Cum se determină proiecțiile vectorilor. Proiecția forței pe axă. Proiecția sumei vectoriale a forțelor pe axă. De ce în mecanică este mai important vectorul de mișcare al unui corp decât calea pe care a parcurs-o?

La fizică pentru clasa a 9-a (I.K.Kikoin, A.K.Kikoin, 1999),
sarcină №5
la capitolul " CAPITOLUL 1. INFORMAȚII GENERALE DESPRE TRAFIC».

1. Cum se numește proiecția unui vector pe axa de coordonate?

1. Proiecția vectorului a pe axa de coordonate este lungimea segmentului dintre proiecțiile începutului și sfârșitului vectorului a (perpendiculare coborâte din aceste puncte pe axă) pe această axă de coordonate.

2. Cum este legat de coordonatele sale vectorul deplasare al unui corp?

2. Proiecțiile vectorului de deplasare s pe axele de coordonate sunt egale cu modificarea coordonatelor corpului corespunzătoare.

3. Dacă coordonata unui punct crește în timp, atunci ce semn are proiecția vectorului de deplasare pe axa de coordonate? Dacă scade?

3. Dacă coordonata unui punct crește în timp, atunci proiecția vectorului de deplasare pe axa de coordonate va fi pozitivă, deoarece în acest caz vom merge de la proiecția începutului la proiecția sfârșitului vectorului în direcția axei în sine.

Dacă coordonata unui punct scade în timp, atunci proiecția vectorului de deplasare pe axa de coordonate va fi negativă, deoarece în acest caz vom merge de la proiecția începutului până la proiecția sfârșitului vectorului față de ghidajul axei în sine.

4. Dacă vectorul deplasare este paralel cu axa X, atunci care este modulul proiecției vectorului pe această axă? Și cum rămâne cu modulul proiecției aceluiași vector pe axa Y?

4. Dacă vectorul deplasare este paralel cu axa X, atunci modulul proiecției vectorului pe această axă este egal cu modulul vectorului însuși, iar proiecția sa pe axa Y este zero.

5. Determinați semnele proiecțiilor pe axa X a vectorilor de deplasare prezentati în Figura 22. Cum se modifică coordonatele corpului în timpul acestor deplasări?

5. În toate următoarele cazuri, coordonatele Y a corpului nu se modifică, iar coordonata X a corpului se va modifica după cum urmează:

a) s 1;

proiecția vectorului s 1 pe axa X este negativă și este egală în valoare absolută cu lungimea vectorului s 1 . Cu o astfel de mișcare, coordonata X a corpului va scădea cu lungimea vectorului s 1.

b) s2;

proiecția vectorului s 2 pe axa X este pozitivă și egală ca mărime cu lungimea vectorului s 1 . Cu o astfel de mișcare, coordonata X a corpului va crește cu lungimea vectorului s 2.

c) s3;

proiecția vectorului s 3 pe axa X este negativă și egală ca mărime cu lungimea vectorului s 3 . Cu o astfel de mișcare, coordonata X a corpului va scădea cu lungimea vectorului s 3.

d)s 4;

proiecția vectorului s 4 pe axa X este pozitivă și egală ca mărime cu lungimea vectorului s 4 . Cu o astfel de mișcare, coordonata X a corpului va crește cu lungimea vectorului s 4.

e) s 5;

proiecția vectorului s 5 pe axa X este negativă și egală ca mărime cu lungimea vectorului s 5 . Cu o astfel de mișcare, coordonata X a corpului va scădea cu lungimea vectorului s 5.

6. Dacă valoarea distanței parcurse este mare, atunci modulul de deplasare poate fi mic?

6. Poate. Acest lucru se datorează faptului că deplasarea (vectorul deplasării) este o mărime vectorială, adică. este un segment de linie dreaptă direcționată care leagă poziția inițială a corpului cu pozițiile sale ulterioare. Iar poziția finală a corpului (indiferent de distanța parcursă) poate fi cât se dorește de poziția inițială a corpului. Dacă pozițiile finale și inițiale ale corpului coincid, modulul de deplasare va fi egal cu zero.

7. De ce este mai important în mecanică vectorul de mișcare al unui corp decât calea pe care a parcurs-o?

7. Sarcina principală a mecanicii este de a determina poziția corpului în orice moment. Cunoscând vectorul de mișcare al corpului, putem determina coordonatele corpului, adică. poziția corpului în orice moment în timp și cunoscând doar distanța parcursă, nu putem determina coordonatele corpului, deoarece nu avem informații despre direcția de mișcare, ci doar putem judeca lungimea traseului parcurs la un moment dat.

Înainte de a învăța totul despre vectori și operațiunile pe ei, pregătiți-vă să rezolvați o problemă simplă. Există un vector al antreprenoriatului tău și un vector al abilităților tale inovatoare. Vectorul antreprenoriatului te conduce la Obiectivul 1, iar vectorul abilităților inovatoare te duce către Scopul 2. Regulile jocului sunt de așa natură încât nu te poți deplasa pe direcțiile acestor doi vectori simultan și nu poți atinge două obiective deodată. Vectorii interacționează sau, vorbind în limbaj matematic, se efectuează o operațiune asupra vectorilor. Rezultatul acestei operațiuni este vectorul „Rezultat”, care vă conduce la Obiectivul 3.

Acum spune-mi: rezultatul cărei operațiuni pe vectorii „Antreprenoriat” și „Abilități inovatoare” este vectorul „Rezultat”? Dacă nu vă puteți da seama imediat, nu vă descurajați. Pe măsură ce progresați prin această lecție, veți putea răspunde la această întrebare.

După cum am văzut deja mai sus, vectorul vine în mod necesar dintr-un anumit punct Aîn linie dreaptă până la un punct B. În consecință, fiecare vector are nu numai o valoare numerică - lungime, ci și o valoare fizică și geometrică - direcție. De aici rezultă prima, cea mai simplă definiție a unui vector. Deci, un vector este un segment direcționat care vine dintr-un punct A până la punctul B. Se desemnează astfel: .

Și pentru a începe diverse operatii cu vectori , trebuie să ne familiarizăm cu încă o definiție a unui vector.

Un vector este un tip de reprezentare a unui punct care trebuie atins de la un punct de plecare. De exemplu, un vector tridimensional este de obicei scris ca (x, y, z) . În termeni foarte simpli, aceste numere înseamnă cât de departe trebuie să mergi în trei direcții diferite pentru a ajunge la un punct.

Fie dat un vector. în care X = 3 (mâna dreaptă arată spre dreapta), y = 1 (mâna stângă arată înainte) z = 5 (sub punct este o scară care duce sus). Folosind aceste date, vei găsi un punct mergând 3 metri în direcția indicată de mâna dreaptă, apoi 1 metru în direcția indicată de mâna stângă, apoi te așteaptă o scară și, ridicându-se cu 5 metri, vei găsi în sfârșit. tu insuti la punctul final.

Toți ceilalți termeni sunt clarificări ale explicației prezentate mai sus, necesare pentru diferite operații pe vectori, adică rezolvarea unor probleme practice. Să trecem prin aceste definiții mai riguroase, concentrându-ne pe probleme tipice vectoriale.

Exemple fizice Mărimile vectoriale pot fi deplasarea unui punct material care se mișcă în spațiu, viteza și accelerația acestui punct, precum și forța care acționează asupra acestuia.

Vector geometric prezentate în spațiu bidimensional și tridimensional în formă segment direcţional. Acesta este un segment care are un început și un sfârșit.

Dacă A- începutul vectorului, și B- sfârșitul acestuia, apoi vectorul este notat cu simbolul sau o literă mică . În figură, sfârșitul vectorului este indicat printr-o săgeată (Fig. 1)

Lungime(sau modul) a unui vector geometric este lungimea segmentului care îl generează

Cei doi vectori sunt numiți egal , daca pot fi combinate (daca directiile coincid) prin transfer paralel, i.e. dacă sunt paralele, îndreptate în aceeași direcție și au lungimi egale.

În fizică este adesea considerat vectori fixați, specificat de punctul de aplicare, lungime și direcție. Dacă punctul de aplicare al vectorului nu contează, atunci acesta poate fi transferat, menținându-și lungimea și direcția, în orice punct din spațiu. În acest caz, vectorul este numit gratuit. Vom fi de acord să luăm în considerare numai vectori liberi.

Operații liniare pe vectori geometrici

Înmulțirea unui vector cu un număr

Produsul unui vector pe număr este un vector care se obține dintr-un vector prin întindere (at ) sau comprimare (at ) cu un factor, iar direcția vectorului rămâne aceeași dacă , și se schimbă în opus dacă . (Fig. 2)

Din definiție rezultă că vectorii și = sunt întotdeauna situați pe una sau drepte paralele. Astfel de vectori se numesc coliniare. (Putem spune, de asemenea, că acești vectori sunt paraleli, dar în algebra vectorială se obișnuiește să spunem „coliniar”). Este adevărat și invers: dacă vectorii sunt coliniari, atunci ei sunt legați prin relația

În consecință, egalitatea (1) exprimă condiția de coliniaritate a doi vectori.

Adunarea și scăderea vectorilor

Când adăugați vectori trebuie să știți asta Cantitate vectori și se numește vector, al cărui început coincide cu începutul vectorului, iar sfârșitul - cu sfârșitul vectorului, cu condiția ca începutul vectorului să fie atașat la sfârșitul vectorului. (Fig. 3)

Această definiție poate fi distribuită pe orice număr finit de vectori. Lasă-le să fie date în spațiu n vectori liberi. Când se adună mai mulți vectori, suma acestora este considerată ca fiind vectorul de închidere, începutul căruia coincide cu începutul primului vector și sfârșitul cu sfârșitul ultimului vector. Adică, dacă atașați începutul vectorului la sfârșitul vectorului și începutul vectorului la sfârșitul vectorului etc. și, în sfârșit, până la sfârșitul vectorului - începutul vectorului, apoi suma acestor vectori este vectorul de închidere , al cărui început coincide cu începutul primului vector, iar sfârșitul - cu sfârșitul ultimului vector. (Fig. 4)

Termenii se numesc componente ale vectorului, iar regula formulată este regula poligonului. Este posibil ca acest poligon să nu fie plat.

Când un vector este înmulțit cu numărul -1, se obține vectorul opus. Vectorii și au aceleași lungimi și direcții opuse. Suma lor dă vector zero, a cărui lungime este zero. Direcția vectorului zero nu este definită.

În algebra vectorială, nu este nevoie să luăm în considerare operația de scădere separat: scăderea unui vector dintr-un vector înseamnă adăugarea vectorului opus la vector, i.e.

Exemplul 1. Simplificați expresia:

.

,

adică, vectorii pot fi adunați și înmulțiți cu numere în același mod ca polinoamele (în special, probleme de simplificare a expresiilor). De obicei, necesitatea de a simplifica expresii similare liniar cu vectori apare înainte de a calcula produsele vectorilor.

Exemplul 2. Vectori și servesc ca diagonale ale paralelogramului ABCD (Fig. 4a). Exprimați prin și vectorii , , și , care sunt laturile acestui paralelogram.

Soluţie. Punctul de intersecție al diagonalelor unui paralelogram bisectează fiecare diagonală. Găsim lungimile vectorilor solicitați în enunțul problemei fie ca jumătate din sumele vectorilor care formează un triunghi cu cei solicitați, fie ca jumătate din diferențe (în funcție de direcția vectorului care servește drept diagonală), fie, ca și în ultimul caz, jumătate din suma luată cu semnul minus. Rezultatul sunt vectorii necesari în formularea problemei:

Există toate motivele să credem că acum ați răspuns corect la întrebarea despre vectorii „Antreprenoriat” și „Abilități inovatoare” de la începutul acestei lecții. Răspuns corect: pe acești vectori se efectuează o operație de adunare.

Rezolvați singur problemele vectoriale și apoi uitați-vă la soluții

Cum se află lungimea sumei vectorilor?

Această problemă ocupă un loc special în operațiile cu vectori, deoarece implică utilizarea proprietăților trigonometrice. Să presupunem că întâlniți o sarcină ca următoarea:

Lungimile vectorului sunt date și lungimea sumei acestor vectori. Aflați lungimea diferenței dintre acești vectori.

Soluțiile la aceasta și alte probleme similare și explicații despre cum să le rezolvi sunt în lecție " Adunarea vectorială: lungimea sumei vectorilor și teorema cosinusului ".

Și puteți verifica soluția la astfel de probleme la Calculator online „Latura necunoscută a unui triunghi (adunare vectorială și teorema cosinusului)” .

Unde sunt produsele vectorilor?

Produsele vector-vector nu sunt operații liniare și sunt considerate separat. Și avem lecții „Produs scalar al vectorilor” și „Produși vectoriali și mixți ai vectorilor”.

Proiecția unui vector pe o axă

Proiecția unui vector pe o axă este egală cu produsul dintre lungimea vectorului proiectat și cosinusul unghiului dintre vector și axă:

După cum se știe, proiecția unui punct A pe linie dreaptă (plan) se află baza perpendicularei căzute din acest punct pe linie dreaptă (plan).

Fie un vector arbitrar (Fig. 5) și și proiecțiile originii sale (puncte A) și sfârșit (puncte B) pe axă l. (Pentru a construi o proiecție a unui punct A) trageți o linie dreaptă prin punct A un plan perpendicular pe o dreaptă. Intersecția dreptei și a planului va determina proiecția necesară.

Componentă vectorială pe axa l se numește un astfel de vector situat pe această axă, al cărui început coincide cu proiecția începutului, iar sfârșitul cu proiecția sfârșitului vectorului.

Proiecția vectorului pe axă l număr numit

,

egală cu lungimea vectorului component pe această axă, luată cu semnul plus dacă direcția componentelor coincide cu direcția axei l, și cu semnul minus dacă aceste direcții sunt opuse.

Proprietățile de bază ale proiecțiilor vectoriale pe o axă:

1. Proiecțiile vectorilor egali pe aceeași axă sunt egale între ele.

2. Când un vector este înmulțit cu un număr, proiecția lui este înmulțită cu același număr.

3. Proiecția sumei vectorilor pe orice axă este egală cu suma proiecțiilor sumelor vectorilor pe aceeași axă.

4. Proiecția vectorului pe axă este egală cu produsul dintre lungimea vectorului proiectat și cosinusul unghiului dintre vector și axă:

.

Soluţie. Să proiectăm vectori pe axă l așa cum este definit în contextul teoretic de mai sus. Din Fig. 5a este evident că proiecția sumei vectorilor este egală cu suma proiecțiilor vectorilor. Calculăm aceste proiecții:

Găsim proiecția finală a sumei vectorilor:

Relația dintre un vector și un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu

A face cunoștință Sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu a avut loc în lecția corespunzătoare, este indicat să îl deschideți într-o fereastră nouă.

Într-un sistem ordonat de axe de coordonate 0xyz axă Bou numit axa x, axa 0y – axa y, și axa 0z – axa aplicată.

Cu un punct arbitrar M vector de conectare spațială

numit vector rază puncte Mși proiectați-l pe fiecare dintre axele de coordonate. Să notăm mărimile proiecțiilor corespunzătoare:

Numerele x, y, z sunt numite coordonatele punctului M, respectiv abscisă, ordonatăȘi aplica, și sunt scrise ca un punct ordonat de numere: M(x;y;z)(Fig. 6).

Se numește un vector de unitate de lungime a cărui direcție coincide cu direcția axei vector unitar(sau ortom) topoare. Să notăm prin

În consecință, vectorii unitari ai axelor de coordonate Bou, Oi, Oz

Teorema. Orice vector poate fi extins în vectori unitari ai axelor de coordonate:

(2)

Egalitatea (2) se numește expansiunea vectorului de-a lungul axelor de coordonate. Coeficienții acestei expansiuni sunt proiecțiile vectorului pe axele de coordonate. Astfel, coeficienții de expansiune (2) ai vectorului de-a lungul axelor de coordonate sunt coordonatele vectorului.

După alegerea unui anumit sistem de coordonate în spațiu, vectorul și tripletul coordonatelor sale se determină în mod unic unul pe celălalt, astfel încât vectorul poate fi scris sub forma

Reprezentările vectorului în forma (2) și (3) sunt identice.

Condiție de coliniaritate a vectorilor în coordonate

După cum am observat deja, vectorii sunt numiți coliniari dacă sunt legați prin relație

Să fie dați vectorii . Acești vectori sunt coliniari dacă coordonatele vectorilor sunt legate prin relație

,

adică coordonatele vectorilor sunt proporţionale.

Exemplul 6. Se dau vectori . Acești vectori sunt coliniari?

Soluţie. Să aflăm relația dintre coordonatele acestor vectori:

.

Coordonatele vectorilor sunt proporționale, prin urmare, vectorii sunt coliniari sau, ceea ce este același, paraleli.

Lungimea vectorului și cosinusurile de direcție

Datorită perpendicularității reciproce a axelor de coordonate, lungimea vectorului

egală cu lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic construit pe vectori

și se exprimă prin egalitate

(4)

Un vector este complet definit prin specificarea a două puncte (început și sfârșit), astfel încât coordonatele vectorului pot fi exprimate în termeni de coordonatele acestor puncte.

Fie, într-un sistem de coordonate dat, originea vectorului să fie în punct

iar sfârșitul este la punct

Din egalitate

Urmează asta

sau sub formă de coordonate

Prin urmare, coordonatele vectoriale sunt egale cu diferențele dintre aceleași coordonate ale sfârșitului și începutului vectorului . Formula (4) în acest caz va lua forma

Se determină direcția vectorului cosinusuri de direcție . Acestea sunt cosinusurile unghiurilor pe care le face vectorul cu axele Bou, OiȘi Oz. Să notăm aceste unghiuri în consecință α , β Și γ . Apoi cosinusurile acestor unghiuri pot fi găsite folosind formulele

Cosinusurile de direcție ale unui vector sunt, de asemenea, coordonatele vectorului acelui vector și, prin urmare, vectorul vectorului

.

Având în vedere că lungimea vectorului unitar este egală cu o unitate, adică

,

obținem următoarea egalitate pentru cosinusurile direcției:

Exemplul 7. Aflați lungimea vectorului X = (3; 0; 4).

Soluţie. Lungimea vectorului este

Exemplul 8. Puncte acordate:

Aflați dacă triunghiul construit pe aceste puncte este isoscel.

Soluţie. Folosind formula de lungime vectorială (6), găsim lungimile laturilor și determinăm dacă există două egale între ele:

Au fost găsite două laturi egale, prin urmare nu este nevoie să căutați lungimea celei de-a treia laturi, iar triunghiul dat este isoscel.

Exemplul 9. Aflați lungimea vectorului și cosinusurile direcției acestuia dacă .

Soluţie. Coordonatele vectoriale sunt date:

.

Lungimea vectorului este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor vectoriale:

.

Găsirea cosinusurilor direcției:

Rezolvați singur problema vectorului și apoi uitați-vă la soluție

Operații pe vectori dați sub formă de coordonate

Fie dați doi vectori și, definiți prin proiecțiile lor:

Să indicăm acțiunile asupra acestor vectori.

1.Adăugare:

sau ce e la fel

(la adăugarea a doi vectori se adaugă coordonatele cu același nume).

Proiecția algebrică a unui vector pe orice axă este egal cu produsul dintre lungimea vectorului și cosinusul unghiului dintre axă și vector:

Pr a b = |b|cos(a,b) sau

Unde a b este produsul scalar al vectorilor, |a| - modulul vectorului a.

Instrucțiuni. Pentru a găsi proiecția vectorului Pr a b online, trebuie să specificați coordonatele vectorilor a și b. În acest caz, vectorul poate fi specificat în plan (două coordonate) și în spațiu (trei coordonate). Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word. Dacă vectorii sunt specificați prin coordonatele punctelor, atunci trebuie să utilizați acest calculator.

Clasificarea proiecțiilor vectoriale

Tipuri de proiectii prin definitie proiectie vectoriala

1. Proiecția geometrică a vectorului AB pe axă (vector) se numește vector A"B", începutul căruia A' este proiecția începutului A pe axă (vector), iar capătul B' este proiecția capătului B pe aceeași axă.
2. Proiecția algebrică a vectorului AB pe axă (vector) se numește lungimea vectorului A"B", luată cu semnul + sau -, în funcție de faptul că vectorul A"B" are aceeași direcție cu axa ( vector).

Tipuri de proiecții în funcție de sistemul de coordonate

Proprietăți de proiecție vectorială

1. Proiecția geometrică a unui vector este un vector (are o direcție).
2. Proiecția algebrică a unui vector este un număr.

Teoreme de proiecție vectorială

Teorema 1. Proiecția sumei vectorilor pe orice axă este egală cu proiecția sumelor vectorilor pe aceeași axă.

AC" =AB" +B"C"

Teorema 2. Proiecția algebrică a unui vector pe orice axă este egală cu produsul dintre lungimea vectorului și cosinusul unghiului dintre axă și vector:

Pr a b = |b|·cos(a,b)

Tipuri de proiectii vectoriale

1. proiecție pe axa OX.
2. proiecție pe axa OY.
3. proiecție pe un vector.

Proiecție pe axa OX	Proiecție pe axa OY	Proiecție la vector
Dacă direcția vectorului A’B’ coincide cu direcția axei OX, atunci proiecția vectorului A’B’ are semn pozitiv.	Dacă direcția vectorului A’B’ coincide cu direcția axei OY, atunci proiecția vectorului A’B’ are semn pozitiv.	Dacă direcția vectorului A’B’ coincide cu direcția vectorului NM, atunci proiecția vectorului A’B’ are semn pozitiv.
Dacă direcția vectorului este opusă direcției axei OX, atunci proiecția vectorului A’B’ are semn negativ.	Dacă direcția vectorului A’B’ este opusă direcției axei OY, atunci proiecția vectorului A’B’ are semn negativ.	Dacă direcția vectorului A’B’ este opusă direcției vectorului NM, atunci proiecția vectorului A’B’ are semn negativ.
Dacă vectorul AB este paralel cu axa OX, atunci proiecția vectorului A’B’ este egală cu valoarea absolută a vectorului AB.	Dacă vectorul AB este paralel cu axa OY, atunci proiecția vectorului A’B’ este egală cu valoarea absolută a vectorului AB.	Dacă vectorul AB este paralel cu vectorul NM, atunci proiecția vectorului A’B’ este egală cu valoarea absolută a vectorului AB.
Dacă vectorul AB este perpendicular pe axa OX, atunci proiecția A’B’ este egală cu zero (vector nul).	Dacă vectorul AB este perpendicular pe axa OY, atunci proiecția A’B’ este egală cu zero (vector nul).	Dacă vectorul AB este perpendicular pe vectorul NM, atunci proiecția A’B’ este egală cu zero (vector nul).

1. Întrebare: Proiectia unui vector poate avea semn negativ? Răspuns: Da, vectorul de proiecție poate fi o valoare negativă. În acest caz, vectorul are direcția opusă (vezi cum sunt direcționate axa OX și vectorul AB)
2. Întrebare: Poate să coincidă proiecția unui vector cu valoarea absolută a vectorului? Răspuns: Da, se poate. În acest caz, vectorii sunt paraleli (sau se află pe aceeași linie).
3. Întrebare: Poate fi proiecția unui vector egală cu zero (vector nul). Răspuns: Da, se poate. În acest caz, vectorul este perpendicular pe axa corespunzătoare (vector).

Exemplul 1. Vectorul (Fig. 1) formează un unghi de 60° cu axa OX (este specificat de vectorul a). Dacă OE este o unitate de scară, atunci |b|=4, deci .

Într-adevăr, lungimea vectorului (proiecția geometrică b) este egală cu 2, iar direcția coincide cu direcția axei OX.

Exemplul 2. Vectorul (Fig. 2) formează un unghi (a,b) = 120 o cu axa OX (cu vectorul a). Lungimea |b| vectorul b este egal cu 4, deci pr a b=4·cos120 o = -2.

Într-adevăr, lungimea vectorului este 2, iar direcția este opusă direcției axei.

Fie dată axa l în spațiu, adică o dreaptă direcționată.

Proiecția punctului M pe axa l este baza M 1 a perpendicularei MM 1 coborâtă din punct spre axă.

Punctul M 1 este punctul de intersecție al axei l cu un plan care trece prin punctul M perpendicular pe axă (vezi Fig. 7).

Dacă punctul M se află pe axa l, atunci proiecția punctului M pe axă coincide cu M1.

Fie AB un vector arbitrar (AB¹ 0). Să notăm cu A 1 și b 1 proiecțiile pe axa l, respectiv, a începutului A și a sfârșitului B a vectorului AB și să considerăm vectorul A 1 B 1

Proiecția vectorului AB pe axa l este numărul pozitiv |A 1 B 1 | , dacă vectorul A 1 B 1 și axa l sunt egal direcționate și numărul negativ este |A 1 B 1 | , dacă vectorul A 1 B 1 și axa l sunt direcționate opus (vezi Fig. 8). Dacă punctele a 1 și b 1 coincid (A 1 B 1 = 0), atunci proiecția vectorului AB este egală cu 0.

Proiecția vectorului AB pe axa l se notează astfel: pr l AB. Dacă AB=0 sau AB^l, atunci pr l AB=0.

Unghiul j dintre vectorul a și axa l (sau unghiul dintre doi vectori) este prezentat în Figura 9. Evident, 0£j£p

Să ne uităm la câteva proprietăți de bază ale proiecțiilor.

Proprietatea 1. Proiecția vectorului a pe axa l este egală cu produsul dintre modulul vectorului a și cosinusul unghiului j dintre vector și axă, adică pr l a =|a | cos j .

Corolarul 5.1. Proiecția vectorului pe axă este pozitivă (negativă) dacă vectorul formează un unghi ascuțit (obtuz) cu axa și este egală cu zero dacă acest unghi este drept.

Corolarul 5.2. Proiecțiile vectorilor egali pe aceeași axă sunt egale între ele.

Proprietatea 2. Proiecția sumei mai multor vectori pe aceeași axă este egală cu suma proiecțiilor lor pe această axă

Proprietatea 3. Când un vector a este înmulțit cu un număr A, proiecția lui pe axă se înmulțește și cu acest număr, adică.

Astfel, operațiile liniare pe vectori conduc la operații liniare corespunzătoare asupra proiecțiilor acestor vectori.

5.4. Descompunerea unui vector în vectori unitari ai axelor de coordonate.
Modul vectorial. Cosinusuri de direcție.

Să considerăm un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiu. Să selectăm vectori unitari (orturi) pe axele de coordonate Ox, Oy și Oz, notate i, j, k, respectiv (vezi Fig. 12).

Să alegem un vector arbitrar a de spațiu și să potrivim originea lui cu originea coordonatelor: a = OM.

Să găsim proiecțiile vectorului a pe axele de coordonate. Să desenăm plane paralele cu planurile de coordonate până la sfârșitul vectorului OM. Punctele de intersecție ale acestor plane cu axele le notăm cu M 1, M 2 și respectiv M3 Obținem un paralelipiped dreptunghic, una dintre diagonalele căruia este vectorul OM. Atunci pr x a=|OM 1 |, np y a = |OM 2 |, pr z a=|OM3|. Prin definirea sumei mai multor vectori, găsim a = OM 1 + M 1 N + NM.

Și întrucât M 1 N=OM 2, NM = OM3, atunci

a=OM 1 + OM 2 + OM 3 (5.1)

Să notăm proiecțiile vectorului a=OM pe axele Ox, Oy și, respectiv, Oz cu a x, a y și a z, i.e. |OM 1 | = a x,|OM 2 | = a y, |OM 3 | = a z . Apoi din egalitățile (5.1) și (5.2) obținem

a=a x i+a y j+a z k (5.3)

Această formulă este de bază în calculul vectorial și se numește descompunerea unui vector în vectori unitari ai axelor de coordonate. Numerele a x, a y, a z se numesc coordonatele vectorului a, adică coordonatele vectorului sunt proiecțiile sale pe axele de coordonate corespunzătoare.

Egalitatea vectorială (5.3) este adesea scrisă sub formă simbolică: a = (a x ;a y ;a z).

Egalitatea b = (b x; b y; b z) înseamnă că b = b x i + b y j + b z k. Cunoscând proiecțiile vectorului a, puteți găsi cu ușurință o expresie pentru modulul vectorului. Pe baza teoremei privind lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic, putem scrie

adică, modulul unui vector este egal cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor proiecțiilor sale pe axele de coordonate.

Fie unghiurile vectorului a cu axele Ox, Oy și Oz egale cu a, b, g, respectiv. Prin proprietatea proiecției vectoriale pe axă, avem

Sau, ce este la fel,

Numerele se numesc cosinus de direcție ale vectorului a.

Înlocuind expresiile (5.5) în egalitatea (5.4), obținem

Reducând prin obținem relația

adică suma pătratelor cosinusurilor direcției unui vector diferit de zero este egală cu unu.

Este ușor de observat că coordonatele vectorului unitar e sunt numerele

Deci, specificând coordonatele unui vector, puteți determina întotdeauna mărimea și direcția acestuia, de exemplu. vectorul în sine.

O descriere vectorială a mișcării este utilă, deoarece într-un desen puteți descrie întotdeauna mulți vectori diferiți și puteți obține o „imagine” vizuală a mișcării în fața ochilor dumneavoastră. Cu toate acestea, folosirea unei rigle și a unui raportor de fiecare dată pentru a efectua operații cu vectori este foarte laborioasă. Prin urmare, aceste acțiuni sunt reduse la acțiuni cu numere pozitive și negative - proiecții de vectori.

Proiecția vectorului pe axă numită mărime scalară egală cu produsul dintre modulul vectorului proiectat și cosinusul unghiului dintre direcțiile vectorului și axa de coordonate selectată.

Desenul din stânga prezintă un vector de deplasare, al cărui modul este de 50 km, și direcția lui formează unghi obtuz 150° cu direcția axei X. Folosind definiția, găsim proiecția deplasării pe axa X:

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Deoarece unghiul dintre axe este de 90°, este ușor de calculat că direcția de mișcare formează un unghi ascuțit de 60° cu direcția axei Y. Folosind definiția, găsim proiecția deplasării pe axa Y:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

După cum puteți vedea, dacă direcția vectorului formează un unghi ascuțit cu direcția axei, proiecția este pozitivă; dacă direcția vectorului formează un unghi obtuz cu direcția axei, proiecția este negativă.

Desenul din dreapta arată un vector viteză, al cărui modul este de 5 m/s, iar direcția formează un unghi de 30° cu direcția axei X. Să găsim proiecțiile:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

Este mult mai ușor să găsiți proiecții ale vectorilor pe axe dacă vectorii proiectați sunt paraleli sau perpendiculari pe axele selectate. Vă rugăm să rețineți că în cazul paralelismului sunt posibile două opțiuni: vectorul este co-direcțional față de axă și vectorul este opus axei, iar pentru cazul perpendicularității există o singură opțiune.

Proiecția unui vector perpendicular pe axă este întotdeauna zero (vezi sy și ay în desenul din stânga și sx și υx în desenul din dreapta). Într-adevăr, pentru un vector perpendicular pe axă, unghiul dintre acesta și axă este de 90°, deci cosinusul este zero, ceea ce înseamnă că proiecția este zero.

Proiecția unui vector codirecțional cu axa este pozitivă și egală cu valoarea sa absolută, de exemplu, sx = +s (vezi desenul din stânga). Într-adevăr, pentru un vector codirecțional cu axă, unghiul dintre acesta și axă este zero, iar cosinusul său este „+1”, adică proiecția este egală cu lungimea vectorului: sx = x – xo = + s .

Proiecția vectorului opus axei este negativă și egală cu modulul său luat cu semnul minus, de exemplu, sy = –s (vezi desenul din dreapta). Într-adevăr, pentru un vector opus axei, unghiul dintre acesta și axă este de 180°, iar cosinusul său este „–1”, adică proiecția este egală cu lungimea vectorului luat cu semn negativ: sy = y – yo = –s .

Partea dreaptă a ambelor desene arată alte cazuri în care vectorii sunt paraleli cu una dintre axele de coordonate și perpendiculari pe cealaltă. Vă invităm să vă asigurați că și în aceste cazuri sunt respectate regulile formulate în paragrafele precedente.