Aflați abscisa maximului funcției. Puncte critice ale unei funcții. Derivatul și rolul său

Funcția și studiul trăsăturilor sale ocupă unul dintre capitolele cheie ale matematicii moderne. Componenta principală a oricărei funcții sunt graficele care descriu nu numai proprietățile sale, ci și parametrii derivatei acestei funcții. Să înțelegem acest subiect dificil. Deci, care este cel mai bun mod de a găsi punctele maxime și minime ale unei funcții?

Funcție: definiție

Orice variabilă care depinde într-un fel de valorile unei alte mărimi poate fi numită funcție. De exemplu, funcția f(x 2) este pătratică și determină valorile pentru întreaga mulțime x. Să presupunem că x = 9, atunci valoarea funcției noastre va fi egală cu 9 2 = 81.

Funcțiile vin în multe tipuri diferite: logice, vectoriale, logaritmice, trigonometrice, numerice și altele. Au fost studiate de minți remarcabile precum Lacroix, Lagrange, Leibniz și Bernoulli. Lucrările lor servesc drept pilon în modurile moderne de studiere a funcțiilor. Înainte de a găsi punctele minime, este foarte important să înțelegeți sensul însuși al funcției și al derivatei sale.

Derivatul și rolul său

Toate funcțiile depind de variabilele lor, ceea ce înseamnă că își pot schimba valoarea în orice moment. Pe grafic, aceasta va fi reprezentată ca o curbă care fie scade, fie se ridică de-a lungul axei ordonatelor (acesta este întregul set de numere „y” de-a lungul graficului vertical). Deci, determinarea punctelor maxime și minime ale unei funcții este legată tocmai de aceste „oscilații”. Să explicăm care este această relație.

Derivata oricărei funcții este reprezentată grafic pentru a studia caracteristicile sale de bază și pentru a calcula cât de repede se schimbă funcția (adică își schimbă valoarea în funcție de variabila „x”). În momentul în care funcția crește, graficul derivatei sale va crește și el, dar în orice secundă funcția poate începe să scadă, iar apoi graficul derivatei va scădea. Acele puncte în care derivata se schimbă de la semnul minus la semnul plus se numesc puncte minime. Pentru a ști cum să găsești puncte minime, ar trebui să înțelegi mai bine

Cum se calculează derivata?

Definiția și funcțiile implică mai multe concepte din În general, însăși definiția unei derivate poate fi exprimată astfel: aceasta este mărimea care arată rata de schimbare a funcției.

Modul matematic de a-l determina pare complicat pentru mulți elevi, dar în realitate totul este mult mai simplu. Trebuie doar să urmați planul standard pentru a găsi derivata oricărei funcții. Mai jos descriem cum puteți găsi punctul minim al unei funcții fără a aplica regulile de diferențiere și fără a memora tabelul derivatelor.

1. Puteți calcula derivata unei funcții folosind un grafic. Pentru a face acest lucru, trebuie să descrieți funcția în sine, apoi luați un punct pe ea (punctul A din figură). Desenați o linie vertical în jos până la axa absciselor (punctul x 0), iar în punctul A trageți o tangentă la graficul funcției. Axa x și tangenta formează un anumit unghi a. Pentru a calcula valoarea cât de repede crește o funcție, trebuie să calculați tangentei acestui unghi a.
2. Rezultă că tangenta unghiului dintre tangentă și direcția axei x este derivata funcției într-o zonă mică cu punctul A. Această metodă este considerată o metodă geometrică pentru determinarea derivatei.

Metode de studiu a funcției

În programa școlară de matematică, este posibil să găsiți punctul minim al unei funcții în două moduri. Am discutat deja despre prima metodă folosind un grafic, dar cum putem determina valoarea numerică a derivatei? Pentru a face acest lucru, va trebui să învățați mai multe formule care descriu proprietățile derivatei și vă ajută să convertiți variabile precum „x” în numere. Următoarea metodă este universală, deci poate fi aplicată aproape tuturor tipurilor de funcții (atât geometrice, cât și logaritmice).

1. Este necesar să echivalăm funcția cu funcția derivată și apoi să simplificați expresia folosind regulile de diferențiere.
2. În unele cazuri, atunci când i se oferă o funcție în care variabila „x” este în divizor, este necesar să se determine intervalul de valori acceptabile, excluzând punctul „0” din aceasta (din simplul motiv că în matematică nu trebuie niciodată împărțiți la zero).
3. După aceasta, ar trebui să transformați forma originală a funcției într-o ecuație simplă, echivalând întreaga expresie cu zero. De exemplu, dacă funcția arată astfel: f(x) = 2x 3 +38x, atunci, conform regulilor de diferențiere, derivata sa este egală cu f"(x) = 3x 2 +1. Apoi transformăm această expresie într-o ecuație de următoarea formă: 3x 2 +1 = 0 .
4. După rezolvarea ecuației și găsirea punctelor „x”, ar trebui să le trasați pe axa x și să determinați dacă derivata din aceste secțiuni între punctele marcate este pozitivă sau negativă. După desemnare, va deveni clar în ce moment funcția începe să scadă, adică schimbă semnul de la minus la opus. În acest fel puteți găsi atât punctele minime, cât și cele maxime.

Reguli de diferențiere

Cea mai de bază componentă în studierea unei funcții și a derivatei sale este cunoașterea regulilor de diferențiere. Numai cu ajutorul lor puteți transforma expresii greoaie și funcții complexe mari. Să facem cunoștință cu ele, sunt destul de multe, dar toate sunt foarte simple datorită proprietăților naturale atât ale funcțiilor de putere, cât și ale funcțiilor logaritmice.

1. Derivata oricărei constante este egală cu zero (f(x) = 0). Adică, derivata f(x) = x 5 + x - 160 va lua următoarea formă: f" (x) = 5x 4 +1.
2. Derivată a sumei a doi termeni: (f+w)" = f"w + fw".
3. Derivată a unei funcții logaritmice: (log a d)" = d/ln a*d. Această formulă se aplică tuturor tipurilor de logaritmi.
4. Derivată a puterii: (x n)"= n*x n-1. De exemplu, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Derivata funcției sinusoidale: (sin a)" = cos a. Dacă sinul unghiului a este 0,5, atunci derivata sa este √3/2.

Puncte extreme

Am discutat deja despre cum să găsim punctele minime, dar există și conceptul de puncte maxime ale unei funcții. Dacă minimul denotă acele puncte în care funcția se schimbă de la un semn minus la un plus, atunci punctele maxime sunt acele puncte de pe axa x la care derivata funcției se schimbă de la plus la opus - minus.

Îl puteți găsi folosind metoda descrisă mai sus, dar ar trebui să țineți cont de faptul că acestea indică acele zone în care funcția începe să scadă, adică derivata va fi mai mică decât zero.

În matematică, se obișnuiește să generalizeze ambele concepte, înlocuindu-le cu expresia „puncte de extremă”. Când o sarcină vă cere să determinați aceste puncte, înseamnă că trebuie să calculați derivata unei anumite funcții și să găsiți punctele minime și maxime.

Aflați cea mai mare valoare a funcției y=(7x^2-56x+56)e^x pe intervalul [-3; 2].

Soluţie

Să găsim derivata funcției originale folosind formula derivată a produsului y"=(7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\stanga(e^x\dreapta)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Să calculăm zerourile derivatei: y"=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0, x_2=6.

Să aranjam semnele derivatei și să determinăm intervalele de monotonitate ale funcției originale pe un segment dat.

Din figură este clar că pe segmentul [-3; 0] funcția inițială crește, iar pe segment scade. Astfel, cea mai mare valoare de pe segmentul [-3; 2] se realizează la x=0 și este egal cu y(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.

Răspuns

Condiție

Aflați cea mai mare valoare a funcției y=12x-12tg x-18 pe segment \stânga.

Soluţie

y"= (12x)"-12(tg x)"-(18)"= 12-\frac(12)(\cos ^2x)= \frac(12\cos ^2x-12)(\cos ^2x)\leqslant0. Aceasta înseamnă că funcția inițială nu crește pe intervalul luat în considerare și ia cea mai mare valoare la capătul din stânga intervalului, adică la x=0. Cea mai mare valoare este y(0)= 12\cdot 0-12 tg (0)-18= -18.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Aflați punctul minim al funcției y=(x+8)^2e^(x+52).

Soluţie

Vom găsi punctul minim al funcției folosind derivata. Să găsim derivata unei funcții date folosind formulele pentru derivata produsului, derivata lui x^\alpha și e^x:

y"(x)= \left((x+8)^2\right)"e^(x+52)+(x+8)^2\left(e^(x+52)\right)"= 2(x+8)e^(x+52)+(x+8)^2e^(x+52)= (x+8)e^(x+52)(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^(x+52).

Să aranjam semnele derivatei și să determinăm intervalele de monotonitate ale funcției inițiale. e^(x+52)>0 pentru orice x. y"=0 la x=-8, x=-10.

Figura arată că funcția y=(x+8)^2e^(x+52) are un singur punct minim x=-8.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Găsiți punctul maxim al funcției y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.

Soluţie

ODZ: x \geqslant 0. Să găsim derivata funcției inițiale:

y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.

Să calculăm zerourile derivatei:

8-\sqrt x=0;

\sqrt x=8;

x=64.

Să aranjam semnele derivatei și să determinăm intervalele de monotonitate ale funcției inițiale.

Figura arată că punctul x=64 este singurul punct maxim al funcției date.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Găsiți cea mai mică valoare a funcției y=5x^2-12x+2\ln x+37 pe segment \left[\frac35; \frac75\dreapta].

Soluţie

ODZ: x>0.

Să găsim derivata funcției originale:

y"(x)= 10x-12+\frac(2)(x)= \frac(10x^2-12x+2)(x).

Să definim zerourile derivatei: y"(x)=0;

\frac(10x^2-12x+2)(x)=0,

5x^2-6x+1=0,

x_(1,2)= \frac(3\pm\sqrt(3^2-5\cdot1))(5)= \frac(3\pm2)(5),

x_1=\frac15\notin\left[\frac35; \frac75\dreapta],

x_2=1\in\left[\frac35; \frac75\dreapta].

Să aranjam semnele derivatei și să determinăm intervalele de monotonitate ale funcției inițiale pe intervalul luat în considerare.

Din figură este clar că pe segment \left[\frac35; 1\dreapta] funcţia iniţială scade, iar pe segment \stânga crește. Astfel, cea mai mică valoare de pe segment \left[\frac35; \frac75\dreapta] se realizează la x=1 și este egală cu y(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Aflați cea mai mare valoare a funcției y=(x+4)^2(x+1)+19 pe segmentul [-5; -3].

Soluţie

Să găsim derivata funcției originale folosind formula derivată a produsului.

Punctele în care derivata este egală cu zero sunt punctele extreme ale funcției. Să găsim aceste puncte și să stabilim punctele maxime și minime.

x^2 - 5x + 6 = 0;

D = (- 5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1; √D = 1;

x = (- b ± √D)/(2a);

x1 = (5 + 1)/2 = 6/2 = 3;

x2 = (5 - 1)/2 = 4/2 = 2.

Punctul maxim este punctul în care funcția trece de la creștere la descreștere, iar punctul minim este punctul în care funcția se schimbă de la descrescător la descrescător. Funcția crește la acele intervale în care derivata sa este pozitivă și scade la acele intervale în care derivata sa este negativă.

Marcați punctele 2 și 3 pe linia numerică. Ei vor împărți linia în trei intervale: 1) (- ∞; 2), 2) (2; 3), 3) (3; + ∞). Să verificăm ce semn are derivata x^2 - 5x + 6 pe fiecare interval.

La intervalele 1 și 3, derivata ia valori pozitive, iar la intervalul 2 - negative. Aceasta înseamnă că la intervalele 1 și 3 funcția crește, iar la intervalul 2 scade. Vezi fig. http://bit.ly/2wfdf7o

Aceasta înseamnă că punctul x = 2 este punctul maxim, iar x = 3 este punctul minim.

Răspuns. xmax = 2; xmin = 3.

Pentru a găsi punctele extreme ale unei funcții (adică punctele minime și maxime), aveți nevoie de:

• găsiți derivata funcției,
• găsiți zerourile derivatei (adică echivalați-o cu zero și găsiți rădăcinile ecuației),
• folosind dreapta numerică, determinați semnele derivatei: atunci când funcția crește, atunci derivata este pozitivă, când funcția scade, atunci derivata este negativă,
• determinați punctele minime și maxime: dacă funcția a crescut și la un anumit punct a început să scadă, atunci acesta este punctul maxim și, dacă invers, acesta este punctul minim.

Derivata este deja cunoscută f"(x) = x 2 - 5x + 6.

Să găsim zerourile derivatei funcției

x 2 - 5x + 6 = 0

Obținem o ecuație pătratică, să găsim rădăcinile ecuației prin discriminant.

x 2 - 5x + 6 - funcție pătratică, ramuri în sus.

a = 1, b = -5, c = 6.

D = în 2 - 4ac = (-5) 2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1 (rădăcina pătrată este 1)

x 1 = (5 + 1)/2 = 6/3 = 3

x 2 = (5 - 1)/2 = 4/2 = 2

Determinarea semnelor derivatei

Marcam punctele 2 și 3 pe linia de coordonate, desenăm schematic o parabolă (ramuri în sus), semnăm semnele pe fiecare interval și folosim săgeți pentru a arăta cum se comportă funcția pe fiecare interval.

(- infinit; 2) semnul plus, funcția este în creștere.

(2; 3) semnul minus, funcția este descrescătoare.

(3; + infinit) semnul plus, funcția este în creștere.

Adică, punctul 2 este punctul maxim, iar punctul 3 este punctul minim.

Răspuns: x min = 3, x max = 2.