|BD|- lungimea arcului de cerc cu centru într-un punct A.
α - unghi exprimat în radiani.

Sine ( sin α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC| la lungimea ipotenuzei |AC|.
cosinus ( cos α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea ipotenuzei |AC|.

Notatii acceptate

;
;
.

;
;
.

Graficul funcției sinus, y = sin x

Graficul funcției cosinus, y = cos x

Proprietățile sinusului și cosinusului

Periodicitate

Funcțiile y = sin xși y = cos x periodic cu punct 2π.

Paritate

Funcția sinus este impară. Funcția cosinus este pară.

Domeniul definirii si valorilor, extrema, crestere, scadere

Funcțiile sinus și cosinus sunt continue în domeniul lor de definiție, adică pentru tot x (vezi dovada continuității). Principalele lor proprietăți sunt prezentate în tabel (n - întreg).

	y = sin x	y = cos x
Domeniul de aplicare și continuitatea	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Gama de valori	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Crescând
Descendentă
Maxima, y ​​= 1
Minima, y ​​= - 1
Zerouri, y = 0
Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0	y = 0	y = 1

Formule de bază

Suma pătratelor sinusului și cosinusului

Formule pentru sinus și cosinus din sumă și diferență

;
;

Formule pentru produsul sinusurilor și cosinusurilor

Formule de sumă și diferență

Exprimarea sinusului prin cosinus

;
;
;
.

Exprimarea cosinusului prin sinus

;
;
;
.

Exprimarea prin tangentă

; .

Când avem:
; .

La:
; .

Tabelul sinusurilor și cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor

Acest tabel arată valorile sinusurilor și cosinusurilor pentru anumite valori ale argumentului.

Expresii prin variabile complexe

;

formula lui Euler

Expresii prin funcții hiperbolice

;
;

Derivate

; . Derivarea formulelor > > >

Derivate de ordin al n-lea:
{ -∞ < x < +∞ }

Secant, cosecant

Funcții inverse

Funcțiile inverse ale sinusului și cosinusului sunt arcsinus și, respectiv, arccosinus.

Arcsin, arcsin

Arccosine, arccos

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

Vezi si:

În acest articol vom arăta cum să dăruiești definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi și număr în trigonometrie. Aici vom vorbi despre notații, vom da exemple de intrări și vom oferi ilustrații grafice. În concluzie, să facem o paralelă între definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei în trigonometrie și geometrie.

Navigare în pagină.

Definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei

Să vedem cum se formează ideea de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă într-un curs de matematică școlar. În lecțiile de geometrie, este dată definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. Și mai târziu se studiază trigonometria, care vorbește despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație și număr. Să prezentăm toate aceste definiții, să dăm exemple și să dăm comentariile necesare.

Unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Din cursul de geometrie cunoaștem definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. Ele sunt date ca raport al laturilor unui triunghi dreptunghic. Să dăm formulările lor.

Definiție.

Sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusa fata de ipotenuza.

Definiție.

Cosinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Definiție.

Tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic– acesta este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.

Definiție.

Cotangenta unui unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghic- acesta este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.

Denumirile pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt de asemenea introduse acolo - sin, cos, tg și, respectiv, ctg.

De exemplu, dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu unghi drept C, atunci sinusul unghiului ascuțit A este egal cu raportul dintre latura opusă BC și ipotenuza AB, adică sin∠A=BC/AB.

Aceste definiții vă permit să calculați valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi dreptunghic, precum și din valorile cunoscute ale sinusului, cosinusului, tangentei, cotangent și lungimea uneia dintre laturi pentru a găsi lungimile celorlalte laturi. De exemplu, dacă am ști că într-un triunghi dreptunghic catetul AC este egal cu 3 și ipotenuza AB este egală cu 7, atunci am putea calcula valoarea cosinusului unghiului ascuțit A prin definiție: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Unghi de rotație

În trigonometrie, ei încep să privească unghiul mai larg - introduc conceptul de unghi de rotație. Mărimea unghiului de rotație, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitată la 0 până la 90 de grade; unghiul de rotație în grade (și în radiani) poate fi exprimat prin orice număr real de la −∞ la +∞.

În această lumină, definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt date nu ale unui unghi ascuțit, ci ale unui unghi de mărime arbitrară - unghiul de rotație. Ele sunt date prin coordonatele x și y ale punctului A 1, către care așa-numitul punct de plecare A(1, 0) merge după rotirea lui cu un unghi α în jurul punctului O - începutul sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare și centrul cercului unitar.

Definiție.

Sinusul unghiului de rotațieα este ordonata punctului A 1, adică sinα=y.

Definiție.

Cosinusul unghiului de rotațieα se numește abscisa punctului A 1, adică cosα=x.

Definiție.

Tangenta unghiului de rotațieα este raportul dintre ordonata punctului A 1 și abscisa acestuia, adică tanα=y/x.

Definiție.

Cotangenta unghiului de rotatieα este raportul dintre abscisa punctului A 1 și ordonata sa, adică ctgα=x/y.

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α, deoarece putem determina întotdeauna abscisa și ordonata punctului, care se obține prin rotirea punctului de plecare cu unghiul α. Dar tangenta și cotangenta nu sunt definite pentru niciun unghi. Tangenta nu este definită pentru unghiurile α la care punctul de plecare merge la un punct cu abscisă zero (0, 1) sau (0, −1), iar acest lucru se întâmplă la unghiurile 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Într-adevăr, la astfel de unghiuri de rotație, expresia tgα=y/x nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. În ceea ce privește cotangenta, aceasta nu este definită pentru unghiurile α la care punctul de plecare merge la punctul cu ordonata zero (1, 0) sau (−1, 0), iar acest lucru se întâmplă pentru unghiurile 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Deci, sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație, tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), iar cotangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Definițiile includ denumirile deja cunoscute de noi sin, cos, tg și ctg, ele sunt, de asemenea, folosite pentru a desemna sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unghiului de rotație (uneori puteți găsi denumirile tan și cot corespunzând cu tangente și cotangente) . Deci sinusul unui unghi de rotație de 30 de grade poate fi scris ca sin30°, intrările tg(−24°17′) și ctgα corespund tangentei unghiului de rotație −24 grade 17 minute și cotangentei unghiului de rotație α . Amintiți-vă că atunci când scrieți măsura radianilor unui unghi, denumirea „rad” este adesea omisă. De exemplu, cosinusul unui unghi de rotație de trei pi rad este de obicei notat cos3·π.

În concluzia acestui punct, este de remarcat faptul că atunci când vorbim despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație, expresia „unghi de rotație” sau cuvântul „rotație” este adesea omisă. Adică, în locul expresiei „sinus al unghiului de rotație alfa”, se folosește de obicei expresia „sinus al unghiului alfa” sau chiar mai scurt, „sinus alfa”. Același lucru este valabil și pentru cosinus, tangente și cotangente.

Vom spune, de asemenea, că definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic sunt în concordanță cu definițiile tocmai date pentru sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unui unghi de rotație cuprins între 0 și 90 de grade. Vom justifica acest lucru.

Numerele

Definiție.

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t este un număr egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentei unghiului de rotație în t radiani, respectiv.

De exemplu, cosinusul numărului 8·π prin definiție este un număr egal cu cosinusul unghiului de 8·π rad. Și cosinusul unui unghi de 8·π rad este egal cu unu, prin urmare, cosinusul numărului 8·π este egal cu 1.

Există o altă abordare pentru determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Constă în faptul că fiecărui număr real t i se asociază un punct de pe cercul unitar cu centrul la originea sistemului de coordonate dreptunghiulare, iar prin coordonatele acestui punct se determină sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Să ne uităm la asta mai detaliat.

Să arătăm cum se stabilește o corespondență între numerele reale și punctele dintr-un cerc:

• numărului 0 i se atribuie punctul de plecare A(1, 0);
• numărul pozitiv t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm de-a lungul cercului de la punctul de plecare în sens invers acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime t;
• numărul negativ t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm de-a lungul cercului de la punctul de plecare în sensul acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime |t| .

Acum trecem la definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei numărului t. Să presupunem că numărul t corespunde unui punct de pe cercul A 1 (x, y) (de exemplu, numărul &pi/2; corespunde punctului A 1 (0, 1)).

Definiție.

Sinusul numărului t este ordonata punctului de pe cercul unitar corespunzător numărului t, adică sint=y.

Definiție.

Cosinusul numărului t se numește abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică cost=x.

Definiție.

Tangenta numărului t este raportul dintre ordonata și abscisa unui punct de pe cercul unitar corespunzător numărului t, adică tgt=y/x. Într-o altă formulare echivalentă, tangenta unui număr t este raportul dintre sinusul acestui număr și cosinus, adică tgt=sint/cost.

Definiție.

Cotangente a numărului t este raportul dintre abscisa si ordonata unui punct de pe cercul unitar corespunzator numarului t, adica ctgt=x/y. O altă formulare este aceasta: tangenta numărului t este raportul dintre cosinusul numărului t și sinusul numărului t: ctgt=cost/sint.

Aici observăm că definițiile tocmai date sunt în concordanță cu definiția dată la începutul acestui paragraf. Într-adevăr, punctul de pe cercul unitar corespunzător numărului t coincide cu punctul obținut prin rotirea punctului de plecare cu un unghi de t radiani.

Încă merită să clarificăm acest punct. Să presupunem că avem intrarea sin3. Cum putem înțelege dacă vorbim despre sinusul numărului 3 sau despre sinusul unghiului de rotație de 3 radiani? Acest lucru este de obicei clar din context, altfel probabil că nu are o importanță fundamentală.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric

Conform definițiilor date în paragraful anterior, fiecărui unghi de rotație α îi corespunde o valoare foarte specifică sinα, precum și valoarea cosα. În plus, toate unghiurile de rotație, altele decât 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) corespund valorilor tgα și alte valori decât 180°k, k∈Z (πk rad ) – valori de ctgα . Prin urmare sinα, cosα, tanα și ctgα sunt funcții ale unghiului α. Cu alte cuvinte, acestea sunt funcții ale argumentului unghiular.

Putem vorbi în mod similar despre funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ale unui argument numeric. Într-adevăr, fiecărui număr real t corespunde unei valori foarte specifice sint, precum și costului. În plus, toate numerele, altele decât π/2+π·k, k∈Z corespund valorilor tgt și numerelor π·k, k∈Z - valori ctgt.

Se numesc funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă funcții trigonometrice de bază.

De obicei, este clar din context dacă avem de-a face cu funcții trigonometrice ale unui argument unghiular sau ale unui argument numeric. În caz contrar, ne putem gândi la variabila independentă atât ca măsură a unghiului (argument unghiular), cât și ca argument numeric.

Totuși, la școală studiem în principal funcțiile numerice, adică funcțiile ale căror argumente, precum și valorile funcției corespunzătoare, sunt numere. Prin urmare, dacă vorbim în mod specific despre funcții, atunci este recomandabil să considerăm funcțiile trigonometrice drept funcții ale argumentelor numerice.

Relația dintre definițiile din geometrie și trigonometrie

Dacă luăm în considerare unghiul de rotație α cuprins între 0 și 90 de grade, atunci definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație în contextul trigonometriei sunt pe deplin compatibile cu definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic, care sunt date în cursul de geometrie. Să justificăm asta.

Să descriem cercul unitar în sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy. Să marchem punctul de plecare A(1, 0) . Să o rotim cu un unghi α cuprins între 0 și 90 de grade, obținem punctul A 1 (x, y). Să coborâm perpendiculara A 1 H din punctul A 1 pe axa Ox.

Este ușor de observat că într-un triunghi dreptunghic unghiul A 1 OH este egal cu unghiul de rotație α, lungimea catetei OH adiacent acestui unghi este egală cu abscisa punctului A 1, adică |OH |=x, lungimea catetei A 1 H opusă unghiului este egală cu ordonata punctului A 1, adică |A 1 H|=y, iar lungimea ipotenuzei OA 1 este egală cu unu, deoarece este raza cercului unitar. Atunci, prin definiție din geometrie, sinusul unui unghi ascuțit α într-un triunghi dreptunghic A 1 OH este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză, adică sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Și prin definiție din trigonometrie, sinusul unghiului de rotație α este egal cu ordonata punctului A 1, adică sinα=y. Aceasta arată că determinarea sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este echivalentă cu determinarea sinusului unghiului de rotație α atunci când α este de la 0 la 90 de grade.

În mod similar, se poate demonstra că definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit α sunt în concordanță cu definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație α.

Bibliografie.

1. Geometrie. 7-9 clase: manual pentru învăţământul general instituții / [L. S. Atanasyan, V. F. Butozov, S. B. Kadomtsev etc.]. - Ed. a 20-a. M.: Educaţie, 2010. - 384 p.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometrie: manual. pentru clasele 7-9. educatie generala instituţii / A. V. Pogorelov. - ed. a II-a - M.: Educaţie, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebră și funcții elementare: Manual pentru elevii clasei a IX-a de liceu / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Editat de doctor în științe fizice și matematice O. N. Golovin.- ed. a IV-a. M.: Educație, 1969.
4. Algebră: Manual pentru clasa a IX-a. medie scoala/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Educație, 1990. - 272 p.: il. - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov.- ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Algebra și începuturile analizei. Clasa 10. În 2 părți Partea 1: manual pentru instituțiile de învățământ general (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a IV-a, adaug. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a X-a: manual. pentru învăţământul general instituţii: de bază şi de profil. niveluri /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; editat de A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - I.: Educație, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M. I. Algebra și începuturile analizei: manual. pentru clasele 10-11. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Educaţie, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Examen de stat unificat pentru 4? Nu vei izbucni de fericire?

Intrebarea, dupa cum se spune, este interesanta... Se poate, se poate trece cu 4! Și în același timp să nu izbucnești... Condiția principală este să faci exerciții regulate. Iată pregătirea de bază pentru examenul de stat unificat la matematică. Cu toate secretele și misterele examenului de stat unificat, despre care nu veți citi în manuale... Studiați această secțiune, rezolvați mai multe sarcini din diverse surse - și totul va funcționa! Se presupune că secțiunea de bază „A C este suficient pentru tine!” nu iti pune probleme. Dar dacă dintr-o dată... Urmărește linkurile, nu fi leneș!

Și vom începe cu un subiect grozav și teribil.

Trigonometrie

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Acest subiect creează o mulțime de probleme studenților. Este considerat unul dintre cele mai severe. Ce sunt sinus și cosinus? Ce sunt tangente și cotangente? Ce este un cerc numeric? De îndată ce pui aceste întrebări inofensive, persoana devine palidă și încearcă să distragă conversația... Dar în zadar. Acestea sunt concepte simple. Și acest subiect nu este mai dificil decât alții. Trebuie doar să înțelegeți clar răspunsurile la aceste întrebări chiar de la început. Este foarte important. Dacă înțelegeți, vă va plăcea trigonometria. Asa de,

Ce sunt sinus și cosinus? Ce sunt tangente și cotangente?

Să începem cu vremurile străvechi. Nu vă faceți griji, vom trece prin toate cele 20 de secole de trigonometrie în aproximativ 15 minute și, fără să observăm, vom repeta o bucată de geometrie din clasa a VIII-a.

Să desenăm un triunghi dreptunghic cu laturile a, b, cși unghi X. Iată-l.

Permiteți-mi să vă reamintesc că laturile care formează un unghi drept se numesc picioare. a și c– picioare. Sunt doi dintre ei. Latura rămasă se numește ipotenuză. Cu– ipotenuza.

Triunghi și triunghi, gândește-te! Ce să faci cu el? Dar oamenii din vechime știau ce să facă! Să le repetăm ​​acțiunile. Să măsurăm partea laterală V. În figură, celulele sunt desenate special, așa cum se întâmplă în sarcinile Unified State Examination. Latură V egal cu patru celule. BINE. Să măsurăm partea laterală A. Trei celule.

Acum să împărțim lungimea laturii A pe lungimea laturii V. Sau, cum se spune și ei, să luăm atitudinea A La V. a/v= 3/4.

Dimpotrivă, puteți împărți V pe A. Primim 4/3. Poate sa Vîmparte la Cu. Ipotenuză Cu Este imposibil de numărat după celule, dar este egal cu 5. Obținem calitate superioară= 4/5. Pe scurt, puteți împărți lungimile laturilor între ele și puteți obține câteva numere.

Şi ce dacă? Ce rost are această activitate interesantă? Niciuna inca. Un exercițiu fără rost, ca să spunem direct.)

Acum hai să facem asta. Să mărim triunghiul. Să extindem părțile laterale in si cu, dar astfel încât triunghiul să rămână dreptunghiular. Colţ X, desigur, nu se schimbă. Pentru a vedea acest lucru, plasați mouse-ul peste imagine sau atingeți-o (dacă aveți o tabletă). Petreceri a, b și c se va transforma in m, n, k, și, desigur, lungimile laturilor se vor schimba.

Dar relația lor nu este!

Atitudine a/v a fost: a/v= 3/4, a devenit m/n= 6/8 = 3/4. Relațiile altor părți relevante sunt, de asemenea nu se va schimba . Puteți modifica lungimile laturilor dintr-un triunghi dreptunghic după cum doriți, creșteți, micșorați, fără a modifica unghiul x – relația dintre părțile relevante nu se va schimba . Poți să-l verifici sau poți crede cuvantul oamenilor din vechime.

Dar acest lucru este deja foarte important! Raporturile laturilor dintr-un triunghi dreptunghic nu depind în niciun fel de lungimile laturilor (la același unghi). Acest lucru este atât de important încât relația dintre părți și-a câștigat propriul nume special. Numele voastre, ca să spunem așa.) Faceți cunoștință cu mine.

Care este sinusul unghiului x ? Acesta este raportul dintre latura opusă față de ipotenuză:

sinx = a/c

Care este cosinusul unghiului x ? Acesta este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză:

Cuosx= calitate superioară

Ce este tangenta x ? Acesta este raportul dintre latura opusă și cea adiacentă:

tgx =a/v

Care este cotangenta unghiului x ? Acesta este raportul dintre latura adiacentă și cea opusă:

ctgx = v/a

Totul este foarte simplu. Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt câteva numere. Fără dimensiuni. Doar numere. Fiecare unghi are al lui.

De ce repet totul atât de plictisitor? Atunci ce este asta trebuie să-ți amintești. Este important să ne amintim. Memorarea poate fi ușoară. Este cunoscută expresia „Să începem de la distanță...”? Așa că începe de departe.

Sinusul unghiul este un raport îndepărtat de la unghiul catetei la ipotenuză. Cosinus– raportul dintre vecin și ipotenuză.

Tangentă unghiul este un raport îndepărtat de la unghiul piciorului la cel apropiat. Cotangentă- viceversa.

E mai ușor, nu?

Ei bine, dacă vă amintiți că în tangentă și cotangentă există doar catete, iar în sinus și cosinus apare ipotenuza, atunci totul va deveni destul de simplu.

Toată această familie glorioasă - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă se mai numește funcții trigonometrice.

Acum o întrebare de luat în considerare.

De ce spunem sinus, cosinus, tangentă și cotangentă colţ? Vorbim despre relația dintre părți, de genul... Ce legătură are cu asta? colţ?

Să ne uităm la a doua poză. Exact la fel ca primul.

Treceți mouse-ul peste imagine. Am schimbat unghiul X. A crescut de la x la x. Toate relațiile s-au schimbat! Atitudine a/v a fost 3/4, iar raportul corespunzător televizor a devenit 6/4.

Și toate celelalte relații au devenit diferite!

Prin urmare, rapoartele laturilor nu depind în niciun fel de lungimile lor (la un unghi x), ci depind foarte mult chiar de acest unghi! Și numai de la el. Prin urmare, termenii sinus, cosinus, tangentă și cotangentă se referă la colţ. Unghiul de aici este cel principal.

Trebuie să se înțeleagă clar că unghiul este indisolubil legat de funcțiile sale trigonometrice. Fiecare unghi are propriul sinus și cosinus. Și aproape fiecare are propria tangentă și cotangentă. Este important. Se crede că dacă ni se dă un unghi, atunci sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta acestuia noi stim ! Si invers. Având în vedere un sinus sau orice altă funcție trigonometrică, înseamnă că cunoaștem unghiul.

Există tabele speciale în care pentru fiecare unghi sunt descrise funcțiile sale trigonometrice. Se numesc mese Bradis. Au fost compilate cu foarte mult timp în urmă. Când încă nu existau calculatoare sau calculatoare...

Desigur, este imposibil să ne amintim funcțiile trigonometrice ale tuturor unghiurilor. Vi se cere să le cunoașteți doar pentru câteva unghiuri, mai multe despre asta mai târziu. Dar vraja Cunosc un unghi, ceea ce înseamnă că îi cunosc funcțiile trigonometrice” - merge mereu!

Așa că am repetat o bucată de geometrie din clasa a VIII-a. Avem nevoie de el pentru examenul de stat unificat? Necesar. Iată o problemă tipică de la examenul de stat unificat. Pentru a rezolva această problemă, clasa a VIII-a este suficientă. Poza dată:

Toate. Nu mai sunt date. Trebuie să găsim lungimea laterală a aeronavei.

Celulele nu prea ajută, triunghiul este poziționat cumva greșit.... Intenționat, presupun... Din informații rezultă lungimea ipotenuzei. 8 celule. Din anumite motive, unghiul a fost dat.

Aici trebuie să vă amintiți imediat despre trigonometrie. Există un unghi, ceea ce înseamnă că îi cunoaștem toate funcțiile trigonometrice. Pe care dintre cele patru funcții ar trebui să folosim? Să vedem, ce știm? Știm ipotenuza și unghiul, dar trebuie să găsim adiacent cateter la acest colt! Este clar, cosinusul trebuie pus în acțiune! Începem. Pur și simplu scriem, după definiția cosinusului (raportul adiacent picior la ipotenuză):

cosC = BC/8

Unghiul nostru C este de 60 de grade, cosinusul său este 1/2. Trebuie să știi asta, fără tabele! Acesta este:

1/2 = BC/8

Ecuație liniară elementară. Necunoscut - Soare. Cei care au uitat cum să rezolve ecuații, aruncați o privire pe link, restul rezolvă:

BC = 4

Când oamenii antici și-au dat seama că fiecare unghi are propriul său set de funcții trigonometrice, au avut o întrebare rezonabilă. Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt într-un fel legate între ele? Deci, cunoscând o funcție de unghi, le puteți găsi pe celelalte? Fără a calcula unghiul în sine?

Erau atât de neliniştiţi...)

Relația dintre funcțiile trigonometrice ale unui unghi.

Desigur, sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta aceluiași unghi sunt legate între ele. Orice legătură între expresii este dată în matematică prin formule. În trigonometrie există un număr colosal de formule. Dar aici ne vom uita la cele mai elementare. Aceste formule se numesc: identități trigonometrice de bază. Aici sunt ei:

Trebuie să cunoașteți temeinic aceste formule. Fără ele, în general, nu există nimic de făcut în trigonometrie. Din aceste identități de bază urmează încă trei identități auxiliare:

Te avertizez imediat că ultimele trei formule îți ies repede din memorie. Din anumite motive.) Puteți, desigur, să derivați aceste formule din primele trei. Dar, în vremuri dificile... Înțelegi.)

În problemele standard, precum cele de mai jos, există o modalitate de a evita aceste formule de uitat. ȘI reduce drastic erorile din cauza uitării, dar și în calcule. Această practică este în Secțiunea 555, lecția „Relații între funcțiile trigonometrice cu același unghi”.

În ce sarcini și cum sunt utilizate identitățile trigonometrice de bază? Cea mai populară sarcină este să găsești o funcție unghiulară dacă este dată alta. În examenul de stat unificat o astfel de sarcină este prezentă de la an la an.) De exemplu:

Aflați valoarea lui sinx dacă x este un unghi ascuțit și cosx=0,8.

Sarcina este aproape elementară. Căutăm o formulă care să conțină sinus și cosinus. Iată formula:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Inlocuim aici o valoare cunoscuta, si anume 0,8 in loc de cosinus:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Ei bine, numărăm ca de obicei:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x = 1 - 0,64

Asta e practic tot. Am calculat pătratul sinusului, nu rămâne decât să extragem rădăcina pătrată și răspunsul este gata! Rădăcina lui 0,36 este 0,6.

Sarcina este aproape elementară. Dar cuvântul „aproape” există pentru un motiv... Faptul este că răspunsul sinx= - 0,6 este de asemenea potrivit... (-0,6) 2 va fi și 0,36.

Există două răspunsuri diferite. Și ai nevoie de unul. Al doilea este greșit. cum sa fii!? Da, ca de obicei.) Citiți cu atenție sarcina. Din anumite motive, scrie:... daca x este un unghi ascutit...Și în sarcini, fiecare cuvânt are un sens, da... Această frază este o informație suplimentară pentru soluție.

Un unghi ascuțit este un unghi mai mic de 90°. Și în astfel de colțuri Toate funcții trigonometrice - sinus, cosinus și tangentă cu cotangentă - pozitiv. Acestea. Pur și simplu eliminăm răspunsul negativ aici. Avem dreptul.

De fapt, elevii de clasa a opta nu au nevoie de asemenea subtilități. Ele funcționează doar cu triunghiuri dreptunghiulare, unde colțurile pot fi doar acute. Și nu știu, fericiți, că există atât unghiuri negative, cât și unghiuri de 1000°... Și toate aceste unghiuri groaznice au propriile lor funcții trigonometrice, atât plus cât și minus...

Dar pentru elevii de liceu, fără să țină cont de semn - în niciun caz. Multe cunoștințe înmulțesc necazurile, da...) Și pentru soluția corectă, informații suplimentare sunt neapărat prezente în sarcină (dacă este necesar). De exemplu, poate fi dat de următoarea intrare:

Sau într-un alt mod. Veți vedea în exemplele de mai jos.) Pentru a rezolva astfel de exemple trebuie să știți În ce sfert se încadrează unghiul dat x și ce semn are funcția trigonometrică dorită în acest trimestru?

Aceste elemente de bază ale trigonometriei sunt discutate în lecțiile despre ce este un cerc trigonometric, măsurarea unghiurilor pe acest cerc, măsura în radian a unui unghi. Uneori trebuie să cunoașteți tabelul sinusurilor, cosinusurilor tangentelor și cotangentelor.

Deci, să notăm cel mai important lucru:

Sfaturi practice:

1. Amintiți-vă definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Va fi foarte util.

2. Înțelegem clar: sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt strâns legate de unghiuri. Știm un lucru, ceea ce înseamnă că știm altul.

3. Înțelegem clar: sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi sunt legate între ele prin identități trigonometrice de bază. Cunoaștem o funcție, ceea ce înseamnă că le putem calcula (dacă avem informațiile suplimentare necesare) pe toate celelalte.

Acum să decidem, ca de obicei. În primul rând, sarcini în sfera clasei a VIII-a. Dar și liceenii o pot face...)

1. Calculați valoarea tgA dacă ctgA = 0,4.

2. β este un unghi dintr-un triunghi dreptunghic. Aflați valoarea lui tanβ dacă sinβ = 12/13.

3. Determinați sinusul unghiului ascuțit x dacă tgх = 4/3.

4. Găsiți sensul expresiei:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Găsiți sensul expresiei:

(1-cosx)(1+cosx), dacă sinx = 0,3

Răspunsuri (separate prin punct și virgulă, în dezordine):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

S-a întâmplat? Grozav! Elevii de clasa a VIII-a pot deja să-și ia A.)

Nu a mers totul? Sarcinile 2 și 3 nu sunt cumva foarte bune...? Nici o problemă! Există o tehnică frumoasă pentru astfel de sarcini. Totul se poate rezolva practic fără formule! Și, prin urmare, fără erori. Această tehnică este descrisă în lecția: „Relații între funcțiile trigonometrice ale unui unghi” din Secțiunea 555. Toate celelalte sarcini sunt, de asemenea, tratate acolo.

Acestea au fost probleme precum examenul de stat unificat, dar într-o versiune redusă. Examen de stat unificat - lumină). Și acum aproape aceleași sarcini, dar într-un format cu drepturi depline. Pentru elevii de liceu împovărați de cunoștințe.)

6. Aflați valoarea lui tanβ dacă sinβ = 12/13 și

7. Determinați sinх dacă tgх = 4/3, iar x aparține intervalului (- 540°; - 450°).

8. Aflați valoarea expresiei sinβ cosβ dacă ctgβ = 1.

Răspunsuri (în dezordine):

0,8; 0,5; -2,4.

Aici in problema 6 unghiul nu este specificat foarte clar... Dar in problema 8 nu este specificat deloc! Acest lucru este intenționat). Informații suplimentare sunt preluate nu numai de la sarcină, ci și de la cap.) Dar dacă decideți, o sarcină corectă este garantată!

Dacă nu te-ai hotărât? Hmm... Ei bine, secțiunea 555 va ajuta aici. Acolo soluțiile pentru toate aceste sarcini sunt descrise în detaliu, este greu de înțeles.

Această lecție oferă o înțelegere foarte limitată a funcțiilor trigonometrice. În clasa a VIII-a. Și bătrânii mai au întrebări...

De exemplu, dacă unghiul X(uită-te la a doua poză de pe această pagină) - fă-o prost!? Triunghiul se va destrama complet! Deci ce ar trebui sa facem? Nu va exista picior, nici ipotenuză... Sinusul a dispărut...

Dacă oamenii antici nu ar fi găsit o cale de ieșire din această situație, acum nu am avea telefoane mobile, televizor sau electricitate. Da Da! Baza teoretică pentru toate aceste lucruri fără funcții trigonometrice este zero fără un băț. Dar oamenii antici nu au dezamăgit. Cum au ieșit este în lecția următoare.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Cosinusul este o funcție trigonometrică bine-cunoscută, care este, de asemenea, una dintre funcțiile principale ale trigonometriei. Cosinusul unui unghi dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura adiacentă a triunghiului și ipotenuza triunghiului. Cel mai adesea, definiția cosinusului este asociată cu un triunghi de tip dreptunghiular. Dar se întâmplă și ca unghiul pentru care este necesar să se calculeze cosinusul într-un triunghi dreptunghiular să nu fie situat chiar în acest triunghi dreptunghiular. Ce să faci atunci? Cum se află cosinusul unui unghi al unui triunghi?

Dacă trebuie să calculați cosinusul unui unghi într-un triunghi dreptunghiular, atunci totul este foarte simplu. Trebuie doar să vă amintiți definiția cosinusului, care conține soluția acestei probleme. Trebuie doar să găsiți aceeași relație între latura adiacentă, precum și ipotenuza triunghiului. Într-adevăr, nu este greu de exprimat aici cosinusul unghiului. Formula este următoarea: - cosα = a/c, aici „a” este lungimea catetei, iar latura „c”, respectiv, este lungimea ipotenuzei. De exemplu, cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic poate fi găsit folosind această formulă.

Dacă sunteți interesat de ceea ce este egal cu cosinusul unui unghi dintr-un triunghi arbitrar, atunci teorema cosinusului vine în ajutor, care merită folosită în astfel de cazuri. Teorema cosinusului afirmă că pătratul unei laturi a unui triunghi este a priori egal cu suma pătratelor laturilor rămase ale aceluiași triunghi, dar fără a dubla produsul acestor laturi cu cosinusul unghiului situat între ele.

1. Dacă trebuie să găsiți cosinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi, atunci trebuie să utilizați următoarea formulă: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
2. Dacă trebuie să găsiți cosinusul unui unghi obtuz într-un triunghi, atunci trebuie să utilizați următoarea formulă: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). Denumirile din formulă - a și b - sunt lungimile laturilor care sunt adiacente unghiului dorit, c - este lungimea laturii care este opusă unghiului dorit.

Cosinusul unui unghi poate fi calculat și folosind teorema sinusului. Afirmă că toate laturile unui triunghi sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse. Folosind teorema sinusurilor, puteți calcula elementele rămase dintr-un triunghi, având informații doar despre două laturi și un unghi care este opus unei laturi, sau din două unghiuri și o latură. Luați în considerare acest lucru cu un exemplu. Condiții de problemă: a=1; b=2; c=3. Unghiul care este opus laturii „A” se notează cu α, apoi, conform formulelor, avem: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Raspunsul 1.

Dacă cosinusul unui unghi trebuie calculat nu într-un triunghi, ci într-o altă figură geometrică arbitrară, atunci totul devine puțin mai complicat. Mărimea unghiului trebuie mai întâi determinată în radiani sau grade și abia apoi cosinusul trebuie calculat din această valoare. Cosinusul după valoare numerică se determină folosind tabele Bradis, calculatoare de inginerie sau aplicații matematice speciale.

Aplicațiile matematice speciale pot avea funcții precum calcularea automată a cosinusurilor unghiurilor dintr-o anumită figură. Frumusețea unor astfel de aplicații este că dau răspunsul corect, iar utilizatorul nu-și pierde timpul rezolvând uneori probleme destul de complexe. Pe de altă parte, cu utilizarea constantă exclusiv a aplicațiilor pentru rezolvarea problemelor, se pierd toate abilitățile de lucru cu rezolvarea problemelor matematice privind găsirea cosinusurilor unghiurilor în triunghiuri, precum și a altor figuri arbitrare.

Cosinus– una dintre funcțiile trigonometrice de bază. Cosinus ohm picant unghiîntr-un triunghi dreptunghic se numește raportul dintre latura adiacentă și ipotenuză. Definiția cosinusului este legată de un triunghi dreptunghic, dar adesea unghiul al cărui cosinus trebuie determinat nu este plasat în triunghi dreptunghic. Cum să aflați valoarea cosinusului oricărui unghi ?

Instrucțiuni

1. unghiîntr-un triunghi dreptunghic, trebuie să utilizați definiția cosinusului și să găsiți raportul catetei adiacente la ipotenuză: cos? = a/c, unde a este lungimea catetei, c este lungimea ipotenuzei.

2. Dacă trebuie să detectați cosinus unghiîntr-un triunghi arbitrar, trebuie să utilizați teorema cosinusului: dacă unghiul este ascuțit: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab); dacă unghiul este obtuz: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), unde a, b sunt lungimile laturilor adiacente colțului, c este lungimea laturii opuse colțului.

3. Dacă trebuie să detectați cosinus unghiîntr-o figură geometrică arbitrară, trebuie să determinați valoarea unghiîn grade sau radiani și cosinus unghi detectează după valoarea sa cu ajutorul unui calculator de inginerie, tabele Bradis sau orice altă aplicație matematică.

Cosinus este o funcție trigonometrică de bază a unghiului. A ști cum să determinați cosinusul va fi util în algebra vectorială atunci când se determină proiecțiile vectorilor pe diferite axe.

Instrucțiuni

1. Cosinus Ohmul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent unghiului și ipotenuză. Aceasta înseamnă că într-un triunghi dreptunghic ABC (ABC este un unghi drept), cosinusul unghiului BAC este egal cu raportul AB la AC. Pentru unghiul ACB: cos ACB = BC/AC.

2. Dar un unghi nu aparține întotdeauna unui triunghi; în plus, există unghiuri obtuze care, evident, nu pot face parte dintr-un triunghi dreptunghic. Să luăm în considerare cazul când unghiul este specificat de raze. Pentru a calcula cosinusul unghiului în acest caz, procedați după cum urmează. Un sistem de coordonate este atașat la colț, coordonatele sunt calculate de la vârful colțului, axa X merge de-a lungul unei laturi a colțului, axa Y este construită perpendicular pe axa X. După aceasta, un cerc cu raza unitară este construit cu centrul la vârful colțului. A doua latură a unghiului intersectează cercul în punctul A. Aruncă o perpendiculară din punctul A la axa X, marcați punctul de intersecție al perpendicularei cu axa Ax. Apoi obțineți un triunghi dreptunghic AAxO, iar cosinusul unghiului este AAx/AO. Deoarece cercul este de rază unitară, atunci AO = 1 și cosinusul unghiului este primitiv egal cu AAx.

3. In cazul unui unghi obtuz se executa aceleasi constructii. Cosinus Unghiul obtuz este negativ, dar este și egal cu Ax.

Video pe tema

Notă!
Cosinusurile unor unghiuri sunt prezentate în tabelele Bradis.

Concepte precum sinus, cosinus, tangentă este puțin probabil să fie întâlnite des în viața de zi cu zi. Totuși, dacă te-ai așezat să rezolvi probleme de matematică cu fiul tău de liceu, ar fi bine să-ți amintești care sunt aceste reprezentări și cum să detectezi, să zicem, un cosinus.

Instrucțiuni

Video pe tema

Adesea în problemele geometrice (trigonometrice) este necesar să se găsească cosinus unghi în triunghi, deoarece cosinus unghiul vă permite să determinați fără ambiguitate dimensiunea unghiului în sine.

Instrucțiuni

1. Pentru a descoperi cosinus unghi în triunghi, se cunosc lungimile laturilor, putem folosi teorema cosinus ov. Conform acestei teoreme, pătratul lungimii unei laturi a unui triunghi arbitrar este egal cu suma pătratelor celorlalte 2 laturi ale sale fără de două ori produsul lungimilor acestor laturi cu cosinus unghi dintre ele: a?=b?+c?-2*b*c*cos?, unde: a, b, c sunt laturile triunghiului (sau mai bine zis lungimile lor),? – unghiul opus laturii a (valoarea acesteia).Din egalitatea de mai sus este ușor de găsit сos?:сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c) Exemplul 1. Există un triunghi cu laturile a, b , cu 3, 4, 5 mm, respectiv. cosinus unghiul cuprins intre laturile mari.Rezolvare: Dupa conditiile problemei, avem: a = 3, b = 4, c = 5. Notam unghiul opus laturii a cu ?, apoi, dupa formula derivata mai sus, avem: cos? = (b? + c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16? +25-9)/40=32/40=0, 8Răspuns: 0,8.

2. Dacă triunghiul este în unghi drept, atunci pentru a găsi cosinusși este suficient ca un unghi să cunoască lungimile fiecărei două laturi ( cosinus unghiul drept este 0).Fie un triunghi dreptunghic cu laturile a,b,c, unde c este ipotenuza.Să ne uităm la toate opțiunile: Exemplul 2. Aflați cos?dacă lungimile laturilor a și b (catetele ale triunghiului) sunt cunoscute.Să folosim suplimentar teorema lui Pitagora: c?=b?+a?,c=v(b?+a?)cos?=(b?+c?-a?)/(2* b*c)=(b?+b?+a? -a?)/(2*b*v(b?+a?))=(2*b?)/(2*b*v(b?) +a?))=b/v(b?+a ?)Pentru a verifica corectitudinea formulei rezultate, înlocuim în ea valorile din exemplul 1, adică a = 3, b = 4. După efectuarea calculelor de bază, obținem: cos? = 0,8.

3. Similar este localizat cosinusîntr-un dreptunghiular triunghiîn alte cazuri: Exemplul 3. Celebrii a și c (ipotenuză și picior opus), găsiți сos?b?=с?-а?,b=v(c?-а?)сos?=(b?+c?- a?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а ?)/(2*c*v(c?-a?))=v(c?-a?)/c. Înlocuind valorile a=3 și c=5 din primul exemplu, obținem: cos ?=0,8.

4. Exemplul 4. Vestimele b și c (hipotenuza și piciorul adiacent) Detectați cos? După ce am efectuat reformări similare (prezentate în exemplele 2 și 3), constatăm că în acest caz cosinus V triunghi se calculează folosind o formulă foarte ușoară: cos? = b/c. Simplitatea formulei derivate este explicată simplu: într-adevăr, adiacent colțului? catetul este o proiecție a ipotenuzei, prin urmare lungimea sa este egală cu lungimea ipotenuzei înmulțită cu cos?. Înlocuind valorile b = 4 și c = 5 din primul exemplu, obținem: cos? = 0,8 Aceasta înseamnă că toate formulele noastre sunt corecte.

Sfat 5: Cum să detectați un unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Direct carbonic triunghiul, aparent, este una dintre cele mai cunoscute, din punct de vedere istoric, figuri geometrice. „Pantalonii” pitagoreici pot concura doar cu „Eureka!” Arhimede.

Vei avea nevoie

• – desenarea unui triunghi;
• - rigla;
• – raportor

Instrucțiuni

1. Ca de obicei, vârfurile colțurilor unui triunghi sunt desemnate cu litere latine mari (A, B, C), iar laturile opuse prin litere mici latine (a, b, c) sau prin numele vârfurilor triunghiului formând această latură (AC, BC, AB).

2. Suma unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade. Într-un dreptunghi triunghi un unghi (drept) va fi invariabil de 90 de grade, iar restul acut, i.e. mai puțin de 90 de grade pe tot drumul. Pentru a determina ce unghi într-un dreptunghi triunghi este drept, măsurați laturile triunghiului cu sprijinul unei rigle și determinați-l pe cel mai mare. Se numește ipotenuză (AB) și este situată opus unghiului drept (C). Cele două laturi rămase formează un unghi drept și se numesc picioare (AC, BC).

3. Odată ce ați determinat ce unghi este ascuțit, puteți fie măsura unghiul folosind un raportor, fie îl puteți calcula folosind formule matematice.

4. Pentru a determina dimensiunea unghiului cu ajutorul unui raportor, aliniați vârful acestuia (notat cu litera A) cu un semn special pe riglă din centrul raportorului; piciorul AC trebuie să coincidă cu marginea superioară. Marcați pe partea semicirculară a raportorului punctul prin care trece ipotenuza AB. Valoarea în acest punct corespunde unghiului în grade. Dacă există 2 valori indicate pe raportor, atunci pentru un unghi acut trebuie să-l alegeți pe cel mai mic, pentru un unghi obtuz - cel mai mare.

6. Găsiți valoarea rezultată în tabelele de referință Bradis și determinați cărui unghi îi corespunde valoarea numerică rezultată. Bunicile noastre au folosit această metodă.

7. În zilele noastre, este suficient să luați un calculator cu o funcție pentru calcularea formulelor trigonometrice. Să presupunem că calculatorul Windows încorporat. Lansați aplicația „Calculator”, în elementul de meniu „Vizualizare”, selectați elementul „Inginerie”. Calculați sinusul unghiului dorit, să spunem sin(A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

8. Comutați calculatorul în modul funcții inverse făcând clic pe butonul INV de pe afișajul calculatorului, apoi faceți clic pe butonul pentru calcularea funcției arcsinus (indicată pe afișaj ca sin față de prima putere minus). O altă inscripție va apărea în fereastra de calcul: asind (0,5) = 30. I.e. unghiul dorit este de 30 de grade.

Teorema cosinusului în matematică este folosită cel mai des în cazul în care trebuie să detectați o a treia latură dintr-un unghi și două laturi. Cu toate acestea, uneori condiția problemei este stabilită opus: este necesar să găsiți un unghi cu 3 laturi date.

Instrucțiuni

1. Imaginează-ți că ți se dă un triunghi ale cărui lungimi a 2 laturi și valoarea unui unghi sunt cunoscute. Toate unghiurile acestui triunghi nu sunt egale între ele, iar laturile sale sunt, de asemenea, diferite ca mărime. Colţ? se află opus laturii triunghiului, denumit AB, care este baza acestei figuri. Prin acest unghi, precum și prin laturile rămase AC și BC, este posibilă detectarea acelei laturi a triunghiului care este necunoscută, folosind teorema cosinusului, derivând pe baza acesteia formula prezentată mai jos: a^2=b^2 +c^2-2bc*cos?, unde a=BC, b=AB, c=ACTeorema cosinusului, dimpotrivă, se numește teorema generalizată a lui Pitagora.

2. Acum imaginați-vă că sunt date toate cele trei laturi ale figurii, dar în același timp unghiul acesteia? necunoscut Știind că formula are forma a^2=b^2+c^2-2bc*cos?, transformați această expresie astfel încât valoarea dorită să devină unghiul?: b^2+c^2=2bc*cos?+ a ^2.După aceasta, aduceți ecuația de mai sus într-o formă ușor diferită: b^2+c^2-a^2=2bc*cos?.După aceasta, această expresie ar trebui convertită în cea de mai jos: cos?= ?b^2+c ^2-a^2/2bc Tot ce rămâne este să înlocuiți numerele în formulă și să efectuați calculele.

3. Pentru a afla cosinusul unghiului unui triunghi, desemnat cu ?, acesta trebuie exprimat prin funcția trigonometrică inversă numită arc cosinus. Arccosinusul numărului m este valoarea unghiului? pentru care cosinusul unghiului? este egal cu m. Funcția y=arccos m este descrescătoare. Imaginați-vă, să spunem, care este cosinusul unghiului? egal cu un 2. Atunci unghiul? poate fi definit prin arc cosinus după cum urmează:? = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, unde m = 1/2.În mod similar, este posibil să se detecteze unghiurile rămase ale unui triunghi cu alte 2 laturi necunoscute.

4. Dacă unghiurile sunt prezentate în radiani, convertiți-le în grade folosind următorul raport:? radian = 180 grade. Amintiți-vă că marea majoritate a calculatoarelor de inginerie sunt echipate cu capacitatea de a schimba unitățile de unghi.

Sinus și cosinus sunt două funcții trigonometrice care se numesc „directe”. Ele sunt cele care trebuie calculate mai des decât altele, iar pentru a rezolva această problemă astăzi fiecare dintre noi are o selecție mare de opțiuni. Mai jos sunt câteva metode deosebit de primitive.

Instrucțiuni

1. Folosiți un raportor, un creion și o bucată de hârtie dacă nu sunt disponibile alte mijloace de calcul. Una dintre definițiile cosinusului este dată în termeni de unghiuri ascuțite dintr-un triunghi dreptunghic - valoarea acestuia este egală cu raportul dintre lungimea catetei opusă acestui unghi și lungimea ipotenuzei. Desenați un triunghi în care unul dintre unghiuri este drept (90°), iar celălalt este egal cu unghiul al cărui cosinus doriți să îl calculați. Lungimea laturilor nu contează - desenați-le așa cum vă simțiți cel mai confortabil la măsurare. Măsurați lungimea catetei și ipotenuzei necesare și împărțiți primul la al doilea folosind orice metodă convenabilă.

2. Profitați de capacitatea de a determina valorile funcțiilor trigonometrice cu ajutorul calculatorului încorporat în motorul de căutare Nigma, dacă aveți acces la Internet. Să presupunem că, dacă trebuie să calculați cosinusul unui unghi de 20°, atunci prin încărcarea paginii principale de serviciu http://nigma.ru, tastați „cosinus 20 de grade” în câmpul de căutare și faceți clic pe „Detecta!” buton. Puteți omite cuvântul „grade” și înlocuiți cuvântul „cosinus” cu cos - în orice caz, motorul de căutare va afișa rezultatul cu 15 zecimale (0,939692620785908).

3. Deschideți programul de calculator standard instalat cu sistemul de operare Windows dacă nu aveți acces la Internet. Acest lucru se poate face, să zicem, apăsând tastele win și r în același timp, apoi introducând comanda calc și făcând clic pe butonul OK. Pentru a calcula funcțiile trigonometrice, există o interfață pre-proiectată numită „inginer” sau „om de știință” (în funcție de versiunea sistemului de operare) - selectați elementul necesar în secțiunea „Vizualizare” a meniului calculatorului. Mai târziu, introduceți valoarea unghiului în grade și faceți clic pe butonul cos din interfața programului.

Video pe tema

Sfat 8: Cum să determinați unghiurile într-un triunghi dreptunghic

Un triunghi dreptunghic se caracterizează prin anumite relații între unghiuri și laturi. Cunoscând valorile unora dintre ele, este posibil să se calculeze altele. În acest scop se folosesc formule, bazate, la rândul lor, pe axiomele și teoremele de geometrie.

Instrucțiuni

1. Din chiar numele unui triunghi dreptunghic este clar că unul dintre unghiurile sale este drept. Indiferent dacă un triunghi dreptunghic este isoscel sau nu, acesta are invariabil un unghi egal cu 90 de grade. Dacă vi se oferă un triunghi dreptunghic care este simultan și isoscel, atunci, pe baza faptului că există un unghi drept în figură, găsiți două unghiuri la baza lui. Aceste unghiuri sunt egale între ele, prin urmare fiecare dintre ele are o valoare egală cu:? = 180° - 90°/2 = 45°

2. Pe lângă cel discutat mai sus, mai permitem și un alt caz când triunghiul este dreptunghic, dar nu isoscel. În multe probleme, unghiul unui triunghi este de 30°, iar în altele este de 60°, deci suma tuturor unghiurilor dintr-un triunghi trebuie să fie egală cu 180°. Dacă sunt date ipotenuza unui triunghi dreptunghic și catetul acestuia, atunci unghiul poate fi găsit din corespondența acestor 2 laturi: sin ?=a/c, unde a este catetul opus ipotenuzei triunghiului, c este ipotenuza triunghiului.În consecință, ?=arcsin(a/c )Unghiul poate fi determinat și folosind formula pentru găsirea cosinusului: cos ?=b/c, unde b este catetul adiacent ipotenuzei triunghiului

3. Dacă se cunosc doar două picioare, atunci unghiul? poate fi găsit folosind formula tangentei. Tangenta acestui unghi este egală cu raportul laturii opuse față de cea adiacentă: tg ? = a/b De aici rezultă că? = arctg (a/b) Când un unghi drept și unul dintre unghiurile găsite de către Metoda de mai sus sunt date, a 2-a se găsește după cum urmează:? = 180°-(90°+?)

Cuvântul „cosinus” se referă la una dintre funcțiile trigonometrice, care atunci când este scrisă este desemnată cos. Este deosebit de comun să se ocupe de el atunci când se rezolvă probleme de găsire a parametrilor figurilor corecte în geometrie. În astfel de probleme, valorile unghiurilor de la vârfurile poligoanelor sunt indicate, ca de obicei, cu majuscule ale alfabetului grecesc. Dacă vorbim despre un triunghi dreptunghic, atunci din această singură literă puteți afla uneori care dintre colțuri este înțeles.

Instrucțiuni

1. Dacă valoarea unghiului, indicată de litera ?, este cunoscută din condițiile problemei, atunci pentru a găsi valoarea corespunzătoare cosinusului alfa, puteți utiliza un calculator standard de sistem de operare Windows. Este lansat prin meniul principal al sistemului de operare - apăsați butonul Win, extindeți secțiunea „Toate programele” din meniu, mergeți la subsecțiunea „Tipic”, apoi la secțiunea „Utilitate”. Acolo veți găsi linia „Calculator” - faceți clic pe ea pentru a lansa aplicația.

2. Apăsați combinația de taste Alt + 2 pentru a comuta interfața aplicației la opțiunea „inginerie” (în alte versiuni ale sistemului de operare - „scientist”). După aceea, introduceți valoarea unghiului? și faceți clic pe butonul marcat cu literele cos cu cursorul mouse-ului - calculatorul va calcula funcția și va afișa rezultatul.

3. Dacă calculezi cosinusul unui unghi? necesar într-un triunghi dreptunghic, atunci probabil că este unul dintre cele 2 unghiuri ascuțite. Dacă laturile unui astfel de triunghi sunt desemnate corect, ipotenuza (cea mai lungă latură) se notează cu litera c, iar unghiul drept aflat vizavi este notat cu litera greacă ?. Celelalte două laturi (picioare) sunt desemnate de literele a și b, iar unghiurile ascuțite aflate în fața lor sunt ? Și?. Pentru valorile unghiurilor acute ale unui triunghi dreptunghic, există relații care vă vor permite să calculați cosinusul, chiar și fără a cunoaște valoarea unghiului în sine.

4. Dacă într-un triunghi dreptunghic se cunosc lungimile laturilor b (cateta adiacentă unghiului?) și c (ipotenuza), atunci să se calculeze cosinusul? se împarte lungimea acestui catet la lungimea ipotenuzei: cos(?)=b/c.

5. Într-un triunghi arbitrar, care este valoarea cosinusului unghiului? O cantitate necunoscută poate fi calculată dacă lungimile tuturor laturilor sunt date în condiții. Pentru a face acest lucru, mai întâi pătrați lungimile tuturor laturilor, apoi valorile rezultate pentru cele 2 laturi adiacente colțului? adunați și scădeți valoarea rezultată pentru partea opusă din total. După aceasta, împărțiți valoarea rezultată cu de două ori produsul lungimilor adiacente colțului? laturile - acesta va fi cosinusul dorit al unghiului?: cos(?)=(b?+c?-a?)/(2*b*c). Această soluție decurge din teorema cosinusului.

Sfaturi utile
Notația matematică pentru cosinus este cos. Valoarea cosinusului nu poate fi mai mare de 1 și mai mică de -1.