Cum se calculează derivata unei funcții. Reguli pentru calcularea instrumentelor derivate

Fie și să fie funcții ale variabilei independente x. Să fie diferențiabile într-un interval de valori ale variabilei x. Apoi, în acest domeniu, derivata sumei (diferenței) acestor funcții este egală cu suma (diferenței) derivatelor acestor funcții:
(1) .

Dovada

Deoarece funcțiile și sunt diferențiabile la , există următoarele limite, care sunt derivate ale acestor funcții:
;
.

Se consideră funcția y a variabilei x, care este suma funcțiilor și:
.
Să aplicăm definiția derivatei.


.

Astfel, am demonstrat că derivata sumei funcțiilor este egală cu suma derivatelor:
.

În același mod, puteți arăta că derivata diferenței de funcții este egală cu diferența de derivate:
.
Acest lucru poate fi arătat într-un alt mod, folosind regula tocmai dovedită pentru diferențierea sumei și:
.

Aceste două reguli pot fi scrise ca o singură ecuație:
(1) .

Consecinţă

Mai sus ne-am uitat la regula pentru găsirea derivatei sumei a două funcții. Această regulă poate fi generalizată la suma și diferența oricărui număr de funcții diferențiabile.

Derivata sumei (diferenței) oricărui număr finit de funcții diferențiabile este egală cu suma (diferenței) derivatelor lor. Ținând cont de regula plasării unei constante în afara semnului derivatei, această regulă poate fi scrisă după cum urmează:
.
Sau în formă extinsă:
(2) .
Aici - constante;
- funcţii diferenţiabile ale variabilei x.

Dovada anchetei

Când n = 2 , aplicăm regula (1) și regula plasării constantei în afara semnului derivatei. Avem:
.
Când n = 3 aplicați formula (1) pentru funcții și:
.

Pentru un număr arbitrar n, aplicăm metoda inducției. Fie satisfăcută ecuația (2) pentru . Atunci pentru că avem:

.
Adică, din ipoteza că ecuația (2) este valabilă pentru , rezultă că ecuația (2) este valabilă pentru . Și deoarece ecuația (2) este adevărată pentru , este adevărată pentru toți .
Ancheta a fost dovedită.

Exemple

Exemplul 1

Găsiți derivata
.

Soluţie

Deschiderea parantezelor. Pentru a face acest lucru, aplicăm formula
.
De asemenea, folosim proprietățile funcțiilor de putere.
;

;
.

Aplicam formula (2) pentru derivata sumei si diferentei functiilor.
.

Din tabelul derivatelor găsim:
.
Apoi
;
;
.

În sfârșit avem:
.

Răspuns

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții în raport cu variabila x
.

Soluţie

Să reducem rădăcinile la funcții de putere.
.
Aplicăm regula diferențierii sumei și diferenței.
.
Aplicam formulele din tabelul derivatelor.
;
;
;
;
;
.
Să înlocuim:
.
Aducem fracțiile la un numitor comun.
.
Aici am ținut cont de faptul că funcția dată este definită la .
.

Răspuns

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții
.

Soluţie

Să transformăm funcția. Pentru a face acest lucru, aplicăm proprietățile funcției de putere și rădăcini:

;
;
;
.

Găsim derivata folosind regula (2):


.

Dacă urmați definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y la argumentul increment Δ X:

Totul pare a fi clar. Dar încercați să utilizați această formulă pentru a calcula, să zicem, derivata funcției f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X păcat X. Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi pur și simplu. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.

Pentru început, observăm că din întreaga varietate de funcții putem distinge așa-numitele funcții elementare. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și tabulate. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut - împreună cu derivatele lor.

Derivate ale funcţiilor elementare

Funcțiile elementare sunt toate cele enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. În plus, nu este deloc dificil să le memorezi - de aceea sunt elementare.

Deci, derivate ale funcțiilor elementare:

Nume	Funcţie	Derivat
Constant	f(X) = C, C ∈ R	0 (da, zero!)
Putere cu exponent rațional	f(X) = X n	n · X n − 1
Sinusul	f(X) = păcat X	cos X
Cosinus	f(X) = cos X	−păcat X(minus sinus)
Tangentă	f(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangentă	f(X) = ctg X	− 1/sin 2 X
Logaritmul natural	f(X) = jurnal X	1/X
Logaritmul arbitrar	f(X) = jurnal A X	1/(X ln A)
Functie exponentiala	f(X) = e X	e X(Nimic nu s-a schimbat)

Dacă o funcție elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcție este de asemenea ușor de calculată:

(C · f)’ = C · f ’.

În general, constantele pot fi scoase din semnul derivatei. De exemplu:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite - și multe altele. Așa vor apărea funcții noi, nu mai ales elementare, dar și diferențiate după anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivată a sumei și diferenței

Lasă funcțiile să fie date f(X) Și g(X), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare diferența f − g poate fi rescris ca o sumă f+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.

f(X) = X 2 + sin x; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funcţie f(X) este suma a două funcții elementare, prin urmare:

f ’(X) = (X 2 + păcat X)’ = (X 2)’ + (păcat X)’ = 2X+ cos x;

Raționăm în mod similar pentru funcție g(X). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Răspuns:
f ’(X) = 2X+ cos x;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivat al produsului

Matematica este o știință logică, așa că mulți oameni cred că, dacă derivata unei sume este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„>egal cu produsul derivatelor. Dar stricați-vă! Derivata unui produs se calculează folosind o formulă complet diferită. Și anume:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula este simplă, dar este adesea uitată. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = X 3 cos x; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funcţie f(X) este produsul a două funcții elementare, deci totul este simplu:

f ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)’ cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (− păcat X) = X 2 (3cos X − X păcat X)

Funcţie g(X) primul multiplicator este puțin mai complicat, dar schema generală nu se schimbă. Evident, primul factor al funcției g(X) este un polinom și derivata sa este derivata sumei. Avem:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Răspuns:
f ’(X) = X 2 (3cos X − X păcat X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Vă rugăm să rețineți că în ultimul pas derivata este factorizată. În mod formal, acest lucru nu trebuie făcut, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a examina funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi determinate și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie factorizată.

Dacă există două funcții f(X) Și g(X), și g(X) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini o nouă funcție h(X) = f(X)/g(X). Pentru o astfel de funcție puteți găsi și derivata:

Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Și așa! Aceasta este una dintre cele mai complexe formule - nu vă puteți da seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați cu exemple specifice.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:

Numătorul și numitorul fiecărei fracții conțin funcții elementare, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:

Conform tradiției, să factorizăm numărătorul - acest lucru va simplifica foarte mult răspunsul:

O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luați funcția f(X) = păcat Xși înlocuiți variabila X, să zicem, pe X 2 + ln X. Se va rezolva f(X) = păcat ( X 2 + ln X) - aceasta este o funcție complexă. Are și un derivat, dar nu va fi posibil să îl găsiți folosind regulile discutate mai sus.

Ce ar trebuii să fac? În astfel de cazuri, înlocuirea unei variabile și a unei formule pentru derivata unei funcții complexe ajută:

f ’(X) = f ’(t) · t', Dacă X este înlocuit cu t(X).

De regulă, situația cu înțelegerea acestei formule este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este mai bine să-l explicați folosind exemple specifice, cu o descriere detaliată a fiecărui pas.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = păcat ( X 2 + ln X)

Rețineți că dacă în funcție f(X) în loc de expresia 2 X+ 3 va fi ușor X, atunci obținem o funcție elementară f(X) = e X. Prin urmare, facem o înlocuire: fie 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Căutăm derivata unei funcții complexe folosind formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Și acum - atenție! Efectuăm înlocuirea inversă: t = 2X+ 3. Obținem:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Acum să ne uităm la funcția g(X). Evident că trebuie înlocuit X 2 + ln X = t. Avem:

g ’(X) = g ’(t) · t’ = (păcat t)’ · t’ = cos t · t ’

Înlocuire inversă: t = X 2 + ln X. Apoi:

g ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Asta e tot! După cum se poate vedea din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea sumei derivate.

Răspuns:
f ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) cos ( X 2 + ln X).

Foarte des în lecțiile mele, în loc de termenul „derivat”, folosesc cuvântul „prim”. De exemplu, cursa sumei este egală cu suma curselor. Este mai clar? Asta e bine.

Astfel, calcularea derivatei se reduce la a scăpa de aceleași lovituri conform regulilor discutate mai sus. Ca exemplu final, să revenim la puterea derivată cu un exponent rațional:

(X n)’ = n · X n − 1

Puțini oameni știu asta în rol n poate fi un număr fracționar. De exemplu, rădăcina este X 0,5. Ce se întâmplă dacă există ceva fantezist sub rădăcină? Din nou, rezultatul va fi o funcție complexă - le place să dea astfel de construcții în teste și examene.

Sarcină. Aflați derivata funcției:

Mai întâi, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Acum facem un înlocuitor: let X 2 + 8X − 7 = t. Găsim derivata folosind formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Să facem înlocuirea inversă: t = X 2 + 8X− 7. Avem:

f ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

În sfârșit, înapoi la rădăcini:

Cum să găsesc derivatul, cum să iau derivatul?În această lecție vom învăța cum să găsim derivate ale funcțiilor. Dar înainte de a studia această pagină, vă recomand cu tărie să vă familiarizați cu materialul metodologic Formule fierbinți pentru cursul școlar de matematică. Manualul de referință poate fi deschis sau descărcat de pe pagină Formule și tabele matematice . Tot de acolo vom avea nevoie Tabelul derivatelor, este mai bine să-l imprimați; va trebui adesea să vă referiți la el, nu numai acum, ci și offline.

Mânca? Să începem. Am două vești pentru tine: bună și foarte bună. Vestea bună este aceasta: pentru a învăța cum să găsești derivate, nu trebuie să cunoști și să înțelegi ce este un derivat. Mai mult decât atât, este mai oportun să digerăm mai târziu definiția derivatei unei funcții, semnificația matematică, fizică, geometrică a derivatei, deoarece un studiu de înaltă calitate al teoriei, în opinia mea, necesită studiul unui număr de alte subiecte, precum și ceva experiență practică.
Și acum sarcina noastră este să stăpânim aceste derivate din punct de vedere tehnic. Vestea foarte bună este că învățarea de a lua derivate nu este atât de dificilă; există un algoritm destul de clar pentru rezolvarea (și explicarea) acestei sarcini, integrale sau limite, de exemplu, este mai greu de stăpânit.

Recomand următoarea ordine de studiu a subiectului:: În primul rând, acest articol. Atunci trebuie să citești cea mai importantă lecție Derivată a unei funcții complexe . Aceste două clase de bază îți vor lua abilitățile de la zero. În continuare, vă puteți familiariza cu derivate mai complexe în articol Derivate complexe. Derivată logaritmică . Dacă bara este prea sus, citește mai întâi chestia Cele mai simple probleme tipice cu derivate . Pe lângă noul material, lecția acoperă alte tipuri de derivate mai simple și este o oportunitate excelentă de a vă îmbunătăți tehnica de diferențiere. În plus, lucrările de testare conțin aproape întotdeauna sarcini privind găsirea derivatelor de funcții care sunt specificate implicit sau parametric. Există și o astfel de lecție: Derivate ale funcţiilor implicite şi definite parametric .

Voi încerca într-o formă accesibilă, pas cu pas, să vă învăț cum să găsiți derivate ale funcțiilor. Toate informațiile sunt prezentate în detaliu, în cuvinte simple.

De fapt, să ne uităm imediat la un exemplu:

Exemplul 1

Aflați derivata unei funcții

Soluţie:

Acesta este un exemplu simplu, vă rugăm să-l găsiți în tabelul de derivate ale funcțiilor elementare. Acum să ne uităm la soluție și să analizăm ce s-a întâmplat? Și s-a întâmplat următorul lucru: aveam o funcție, care, ca urmare a soluției, s-a transformat într-o funcție.

Pentru a spune simplu, pentru a găsi derivata unei funcții, trebuie să o transformați într-o altă funcție conform anumitor reguli. Privește din nou tabelul derivatelor - acolo funcțiile se transformă în alte funcții. Singura excepție este funcția exponențială, care se transformă în sine. Operația de găsire a derivatei se numește diferenţiere .

Denumiri: Derivata se notează cu sau .

ATENȚIE, IMPORTANT! Uitați să puneți o lovitură (unde este necesar) sau să desenați o lovitură suplimentară (unde nu este necesar) - MARE GREȘEALĂ! O funcție și derivata ei sunt două funcții diferite!

Să revenim la tabelul nostru de derivate. Din acest tabel este de dorit memora: reguli de diferențiere și derivate ale unor funcții elementare, în special:

derivata constantei:
, unde este un număr constant;

derivata unei functii de putere:
, în special: , , .

De ce să-ți amintești? Aceste cunoștințe sunt cunoștințe de bază despre derivate. Și dacă nu poți răspunde la întrebarea profesorului „Care este derivata unui număr?”, atunci studiile tale la universitate se pot încheia pentru tine (sunt personal familiarizat cu două cazuri din viața reală). În plus, acestea sunt cele mai comune formule pe care trebuie să le folosim aproape de fiecare dată când întâlnim derivate.

În realitate, exemplele tabelare simple sunt rare; de ​​obicei, atunci când se găsesc derivate, sunt utilizate mai întâi regulile de diferențiere și apoi un tabel de derivate ale funcțiilor elementare.

În acest sens, trecem la luarea în considerare reguli de diferențiere:

1) Un număr constant poate (și ar trebui) să fie scos din semnul derivat

Unde este un număr constant (constant)

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

Să ne uităm la tabelul derivatelor. Derivata cosinusului este acolo, dar avem .

Este timpul să folosim regula, scoatem factorul constant din semnul derivatei:

Acum convertim cosinusul nostru conform tabelului:

Ei bine, este recomandabil să „pieptănați” puțin rezultatul - puneți semnul minus pe primul loc, scăpând în același timp de paranteze:

2) Derivata sumei este egala cu suma derivatelor

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Să decidem. După cum probabil ați observat deja, primul pas care este întotdeauna efectuat atunci când găsiți o derivată este acela de a include întreaga expresie în paranteze și de a pune un prim în dreapta sus:

Să aplicăm a doua regulă:

Vă rugăm să rețineți că pentru diferențiere, toate rădăcinile și gradele trebuie să fie reprezentate în formă, iar dacă sunt la numitor, mutați-le în sus. Cum să fac acest lucru este discutat în materialele mele didactice.

Acum să ne amintim prima regulă de diferențiere - luăm factorii (numerele) constanți în afara semnului derivat:

De obicei, în timpul rezolvării, aceste două reguli sunt aplicate simultan (pentru a nu rescrie din nou o expresie lungă).

Toate funcțiile situate sub linii sunt funcții elementare de tabel; folosind tabelul efectuăm transformarea:

Puteți lăsa totul așa cum este, deoarece nu mai sunt lovituri, iar derivatul a fost găsit. Cu toate acestea, expresii ca aceasta simplifică de obicei:

Este recomandabil să reprezentați toate puterile tipului din nou sub formă de rădăcini; puterile cu exponenți negativi ar trebui resetate la numitor. Deși nu trebuie să faci asta, nu va fi o greșeală.

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Încercați să rezolvați singur acest exemplu (răspundeți la sfârșitul lecției). Cei interesați pot folosi și curs intensivîn format pdf, care este deosebit de relevant dacă aveți foarte puțin timp la dispoziție.

3) Derivată a produsului de funcții

Se pare că analogia sugerează formula ...., dar surpriza este că:

Aceasta este o regulă neobișnuită (ca, de fapt, alții) rezultă din definiții derivate . Dar vom reține teoria pentru moment – ​​acum este mai important să învățăm cum să rezolvăm:

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Aici avem produsul a două funcții în funcție de .
Mai întâi aplicăm regula noastră ciudată și apoi transformăm funcțiile utilizând tabelul de derivate:

Dificil? Deloc, destul de accesibil chiar și pentru un ceainic.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Această funcție conține suma și produsul a două funcții - trinom pătratic și logaritm. De la școală ne amintim că înmulțirea și împărțirea au prioritate față de adunarea și scăderea.

La fel este și aici. LA ÎNCEPUT folosim regula de diferențiere a produsului:

Acum, pentru paranteză, folosim primele două reguli:

Ca urmare a aplicării regulilor de diferențiere sub linii, ne rămân doar funcții elementare; folosind tabelul de derivate le transformăm în alte funcții:

Gata.

Cu o oarecare experiență în găsirea de derivate, derivatele simple nu par să fie nevoie să fie descrise atât de detaliat. În general, acestea sunt de obicei decise oral și se notează imediat asta .

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției)

4) Derivată de funcții de coeficient

S-a deschis o trapă în tavan, nu vă alarmați, este o eroare.
Dar aceasta este realitatea dură:

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Ce lipsește aici - suma, diferența, produsul, fracția... Cu ce ​​ar trebui să încep?! Există îndoieli, nu există îndoieli, dar, ORICUM Mai întâi, trageți paranteze și puneți o lovitură în dreapta sus:

Acum ne uităm la expresia dintre paranteze, cum o putem simplifica? În acest caz, observăm un factor pe care, conform primei reguli, este indicat să îl plasăm în afara semnului derivatului.

Operația de găsire a derivatei se numește diferențiere.

Ca urmare a rezolvării problemelor de găsire a derivatelor celor mai simple (și nu foarte simple) funcții prin definirea derivatei ca limită a raportului incrementului la incrementul argumentului, a apărut un tabel de derivate și reguli de diferențiere precis definite. . Primii care au lucrat în domeniul găsirii derivatelor au fost Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Prin urmare, în timpul nostru, pentru a găsi derivata oricărei funcții, nu trebuie să calculați limita menționată mai sus a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, ci trebuie doar să utilizați tabelul de derivate și regulile de diferențiere. Următorul algoritm este potrivit pentru găsirea derivatei.

Pentru a găsi derivata, aveți nevoie de o expresie sub semnul prim descompune funcțiile simple în componenteși stabiliți ce acțiuni (produs, sumă, coeficient) aceste funcții sunt legate. În continuare, găsim derivatele funcțiilor elementare în tabelul de derivate, iar formulele pentru derivatele produsului, sumă și coeficient - în regulile de diferențiere. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere sunt date după primele două exemple.

Exemplul 1. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Din regulile de diferențiere aflăm că derivata unei sume de funcții este suma derivatelor de funcții, adică.

Din tabelul derivatelor aflăm că derivata lui „x” este egală cu unu, iar derivata sinusului este egală cu cosinus. Inlocuim aceste valori in suma derivatelor si gasim derivata ceruta de conditia problemei:

Exemplul 2. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Diferențiem ca derivată a unei sume în care al doilea termen are un factor constant; acesta poate fi scos din semnul derivatei:

Dacă încă apar întrebări despre unde provine ceva, acestea sunt de obicei clarificate după ce te-ai familiarizat cu tabelul derivatelor și cu cele mai simple reguli de diferențiere. Trecem la ele chiar acum.

Tabel de derivate ale funcțiilor simple

1. Derivată a unei constante (număr). Orice număr (1, 2, 5, 200...) care se află în expresia funcției. Întotdeauna egal cu zero. Acest lucru este foarte important de reținut, deoarece este necesar foarte des
2. Derivată a variabilei independente. Cel mai adesea „X”. Întotdeauna egal cu unu. Acest lucru este, de asemenea, important de reținut pentru o lungă perioadă de timp
3. Derivat de grad. Când rezolvați probleme, trebuie să convertiți rădăcinile nepătrate în puteri.
4. Derivată a unei variabile la puterea -1
5. Derivată de rădăcină pătrată
6. Derivată de sinus
7. Derivată a cosinusului
8. Derivata tangentei
9. Derivat de cotangente
10. Derivată de arcsinus
11. Derivatul arccosinului
12. Derivată a arctangentei
13. Derivată a cotangentei arcului
14. Derivată a logaritmului natural
15. Derivata unei functii logaritmice
16. Derivată a exponentului
17. Derivata unei functii exponentiale

Reguli de diferențiere

1. Derivată a unei sume sau diferențe
2. Derivat al produsului
2a. Derivată a unei expresii înmulțită cu un factor constant
3. Derivată a coeficientului
4. Derivata unei functii complexe

Regula 1.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci funcțiile sunt diferențiabile în același punct

și

acestea. derivata unei sume algebrice de funcții este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții.

Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-un termen constant, atunci derivatele lor sunt egale, adică

Regula 2.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci produsul lor este diferențiabil în același punct

și

acestea. Derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii si derivata celeilalte.

Corolarul 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei:

Corolarul 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecarui factor si a tuturor celorlalti.

De exemplu, pentru trei multiplicatori:

Regula 3.Dacă funcţiile

diferentiabil la un moment dat Și , atunci în acest moment câtul lor este de asemenea diferențiabilu/v și

acestea. derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul fostul numărător.

Unde să cauți lucruri pe alte pagini

La găsirea derivatei unui produs și a unui coeficient în probleme reale, este întotdeauna necesar să se aplice mai multe reguli de diferențiere simultan, așa că există mai multe exemple despre aceste derivate în articol„Derivată a produsului și coeficientul de funcții”.

Cometariu. Nu trebuie să confundați o constantă (adică un număr) ca termen dintr-o sumă și ca factor constant! În cazul unui termen, derivata acestuia este egală cu zero, iar în cazul unui factor constant, se scoate din semnul derivatelor. Aceasta este o greșeală tipică care apare în etapa inițială a studiului derivatelor, dar pe măsură ce studentul obișnuit rezolvă mai multe exemple cu una sau două părți, el nu mai face această greșeală.

Și dacă, la diferențierea unui produs sau a unui coeficient, ai un termen u"v, in care u- un număr, de exemplu, 2 sau 5, adică o constantă, atunci derivata acestui număr va fi egală cu zero și, prin urmare, întregul termen va fi egal cu zero (acest caz este discutat în exemplul 10).

O altă greșeală comună este rezolvarea mecanică a derivatei unei funcții complexe ca derivată a unei funcții simple. De aceea derivata unei functii complexe este dedicat un articol separat. Dar mai întâi vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor simple.

Pe parcurs, nu te poți descurca fără transformarea expresiilor. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să deschideți manualul în ferestre noi. Acțiuni cu puteri și rădăciniȘi Operații cu fracții .

Dacă căutați soluții la derivatele fracțiilor cu puteri și rădăcini, adică atunci când funcția arată ca , apoi urmați lecția „Derivată de sume de fracții cu puteri și rădăcini”.

Dacă aveți o sarcină ca , apoi veți lua lecția „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple”.

Exemple pas cu pas - cum să găsiți derivatul

Exemplul 3. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Definim părțile expresiei funcției: întreaga expresie reprezintă un produs, iar factorii săi sunt sume, în al doilea dintre care unul dintre termeni conține un factor constant. Aplicam regula de diferentiere a produsului: derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii prin derivata celeilalte:

În continuare, aplicăm regula de diferențiere a sumei: derivata sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții. În cazul nostru, în fiecare sumă al doilea termen are semnul minus. În fiecare sumă vedem atât o variabilă independentă, a cărei derivată este egală cu unu, cât și o constantă (număr), a cărei derivată este egală cu zero. Deci, „X” se transformă în unu, iar minus 5 se transformă în zero. În a doua expresie, „x” este înmulțit cu 2, așa că înmulțim doi cu aceeași unitate ca și derivata lui „x”. Obținem următoarele valori derivate:

Inlocuim derivatele gasite in suma produselor si obtinem derivata intregii functii ceruta de conditia problemei:

Exemplul 4. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Ni se cere să găsim derivata coeficientului. Aplicăm formula de diferențiere a câtului: derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorul, iar numitorul este pătratul fostului numărător. Primim:

Am găsit deja derivata factorilor din numărător în exemplul 2. De asemenea, să nu uităm că produsul, care este al doilea factor la numărător în exemplul curent, este luat cu semnul minus:

Dacă căutați soluții la probleme în care trebuie să găsiți derivata unei funcții, unde există o grămadă continuă de rădăcini și puteri, cum ar fi, de exemplu, , atunci bun venit la curs „Derivată a sumelor fracțiilor cu puteri și rădăcini” .

Dacă trebuie să aflați mai multe despre derivatele sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și altor funcții trigonometrice, adică atunci când funcția arată ca , atunci o lecție pentru tine „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple” .

Exemplul 5. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un produs, unul dintre factorii căruia este rădăcina pătrată a variabilei independente, a cărei derivată ne-am familiarizat în tabelul de derivate. Folosind regula de diferențiere a produsului și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Exemplul 6. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un coeficient al cărui dividend este rădăcina pătrată a variabilei independente. Folosind regula de diferențiere a coeficientilor, pe care am repetat-o ​​și aplicată în exemplul 4, și valoarea tabelată a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Pentru a scăpa de o fracție din numărător, înmulțiți numărătorul și numitorul cu .