Transformarea expresiilor algebrice raționale fracționale. Transformarea expresiilor raționale, tipuri de transformări, exemple. Rapoarte de practică

Expresiile și fracțiile raționale sunt piatra de temelie a întregului curs de algebră. Cei care învață să lucreze cu astfel de expresii, să le simplifice și să le factorizeze, vor putea, în esență, să rezolve orice problemă, deoarece transformarea expresiilor este o parte integrantă a oricărei ecuații serioase, inegalități sau chiar probleme de cuvinte.

În acest tutorial video vom analiza cum să folosim corect formulele de înmulțire abreviate pentru a simplifica expresiile și fracțiile raționale. Să învățăm să vedem aceste formule în care, la prima vedere, nu există nimic. În același timp, vom repeta o tehnică atât de simplă precum factorizarea unui trinom pătratic printr-un discriminant.

După cum probabil ați ghicit deja din formulele din spatele meu, astăzi vom studia formulele de înmulțire abreviate sau, mai precis, nu formulele în sine, ci utilizarea lor pentru a simplifica și reduce expresii raționale complexe. Dar, înainte de a trece la rezolvarea exemplelor, să aruncăm o privire mai atentă la aceste formule sau să le amintim:

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — diferența de pătrate;
2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ este pătratul sumei;
3. $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — diferența la pătrat;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ este suma cuburilor;
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ este diferența de cuburi.

De asemenea, aș dori să menționez că sistemul nostru de învățământ școlar este structurat în așa fel încât să fie cu studiul acestei teme, i.e. expresii raționale, precum și rădăcini, module, toți elevii au aceeași problemă, pe care o voi explica acum.

Cert este că chiar la începutul studierii formulelor de înmulțire abreviate și, în consecință, acțiunilor de reducere a fracțiilor (aceasta este undeva în clasa a VIII-a), profesorii spun ceva de genul următor: „Dacă ceva nu îți este clar, atunci nu” nu vă faceți griji, vă vom ajuta.” Vom reveni asupra acestui subiect de mai multe ori, cu siguranță în liceu. Vom analiza asta mai târziu.” Ei bine, atunci, la trecerea claselor 9-10, aceiași profesori le explică acelorași elevi care încă nu știu să rezolve fracții raționale, ceva de genul: „Unde ai fost în ultimii doi ani? Acest lucru a fost studiat la algebră în clasa a VIII-a! Ce ar putea fi neclar aici? Este atât de evident!”

Cu toate acestea, astfel de explicații nu ușurează cu nimic elevii obișnuiți: aveau totuși o mizerie în cap, așa că acum ne vom uita la două exemple simple, pe baza cărora vom vedea cum să izolăm aceste expresii în probleme reale. , ceea ce ne va conduce la formule de înmulțire abreviate și cum să le aplicăm apoi pentru a transforma expresii raționale complexe.

Reducerea fracțiilor raționale simple

Sarcina nr. 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Primul lucru pe care trebuie să-l învățăm este să identificăm pătratele exacte și puterile mai mari în expresiile originale, pe baza cărora apoi putem aplica formule. Să aruncăm o privire:

Să ne rescriem expresia ținând cont de aceste fapte:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x) \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Răspuns: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Problema nr. 2

Să trecem la a doua sarcină:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Nu este nimic de simplificat aici, pentru că numărătorul conține o constantă, dar am propus această problemă tocmai pentru a învăța cum să factorizezi polinoamele care conțin două variabile. Dacă în schimb am avea polinomul de mai jos, cum l-am extinde?

\[((x)^(2))+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]

Să rezolvăm ecuația și să găsim $x$ pe care îl putem pune în locul punctelor:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Putem rescrie trinomul după cum urmează:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]

Am învățat cum să lucrăm cu un trinom pătratic - de aceea a trebuit să înregistrăm această lecție video. Dar dacă, pe lângă $x$ și o constantă, există și $y$? Să le considerăm ca un alt element al coeficienților, adică. Să ne rescriem expresia după cum urmează:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Să scriem extinderea construcției noastre pătrate:

\[\stanga(x-y\dreapta)\stanga(x+6y\dreapta)\]

Deci, dacă revenim la expresia originală și o rescriem ținând cont de modificări, obținem următoarele:

\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]

Ce ne oferă un astfel de record? Nimic, pentru că nu se poate reduce, nu se înmulțește sau se împarte cu nimic. Cu toate acestea, de îndată ce această fracțiune se dovedește a fi parte integrantă a unei expresii mai complexe, o astfel de extindere va fi utilă. Prin urmare, de îndată ce vedeți un trinom pătratic (nu contează dacă este împovărat cu parametri suplimentari sau nu), încercați întotdeauna să îl factorizați.

Nuanțe ale soluției

Amintiți-vă regulile de bază pentru transformarea expresiilor raționale:

• Toți numitorii și numărătorii trebuie factorizați fie prin formule de înmulțire abreviate, fie printr-un discriminant.
• Trebuie să lucrați conform următorului algoritm: când ne uităm și încercăm să izolăm formula pentru înmulțirea prescurtată, atunci, în primul rând, încercăm să convertim totul la cel mai înalt grad posibil. După aceasta, scoatem gradul general din paranteză.
• Foarte des veți întâlni expresii cu un parametru: alte variabile vor apărea ca coeficienți. Le găsim folosind formula de expansiune pătratică.

Deci, odată ce vezi fracții raționale, primul lucru de făcut este factorul atât numărătorului, cât și numitorului în expresii liniare, folosind formulele de înmulțire abreviate sau discriminante.

Să ne uităm la câteva dintre aceste expresii raționale și să încercăm să le factorizăm.

Rezolvarea de exemple mai complexe

Sarcina nr. 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Rescriem și încercăm să descompunem fiecare termen:

Să rescriem întreaga noastră expresie rațională ținând cont de aceste fapte:

\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\left(3y \right))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]

Răspuns: $-1$.

Problema nr. 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Să ne uităm la toate fracțiile.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\stanga(x-2 \dreapta))^(2))\]

Să rescriem întreaga structură ținând cont de modificări:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \left(x-2 \right))\]

Răspuns: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Nuanțe ale soluției

Deci ceea ce tocmai am învățat:

• Nu orice trinom pătrat poate fi factorizat; în special, acest lucru se aplică pătratului incomplet al sumei sau diferenței, care se găsesc foarte des ca părți ale cuburilor sume sau diferențe.
• Constante, adică numerele obișnuite care nu au variabile pot acționa și ca elemente active în procesul de expansiune. În primul rând, ele pot fi scoase dintre paranteze, iar în al doilea rând, constantele în sine pot fi reprezentate sub formă de puteri.
• Foarte des, după factorizarea tuturor elementelor, apar construcții opuse. Aceste fracții trebuie reduse extrem de atent, deoarece atunci când le tăiați fie deasupra, fie dedesubt, apare un factor suplimentar $-1$ - aceasta este tocmai o consecință a faptului că sunt opuse.

Rezolvarea problemelor complexe

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Să luăm în considerare fiecare termen separat.

Prima fracție:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left) (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\stanga(b-2 \dreapta)\stanga(b+2 \dreapta)\]

Putem rescrie întregul numărător al celei de-a doua fracții după cum urmează:

\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]

Acum să ne uităm la numitor:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right) ))^(2))\]

Să rescriem întreaga expresie rațională ținând cont de faptele de mai sus:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Răspuns: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

Nuanțe ale soluției

După cum am văzut încă o dată, pătratele incomplete ale sumei sau pătratele incomplete ale diferenței, care se găsesc adesea în expresii raționale reale, totuși, nu vă fie teamă de ele, deoarece după transformarea fiecărui element sunt aproape întotdeauna anulate. În plus, în niciun caz nu trebuie să vă fie frică de construcții mari în răspunsul final - este foarte posibil ca aceasta să nu fie greșeala dvs. (mai ales dacă totul este factorizat), dar autorul a intenționat un astfel de răspuns.

În concluzie, aș vrea să mă uit la un alt exemplu complex, care nu mai are legătură directă cu fracțiile raționale, ci conține tot ce vă așteaptă la teste și examene reale și anume: factorizarea, reducerea la numitor comun, reducerea termenilor similari. Este exact ceea ce vom face acum.

Rezolvarea unei probleme complexe de simplificare și transformare a expresiilor raționale

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \dreapta)\]

Mai întâi, să ne uităm și să deschidem prima paranteză: în ea vedem trei fracții separate cu numitori diferiți, deci primul lucru pe care trebuie să-l facem este să aducem toate cele trei fracții la un numitor comun și, pentru a face acest lucru, fiecare dintre ele ar trebui să fie factorizat:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \dreapta)\]

Să rescriem întreaga noastră construcție după cum urmează:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x) -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2) )) \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ stânga(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \right))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Acesta este rezultatul calculelor din prima paranteză.

Să ne ocupăm de a doua paranteză:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(x+2 \ dreapta)\]

Să rescriem a doua paranteză ținând cont de modificări:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\stanga(x-2\dreapta)\stanga(x+2\dreapta))\]

Acum să notăm întreaga construcție originală:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Răspuns: $\frac(1)(x+2)$.

Nuanțe ale soluției

După cum puteți vedea, răspunsul s-a dovedit a fi destul de rezonabil. Cu toate acestea, vă rugăm să rețineți: foarte des în timpul unor astfel de calcule la scară largă, când singura variabilă apare doar la numitor, elevii uită că acesta este numitorul și ar trebui să fie în partea de jos a fracției și scrie această expresie la numărător - aceasta este o greșeală gravă.

În plus, aș dori să vă atrag atenția în mod deosebit asupra modului în care sunt formalizate astfel de sarcini. În orice calcule complexe, toți pașii sunt efectuati unul câte unul: mai întâi numărăm primul paranteză separat, apoi al doilea separat și abia la sfârșit combinăm toate părțile și calculăm rezultatul. În acest fel, ne asigurăm de greșelile stupide, notăm cu atenție toate calculele și, în același timp, nu pierdem timp în plus, așa cum ar părea la prima vedere.

În lecția anterioară, conceptul de expresie rațională a fost deja introdus; în lecția de astăzi continuăm să lucrăm cu expresii raționale și să ne concentrăm asupra transformărilor acestora. Folosind exemple specifice, vom lua în considerare metode de rezolvare a problemelor care implică transformări ale expresiilor raționale și demonstrarea identităților asociate acestora.

Subiect:Fracții algebrice. Operații aritmetice pe fracții algebrice

Lecţie:Conversia expresiilor raționale

Să ne amintim mai întâi definiția unei expresii raționale.

Definiție.Raţionalexpresie- o expresie algebrică care nu conține rădăcini și include doar operațiile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire (ridicare la putere).

Prin conceptul de „transformarea unei expresii raționale” înțelegem, în primul rând, simplificarea acesteia. Și aceasta se realizează în ordinea acțiunilor cunoscute de noi: mai întâi acțiunile dintre paranteze, apoi produs al numerelor(exponentiație), împărțirea numerelor și apoi operații de adunare/scădere.

Scopul principal al lecției de astăzi va fi de a câștiga experiență în rezolvarea unor probleme mai complexe de simplificare a expresiilor raționale.

Exemplul 1.

Soluţie. La început poate părea că aceste fracții pot fi reduse, deoarece expresiile din numărătorii fracțiilor sunt foarte asemănătoare cu formulele pentru pătratele perfecte ale numitorilor corespunzători. În acest caz, este important să nu vă grăbiți, ci să verificați separat dacă este așa.

Să verificăm numărătorul primei fracții: . Acum al doilea numărător: .

După cum puteți vedea, așteptările noastre nu au fost îndeplinite, iar expresiile din numărători nu sunt pătrate perfecte, deoarece nu au dublarea produsului. Astfel de expresii, dacă vă amintiți cursul de clasa a VII-a, se numesc pătrate incomplete. Ar trebui să fii foarte atent în astfel de cazuri, deoarece confundarea formulei unui pătrat complet cu una incompletă este o greșeală foarte frecventă, iar astfel de exemple testează atenția elevului.

Deoarece reducerea este imposibilă, vom efectua adăugarea fracțiilor. Numitorii nu au factori comuni, așa că sunt pur și simplu înmulțiți pentru a obține cel mai mic numitor comun, iar factorul suplimentar pentru fiecare fracție este numitorul celeilalte fracții.

Bineînțeles, puteți deschide apoi parantezele și apoi aduceți termeni similari, totuși, în acest caz vă puteți descurca cu mai puțin efort și puteți observa că la numărător primul termen este formula pentru suma cuburilor, iar al doilea este diferenta de cuburi. Pentru comoditate, să reamintim aceste formule în formă generală:

În cazul nostru, expresiile din numărător sunt restrânse după cum urmează:

, a doua expresie este similară. Avem:

Răspuns..

Exemplul 2. Simplificați expresia rațională .

Soluţie. Acest exemplu este similar cu cel precedent, dar aici este imediat clar că numărătorii fracțiilor conțin pătrate parțiale, astfel încât reducerea în etapa inițială a soluției este imposibilă. În mod similar cu exemplul anterior, adunăm fracțiile:

Aici, în mod similar cu metoda indicată mai sus, am observat și am restrâns expresiile folosind formulele pentru suma și diferența de cuburi.

Răspuns..

Exemplul 3. Simplificați o expresie rațională.

Soluţie. Puteți observa că numitorul celei de-a doua fracții este factorizat folosind formula sumei cuburilor. După cum știm deja, factorizarea numitorilor este utilă pentru a găsi în continuare cel mai mic numitor comun al fracțiilor.

Să indicăm cel mai mic numitor comun al fracțiilor, acesta este egal cu: , deoarece este împărțit la numitorul celei de-a treia fracții, iar prima expresie este în general un număr întreg și orice numitor este potrivit pentru aceasta. După ce am indicat factorii suplimentari evidenti, scriem:

Răspuns.

Să luăm în considerare un exemplu mai complex cu fracții „cu mai multe etaje”.

Exemplul 4. Demonstrați identitatea pentru toate valorile admisibile ale variabilei.

Dovada. Pentru a demonstra această identitate, vom încerca să simplificăm partea stângă (complexă) la forma simplă care ni se cere. Pentru a face acest lucru, vom efectua toate operațiile cu fracții în numărător și numitor, apoi vom împărți fracțiile și vom simplifica rezultatul.

Dovedit pentru toate valorile admisibile ale variabilei.

Dovedit.

În lecția următoare ne vom uita în detaliu la exemple mai complexe de conversie a expresiilor raționale.

Bibliografie

1. Bashmakov M.I. Algebră clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. si altele.Algebra 8. - Ed. a V-a. - M.: Educație, 2010.

3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebră clasa a VIII-a. Manual pentru instituțiile de învățământ general. - M.: Educație, 2006.

2. Dezvoltarea lecției, prezentări, note de lecție ().

Teme pentru acasă

1. Nr 96-101. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. si altele.Algebra 8. - Ed. a V-a. - M.: Educație, 2010.

2. Simplificați expresia .

3. Simplificați expresia.

4. Demonstrați identitatea.

Lucrări terminate

LUCRĂRI DE GRAD

Au trecut deja multe și acum ești absolvent, dacă, bineînțeles, îți scrii teza la timp. Dar viața este așa ceva încât abia acum îți devine clar că, după ce ai încetat să mai fii student, vei pierde toate bucuriile studențești, multe dintre care nu le-ai încercat niciodată, amânând totul și amânând pentru mai târziu. Și acum, în loc să ajungi din urmă, lucrezi la teza ta? Există o soluție excelentă: descărcați teza de care aveți nevoie de pe site-ul nostru - și veți avea instantaneu mult timp liber!
Tezele au fost susținute cu succes la universități de top din Republica Kazahstan.
Costul lucrării de la 20.000 tenge

LUCRĂRI DE CURS

Proiectul de curs este prima lucrare practică serioasă. Tocmai cu scrierea cursurilor începe pregătirea pentru dezvoltarea proiectelor de diplomă. Dacă un student învață să prezinte corect conținutul unui subiect într-un proiect de curs și să îl formateze în mod competent, atunci în viitor nu va avea probleme cu redactarea rapoartelor, sau alcătuirea tezelor sau îndeplinirea altor sarcini practice. Pentru a ajuta elevii în redactarea acestui tip de lucrare a elevilor și pentru a clarifica întrebările care apar în timpul pregătirii sale, de fapt, a fost creată această secțiune de informații.
Costul lucrării de la 2.500 tenge

TEZE DE MASTER

În prezent, în instituțiile de învățământ superior din Kazahstan și țările CSI, nivelul de învățământ profesional superior care urmează după diploma de licență este foarte comun - master. În programul de master, studenții studiază cu scopul de a obține o diplomă de master, care este recunoscută în majoritatea țărilor lumii mai mult decât o diplomă de licență și este, de asemenea, recunoscută de angajatorii străini. Rezultatul studiilor de master este susținerea unei teze de master.
Vă vom oferi material analitic și textual actualizat; prețul include 2 articole științifice și un rezumat.
Costul lucrării de la 35.000 tenge

RAPOARTE DE PRACTICĂ

După finalizarea oricărui tip de stagiu studentesc (educațional, industrial, preuniversitar), este necesar un raport. Acest document va fi confirmarea activității practice a studentului și baza pentru formarea unei evaluări pentru practică. De obicei, pentru a întocmi un raport despre un stagiu, trebuie să colectați și să analizați informații despre întreprindere, să luați în considerare structura și rutina de lucru a organizației în care se desfășoară stagiul, să întocmiți un plan calendaristic și să vă descrieți practicile practice. Activități.
Vă vom ajuta să scrieți un raport despre stagiul dvs., ținând cont de specificul activităților unei anumite întreprinderi.

Operația aritmetică care este efectuată ultima când se calculează valoarea unei expresii este operația „master”.

Adică dacă înlocuiți câteva (orice) numere în loc de litere și încercați să calculați valoarea expresiei, atunci dacă ultima acțiune este înmulțirea, atunci avem un produs (expresia este factorizată).

Dacă ultima acțiune este adunarea sau scăderea, aceasta înseamnă că expresia nu este factorizată (și, prin urmare, nu poate fi redusă).

Pentru a consolida acest lucru, rezolvați singur câteva exemple:

Exemple:

Solutii:

1. Sper că nu te-ai grăbit imediat să tai și? Încă nu a fost suficient să „reducem” unități ca aceasta:

Primul pas ar trebui să fie factorizarea:

4. Adunarea și scăderea fracțiilor. Reducerea fracțiilor la un numitor comun.

Adunarea și scăderea fracțiilor obișnuite este o operație familiară: căutăm un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii.

Să ne amintim:

Raspunsuri:

1. Numitorii și sunt relativ primi, adică nu au factori comuni. Prin urmare, LCM a acestor numere este egal cu produsul lor. Acesta va fi numitorul comun:

2. Aici numitorul comun este:

3. Aici, în primul rând, convertim fracțiile mixte în fracțiuni improprii și apoi conform schemei obișnuite:

Este cu totul altceva dacă fracțiile conțin litere, de exemplu:

Să începem cu ceva simplu:

a) Numitorii nu conțin litere

Aici totul este la fel ca în cazul fracțiilor numerice obișnuite: găsim numitorul comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii:

Acum, la numărător, puteți da unele similare, dacă există, și le puteți factoriza:

Incearca-l tu insuti:

Raspunsuri:

b) Numitorii conțin litere

Să ne amintim principiul găsirii unui numitor comun fără litere:

· în primul rând, determinăm factorii comuni;

· apoi scriem toți factorii comuni pe rând;

· și înmulțiți-le cu toți ceilalți factori necomuni.

Pentru a determina factorii comuni ai numitorilor, mai întâi îi factorăm în factori primi:

Să subliniem factorii comuni:

Acum să scriem factorii comuni unul câte unul și să adăugăm la ei toți factorii neobișnuiți (nesubliniați):

Acesta este numitorul comun.

Să revenim la litere. Numitorii sunt dați exact în același mod:

· factorizarea numitorilor;

· determina factori comuni (identici);

· scrieți toți factorii comuni o dată;

· înmulțiți-le cu toți ceilalți factori necomuni.

Deci, în ordine:

1) factorizează numitorii:

2) determinați factori comuni (identici):

3) scrieți toți factorii comuni o dată și înmulțiți-i cu toți ceilalți factori (nesubliniați):

Deci aici există un numitor comun. Prima fracție trebuie înmulțită cu, a doua - cu:

Apropo, există un singur truc:

De exemplu: .

Vedem aceiași factori în numitori, doar toți cu indicatori diferiți. Numitorul comun va fi:

într-o măsură

într-o măsură

într-o măsură

într-o măsură.

Să complicăm sarcina:

Cum se face ca fracțiile să aibă același numitor?

Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții:

Nicăieri nu spune că același număr poate fi scăzut (sau adunat) de la numărătorul și numitorul unei fracții. Pentru că nu este adevărat!

Vedeți singuri: luați orice fracție, de exemplu, și adăugați un număr la numărător și numitor, de exemplu, . Ce ai învățat?

Deci, o altă regulă de neclintit:

Când reduceți fracțiile la un numitor comun, utilizați numai operația de înmulțire!

Dar cu ce trebuie să înmulți pentru a obține?

Deci înmulțiți cu. Și înmulțiți cu:

Vom numi expresiile care nu pot fi factorizate „factori elementari”.

De exemplu, - acesta este un factor elementar. - La fel. Dar nu: poate fi factorizat.

Dar expresia? Este elementar?

Nu, deoarece poate fi factorizat:

(ați citit deja despre factorizare în subiectul „”).

Deci, factorii elementari în care descompuneți o expresie cu litere sunt un analog al factorilor simpli în care descompuneți numerele. Și ne vom ocupa de ei în același mod.

Vedem că ambii numitori au un multiplicator. Va merge la numitorul comun al gradului (vă amintiți de ce?).

Factorul este elementar și nu au un factor comun, ceea ce înseamnă că prima fracție va trebui pur și simplu înmulțită cu ea:

Alt exemplu:

Soluţie:

Înainte de a înmulți acești numitori în panică, trebuie să te gândești cum să-i factorizezi? Ambele reprezintă:

Grozav! Apoi:

Alt exemplu:

Soluţie:

Ca de obicei, să factorizăm numitorii. La primul numitor pur și simplu îl punem între paranteze; în al doilea - diferența de pătrate:

S-ar părea că nu există factori comuni. Dar dacă te uiți cu atenție, sunt asemănătoare... Și este adevărat:

Deci hai sa scriem:

Adică, s-a dovedit așa: în paranteză am schimbat termenii și, în același timp, semnul din fața fracției s-a schimbat în opus. Ia notă, va trebui să faci asta des.

Acum să o aducem la un numitor comun:

Am înţeles? Să verificăm acum.

Sarcini pentru soluție independentă:

Raspunsuri:

Aici trebuie să ne amintim încă un lucru - diferența de cuburi:

Vă rugăm să rețineți că numitorul celei de-a doua fracții nu conține formula „pătratul sumei”! Pătratul sumei ar arăta astfel: .

A este așa-numitul pătrat incomplet al sumei: al doilea termen din acesta este produsul dintre primul și ultimul, și nu produsul lor dublu. Pătratul parțial al sumei este unul dintre factorii de extindere a diferenței de cuburi:

Ce să faci dacă există deja trei fracții?

Da, același lucru! În primul rând, să ne asigurăm că numărul maxim de factori din numitori este același:

Vă rugăm să rețineți: dacă schimbați semnele dintr-o paranteză, semnul din fața fracției se schimbă în opus. Când schimbăm semnele din a doua paranteză, semnul din fața fracției se schimbă din nou în opus. Ca urmare, acesta (semnul din fața fracției) nu s-a schimbat.

Scriem întreg primul numitor în numitorul comun și apoi adăugăm la acesta toți factorii care nu au fost încă scriși, din al doilea și apoi din al treilea (și așa mai departe, dacă există mai multe fracții). Adică, se dovedește așa:

Hmm... Este clar ce să faci cu fracțiile. Dar ce zici de cei doi?

Este simplu: știi cum să adunăm fracții, nu? Deci, trebuie să facem ca doi să devină o fracțiune! Să ne amintim: o fracție este o operație de împărțire (numărătorul se împarte la numitor, în cazul în care ai uitat). Și nu este nimic mai ușor decât împărțirea unui număr la. În acest caz, numărul în sine nu se va schimba, ci se va transforma într-o fracție:

Exact ce este nevoie!

5. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Ei bine, partea cea mai grea s-a terminat acum. Și în fața noastră este cel mai simplu, dar în același timp cel mai important:

Procedură

Care este procedura de calcul a unei expresii numerice? Amintiți-vă, calculând sensul acestei expresii:

ai numarat?

Ar trebui să funcționeze.

Deci, permiteți-mi să vă reamintesc.

Primul pas este să calculezi gradul.

Al doilea este înmulțirea și împărțirea. Dacă există mai multe înmulțiri și împărțiri în același timp, acestea se pot face în orice ordine.

Și, în sfârșit, facem adunarea și scăderea. Din nou, în orice ordine.

Dar: expresia dintre paranteze se evaluează din nou!

Dacă mai multe paranteze sunt înmulțite sau împărțite între ele, mai întâi calculăm expresia din fiecare dintre paranteze, apoi le înmulțim sau le împărțim.

Ce se întâmplă dacă există mai multe paranteze în interiorul parantezelor? Ei bine, să ne gândim: o expresie este scrisă între paranteze. Când calculezi o expresie, ce ar trebui să faci mai întâi? Așa e, calculează parantezele. Ei bine, ne-am dat seama: mai întâi calculăm parantezele interioare, apoi totul.

Deci, procedura pentru expresia de mai sus este următoarea (acțiunea curentă este evidențiată cu roșu, adică acțiunea pe care o fac chiar acum):

Bine, totul este simplu.

Dar aceasta nu este același lucru cu o expresie cu litere?

Nu, e la fel! Numai în loc de operații aritmetice, trebuie să faceți operații algebrice, adică acțiunile descrise în secțiunea anterioară: aducând similare, adunarea fracțiilor, reducerea fracțiilor și așa mai departe. Singura diferență va fi acțiunea de factorizare a polinoamelor (folosim adesea acest lucru atunci când lucrăm cu fracții). Cel mai adesea, pentru a factoriza, trebuie să folosiți I sau pur și simplu să scoateți factorul comun dintre paranteze.

De obicei, scopul nostru este de a reprezenta expresia ca produs sau coeficient.

De exemplu:

Să simplificăm expresia.

1) În primul rând, simplificăm expresia dintre paranteze. Acolo avem o diferență de fracții, iar scopul nostru este să o prezentăm ca produs sau coeficient. Deci, aducem fracțiile la un numitor comun și adăugăm:

Este imposibil să simplificați mai mult această expresie; toți factorii de aici sunt elementari (mai vă amintiți ce înseamnă asta?).

2) obținem:

Înmulțirea fracțiilor: ce ar putea fi mai simplu.

3) Acum puteți scurta:

OK, totul sa terminat acum. Nimic complicat, nu?

Alt exemplu:

Simplificați expresia.

Mai întâi, încercați să o rezolvați singur și abia apoi uitați-vă la soluție.

Soluţie:

În primul rând, să stabilim ordinea acțiunilor.

Mai întâi, să adăugăm fracțiile în paranteze, astfel încât în ​​loc de două fracții obținem una.

Apoi vom face împărțirea fracțiilor. Ei bine, să adăugăm rezultatul cu ultima fracție.

Voi numerota pașii schematic:

Acum vă voi arăta procesul, colorând acțiunea curentă în roșu:

1. Daca sunt asemanatoare, acestea trebuie aduse imediat. În orice moment apar altele asemănătoare în țara noastră, este indicat să le aducem imediat în discuție.

2. Același lucru este valabil și pentru fracțiile reducătoare: de îndată ce apare oportunitatea de a reduce, trebuie profitată de aceasta. Excepția este pentru fracțiile pe care le adunați sau scădeți: dacă acum au aceiași numitori, atunci reducerea ar trebui lăsată pentru mai târziu.

Iată câteva sarcini pe care le puteți rezolva singur:

Și ceea ce s-a promis chiar de la început:

Raspunsuri:

Soluții (pe scurt):

Dacă ai făcut față cel puțin primelor trei exemple, atunci ai stăpânit subiectul.

Acum, la învățare!

CONVERSIUNEA EXPRESIUNILOR. REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ

Operatii de simplificare de baza:

• Aducerea asemănătoare: pentru a adăuga (reduce) termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să atribuiți partea de litere.
• Factorizare: scoaterea factorului comun din paranteze, aplicarea acestuia etc.
• Reducerea unei fracții: Numătorul și numitorul unei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, ceea ce nu modifică valoarea fracției.
  1) numărătorul și numitorul factorizați
  2) dacă numărătorul și numitorul au factori comuni, aceștia pot fi tăiați.

  IMPORTANT: numai multiplicatorii pot fi redusi!

• Adunarea și scăderea fracțiilor:
  ;
• Înmulțirea și împărțirea fracțiilor:
  ;

Articolul vorbește despre transformarea expresiilor raționale. Să luăm în considerare tipurile de expresii raționale, transformările lor, grupările și parantezele factorului comun. Să învățăm să reprezentăm expresii raționale fracționale sub formă de fracții raționale.

Definiție și exemple de expresii raționale

Definiția 1

Se numesc expresii care sunt alcătuite din numere, variabile, paranteze, puteri cu operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire cu prezența unei linii de fracție. expresii raționale.

De exemplu, avem că 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .

Adică, acestea sunt expresii care nu sunt împărțite în expresii cu variabile. Studiul expresiilor raționale începe în clasa a 8-a, unde se numesc expresii raționale fracționale.O atenție deosebită se acordă fracțiilor din numărător, care sunt transformate folosind reguli de transformare.

Acest lucru ne permite să trecem la transformarea fracțiilor raționale de formă arbitrară. O astfel de expresie poate fi considerată ca o expresie cu prezența fracțiilor raționale și a expresiilor întregi cu semne de acțiune.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor raționale

Expresiile raționale sunt folosite pentru a efectua transformări identice, grupări, aducerea unora similare și efectuarea altor operații cu numere. Scopul unor astfel de expresii este simplificarea.

Exemplul 1

Convertiți expresia rațională 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Soluţie

Se poate observa că o astfel de expresie rațională este diferența dintre 3 x x y - 1 și 2 x x y - 1. Observăm că numitorul lor este identic. Aceasta înseamnă că reducerea termenilor similari va lua forma

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Răspuns: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .

Exemplul 2

Convertiți 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) .

Soluţie

Inițial, efectuăm acțiunile din paranteze 3 · x − x = 2 · x. Reprezentăm această expresie sub forma 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. Ajungem la o expresie care conține operații cu un singur pas, adică are adunare și scădere.

Scăpăm de paranteze folosind proprietatea diviziunii. Atunci obținem că 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x.

Grupăm factori numerici cu variabila x, după care putem efectua operații cu puteri. Înțelegem asta

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Răspuns: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.

Exemplul 3

Transformați o expresie de forma x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Soluţie

În primul rând, transformăm numărătorul și numitorul. Apoi obținem o expresie de forma (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2, iar acțiunile din paranteze se fac mai întâi. La numărător se efectuează operații și se grupează factorii. Atunci obținem o expresie de forma x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .

Transformăm formula diferenței de pătrate în numărător, apoi obținem asta

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Răspuns: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .

Reprezentarea rațională a fracțiilor

Fracțiile algebrice sunt cel mai adesea simplificate atunci când sunt rezolvate. Fiecare rațional este adus la asta în moduri diferite. Este necesar să se efectueze toate operațiile necesare cu polinoame astfel încât expresia rațională să poată da în cele din urmă o fracție rațională.

Exemplul 4

Prezentă ca fracție rațională a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.

Soluţie

Această expresie poate fi reprezentată ca a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. Înmulțirea se realizează în primul rând conform regulilor.

Ar trebui să începem cu înmulțirea, apoi obținem asta

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Prezentăm rezultatul obținut cu cel original. Înțelegem asta

a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a

Acum să facem scăderea:

a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

După care este evident că expresia originală va lua forma 16 a 2 - 9.

Răspuns: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .

Exemplul 5

Exprimați x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x ca o fracție rațională.

Soluţie

Expresia dată este scrisă ca o fracție, al cărei numărător are x x + 1 + 1, iar numitorul 2 x - 1 1 + x. Este necesar să se facă transformări x x + 1 + 1 . Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați o fracție și un număr. Obținem că x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Rezultă că x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Fracția rezultată poate fi scrisă ca 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x.

După împărțire ajungem la o fracție rațională a formei

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1) ) = 2 x + 1 2 x - 1

Puteți rezolva asta altfel.

În loc să împărțim la 2 x - 1 1 + x, înmulțim cu inversul său 1 + x 2 x - 1. Să aplicăm proprietatea de distribuție și să aflăm asta

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Răspuns: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter