Proprietatea asociativă a înmulțirii. Înmulțirea și proprietățile sale. Rezolvarea exercițiilor orale

Operația de înmulțire a numerelor naturale ℕ este caracterizată de un număr de rezultate care sunt valabile pentru orice numere naturale înmulțite. Aceste rezultate se numesc proprietăți. În acest articol vom formula proprietățile înmulțirii numerelor naturale, vom oferi definițiile lor literale și exemple.

Proprietatea comutativă este adesea numită și legea comutativă a înmulțirii. Prin analogie cu proprietatea comutativă pentru adunarea numerelor, se formulează după cum urmează:

Legea comutativă a înmulțirii

Schimbarea locurilor factorilor nu schimbă produsul.

În formă literală, proprietatea comutativă se scrie astfel: a · b = b · a

a și b sunt numere naturale.

Să luăm oricare două numere naturale și să arătăm clar că această proprietate este adevărată. Să calculăm produsul 2 · 6. Prin definiția unei lucrări, trebuie să repetați numărul 2 de 6 ori. Se obține: 2 6 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12. Acum să schimbăm factorii. 6 2 = 6 + 6 = 12. Evident, legea comutativă este îndeplinită.

Figura de mai jos ilustrează proprietatea comutativă a înmulțirii numerelor naturale.

Al doilea nume pentru proprietatea asociativă a înmulțirii este legea asociativă sau proprietatea asociativă. Iată formularea lui.

Legea combinativă a înmulțirii

Înmulțirea numărului a cu produsul numerelor b și c este echivalentă cu înmulțirea produsului numerelor a și b cu numărul c.

Să dăm formularea în formă literală:

a b c = a b c

Legea combinației funcționează pentru trei sau mai multe numere naturale.

Pentru claritate, să dăm un exemplu. Mai întâi, să calculăm valoarea 4 · 3 · 2.

4 3 2 = 4 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24

Acum să rearanjam parantezele și să calculăm valoarea 4 · 3 · 2.

4 3 2 = 12 2 = 12 + 12 = 24

4 3 2 = 4 3 2

După cum vedem, teoria coincide cu practica, iar proprietatea este adevărată.

Proprietatea asociativă a înmulțirii poate fi de asemenea ilustrată folosind o imagine.

Nu se poate face fără proprietatea distributivă atunci când expresia matematică conține simultan operațiile de înmulțire și adunare. Această proprietate definește legătura dintre înmulțirea și adunarea numerelor naturale.

Proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea

Înmulțirea sumei numerelor b și c cu numărul a este echivalentă cu suma produselor numerelor a și b și a și c.

a b + c = a b + a c

a, b, c - orice numere naturale.

Acum să folosim un exemplu clar pentru a arăta cum funcționează această proprietate. Să calculăm valoarea expresiei 4 · 3 + 2.

4 3 + 2 = 4 3 + 4 2 = 12 + 8 = 20

Pe de altă parte, 4 3 + 2 = 4 5 = 20. Valabilitatea proprietății distributive a înmulțirii în raport cu adunarea este clar arătată.

Pentru o mai bună înțelegere, iată o imagine care ilustrează esența înmulțirii unui număr cu suma numerelor.

Proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu scăderea

Proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu scăderea este formulată în mod similar cu această proprietate în ceea ce privește adunarea; trebuie doar să țineți cont de semnul operației.

Proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu scăderea

Înmulțirea diferenței dintre numerele b și c cu numărul a este echivalentă cu diferența dintre produsele numerelor a și b și a și c.

Să o scriem în formă literală:

a b - c = a b - a c

a, b, c - orice numere naturale.

În exemplul anterior, înlocuiți „plus” cu „minus” și scrieți:

4 3 - 2 = 4 3 - 4 2 = 12 - 8 = 4

Pe de altă parte, 4 · 3 - 2 = 4 · 1 = 4. Astfel, validitatea proprietății înmulțirii numerelor naturale în raport cu scăderea este clar arătată.

Înmulțirea unu cu un număr natural

Înmulțirea unu cu un număr natural

Înmulțirea unuia cu orice număr natural are ca rezultat numărul dat.

Prin definiția operației de înmulțire, produsul numerelor 1 și a este egal cu suma în care termenul 1 se repetă de ori.

1 a = ∑ i = 1 a 1

Înmulțirea unui număr natural a cu unu reprezintă o sumă formată dintr-un termen a. Astfel, proprietatea comutativă a înmulțirii rămâne valabilă:

1 a = a 1 = a

Înmulțirea zero cu un număr natural

Numărul 0 nu este inclus în setul de numere naturale. Cu toate acestea, are sens să luăm în considerare proprietatea de a înmulți zero cu un număr natural. Această proprietate este adesea folosită la înmulțirea numerelor naturale cu o coloană.

Înmulțirea zero cu un număr natural

Produsul dintre numărul 0 și orice număr natural a este egal cu numărul 0.

Prin definiție, produsul 0 · a este egal cu suma în care termenul 0 se repetă de ori. Conform proprietăților adunării, o astfel de sumă este egală cu zero.

Rezultatul înmulțirii unu cu zero este zero. Produsul dintre zero și un număr natural arbitrar de mare are ca rezultat, de asemenea, zero.

De exemplu: 0 498 = 0 ; 0 9638854785885 = 0

Este adevărat și contrariul. Produsul unui număr cu zero are, de asemenea, rezultatul zero: a · 0 = 0.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Clasă: 3

Prezentare pentru lecție

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Ţintă:învață să simplifice o expresie care conține doar operații de înmulțire.

Sarcini(Diapozitivul 2):

• Introduceți proprietatea asociativă a înmulțirii.
• Pentru a-și face o idee despre posibilitatea utilizării proprietății studiate pentru a raționaliza calculele.
• Să dezvolte idei despre posibilitatea rezolvării problemelor „vieții” folosind disciplina „matematică”.
• Dezvoltarea abilităților educaționale generale intelectuale și comunicative.
• Dezvoltarea abilităților educaționale generale organizaționale, inclusiv capacitatea de a evalua în mod independent rezultatele acțiunilor cuiva, de a se controla, de a găsi și de a corecta propriile greșeli.

Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.

Planul lecției:

1. Moment organizatoric.
2. Numărarea orală. Încălzire matematică.
Linia de caligrafie.
3. Raportați subiectul și obiectivele lecției.
4. Pregătirea pentru studiul materialului nou.
5. Studierea materialelor noi.
6. Minutul de educație fizică
7. Lucrări la consolidarea n. m. Rezolvarea problemei.
8. Repetarea materialului acoperit.
9. Rezumatul lecției.
10. Reflecție
11. Tema pentru acasă.

Echipament: carduri de sarcini, material vizual (tabele), prezentare.

ÎN CURILE CURĂRILOR

I. Moment organizatoric

Clopoțelul a sunat și s-a oprit.
Lecția începe.
Te-ai așezat liniștit la birou
Toată lumea s-a uitat la mine.

II. Numărarea verbală

– Să numărăm oral:

1) „Margarete amuzante” (diapozitivele 3-7 tabelul de înmulțire)

2) Încălzire matematică. Jocul „Găsește-l pe cel ciudat” (Diapozitivul 8)

• 485 45 864 947 670 134 (clasificare în grupe EXTRA 45 - două cifre, 670 - nu există numărul 4 în înregistrarea numărului).
• 9 45 72 90 54 81 27 22 18 (9 este o singură cifră, 22 nu este divizibil cu 9)

Linia de caligrafie. Scrie numerele în caiet, alternativ: 45 22 670 9
– Subliniați cea mai clară notație a numărului

III. Raportați subiectul și obiectivele lecției.(Diapozitivul 9)

– Notați data și subiectul lecției.
– Citiți obiectivele lecției noastre

IV. Pregătirea pentru a studia material nou

a) Este corectă expresia?

Scrie pe tabla:

(23 + 490 + 17) + (13 + 44 + 7) = 23 + 490 + 17 + 13 + 44 + 7

– Denumiți proprietatea de adăugare utilizată. (de colaborare)
– Ce oportunitate oferă proprietatea de combinare?

Proprietatea combinațională face posibilă scrierea expresiilor care conțin numai adunări, fără paranteze.

43 + 17 + (45 + 65 + 91) = 91 + 65 + 45 + 43 + 17

– Ce proprietăți de adunare aplicăm în acest caz?

Proprietatea combinațională face posibilă scrierea expresiilor care conțin numai adunări, fără paranteze. În acest caz, calculele pot fi efectuate în orice ordine.

– În acest caz, cum se numește o altă proprietate a adunării? (comutativ)

– Această expresie provoacă dificultăți? De ce? (Nu știm cum să înmulțim un număr de două cifre cu un număr de o cifră)

V. Studiul de material nou

1) Dacă efectuăm înmulțirea în ordinea în care sunt scrise expresiile, vor apărea dificultăți. Ce ne va ajuta să depășim aceste dificultăți?

(2 * 6) * 3 = 2 * 3 * 6

2) Lucrați conform manualului p. 70, No. 305 (Faceți-vă ghicit despre rezultatele pe care le vor obține Lupul și Iepurele. Testați-vă efectuând calculele).

3) Nr. 305. Verificați dacă valorile expresiilor sunt egale. Oral.

Scrie pe tabla:

(5 2) 3 și 5 (2 3)
(4 7) 5 și 4 (7 5)

4) Trageți o concluzie. Regulă.

Pentru a înmulți produsul a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți primul număr cu produsul celui de-al doilea și al treilea.
– Explicați proprietatea asociativă a înmulțirii.
– Explicați proprietatea asociativă a înmulțirii cu exemple

5) Munca în echipă

Pe tablă: (8 3) 2, (6 3) 3, 2 (4 7)

VI. Fizminutka

1) Jocul „Oglindă”. (Diapozitivul 10)

Oglinda mea, spune-mi,
Spune-mi tot adevărul.
Suntem mai deștepți decât toți ceilalți din lume?
Cel mai amuzant și mai amuzant dintre toate?
Repetă după mine
Mișcări amuzante de exerciții fizice obraznice.

2) Exerciții fizice pentru ochi „Keen Eyes”.

– Închideți ochii timp de 7 secunde, priviți la dreapta, apoi la stânga, în sus, în jos, apoi faceți 6 cercuri în sensul acelor de ceasornic, 6 cercuri în sens invers acelor de ceasornic cu ochii.

VII. Consolidarea a ceea ce s-a învățat

1) Lucrați conform manualului. rezolvarea problemei. (Diapozitivul 11)

(p. 71, nr. 308) Citiți textul. Demonstrați că aceasta este o sarcină. (Există o condiție, o întrebare)
– Selectați o condiție, o întrebare.
– Denumiți datele numerice. (Trei, 6, trei litri)
- Ce vor sa zica? (Trei cutii. 6 cutii, fiecare cutie contine 3 litri de suc)
– Care este această sarcină din punct de vedere al structurii? (Problemă compusă, deoarece este imposibil să răspunzi imediat la întrebarea problemei sau soluția necesită alcătuirea unei expresii)
– Tipul sarcinii? (sarcină compusă pentru acțiuni secvențiale))
– Rezolvați problema fără o notă scurtă compunând o expresie. Pentru a face acest lucru, utilizați următorul card:

Card de ajutor

– Într-un caiet, rezolvarea problemei poate fi scrisă astfel: (3 6) 3

– Putem rezolva problema în această ordine?

(3 6) 3 = (3 3) 6 = 9 6 = 54 (l).
3 (3 6) = (3 3) 6 = 9 6 = 54 (l)

Răspuns: 54 de litri de suc în toate cutiile.

2) Lucrați în perechi (folosind cartonașe): (Diapozitivul 12)

– Plasați semne fără a calcula:

(15 * 2) *4 15 * (2 * 4) (–Ce proprietate?)
(8 * 9) * 6 7 * (9 * 6)
(428 * 2) * 0 1 * (2 * 3)
(3 * 4) * 2 3 + 4 + 2
(2 * 3) * 4 (4 * 2) * 3

Verificați: (Diapozitivul 13)

(15 * 2) * 4 = 15 * (2 * 4)
(8 * 9) * 6 > 7 * (9 * 6)
(428 * 2) * 0 < 1 * (2 * 3)
(3 * 4) * 2 > 3 + 4 + 2
(2 * 3) * 4 = (4 * 2) * 3

3) Muncă independentă (folosind un manual)

(p. 71, nr. 307 – după opțiuni)

secolul I (8 2) 2 = (6 2) 3 = (19 1) 0 =
secolul al II-lea (7 3) 3 = (9 2) 4 = (12 9) 0 =

Examinare:

secolul I (8 2) 2 = 32 (6 2) 3 = 36 (19 1) 0 = 0.
secolul al II-lea (7 3) 3 = 63 (9 2) 4 = 72 (12 9) 0 = 0

Proprietățile înmulțirii:(Diapozitivul 14).

• Comutativitate
• Proprietate potrivită

– De ce trebuie să cunoașteți proprietățile înmulțirii? (Diapozitivul 15).

• Să numere repede
• Alegeți o metodă rațională de numărare
• Sa rezolve probleme

VIII. Repetarea materialului acoperit. „Morile de vânt”.(Diapozitivele 16, 17)

• Mărește numerele 485, 583 și 681 cu 38 și notează trei expresii numerice (opțiunea 1)
• Reduceți numerele 583, 545 și 507 cu 38 și scrieți trei expresii numerice (opțiunea 2)

485 + 38 523		583 + 38 621		681 + 38 719
583 – 38 545		545 – 38 507		507 – 38 469

Elevii completează temele pe baza opțiunilor (doi studenți rezolvă temele pe table suplimentare).

Evaluare inter pares.

IX. Rezumatul lecției

– Ce ai învățat astăzi în clasă?
– Care este semnificația proprietății asociative a înmulțirii?

X. Reflecție

– Cine crede că înțeleg sensul proprietății asociative a înmulțirii? Cine este mulțumit de munca lor la clasă? De ce?
– Cine știe la ce mai trebuie să lucreze?
- Băieți, dacă v-a plăcut lecția, dacă sunteți mulțumiți de munca voastră, atunci puneți-vă mâinile pe coate și arată-mi palmele. Și dacă ai fost supărat de ceva, atunci arată-mi dosul palmei tale.

XI. Informații despre teme

– Ce teme ai vrea să primești?

Opțional:

1. Învață regula p. 70
2. Vino și notează o expresie pe un subiect nou cu o soluție

(4 lecții, nr. 113–135)

Lecția 1 (113–118)

Ţintă– introduceți elevii în combinația lor_

capacitatea de multiplicare.

În prima lecție, este util să ne amintim ce proprietăți

operațiile aritmetice sunt deja cunoscute copiilor. Pentru aceasta

exerciţii în timpul cărora şcolarii vor

folosiți cutare sau cutare proprietate. De exemplu, poți

Este posibil să se afirme că valorile expresiilor dintr-o coloană dată_

sunt la fel:

875 + (78 + 284)

(875 + 78) + 284

875 + (284 + 78)

(875 + 284) + 78

Are sens să oferim expresii ale căror semnificații sunt

copiii nu pot calcula, în acest caz vor fi_

trebuie să tragem o concluzie bazată pe raționament.

Comparând, de exemplu, prima și a doua expresie, ei

notați asemănările și diferențele lor; amintește-ți de potrivire_

noua proprietate de adunare (doi termeni adiacenti pot fi

înlocuiți-le cu suma), ceea ce înseamnă că valorile sunt exprimate

căsătoriile vor fi aceleași. A treia expresie este potrivită

comparați diferit cu primul și folosind comutativa

proprietatea adăugării, trageți o concluzie. A patra expresie

poate fi comparat cu al doilea.

– Ce proprietăți de adunare sunt aplicabile pentru calcule?

schimba sensul acestor expresii? (Comutativ

și asociativ.)

– Ce proprietăți are înmulțirea?

Băieții își amintesc că știu comutativa

proprietatea înmulțirii. (Se reflectă la p. 34 a manualului

porecla „Încercați să vă amintiți!”)

- Astăzi la clasă ne vom întâlni pe altul de-al nostru_

multiplicare!

Pe tablă este desenul dat însarcina 113 . Profesor

șobolani în diverse moduri. Propunerile copiilor discutate_

sunt date. Dacă apar dificultăți, puteți contacta

la analiza metodelor propuse de Misha și Masha.

(6 · 4) · 2: există 6 pătrate într-un dreptunghi, smart_

Apăsând 6 cu 4, Masha află câte pătrate conțin

dreptunghiuri pe un rând. Înmulțirea rezultatului re_

Rezultatul este 2, ea află câte pătrate conțin

dreptunghiuri pe două rânduri, adică câte mici sunt?

numărul de pătrate din imagine.

Apoi discutăm despre metoda lui Misha: 6 · (4 · 2). Tu primul_

completăm acțiunea dintre paranteze – 4 2, adică aflăm câte

total de dreptunghiuri pe două rânduri. Intr-un dreptunghi_

decupați 6 pătrate. Înmulțind 6 cu rezultatul obținut,

Răspundem la întrebarea pusă. Astfel, ambele

o altă expresie indică câte mici

pătrate din imagine.

Aceasta înseamnă (6 · 4) · 2 = 6 · (4 · 2).

Se fac lucrări similare cusarcina 114 . Poz_

După aceasta, copiii se familiarizează cu formularea asociativului

proprietățile înmulțirii și comparați-l cu formularea

proprietăţile asociative ale adunării.

Ţintăsarcinile 115–117 - aflați dacă copiii înțeleg

formularea proprietății asociative a înmulțirii.

Facandsarcini 116 vă recomandăm să utilizați_

ia un calculator. Acest lucru va permite elevilor să repete bine_

măsurarea numerelor din trei cifre.

Problema 118E mai bine să te hotărăști în clasă.

Dacă copiilor le este greu să decidă independent_

institut de cercetaresarcini 118 , atunci profesorul poate folosi tehnica de

judecăți ale soluțiilor gata făcute sau explicații ale expresiilor,

notată conform condiţiilor acestei probleme. De exemplu:

10 5 8 10 8 5

(8 10) 5 8 (10 5)

(2_coloane),precum și sarcini48, 54, 55 TPO nr. 1.

Lecția 2 (119–125)

Ţintă

înmulțirea în calcule; deduceți regula înmulțirii

număr cu 10.

Lucreaza cusarcina 119 organizat conform

instructiuni date in manual:

a) copiii folosesc proprietatea comutativă a înmulțirii

rearanjarea factorilor din produsul 4 10 = 10 4,

aflați valoarea produsului 10 · 4 prin adunarea zecilor.

În caiete se fac următoarele înregistrări:

4 10 = 40;

6 10 = 60 etc.

b) copiii acționează în același mod ca atunci când îndeplinesc sarcina_

nia a). În caiete notează acele egalități care nu există

în sarcina a): 5 10 = 50; 7 10 = 70; 9 10 = 90;

c) analizează și compară egalitățile scrise,

trageți o concluzie (când înmulțiți un număr cu 10, trebuie să atribuiți

la primul factor zero și scrieți numărul rezultat în

rezultat);

d) verificați regula formulată folosind calcule_

sfâşiat.

Aplicarea proprietății combinatorii de înmulțire și pr_

Înmulțirea cu 10 permite elevilor să se înmulțească

„rotunjesc” zeci la o singură cifră, folosind on_

abilități de înmulțire la masă (90 · 3, 70 · 4 etc.).

În acest scop, acestea sunt efectuatesarcinile 120, 121, 123, 124.

Facandsarcini 120 copiii primul aranja_

trageți paranteze într-un manual cu un creion și apoi comentați

actiunile tale. De exemplu: (5 · 7) · 10 = 35 · 10 – produs aici

menținerea primului și a celui de-al doilea factor i-a înlocuit valorile

citind. Este util să aflați imediat care este valoarea lui pro_

producție 35 10; 5 · (7 · 10) = 5 · 70 – aici este produsul

al doilea și al treilea factor au fost înlocuiți cu valoarea acestuia.

La calcularea valorii produsului 5 70 copii

poate raționa astfel: să folosim comutativa

proprietatea înmulțirii - 5 · 70 = 70 · 5. Acum 7 dec. Poate sa

repetam de 5 ori, obtinem 35 des.; acest număr este 350.

Când se explică unele egalităţi însarcina 121

elevii folosesc mai întâi comutativa lor_

înmulțire și apoi asociativă. De exemplu:

4 6 10 = 40 6

(4 10) 6 = 40 6

fiecare egalitate în stânga și în dreapta.

Prin calcularea valorilor expresiilor scrise în stânga,

băieții se întorc la masa înmulțirii și apoi iau_

calculați rezultatul de 10 ori:

(4 6) 10 = 24 10

ÎNsarcina 123 Este util să luați în considerare diferite moduri

ar justifica răspunsul. De exemplu, puteți în a doua expresie

putem înlocui produsul cu valoarea sa și obținem_

care este prima expresie:

4 (7 10) = 4 70

În a treia expresie aveți nevoie în acest caz mai întâi

Utilizați proprietatea asociativă a înmulțirii:

(4 7) 10 = 4 (7 10) și apoi înlocuiți produsul acestuia

sens.

Dar poți face lucrurile diferit, concentrându-te nu asupra

prima și a doua expresie. În acest caz, numărul 70 în per_

În această expresie trebuie să o reprezentați ca produs:

4 70 = 4 (7 10)

Și în a treia expresie, folosiți pentru a transforma_

apelând prin combinarea proprietății:

(4 7) 10 = 4 (7 10)

Organizarea unei discuții despre diferite cursuri de acțiune

Vsarcina 123 , profesorul se poate concentra pe dialog

Misha și Masha, care este adusăsarcina 124 .

unde să indicați pe diagramă valorile cunoscute și necunoscute_

ranguri. Ca rezultat, diagrama arată astfel:

Pentru exercițiile de calcul din clasă, vă recomandăm

suflaresarcina 125, șisarcinile 59, 60 din ÎPT Nr.1 .

Lecția 3 (126–132)

Ţintă– învață să folosești proprietatea asociativă

multiplicare pentru calcule, îmbunătățirea abilităților

sa rezolve probleme.

Sarcina 126efectuată oral. Scopul lui este perfectiunea

dezvoltarea abilităților de calcul și a capacității de aplicare

proprietatea asociativă a înmulțirii. De exemplu, compararea

expresiile a) 45 10 și 9 50, elevii motivează: număr

45 poate fi reprezentat ca produsul lui 9 5 și apoi

înlocuiți produsul numerelor 5 10 cu valoarea acestuia.

Sarcina 128se aplică și în calcul

exerciții care necesită o utilizare activă

analiză și sinteză, comparație, generalizare. Formularea dreptului

La construirea fiecărui rând, majoritatea copiilor au folosit_

Ei folosesc conceptul de „creștere cu...”. De exemplu: pentru rândul – 6,

12, 18, ... – „fiecare număr următor crește cu 6”;

pentru seria – 4, 8, 12, ... – „fiecare număr următor este mărit_

se termină la 4”, etc.

Dar este posibilă și următoarea opțiune: „Pentru a obține un împrumut_

primul număr din fiecare rând este mărit

De 2 ori, pentru a obține al treilea număr din serie, primul

numărul de rânduri a fost crescut de 3 ori, al patrulea de 4 ori,

a cincea - de 5 ori etc.

Aliniindu-se pe rânduri conform acestei reguli, elevii de fapt_

Ei repetă literalmente toate cazurile de înmulțire la masă.

citind, elevii pot fie să deseneze

schema, sau „reînvie” schema pe care profesorul a pregătit-o în prealabil

îl va înfățișa pe tablă.

Copiii vor nota singuri soluția problemei într-un caiet.

În caz de dificultăţi în rezolvaresarcini 129 reko_

Vă recomandăm să utilizați tehnica de a discuta soluții gata făcute_

explicaţii sau explicaţii ale expresiilor scrise conform condiţiei

a acestei sarcini:

10 · 3 3 · 4 10 · 4 (10 · 3) · 4 10 · (3 · 4)

Problema 133De asemenea, este indicat să discutați despre asta în clasă.

(1) 14 + 7 = 21 (zile) 2) 21 2 = 42 (zile))

sarcinile 61, 62 OPT nr. 1.

Lecția 4 (134–135)

Ţintă– verificați stăpânirea abilităților de masă

cunoștințe și abilități de rezolvare a problemelor.

134, 135 .

Ţintăsarcini 134 – rezumați cunoștințele copiilor despre masă

înmulțire, care poate fi reprezentată sub formă de tabel

Pitagora. Prin urmare, după ce sarcina este finalizată_

Nu, este util să afli:

a) În ce celule ale tabelului pot fi introduse același lucru?

Ce numere și de ce? (Aceste celule sunt în rândul de jos_

ke și în coloana din dreapta, care se datorează comutativului

proprietatea înmulțirii.)

b) Este posibil, fără a efectua calcule, să spunem

cu cât este următorul număr mai mare decât precedentul în fiecare

rând (coloana) tabelului? (În prima linie de sus –

cu 1, în al doilea - cu 2, în al treilea - cu 3 etc.) Acest lucru este condiționat_

definit de definiția: „înmulțirea este adăugarea unui_

termeni kov”.

De asemenea, studenților ar trebui să li se reamintească faptul că

întregul tabel conține 81 de celule. Aceasta corespunde numărului

care ar trebui să fie scris în celula sa din dreapta jos.

Pentru a testa cunoștințele, abilitățile și abilitățile elevilor

Shmyreva G.G. Hârtii de testare. clasa a 3-a. – Smolensk,

Asociația Secolul XXI, 2004.

Definiție. Înmulțirea este acțiunea de a găsi suma termenilor identici. Multiplica număr A pe număr bînseamnă a găsi suma b termeni, fiecare dintre care este egal cu a.

Numerele care sunt înmulțite se numesc factori (sau factori), iar rezultatul înmulțirii se numește produs.

La multiplicare Produsul numerelor naturale este întotdeauna un număr pozitiv. Dacă unul dintre factori este egal cu 0 (zero), atunci produsul este egal cu 0. Dacă produsul este egal cu zero, atunci cel puțin unul dintre factori este egal cu 0.

Dacă unul dintre cei doi factori este egal cu 1 (unul), atunci muncă egal cu al doilea factor.

• De exemplu:
• 5 * 6 * 8 * 0 = 0
• 132 * 1 = 132

Legile înmulțirii

Legea combinației

Regulă. Pentru a înmulți produsul a doi factori cu un al treilea factor, puteți înmulți primul factor cu produsul celui de-al doilea și al treilea factor.

• De exemplu:
• (7 * 6) * 5 = 7 * (6 * 5) = 210
• (a * b) * c = a * (b * c)

Legea călătoriilor

Regulă. Rearanjarea factorilor nu schimbă produsul.

• De exemplu:
• 7 * 6 * 5 = 5 * 6 * 7 = 210
• a * b * c = c * b * a

Dreptul distributiv

Regulă. Pentru a înmulți un număr cu o sumă, puteți înmulți acest număr cu fiecare dintre termeni și adăugați produsele rezultate.

• De exemplu:
• 7 * (6 + 5) = 7 * 6 + 7 * 5 = 77
• a * (b + c) = ab + ac

Legea distributivă se aplică și acțiunii de scădere.

• De exemplu:
• 7 * (6 — 5) = 7 * 6 — 7 * 5 = 7

Legile înmulțirii se aplică oricărui număr de factori în expresie numerică sau alfabetică. Legea distributivă a înmulțirii este folosită pentru a scoate factorul comun din paranteze.

Regulă. Pentru a converti o sumă (diferență) într-un produs, este suficient să scoateți același factor al termenilor din paranteze și să scrieți factorii rămași între paranteze ca sumă (diferența).

Să desenăm un dreptunghi cu laturile de 5 cm și 3 cm pe o bucată de hârtie în carouri, împărțiți-l în pătrate cu laturile de 1 cm (Fig. 143). Să numărăm numărul de celule situate în dreptunghi. Acest lucru se poate face, de exemplu, așa.

Numărul de pătrate cu latura de 1 cm este 5 * 3. Fiecare astfel de pătrat este format din patru celule. Prin urmare, numărul total de celule este (5 * 3) * 4.

Aceeași problemă poate fi rezolvată diferit. Fiecare dintre cele cinci coloane ale dreptunghiului este formată din trei pătrate cu latura de 1 cm. Prin urmare, o coloană conține 3 * 4 celule. Prin urmare, vor fi 5 * (3 * 4) celule în total.

Numărarea celulelor din Figura 143 ilustrează în două moduri proprietatea asociativă a înmulțirii pentru numerele 5, 3 și 4. Avem: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

Pentru a înmulți produsul a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți primul număr cu produsul celui de-al doilea și al treilea număr.

(ab)c = a(bc)

Din proprietățile comutative și combinatorii ale înmulțirii rezultă că atunci când se înmulțesc mai multe numere, factorii pot fi schimbați și plasați în paranteze, determinând astfel ordinea calculelor.

De exemplu, următoarele egalități sunt adevărate:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

În Figura 144, segmentul AB împarte dreptunghiul discutat mai sus într-un dreptunghi și un pătrat.

Să numărăm numărul de pătrate cu latura de 1 cm în două moduri.

Pe de o parte, pătratul rezultat conține 3 * 3 dintre ele, iar dreptunghiul conține 3 * 2. În total obținem 3 * 3 + 3 * 2 pătrate. Pe de altă parte, în fiecare dintre cele trei linii ale acestui dreptunghi sunt 3 + 2 pătrate. Atunci numărul lor total este 3 * (3 + 2).

Egal cu 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 ilustrează proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea.

Pentru a înmulți un număr cu suma a două numere, puteți înmulți acest număr cu fiecare sumă și adăugați produsele rezultate.

În formă literală, această proprietate este scrisă după cum urmează:

a(b + c) = ab + ac

Din proprietatea distributivă a înmulțirii relativ la adunare rezultă că

ab + ac = a(b + c).

Această egalitate permite formulei P = 2 a + 2 b să găsească perimetrul unui dreptunghi care să fie scris în următoarea formă:

P = 2 (a + b).

Rețineți că proprietatea de distribuție este valabilă pentru trei sau mai mulți termeni. De exemplu:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Proprietatea distributivă a înmulțirii relativ la scădere este de asemenea adevărată: dacă b > c sau b = c, atunci

a(b − c) = ab − ac

Exemplu 1 . Calculați într-un mod convenabil:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Folosim proprietățile comutative și apoi asociative ale înmulțirii:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Avem:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Exemplu 2 . Simplificați expresia:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 m − 13 m.

1) Folosind proprietățile comutative și asociative ale înmulțirii, obținem:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2) Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii relativ la scădere, obținem:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Exemplu 3 . Scrieți expresia 5 (2 m + 7) astfel încât să nu conțină paranteze.

Conform proprietății distributive a înmulțirii în raport cu adunarea, avem:

5 (2 m + 7) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35.

Această transformare se numește parantezele de deschidere.

Exemplu 4 . Calculați valoarea expresiei 125 * 24 * 283 într-un mod convenabil.

Soluţie. Avem:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Exemplu 5 . Efectuați înmulțirea: 3 zile 18 ore * 6.

Soluţie. Avem:

3 zile 18 ore * 6 = 18 zile 108 ore = 22 zile 12 ore.

La rezolvarea exemplului, a fost folosită proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea:

3 zile 18 ore * 6 = (3 zile + 18 ore) * 6 = 3 zile * 6 + 18 ore * 6 = 18 zile + 108 ore = 18 zile + 96 ore + 12 ore = 18 zile + 4 zile + 12 ore = 22 zile 12 ore.