a unghiurilor. Împărțirea orelor în 60 de minute, minutele în 60 de secunde, cercurile în 360 de grade, gradeurile în 60 de minute, minutele în 60 de secunde s-a păstrat până astăzi. Babilonienii au adus contribuții valoroase la dezvoltarea astronomiei. Oamenii de știință din toate națiunile au folosit fracții sexagesimale în astronomie până în secolul al XVII-lea, numindu-le fracții astronomice. În schimb, fracțiile generale pe care le folosim au fost numite ordinare.

3.1.5. Numerotarea și fracțiile în Grecia Antică.

Până în secolul al VI-lea î.Hr. e. Matematica greacă nu era renumită pentru nimic remarcabil. Ca de obicei, numărarea și măsurarea au fost stăpânite. Numerația greacă (numerele de înregistrare), ca și numerația romană ulterioară, era aditivă, adică se adaugă valorile numerice ale cifrelor. Prima sa versiune (mansardă sau erodiană) conținea simboluri cu litere pentru 1, 5, 10, 50, 100 și 1000. Tabla de numărare (abac) cu pietricele a fost construită în consecință. Apropo, termenul de calcul (calcul) provine de la calcul - pietriș. O pietricică specială cu găuri indica zero.

Mai târziu, în locul numerotării atice, a fost adoptată numerotarea alfabetică - primele 9 litere ale alfabetului grecesc au indicat numere de la 1 la 9, următoarele 9 litere - zeci, restul - sute. Pentru a nu confunda cifrele cu literele, s-a trasat o linie deasupra numerelor. Numerele mai mari de 1000 au fost scrise pozițional, marcând cifrele suplimentare cu o contur specială (stânga jos). Semnele speciale au făcut posibilă reprezentarea numerelor mai mari de 10.000.

În secolul al VI-lea î.Hr. e. Începe „miracolul grecesc”: apar simultan două școli științifice - ionienii (Tales din Milet, Anaximenes, Anaximandru) și pitagoreici. Cunoaștem realizările matematicienilor greci timpurii în principal din comentariile autorilor de mai târziu, în principal Euclid, Platon și Aristotel.

Thales, un comerciant bogat, se pare că a învățat bine matematica și astronomia babiloniene în timpul călătoriilor sale comerciale. Ionii au dat primele dovezi ale teoremelor geometrice.

Cu toate acestea, rolul principal în crearea matematicii antice le revine pitagoreenilor.

În Grecia Antică, aritmetica - studiul proprietăților generale ale numerelor - era separată de logistică - arta calculului. Grecii credeau că fracțiile pot fi folosite doar în logistică. Aici întâlnim mai întâi conceptul general al unei fracții de forma m/n. Astfel, putem considera că pentru prima dată domeniul numerelor naturale s-a extins la domeniul numerelor raționale complementare în Grecia Antică cel târziu în secolul al V-lea î.Hr. e. Grecii operau liber toate operațiile aritmetice cu fracții, dar nu le recunoșteau ca numere.

Grecii foloseau, împreună cu unitatea, fracțiile „egiptene”, fracții obișnuite. Dintre diferitele notații s-au folosit următoarele: numitorul este deasupra, iar numărătorul fracției este sub el.

2.1.2. Fracții în Roma Antică

Romanii foloseau în principal doar fracțiuni concrete, care înlocuiau părți abstracte cu subdiviziuni ale măsurilor folosite. Ei și-au concentrat atenția asupra măsurării „măgarului”, care la romani a servit ca unitate de bază de măsură a masei, precum și ca unitate monetară. Fundul a fost împărțit în douăsprezece părți - uncii. Din ele s-au adăugat toate fracțiile cu numitorul 12, adică 1/12, 2/12, 3/12...

Așa au apărut fracțiile duozecimale romane, adică fracțiile în care numitorul era întotdeauna numărul 12. În loc de 1/12, romanii spuneau „o uncie”, 5/12 - „cinci uncii”, etc. Trei uncii se numeau un sfert, patru uncii o treime, șase uncii jumătate.

Acum „fundul” este o liră de farmacie.

2.1.3. Fracții în Egiptul Antic

Prima fracție cu care oamenii s-au familiarizat a fost probabil jumătate. A urmat 1/4, 1/8 ..., apoi 1/3, 1/6 etc., adică cele mai simple fracții, fracții ale întregului, numite fracții unitare sau de bază. Numătorul lor este întotdeauna unul. Unele popoare din antichitate și, în primul rând, egiptenii exprimau orice fracție ca o sumă de fracții de bază. Abia mult mai târziu grecii, apoi indienii și alte popoare, au început să folosească fracții de o formă generală, numită obișnuită, în care numărătorul și numitorul pot fi orice numere naturale.

În Egiptul Antic, arhitectura a atins un nivel ridicat de dezvoltare. Pentru a construi piramide și temple grandioase, pentru a calcula lungimile, ariile și volumele figurilor, era necesar să se cunoască aritmetica.

Din informațiile descifrate despre papirusuri, oamenii de știință au aflat că egiptenii de acum 4.000 de ani aveau un sistem de numere zecimal (dar nu pozițional) și erau capabili să rezolve multe probleme legate de nevoile de construcții, comerț și afaceri militare.

Așa și-au notat egiptenii fracțiunile. Dacă, de exemplu, rezultatul unei măsurători a fost un număr fracționar 3/4, atunci pentru egipteni a fost reprezentat ca o sumă de fracții unitare ½ + ¼.

2.1.4. Fracții sexagesimale babiloniene

Săpăturile efectuate în secolul al XX-lea printre ruinele orașelor antice din partea de sud a Mesopotamiei au scos la iveală un număr mare de tăblițe matematice cuneiforme. Oamenii de știință care le-au studiat au descoperit că 2000 î.Hr. e. Matematica a atins un nivel înalt de dezvoltare în rândul babilonienilor.

Numerotarea sexagesimală scrisă a babilonienilor a fost combinată cu două simboluri: o pană verticală ▼, care desemnează unul, și un semn convențional ◄, care desemnează zece. Sistemul numeric pozițional se găsește pentru prima dată în textele cuneiforme babiloniene. Pena verticală a notat nu numai 1, ci și 60, 602, 603 etc. La început, babilonienii nu aveau un semn pentru zero în sistemul sexagesimal pozițional. Ulterior, a fost introdus semnul èè, înlocuind zeroul modern, pentru a separa cifrele unele de altele.

Originea sistemului de numere sexagesimal în rândul babilonienilor este legată, după cum cred oamenii de știință, de faptul că unitățile de măsură monetare și de greutate babiloniene au fost împărțite, datorită condițiilor istorice, în 60 de părți egale:

1 talent = 60 min;

Șaizecimile erau obișnuite în viața babilonienilor. De aceea au folosit fracții sexagesimale, care au întotdeauna numitorul 60 sau puterile lui: 602 = 3600, 603 = 216000 etc. În acest sens, fracțiile sexagesimale pot fi comparate cu fracțiile noastre zecimale.

Matematica babiloniană a influențat matematica greacă. Urmele sistemului numeric sexagesimal babilonian au persistat în știința modernă în măsurarea timpului și a unghiurilor. Împărțirea orelor în 60 de minute, minutele în 60 de secunde, cercurile în 360 de grade, gradeurile în 60 de minute, minutele în 60 de secunde s-a păstrat până astăzi.

Babilonienii au adus contribuții valoroase la dezvoltarea astronomiei. Oamenii de știință din toate națiunile au folosit fracții sexagesimale în astronomie până în secolul al XVII-lea, numindu-le fracții astronomice. În schimb, fracțiile generale pe care le folosim au fost numite ordinare.

2.1.5. Numerotarea și fracțiile în Grecia Antică

În Grecia Antică, aritmetica - studiul proprietăților generale ale numerelor - era separată de logistică - arta calculului. Grecii credeau că fracțiile pot fi folosite doar în logistică. Aici întâlnim mai întâi conceptul general al unei fracții de forma m/n. Astfel, putem considera că pentru prima dată domeniul numerelor naturale s-a extins la domeniul numerelor raționale complementare în Grecia Antică cel târziu în secolul al V-lea î.Hr. e. Grecii operau liber toate operațiile aritmetice cu fracții, dar nu le recunoșteau ca numere.

În Grecia Antică existau două sisteme de numerotare scrise: atic și ionic sau alfabetic. Au fost numite după regiunile grecești antice - Attica și Ionia. În sistemul attic, numit și erodian, cele mai multe dintre semnele numerice sunt primele litere ale numerelor corespunzătoare grecești, de exemplu, GENTE (gente sau cente) - cinci, ΔEKA (deca) - zece etc. Acest sistem a fost folosit în Attica până în secolul I d.Hr., dar în alte zone ale Greciei Antice a fost înlocuit chiar mai devreme de o numerotare alfabetică mai convenabilă, care s-a răspândit rapid în toată Grecia.

Grecii foloseau, împreună cu unitatea, fracțiile „egiptene”, fracții obișnuite. Dintre diferitele notații s-au folosit următoarele: numitorul este deasupra, iar numărătorul fracției este sub el. De exemplu, 5/3 însemna trei cincimi etc.

Slide 1

Fracții în Babilon, Egipt, Roma. Descoperirea zecimalelor PREZENTARE PENTRU UTILIZARE CA AJUTOR VIZUAL ÎN ACTIVITĂȚI EXTRAȘCOLARE
Markelova G.V., profesor de matematică al filialei Gremyachinsky a școlii secundare MBOU. Chei

Slide 2

Slide 3

Despre originea fracțiilor
Nevoia de numere fracționale a apărut ca urmare a activității umane practice. Nevoia de a găsi cotele unei unități a apărut printre strămoșii noștri atunci când împărțim prada după o vânătoare. Al doilea motiv semnificativ pentru apariția numerelor fracționale ar trebui luat în considerare măsurarea cantităților folosind unitatea de măsură selectată. Așa au apărut fracțiile.

Slide 4

Necesitatea unor măsurători mai precise a dus la faptul că unitățile de măsură inițiale au început să fie împărțite în 2, 3 sau mai multe părți. Unitatea de măsură mai mică, care a fost obținută ca urmare a fragmentării, a primit un nume individual, iar cantitățile au fost măsurate de această unitate mai mică. În legătură cu această muncă necesară, oamenii au început să folosească expresiile: jumătate, a treia, doi pași și jumătate. De unde s-a putut concluziona că numerele fracționale au apărut ca urmare a măsurării mărimilor. Popoarele au trecut prin multe variante de scriere a fracțiilor până au ajuns la notația modernă.

Slide 5

În istoria dezvoltării numerelor fracționale, întâlnim fracții de trei tipuri:
1) fracții sau fracții unitare în care numărătorul este unul, dar numitorul poate fi orice număr întreg; 2) fracții sistematice, în care numărătorii pot fi orice numere, dar numitorii pot fi doar numere de un anumit tip, de exemplu, puteri de zece sau șaizeci;
3) fracții generale în care numărătorii și numitorii pot fi orice numere. Invenția acestor trei tipuri diferite de fracții a prezentat grade diferite de dificultate pentru omenire, astfel încât diferite tipuri de fracții au apărut în diferite epoci.

Slide 6

Fracții în Babilon
Babilonienii foloseau doar două numere. O linie verticală însemna o unitate, iar un unghi de două linii întinse însemna zece. Ei făceau aceste rânduri sub formă de pene, pentru că babilonienii scriau cu un băț ascuțit pe tăblițe umede de lut, care apoi erau uscate și arse.

Slide 7

Fracții în Egiptul Antic
În Egiptul Antic, arhitectura a atins un nivel ridicat de dezvoltare. Pentru a construi piramide și temple grandioase, pentru a calcula lungimile, ariile și volumele figurilor, era necesar să se cunoască aritmetica. Din informațiile descifrate despre papirusuri, oamenii de știință au aflat că egiptenii de acum 4.000 de ani aveau un sistem de numere zecimal (dar nu pozițional) și erau capabili să rezolve multe probleme legate de nevoile de construcții, comerț și afaceri militare.

Slide 8

Fracții sexagezimale
În Babilonul antic ei preferau un numitor constant de 60. Fracțiile sexagezimale, moștenite din Babilon, au fost folosite de matematicienii și astronomii greci și arabi. Cercetătorii explică în diferite moduri apariția sistemului de numere sexagesimal în rândul babilonienilor. Cel mai probabil, aici a fost luată în considerare baza 60, care este un multiplu de 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 și 60, ceea ce simplifică foarte mult toate calculele. În acest sens, fracțiile sexagesimale pot fi comparate cu fracțiile noastre zecimale. În loc de cuvintele „şaizecimi”, „trei mii şase sutimi” au spus pe scurt: „prima fracţiuni mici”, „a doua fracţiuni mici”. De aici provin cuvintele noastre „minut” (latina pentru „mai mic”) și „secunda” (latină pentru „secunda”). Așadar, modul babilonian de a nota fracțiile și-a păstrat sensul până astăzi.

Slide 9

„Fracțiuni egiptene”
În Egiptul Antic, unele fracții aveau propriile nume speciale - și anume, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 și 1/8, care apar adesea în practică. În plus, egiptenii știau să opereze cu așa-numitele fracții alicote (din latină alicotă - mai multe) de tip 1/n - de aceea sunt numite uneori și „egiptene”; aceste fracții aveau propria lor ortografie: un oval orizontal alungit și sub el desemnarea numitorului. Ei au scris fracțiile rămase ca o sumă de acțiuni. Fracția 7/8 a fost scrisă ca fracții: ½+1/4+1/8.

Slide 10

Fracții în Roma Antică
Un sistem interesant de fracții era în Roma antică. Se baza pe împărțirea unei unități de greutate în 12 părți, care se numea fund. A douăsprezecea parte a unui as se numea uncie. Iar calea, timpul și alte cantități au fost comparate cu un lucru vizual - greutatea. De exemplu, un roman ar putea spune că a mers șapte uncii dintr-o potecă sau că a citit cinci uncii dintr-o carte. În acest caz, desigur, nu a fost vorba despre cântărirea cărării sau a cărții. Aceasta însemna că 7/12 din călătorie fuseseră finalizate sau 5/12 din carte au fost citite. Iar pentru fracțiile obținute prin reducerea fracțiilor cu numitorul de 12 sau împărțirea a douăsprezecelea în altele mai mici, existau denumiri speciale.
1 uncie troy de aur - o măsură a greutății metalelor prețioase

Slide 11

Descoperirea zecimalelor
Timp de câteva milenii, omenirea folosește numere fracționale, dar le-a venit ideea de a le scrie în zecimale convenabile mult mai târziu. Astăzi folosim zecimale în mod natural și liber. În Europa de Vest secolul al XVI-lea. Alături de sistemul zecimal larg răspândit de reprezentare a numerelor întregi, fracțiile sexagesimale au fost folosite peste tot în calcule, datând din tradiția antică a babilonienilor.

Slide 12

A fost nevoie de mintea strălucitoare a matematicianului olandez Simon Stevin pentru a aduce înregistrarea numerelor întregi și fracționale într-un singur sistem.

Slide 13

Folosind zecimale
De la începutul secolului al XVII-lea, a început pătrunderea intensivă a fracțiilor zecimale în știință și practică. În Anglia, un punct a fost introdus ca semn care separă o parte întreagă de o parte fracțională. Virgula, ca și perioada, a fost propusă ca semn de divizare în 1617 de către matematicianul Napier. mult mai des decât fracțiile obișnuite.
Dezvoltarea industriei și comerțului, științei și tehnologiei a necesitat calcule din ce în ce mai greoaie, care erau mai ușor de efectuat cu ajutorul fracțiilor zecimale. Fracțiile zecimale au devenit utilizate pe scară largă în secolul al XIX-lea după introducerea sistemului metric strâns legat de greutăți și măsuri. De exemplu, la noi, în agricultură și industrie, fracțiile zecimale și forma lor specială - procentele - sunt folosite mult mai des decât fracțiile obișnuite.

Slide 14

Folosind zecimale
De la începutul secolului al XVII-lea, a început pătrunderea intensivă a fracțiilor zecimale în știință și practică. În Anglia, un punct a fost introdus ca semn care separă o parte întreagă de o parte fracțională. Virgula, ca și perioada, a fost propusă ca semn de divizare în 1617 de către matematicianul Napier. Dezvoltarea industriei și comerțului, științei și tehnologiei a necesitat calcule din ce în ce mai greoaie, care erau mai ușor de efectuat cu ajutorul fracțiilor zecimale. Fracțiile zecimale au devenit utilizate pe scară largă în secolul al XIX-lea după introducerea sistemului metric strâns legat de greutăți și măsuri. De exemplu, la noi, în agricultură și industrie, fracțiile zecimale și forma lor specială - procentele - sunt folosite mult mai des decât fracțiile obișnuite.

Slide 15

Lista surselor
M.Ya.Vygodsky „Aritmetica și algebra în lumea antică”. G.I. Glazer „Istoria matematicii la școală”. I.Ya. Depman „Istoria aritmeticii”. Vilenkin N.Ya. „Din istoria fracțiilor” Friedman L.M. — Studiem matematica. Fracții în Babilon, Egipt, Roma. Descoperirea fracțiilor zecimale... prezentacii.com›Istorie›Descoperirea fracțiilor zecimale...matematică "Fracții în Babilon, Egipt, Roma. Descoperirea zecimale... ppt4web.ru›…drobi…rime…desjatichnykh-drobejj.html Fracții în Babilon, Egipt, Roma. Descoperirea fracțiilor zecimale"...powerpt.ru›…drobi-v…rime…desyatichnyh-drobey.html Egipt, Roma Antică, Babilon. Descoperirea fracțiilor zecimale."... uchportal.ru›Evoluții metodologice›Descoperirea fracțiilor zecimale. Istoria matematicii: ...Roma, Babilon. Descoperirea fracțiilor zecimale... rusedu.ru›detail_23107.html 9Prezentare: .. .Ancient Rome, Babylon.Descoperirea fracțiilor zecimale... prezentacii-powerpoint.ru›…drobi…vavilone…drobej/ Fractions in Babylon, Egypt, Rome. discovery of decimals... prezentacia.ucoz.ru›…drobi_v…desjatichnykh_drobej …