Introduceți funcția pentru care trebuie să găsiți integrala

Calculatorul oferă soluții DETALIATE pentru integrale definite.

Acest calculator găsește o soluție la integrala definită a funcției f(x) cu limitele superioare și inferioare date.

Exemple

Folosind gradul
(pătrat și cub) și fracții

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Rădăcină pătrată

Sqrt(x)/(x + 1)

Rădăcină cubă

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Folosind sinus și cosinus

2*sin(x)*cos(x)

arcsinus

X*arcsin(x)

arc cosinus

X*arccos(x)

Aplicarea logaritmului

X*log(x, 10)

Logaritmul natural

Expozant

Tg(x)*sin(x)

Cotangentă

Ctg(x)*cos(x)

Fracții iraționale

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arctangent

X*arctg(x)

Arccotangent

X*arсctg(x)

Sinus și cosinus hiperbolic

2*sh(x)*ch(x)

Tangenta hiperbolica si cotangente

Ctgh(x)/tgh(x)

Arcsinus și arccosinus hiperbolic

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Arctangentă și arctangentă hiperbolice

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Reguli de introducere a expresiilor și funcțiilor

Expresiile pot consta din funcții (notațiile sunt date în ordine alfabetică): absolut (x) Valoare absolută X
(modul X sau |x|) arccos(x) Funcția - arc cosinus al X arccosh(x) Arc cosinus hiperbolic de la X arcsin(x) Arcsine din X arcsinh(x) Arcsin hiperbolic din X arctan(x) Funcția - arctangent de X arctgh(x) Arctangent hiperbolic din X e e un număr care este aproximativ egal cu 2,7 exp(x) Funcție - exponent al X(care este e^X) log(x) sau ln(x) Logaritmul natural al X
(A obtine log7(x), trebuie să introduceți log(x)/log(7) (sau, de exemplu, pentru log10(x)=log(x)/log(10)) pi Numărul este „Pi”, care este aproximativ egal cu 3,14 sin(x) Funcție - Sinus de X cos(x) Funcția - Cosinus de X sinh(x) Funcție - Sinus hiperbolic de la X cosh(x) Funcție - Cosinus hiperbolic de la X sqrt(x) Funcția - rădăcină pătrată a X sqr(x) sau x^2 Funcție - Pătrat X tan(x) Functie - Tangenta de la X tgh(x) Functie - Tangenta hiperbolica de la X cbrt(x) Funcție - rădăcină cubă a X

Următoarele operații pot fi folosite în expresii: Numere reale intra ca 7.5 , Nu 7,5 2*x- înmulțirea 3/x- Divizia x^3- exponentiarea x+7- adaos x - 6- scăderea
Alte caracteristici: podea(x) Funcție - rotunjire Xîn jos (exemplu etaj(4,5)==4,0) plafon (x) Funcție - rotunjire Xîn sus (exemplu plafon (4,5)==5,0) semn(x) Funcție - Semn X erf(x) Funcție de eroare (sau integrală de probabilitate) laplace(x) Funcția Laplace

Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru câțiva selectați. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar nu știu nimic sau aproape nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedefinite?

Dacă singura utilizare pe care o cunoașteți pentru o integrală este să folosiți o croșetată în formă de pictogramă integrală pentru a obține ceva util din locurile greu accesibile, atunci bine ați venit! Aflați cum să rezolvați cele mai simple și alte integrale și de ce nu vă puteți descurca fără ea la matematică.

Studiem conceptul « integrală »

Integrarea era cunoscută încă din Egiptul Antic. Desigur, nu în forma sa modernă, dar totuși. De atunci, matematicienii au scris multe cărți pe această temă. Mai ales s-au distins Newton Și Leibniz , dar esența lucrurilor nu s-a schimbat.

Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, veți avea nevoie în continuare de cunoștințe de bază despre elementele de bază ale analizei matematice. Avem deja informații despre limite și derivate, necesare înțelegerii integralelor, pe blogul nostru.

Integrală nedefinită

Să avem o funcție f(x) .

Funcție integrală nedefinită f(x) această funcție este numită F(x) , a cărui derivată este egală cu funcția f(x) .

Cu alte cuvinte, o integrală este o derivată inversă sau o antiderivată. Apropo, citiți articolul nostru despre cum să calculați derivatele.

Un antiderivat există pentru toate funcțiile continue. De asemenea, un semn constant este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a integralei se numește integrare.

Exemplu simplu:

Pentru a nu calcula în mod constant antiderivate ale funcțiilor elementare, este convenabil să le puneți într-un tabel și să folosiți valori gata făcute.

Tabel complet de integrale pentru elevi

Integrala definita

Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei unei figuri, a masei unui corp neuniform, a distanței parcurse în timpul mișcării inegale și multe altele. Trebuie amintit că o integrală este suma unui număr infinit de termeni infinitezimali.

De exemplu, imaginați-vă un grafic al unei anumite funcții.

Cum să găsiți aria unei figuri mărginite de graficul unei funcții? Folosind o integrală! Să împărțim trapezul curbiliniu, limitat de axele de coordonate și graficul funcției, în segmente infinitezimale. În acest fel figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este o integrală definită, care este scrisă astfel:

Punctele a și b se numesc limite de integrare.

« Integral »

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la orice tip de lucrare

Reguli pentru calcularea integralelor pentru manechine

Proprietățile integralei nedefinite

Cum se rezolvă o integrală nedefinită? Aici ne vom uita la proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile atunci când rezolvăm exemple.

• Derivata integralei este egala cu integrandul:

• Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:

• Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Acest lucru este valabil și pentru diferența:

Proprietățile unei integrale definite

• Linearitate:

• Semnul integralei se schimbă dacă limitele integrării sunt schimbate:

• La orice puncte A, bȘi Cu:

Am aflat deja că o integrală definită este limita unei sume. Dar cum să obțineți o anumită valoare atunci când rezolvați un exemplu? Pentru aceasta există formula Newton-Leibniz:

Exemple de rezolvare a integralelor

Mai jos vom lua în considerare integrala nedefinită și exemple cu soluții. Vă sugerăm să vă dați seama de complexitatea soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a consolida materialul, urmăriți un videoclip despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu disperați dacă integrala nu este dată imediat. Contactați un serviciu profesionist pentru studenți și orice integrală triplă sau curbă pe o suprafață închisă va fi în puterea dumneavoastră.

Pentru ce sunt integralele? Încercați să răspundeți singur la această întrebare.

Atunci când explică subiectul integralelor, profesorii enumera domenii de aplicare care sunt de puțin folos minții școlii. Printre ei:

• calcularea ariei unei figuri.
• Calculul masei corporale cu densitate neuniformă.
• determinarea distantei parcurse la deplasarea cu viteza variabila.
• si etc.

Nu este întotdeauna posibilă conectarea tuturor acestor procese, așa că mulți studenți devin confuzi, chiar dacă au toate cunoștințele de bază pentru a înțelege integrala.

Principalul motiv al ignoranței– lipsa de înțelegere a semnificației practice a integralelor.

Integral - ce este?

Cerințe preliminare. Nevoia de integrare a apărut în Grecia Antică. În acel moment, Arhimede a început să folosească metode care erau în esență similare cu calculul integral modern pentru a găsi aria unui cerc. Principala abordare pentru determinarea zonei figurilor inegale a fost atunci „Metoda de epuizare”, care este destul de ușor de înțeles.

Esența metodei. În această figură se încadrează o succesiune monotonă de alte figuri și apoi se calculează limita secvenței ariilor lor. Această limită a fost luată ca zonă a acestei cifre.

Această metodă urmărește cu ușurință ideea de calcul integral, care este de a găsi limita unei sume infinite. Această idee a fost folosită ulterior de oamenii de știință pentru a o rezolva probleme aplicate astronautică, economie, mecanică etc.

Integrală modernă. Teoria clasică a integrării a fost formulată în formă generală de Newton și Leibniz. S-a bazat pe legile existente atunci ale calculului diferenţial. Pentru a-l înțelege, trebuie să aveți niște cunoștințe de bază care vă vor ajuta să utilizați limbajul matematic pentru a descrie idei vizuale și intuitive despre integrale.

Explicăm conceptul de „integral”

Procesul de găsire a derivatei se numește diferenţiereși găsirea antiderivatei – integrare.

Integral limbaj matematic– aceasta este antiderivată a funcției (ce era înainte de derivată) + constantă „C”.

Integral în cuvinte simple este aria unei figuri curbilinii. Integrala nedefinită este întreaga zonă. Integrala definită este aria dintr-o zonă dată.

Integrala se scrie astfel:

Fiecare integrand este înmulțit cu componenta „dx”. Arată peste ce variabilă se realizează integrarea. „dx” este incrementul argumentului. În loc de X poate exista orice alt argument, de exemplu t (timp).

Integrală nedefinită

O integrală nedefinită nu are limite de integrare.

Pentru a rezolva integrale nedefinite, este suficient să găsiți antiderivata integrandului și să îi adăugați „C”.

Integrala definita

Într-o integrală definită, restricțiile „a” și „b” sunt scrise pe semnul de integrare. Acestea sunt indicate pe axa X în graficul de mai jos.

Pentru a calcula o integrală definită, trebuie să găsiți antiderivată, să înlocuiți valorile „a” și „b” în ea și să găsiți diferența. În matematică aceasta se numește Formula Newton-Leibniz:

Tabel de integrale pentru elevi (formule de bază)

Descărcați formulele integrale, vă vor fi de folos

Cum se calculează corect integrala

Există mai multe operații simple pentru transformarea integralelor. Iată pe cele principale:

Eliminarea unei constante de sub semnul integral

Descompunerea integralei unei sume în suma integralelor

Dacă schimbați a și b, semnul se va schimba

Puteți împărți integrala în intervale după cum urmează

Acestea sunt cele mai simple proprietăți, pe baza cărora vor fi formulate ulterior teoreme și metode de calcul mai complexe.

Exemple de calcule integrale

Rezolvarea integralei nedefinite

Rezolvarea integralei definite

Concepte de bază pentru înțelegerea subiectului

Pentru a înțelege esența integrării și a nu închide pagina de neînțelegeri, vă vom explica o serie de concepte de bază. Ce este o funcție, derivată, limită și antiderivată.

Funcţie– o regulă conform căreia toate elementele dintr-o mulțime sunt corelate cu toate elementele din alta.

Derivat– o funcție care descrie rata de schimbare a unei alte funcții în fiecare punct specific. În limbaj strict, aceasta este limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului. Este calculat manual, dar este mai ușor să utilizați un tabel derivat, care conține majoritatea funcțiilor standard.

Creştere– o modificare cantitativă a funcției cu o oarecare modificare a argumentului.

Limită– valoarea la care tinde valoarea funcției atunci când argumentul tinde către o anumită valoare.

Un exemplu de limită: să spunem dacă X este egal cu 1, Y va fi egal cu 2. Dar dacă X nu este egal cu 1, dar tinde spre 1, adică nu ajunge niciodată la el? În acest caz, y nu va ajunge niciodată la 2, ci va tinde doar către această valoare. În limbajul matematic aceasta se scrie astfel: limY(X), ca X –> 1 = 2. Se citește: limita funcției Y(X), deoarece x tinde spre 1, este egală cu 2.

După cum sa menționat deja, o derivată este o funcție care descrie o altă funcție. Funcția originală poate fi o derivată a unei alte funcții. Această altă funcție este numită antiderivat.

Concluzie

Găsirea integralelor nu este dificilă. Dacă nu înțelegi cum să faci asta, . A doua oară devine mai clar. Tine minte! Rezolvarea integralelor se reduce la simple transformări ale integrandului și căutarea lui în .

Dacă explicația textului nu vă convine, urmăriți videoclipul despre semnificația integrală și derivată:

Integrale - ce sunt, cum se rezolvă, exemple de soluții și explicații pentru manechine actualizat: 22 noiembrie 2019 de: Articole stiintifice.Ru

Serviciu online la site-ul web vă permite să găsiți rezolvarea integrală definitivă online. Soluția se realizează automat pe server și rezultatul este dat utilizatorului în câteva secunde. Toate serviciile online de pe site sunt absolut gratuite, iar soluția este furnizată într-o formă convenabilă și de înțeles. Avantajul nostru este, de asemenea, că oferim utilizatorului posibilitatea de a intra în limitele integrării, inclusiv limitele integrării: minus și plus infinit. Astfel, rezolvarea unei integrale definite devine simplă, rapidă și de înaltă calitate. Este important ca serverul să permită calcula integrale definite online funcții complexe, a căror soluție este adesea imposibilă pe alte servicii online din cauza imperfecțiunii sistemelor lor. Oferim un mecanism foarte simplu și intuitiv de introducere a funcțiilor și posibilitatea de a selecta o variabilă de integrare, pentru care nu trebuie să traduceți o funcție definită într-o variabilă în alta, eliminând erorile și greșelile de scriere asociate. Pagina oferă, de asemenea, link-uri către articole teoretice și tabele despre rezolvarea anumitor integrale. Totul luat împreună vă va permite să calculați o integrală definită online foarte rapid și, dacă doriți, să găsiți și să înțelegeți teoria rezolvării integralelor definite. Pe http://site-ul puteti accesa si alte servicii: solutie online de limite, derivate, sume de serie. Accesul la fila pentru rezolvarea integralelor nedefinite online este destul de simplu - linkul se află în rândul dintre linkurile utile. Mai mult, serviciul este în mod constant îmbunătățit și dezvoltat, iar în fiecare zi apar din ce în ce mai multe funcții și îmbunătățiri noi. Rezolvați integrale definite impreuna cu noi! Toate serviciile online sunt disponibile chiar și pentru utilizatorii neînregistrați și sunt absolut gratuite.

Rezolvând o integrală definită cu noi, vă puteți verifica propria soluție sau puteți scăpa de calculele inutile care necesită forță de muncă și aveți încredere într-o mașină automată de înaltă tehnologie. Precizia calculată în serviciu va satisface aproape orice standard de inginerie. Adesea, pentru multe integrale definite tabelare, rezultatul este dat în expresie exactă (folosind constante bine cunoscute și funcții neelementare).

>> >> >> Metode de integrare

Metode de integrare de bază

Definiția integrală, definită și nedefinită, tabel de integrale, formula Newton-Leibniz, integrare pe părți, exemple de calcul a integralelor.

Integrală nedefinită

Fie u = f(x) și v = g(x) funcții care au continuu . Apoi, conform lucrării,

d(uv))= udv + vdu sau udv = d(uv) - vdu.

Pentru expresia d(uv), antiderivatul va fi evident uv, deci formula este valabilă:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Această formulă exprimă regula integrare pe părți. Conduce integrarea expresiei udv=uv"dx la integrarea expresiei vdu=vu"dx.

De exemplu, doriți să găsiți ∫xcosx dx. Să punem u = x, dv = cosxdx, deci du=dx, v=sinx. Apoi

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Regula integrării pe părți are un domeniu de aplicare mai limitat decât înlocuirea variabilelor. Dar există clase întregi de integrale, de exemplu, ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax și altele, care sunt calculate precis folosind integrarea pe părți.

Integrala definita

Metode de integrare, conceptul de integrală definită este introdus după cum urmează. Fie definită o funcție f(x) pe un interval. Să împărțim segmentul [a,b] în n părți cu puncte a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. O sumă de forma f(ξ i)Δ x i se numește sumă integrală, iar limita ei la λ = maxΔx i → 0, dacă există și este finită, se numește integrala definita funcțiile f(x) de la a la b și se notează:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funcția f(x) în acest caz este numită integrabil pe interval, se numesc numerele a și b limitele inferioare și superioare ale integralei.

Metode de integrare au urmatoarele proprietati:

Ultima proprietate este numită teorema valorii medii.

Fie f(x) continuă pe . Apoi pe acest segment există o integrală nedefinită

∫f(x)dx = F(x) + C

si are loc formula Newton-Leibniz, legând integrala definită cu integrala nedefinită:

F(b) - F(a). (8,6)

Interpretare geometrică: reprezintă aria unui trapez curbiliniu mărginit de sus de curba y=f(x), drepte x = a și x = b și un segment al axei Ox.

Integrale improprii

Integralele cu limite infinite și integralele funcțiilor discontinue (nemărginite) se numesc improprie. Integrale improprii de primul fel - acestea sunt integrale pe un interval infinit, definite după cum urmează:

(8.7)

Dacă această limită există și este finită, atunci se numește integrală improprie convergentă a lui f(x) pe intervalul [a,+ ∞), iar funcția f(x) se numește integrabilă pe intervalul infinit [a,+ ∞ ). În caz contrar, se spune că integrala nu există sau că diverge.

Integrale improprii pe intervalele (-∞,b] și (-∞, + ∞) sunt definite în mod similar:

Să definim conceptul de integrală a unei funcții nemărginite. Dacă f(x) este continuă pentru toate valorile x ale segmentului, cu excepția punctului c, la care f(x) are o discontinuitate infinită, atunci integrala improprie a celui de-al doilea fel de f(x) variind de la a la b suma se numeste:

dacă aceste limite există și sunt finite. Desemnare:

Exemple de calcule integrale

Exemplul 3.30. Calculați ∫dx/(x+2).

Soluţie. Să notăm t = x+2, atunci dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Exemplul 3.31. Găsiți ∫ tgxdx.

Rezolvare: ∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Fie t=cosx, atunci ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Exemplu3.32 . Găsiți ∫dx/sinx

Exemplu3.33. Găsi .

Soluţie. =

.

Exemplu3.34 . Găsiți ∫arctgxdx.

Soluţie. Să integrăm pe părți. Să notăm u=arctgx, dv=dx. Atunci du = dx/(x 2 +1), v=x, de unde ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; deoarece
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Exemplu3.35 . Calculați ∫lnxdx.

Soluţie. Aplicând formula de integrare prin părți, obținem:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Atunci ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Exemplu3.36 . Calculați ∫e x sinxdx.

Soluţie. Să aplicăm formula de integrare prin părți. Să notăm u = e x, dv = sinxdx, apoi du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx se integrează și pe părți: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Avem:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Am obținut relația ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, din care 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Exemplu 3.37. Calculați J = ∫cos(lnx)dx/x.

Rezolvare: Deoarece dx/x = dlnx, atunci J= ∫cos(lnx)d(lnx). Înlocuind lnx prin t, ajungem la integrala tabelului J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Exemplu 3.38 . Calculați J = .

Soluţie. Considerând că = d(lnx), facem substituția lnx = t. Atunci J = .

Exemplu 3.39 . Calculați J = .

Soluţie. Avem: . De aceea =