Tipuri de evenimente, calcul direct al probabilității de apariție a unui eveniment. Jos cu incertitudinea sau cum să găsești probabilitatea Probabilitatea ca tu

Unirea (suma logică) a N evenimente se numește eveniment , care se observă de fiecare dată când apare cel putin unul dintre evenimente . În special, uniunea evenimentelor A și B se numește eveniment A+ B(unii autori
), care se observă când vinesau A,sau Bsau ambele evenimente în același timp(Fig. 7). Un semn de intersecție în formulările textuale ale evenimentelor este conjuncția "sau".

Orez. 7. Combinarea evenimentelor A+B

Este necesar să se țină seama de faptul că probabilitatea evenimentului P(A) corespunde cu partea stângă umbrită în Fig. 7 din figură și partea centrală a acesteia, marcată ca
. Și rezultatele corespunzătoare evenimentului B sunt situate atât în ​​partea dreaptă a figurii umbrite, cât și în cel marcat
Partea centrală. Astfel, la adăugarea Și zonă
va fi de fapt inclus în această sumă de două ori, iar expresia exactă pentru zona figurii umbrite are forma
.

Asa de, probabilitatea unificării două evenimente A și B sunt egale

Pentru un număr mai mare de evenimente, expresia generală de calcul devine extrem de greoaie din cauza necesității de a lua în considerare numeroase opțiuni de suprapunere reciprocă a zonelor. Totuși, dacă evenimentele care sunt combinate sunt incompatibile (vezi p. 33), atunci suprapunerea reciprocă a zonelor este imposibilă, iar zona favorabilă este determinată direct de suma zonelor corespunzătoare evenimentelor individuale.

Probabilitate asociațiile orice număr incompatibil evenimente este determinată de expresie

Corolarul 1: Grupul complet de evenimente este format din evenimente incompatibile, dintre care unul se realizează în mod necesar în experiență. Ca urmare, dacă evenimentele …
,formează un grup complet, apoi pentru ei

Prin urmare,

CUconsecinta 3 Să ținem cont de faptul că opusul afirmației „se va produce cel puțin unul dintre evenimente …
" este afirmația "niciunul dintre evenimente …
nu este implementat.” Adică, cu alte cuvinte, „evenimentele vor fi observate în experiență , Și , si si ”, care reprezintă deja intersecția evenimentelor opuse mulțimii inițiale. De aici, ținând cont de (2.0), pentru a combina un număr arbitrar de evenimente obținem

Corolarele 2 și 3 arată că, în cazurile în care calculul direct al probabilității unui eveniment este problematic, este util să se estimeze complexitatea studierii evenimentului opus. La urma urmei, cunoașterea sensului
, obțineți valoarea necesară din (2 .0)
nu mai pune nicio dificultate.

1. Exemple de calcule ale probabilităților de evenimente complexe

Exemplul 1 : Doi studenți (Ivanov și Petrov) împreună Is-a implicat în susținerea lucrărilor de laborator, învățând primele 8 întrebăriîntrebări de trolling pentru această lucrare din 10 disponibile. Verificarea pregătirii, pProfesorul îi întreabă pe toată lumea doar unan întrebare aleasă aleatoriu. Determinați probabilitatea următoarelor evenimente:

A= „Ivanov își va apăra munca de laborator”;

B= „Petrov își va apăra munca de laborator”;

C= „ambele vor apăra munca de laborator”;

D= „cel puțin unul dintre elevi va apăra lucrarea”;

E= „numai unul dintre elevi va apăra lucrarea”;

F= „niciunul dintre ei nu va proteja locul de muncă.”

Soluţie. Rețineți că capacitatea de a apăra munca ca Ivanov, tprecum și Petrova separat este determinată doar de numărul de întrebări stăpânite, așadarla. (Notă: în acest exemplu, valorile fracțiilor rezultate nu au fost reduse în mod deliberat pentru a simplifica compararea rezultatelor calculului.)

EvenimentCpoate fi formulat diferit ca „atât Ivanov, cât și Petrov vor proteja lucrarea”, adică se va întâmplaȘi evenimentA, Și evenimentB. Deci evenimentulCeste intersecția evenimentelorAȘiB, și în conformitate cu (2 .0)

unde apare factorul „7/9” datorită faptului că producerea evenimentuluiAînseamnă că Ivanov a primit o întrebare „de succes”, ceea ce înseamnă că Petrov are acum doar 7 întrebări „bune” din restul de 9 întrebări.

EvenimentDimplică faptul că „slujba va protejasau Ivanov,sau Petrov,sau sunt amândoi împreună”, adică cel puțin unul dintre evenimente se va întâmplaAȘiB. Deci evenimentulDeste o uniune de evenimenteAȘiB, și în conformitate cu (2 .0)

care corespunde așteptărilor, pentru că Chiar și pentru fiecare elev în parte, șansele de reușită sunt destul de mari.

CUevenimentul E înseamnă că „fie Ivano va proteja postulîn, iar Petrov „pcade"sau Ivanov va avea un timp prostprofesioniști, iar Petrov se poate ocupa de apărare”. Cele două alternative se exclud reciproc (incompatibile), deci

În sfârșit, declarațiaFva fi corect doar dacă "Și Ivanov,Și Petrov cu protectieNu va face față.” Asa de,

Aceasta completează soluția problemei, dar este util să rețineți următoarele puncte:

1. Fiecare dintre probabilitățile obținute satisface condiția (1 .0), noh dacă pentru
Și
obține conflicteconfortabil cu(1 .0) este imposibil în principiu, atunci pt
incearca sifolosirea (2 .0) în loc de (2 .0) ar duce la în mod clar incorectăsensul proiectului
. Este important să rețineți că o astfel de valoare a probabilității este fundamental imposibilă și, dacă primiți un rezultat atât de paradoxal, începeți imediat să căutați eroarea.

2. Probabilitățile găsite satisfac relațiilem

.

Eacest lucru este destul de așteptat, pentru că evenimenteC, EȘiFformează un complety grup și evenimenteDȘiFsunt opuse unul altuia. Contabilizarea acestorase pot folosi rapoarte pe de o partevan pentru a verifica din nou calculele, iar într-o altă situație poate servi drept bază pentru o modalitate alternativă de rezolvare a problemei.

P Notă : Nu neglija scrisulformularea precisă a evenimentului, în caz contrar, în cursul rezolvării problemei, puteți trece involuntar la o interpretare diferită a sensului acestui eveniment, ceea ce va duce la erori de raționament.

Exemplul 2 : Într-un lot mare de microcircuite care nu au trecut de controlul final de calitate, 30% dintre produse sunt defecte.Dacă selectați oricare două microcircuite la întâmplare din acest lot, atunci care esteprobabilitatea ca printre ele:

A= „ambele valide”;

B= „exact 1 microcircuit utilizabil”;

C= „ambele defecte”.

Să analizăm următoarea versiune a raționamentului (atentie, contine o eroare):

Întrucât vorbim despre un lot mare de produse, îndepărtarea mai multor microcircuite din acesta practic nu afectează raportul dintre numărul de produse utilizabile și defecte, ceea ce înseamnă că prin selectarea unor microcircuite din acest lot de mai multe ori la rând, poate presupune că în fiecare caz rămân probabilităţi neschimbate

= P(produs defect selectat) = 0,3 și

= P(produs adecvat selectat) = 0,7.

Pentru ca un eveniment să aibă locAeste necesar săȘi la început,Și pentru a doua oară, a fost selectat un produs potrivit și, prin urmare (ținând cont de independența unul față de celălalt a succesului alegerii primului și celui de-al doilea microcircuit) pentru intersecția evenimentelor avem

În mod similar, pentru ca evenimentul C să apară, ambele produse trebuie să fie defecte, iar pentru a obține B, trebuie să alegeți un produs bun și o dată un produs defect.

Semn de eroare. Xdeși toate au primit peste probabilitateși să arate plauzibil, atunci când sunt analizate împreună, este ușorTe rog noteaza asta .Cu toate acestea, cazuriA, BȘiCformează un completgrup de evenimente pentru care să fie executate .Această contradicție indică faptul că există o eroare în raționament.

CU sunt greseli. Să introducem două auxiliareevenimente speciale:

= „primul microcircuit este bun, al doilea este defect”;

= „primul microcircuit este defect, al doilea este bun.”

Este evident că, totuși, tocmai această opțiune de calcul a fost folosită mai sus pentru a obține probabilitatea evenimentuluiB, deși evenimenteBȘi nu sunt uhechivalent. De fapt,
, deoarece cuvântareevenimenteBcere ca printre microcircuite să existe exactunu , dar delocnu neapărat primul era potrivit (iar celălalt era defect). Prin urmare, deși eveniment nu este un eveniment duplicat , dar ar trebui predatsa actioneze independent. Având în vedere incompatibilitatea evenimentelor Și , probabilitatea sumei lor logice va fi egală cu

După corectarea indicată a calculelor avem

ceea ce confirmă indirect corectitudinea probabilităţilor găsite.

Notă : Acordați o atenție deosebită diferenței de redactare a evenimentelor precum „doarprimul dintre elementele enumerate trebuie...” și „numaiunu din elementele enumerateentov ar trebui...” Cel mai recent eveniment este în mod clar mai larg și includeTîn compoziția sa primul ca unul dintre (posibil numeroasex) opțiuni. Aceste alternative (chiar dacă probabilitățile lor coincid) ar trebui luate în considerare independent una de cealaltă.

P Notă : Cuvântul „procent” provine din „pe cent”, adică„la suta”. Prezentarea frecvențelor și probabilităților sub formă de procente vă permite să operați cu valori mai mari, ceea ce uneori ușurează perceperea valorilor „după ureche”. Cu toate acestea, utilizarea înmulțirii sau împărțirii cu „100%” în calcule pentru normalizarea corectă este greoaie și ineficientă. În acest sens, nuFiți atenți când utilizați valori de menționatexprimate ca procent, înlocuiți-le în expresiile calculatesub formă de fracții ale unei unități (de exemplu, 35% este scris în calculÎmi place „0,35”) pentru a minimiza riscul de normalizare eronată a rezultatelor.

Exemplul 3 : Un set de rezistențe conține un rezistor n4 kOhm nominal, trei rezistențe de 8 kOhm și șase rezistențesau cu o rezistență de 15 kOhm. Trei rezistențe selectate aleatoriu sunt conectate între ele în paralel. Determinați probabilitatea de a obține o rezistență finală care să nu depășească 4 kOhm.

Resh ție. Rezistenta de conectare in paralelistoriile pot fi calculate folosind formula

.

Acest lucru vă permite să introduceți evenimente precum

A= „sunt selectate trei rezistențe de 15 kOhm” = „
”;

B= „îndouă rezistențe de 15 kOhm și una cu rezistențăm 8 kOhm” =“
”…

Grupul complet de evenimente corespunzătoare condițiilor problemei include o serie întreagă de opțiuni, și tocmai aceleacare îndeplinesc cerința declarată de a obține o rezistență de cel mult 4 kOhm. Cu toate acestea, deși calea soluției „directă”, implicând calcul (și sumele ulterioareDeși este corect să se determine probabilitățile care caracterizează toate aceste evenimente, nu este indicat să se acționeze în acest fel.

Rețineți că pentru a obține o rezistență finală mai mică de 4 kOhm dEste suficient ca setul utilizat să includă cel puțin un rezistor cu o rezistențăMănânc mai puțin de 15 kOhm. Astfel, numai în cazAcerința sarcinii nu este îndeplinită, adică evenimentAesteopus la persoana studiată. În același timp,

.

Prin urmare, .

P ri etichetarea : Calcularea probabilității unui evenimentA, nu uitați să analizați complexitatea determinăriiSunt probabilitatea unui eveniment opus acestuia. Dacăcitit
ușor, atunci exact de aici trebuie să începi, rezolvatadică sarcini, completand-o prin aplicarea relatiei (2 .0).

P exemplu 4 : În cutie suntnalb,mnegru șikbile roșii. Bilele sunt extrase la întâmplare din cutie una câte una.și se întoarce înapoi după fiecare extracție. Determinați probabilitateaevenimenteA= „minge albăva fi scos înaintea celui negru” .

Resh ție. Luați în considerare următorul set de evenimente

= „bila albă a fost recuperată la prima încercare”;

= „mai întâi s-a scos mingea roșie, apoi cea albă”;

= „o minge roșie a fost scoasă de două ori, iar una albă a treia oară”…

Deci săPe măsură ce bilele se întorc, apoi secvențayty poate fi extins formal la infinit.

Aceste evenimente sunt incompatibile și împreună constituie ansamblul situațiilor în care se produce evenimentulA. Prin urmare,

Este ușor de observat că termenii incluși în formularul de sumăprogresie geometrică cu element inițial
și numitorul
. Dar sumeleiar elementele unei progresii geometrice infinite este egală cu

.

Prin urmare, . LEste curios că această probabilitate (după cum rezultă din rezultatul obținuta-a expresie) nu depinde de numărul de bile roșii din cutie.

Atunci când evaluăm probabilitatea apariției oricărui eveniment aleatoriu, este foarte important să înțelegem bine dacă probabilitatea (probabilitatea unui eveniment) de apariție a evenimentului care ne interesează depinde de modul în care se dezvoltă alte evenimente. În cazul schemei clasice, când toate rezultatele sunt la fel de probabile, putem deja estima independent valorile probabilității evenimentului individual care ne interesează. Putem face acest lucru chiar dacă evenimentul este o colecție complexă de mai multe rezultate elementare. Ce se întâmplă dacă mai multe evenimente întâmplătoare apar simultan sau secvenţial? Cum afectează acest lucru probabilitatea ca evenimentul care ne interesează să se întâmple? Dacă arunc un zar de mai multe ori și vreau să apară un șase și tot am ghinion, înseamnă asta că ar trebui să-mi măresc pariul pentru că, conform teoriei probabilităților, sunt pe cale să am noroc? Din păcate, teoria probabilității nu afirmă așa ceva. Nici zarurile, nici cărțile, nici monedele nu-și pot aminti ce ne-au arătat data trecută. Pentru ei nu contează deloc dacă este prima sau a zecea oară când îmi testez norocul astăzi. De fiecare dată când repet rulada, știu un singur lucru: și de data aceasta probabilitatea de a obține un șase este din nou de o șesime. Desigur, asta nu înseamnă că numărul de care am nevoie nu va apărea niciodată. Asta înseamnă doar că pierderea mea după prima aruncare și după orice altă aruncare sunt evenimente independente. Evenimentele A și B sunt numite independente dacă apariția unuia dintre ele nu afectează în niciun fel probabilitatea celuilalt eveniment. De exemplu, probabilitățile de a lovi o țintă cu prima dintre cele două arme nu depind de dacă ținta a fost lovită de cealaltă armă, astfel încât evenimentele „prima armă a lovit ținta” și „a doua armă a lovit ținta” sunt independent. Dacă două evenimente A și B sunt independente și probabilitatea fiecăruia dintre ele este cunoscută, atunci probabilitatea apariției simultane atât a evenimentului A, cât și a evenimentului B (notat AB) poate fi calculată folosind următoarea teoremă.

Teorema înmulțirii probabilităților pentru evenimente independente

P(AB) = P(A)*P(B) probabilitatea apariției simultane a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente.

Exemplul 1. Probabilitățile de lovire a țintei la tragerea cu primul și respectiv al doilea tun sunt egale: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Găsiți probabilitatea unei lovituri cu o salvă de ambele arme simultan.

după cum am văzut deja, evenimentele A (loviți de prima armă) și B (loviți de a doua armă) sunt independente, adică. P(AB)=P(A)*P(B)=p1*p2=0,56. Ce se întâmplă cu estimările noastre dacă evenimentele inițiale nu sunt independente? Să schimbăm puțin exemplul anterior.

Exemplul 2. Doi trăgători trag în ținte la o competiție, iar dacă unul dintre ei trage cu precizie, adversarul începe să devină nervos și rezultatele sale se înrăutățesc. Cum să transformi această situație de zi cu zi într-o problemă matematică și să schițezi modalități de a o rezolva? Este intuitiv clar că este necesar să se separe cumva cele două opțiuni pentru desfășurarea evenimentelor, pentru a crea în esență două scenarii, două sarcini diferite. În primul caz, dacă adversarul a ratat, scenariul va fi favorabil sportivului nervos și precizia acestuia va fi mai mare. În al doilea caz, dacă adversarul și-a luat șansa decent, probabilitatea de a lovi ținta pentru al doilea sportiv scade. Pentru a separa posibilele scenarii (numite adesea ipoteze) pentru desfășurarea evenimentelor, vom folosi adesea o diagramă „arborele probabilității”. Această diagramă este similară ca semnificație cu arborele de decizie cu care probabil v-ați ocupat deja. Fiecare ramură reprezintă un scenariu separat pentru desfășurarea evenimentelor, doar că acum are propria sa valoare a așa-numitei probabilități condiționate (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Această schemă este foarte convenabilă pentru analiza evenimentelor aleatoare secvențiale. Încă o întrebare importantă rămâne de clarificat: de unde provin probabilitățile inițiale în situații reale? La urma urmei, teoria probabilității nu funcționează doar cu monede și zaruri? De obicei, aceste estimări sunt luate din statistici, iar când informațiile statistice nu sunt disponibile, ne desfășurăm propriile cercetări. Și adesea trebuie să începem nu cu colectarea datelor, ci cu întrebarea de ce informații avem de fapt nevoie.

Exemplul 3. Sa presupunem ca trebuie sa estimam intr-un oras cu o populatie de o suta de mii de locuitori volumul pietei pentru un produs nou care nu este un articol esential, de exemplu, pentru un balsam pentru ingrijirea parului vopsit. Să luăm în considerare diagrama „arborele probabilității”. În acest caz, trebuie să estimăm aproximativ valoarea probabilității pe fiecare „ramură”. Deci, estimările noastre privind capacitatea pieței:

1) din toți locuitorii orașului, 50% sunt femei,

2) dintre toate femeile, doar 30% își vopsesc părul des,

3) dintre ei, doar 10% folosesc balsamuri pentru părul vopsit,

4) dintre ei, doar 10% își pot face curajul să încerce un produs nou,

5) 70% dintre ei cumpără de obicei totul nu de la noi, ci de la concurenții noștri.

Conform legii înmulțirii probabilităților, determinăm probabilitatea evenimentului care ne interesează A = (un locuitor al orașului cumpără acest nou balsam de la noi) = 0,00045. Să înmulțim această valoare a probabilității cu numărul de locuitori ai orașului. Drept urmare, avem doar 45 de clienți potențiali, iar având în vedere că o sticlă din acest produs durează câteva luni, comerțul nu este foarte animat. Și totuși există un anumit beneficiu din evaluările noastre. În primul rând, putem compara previziunile diferitelor idei de afaceri, acestea vor avea diferite „furci” în diagrame și, desigur, valorile probabilității vor fi, de asemenea, diferite. În al doilea rând, așa cum am spus deja, o variabilă aleatoare nu se numește aleatoare deoarece nu depinde deloc de nimic. Semnificația sa exactă pur și simplu nu este cunoscută dinainte. Știm că numărul mediu de cumpărători poate fi crescut (de exemplu, prin promovarea unui produs nou). Așa că are sens să ne concentrăm eforturile asupra acelor „furcături” în care distribuția probabilității nu ni se potrivește în mod special, asupra acelor factori pe care suntem capabili să-i influențăm. Să ne uităm la un alt exemplu cantitativ de cercetare a comportamentului consumatorilor.

Exemplul 3.În medie, 10.000 de oameni vizitează piața alimentară pe zi. Probabilitatea ca un vizitator al pieței să intre în pavilionul de produse lactate este de 1/2. Se știe că acest pavilion vinde în medie 500 kg de diverse produse pe zi. Putem spune că achiziția medie în pavilion cântărește doar 100 g?

Discuţie.

Desigur că nu. Este clar că nu toți cei care au intrat în pavilion au ajuns să cumpere ceva de acolo.

După cum se arată în diagramă, pentru a răspunde la întrebarea despre greutatea medie a unei achiziții, trebuie să găsim un răspuns la întrebarea care este probabilitatea ca o persoană care intră în pavilion să cumpere ceva acolo. Dacă nu avem astfel de date la dispoziție, dar avem nevoie de ele, va trebui să le obținem noi înșine observând vizitatorii pavilionului o perioadă de timp. Să presupunem că observațiile noastre au arătat că doar o cincime dintre vizitatorii pavilionului cumpără ceva. Odată ce am obținut aceste estimări, sarcina devine simplă. Din 10.000 de persoane care vin în piață, 5.000 vor merge la pavilionul de produse lactate vor fi doar 1.000 de achiziții. Greutatea medie de achiziție este de 500 de grame. Este interesant de observat că, pentru a construi o imagine completă a ceea ce se întâmplă, logica „ramificării” condiționate trebuie definită în fiecare etapă a raționamentului nostru la fel de clar ca și cum am lucra cu o situație „specifică”, și nu cu probabilităţi.

Sarcini de autotestare.

1. Să existe un circuit electric format din n elemente conectate în serie, fiecare dintre ele funcționând independent de celelalte. Este cunoscută probabilitatea p de defectare a fiecărui element. Determinați probabilitatea de funcționare corectă a întregii secțiuni a circuitului (eveniment A).

2. Studentul cunoaște 20 din 25 de întrebări de examen. Găsiți probabilitatea ca elevul să cunoască cele trei întrebări care i-au fost adresate de examinator.

3. Producția constă din patru etape succesive, la fiecare din care funcționează echipamente, pentru care probabilitățile de defecțiune în luna următoare sunt egale cu p 1, p 2, p 3 și, respectiv, p 4. Găsiți probabilitatea ca într-o lună să nu existe întreruperi de producție din cauza defecțiunii echipamentelor.

Din punct de vedere practic, probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul acelor observații în care a avut loc evenimentul în cauză și numărul total de observații. Această interpretare este acceptabilă în cazul unui număr suficient de mare de observații sau experimente. De exemplu, dacă aproximativ jumătate dintre oamenii pe care îi întâlniți pe stradă sunt femei, atunci puteți spune că probabilitatea ca persoana pe care o întâlniți pe stradă să fie femeie este de 1/2. Cu alte cuvinte, o estimare a probabilității unui eveniment poate fi frecvența apariției acestuia într-o serie lungă de repetări independente ale unui experiment aleatoriu.

Probabilitatea în matematică

În abordarea matematică modernă, probabilitatea clasică (adică nu cuantică) este dată de axiomatica Kolmogorov. Probabilitatea este o măsură P, care este definit pe platou X, numit spațiu de probabilitate. Această măsură trebuie să aibă următoarele proprietăți:

Din aceste condiţii rezultă că măsura probabilităţii P are si proprietatea aditivitatea: dacă se setează A 1 și A 2 nu se intersectează, atunci . Pentru a dovedi că trebuie să pui totul A 3 , A 4 , ... egal cu mulțimea goală și aplică proprietatea aditivității numărabile.

Este posibil ca măsura probabilității să nu fie definită pentru toate subseturile setului X. Este suficient să-l definiți pe o algebră sigma, constând din unele submulțimi ale mulțimii X. În acest caz, evenimentele aleatoare sunt definite ca subseturi măsurabile ale spațiului X, adică ca elemente ale algebrei sigma.

Simțul probabilității

Când constatăm că motivele pentru care un fapt posibil care se întâmplă efectiv depășesc motivele contrare, considerăm faptul că probabil, in caz contrar - incredibil. Această preponderență a bazelor pozitive față de cele negative și invers, poate reprezenta un set nedefinit de grade, în urma căruia probabilitate(Și improbabilitate) S-a întâmplat Mai mult sau Mai puțin .

Faptele individuale complexe nu permit un calcul exact al gradelor de probabilitate a acestora, dar chiar și aici este important să se stabilească niște subdiviziuni mari. Deci, de exemplu, în domeniul juridic, atunci când un fapt personal supus judecății este stabilit pe bază de mărturie, acesta rămâne întotdeauna, strict vorbind, doar probabil, și este necesar să se cunoască cât de semnificativă este această probabilitate; în dreptul roman, aici a fost adoptată o diviziune cvadruplă: probatio plena(unde probabilitatea se transformă practic în fiabilitate), Mai departe - probatio minus plena, apoi - probatio semiplena majorși, în sfârșit probatio semiplena minor .

Pe lângă problema probabilității cazului, se poate pune întrebarea, atât în ​​domeniul dreptului, cât și în cel moral (cu un anumit punct de vedere etic), cât de probabil este ca un anumit fapt să constituie o încălcarea legii generale. Această întrebare, care servește drept motiv principal în jurisprudența religioasă a Talmudului, a dat naștere și la construcții sistematice foarte complexe și la o uriașă literatură, dogmatică și polemică, în teologia morală romano-catolică (mai ales de la sfârșitul secolului al XVI-lea) ( vezi Probabilism).

Conceptul de probabilitate permite o anumită expresie numerică atunci când este aplicat numai unor astfel de fapte care fac parte din anumite serii omogene. Deci (în cel mai simplu exemplu), când cineva aruncă o monedă de o sută de ori la rând, găsim aici o serie generală sau mare (suma tuturor căderilor monedei), constând din două private sau mai mici, în acest caz numeric egal, serie (cade „capete” și cade „cozi”); Probabilitatea ca de data aceasta moneda să capete capete, adică ca acest nou membru al seriei generale să aparțină acestei serii mai mici, este egală cu fracția care exprimă relația numerică dintre această serie mică și cea mai mare, și anume 1/2, adică aceeași probabilitate aparține uneia sau celeilalte dintre două serii particulare. În exemple mai puțin simple, concluzia nu poate fi dedusă direct din datele problemei în sine, ci necesită o inducere prealabilă. Deci, de exemplu, întrebarea este: care este probabilitatea ca un nou-născut dat să trăiască până la 80 de ani? Aici trebuie să existe o serie generală, sau mare, de un anumit număr de oameni născuți în condiții similare și care mor la vârste diferite (acest număr trebuie să fie suficient de mare pentru a elimina abaterile aleatorii și suficient de mic pentru a menține omogenitatea seriei, pt. pentru o persoană, născută, de exemplu, la Sankt Petersburg, într-o familie bogată și cultă, întreaga populație de milioane de oameni a orașului, o parte semnificativă din care este formată din oameni din diferite grupuri care pot muri prematur - soldați, jurnaliști, lucrători în profesii periculoase - reprezintă un grup prea eterogen pentru o determinare reală a probabilității); să fie această serie generală să fie formată din zece mii de vieți umane; include serii mai mici reprezentând numărul de persoane care au supraviețuit până la o anumită vârstă; una dintre aceste serii mai mici reprezintă numărul de persoane care trăiesc până la 80 de ani. Dar este imposibil să se determine numărul acestei serii mai mici (ca toate celelalte) a priori; aceasta se face pur inductiv, prin statistici. Să presupunem că studiile statistice au stabilit că din 10.000 de locuitori din clasa de mijloc din Sankt Petersburg, doar 45 trăiesc până la 80 de ani; Astfel, această serie mai mică este legată de cea mai mare, deoarece 45 este la 10.000, iar probabilitatea ca o persoană dată să aparțină acestei serii mai mici, adică să trăiască până la 80 de ani, este exprimată ca o fracție de 0,0045. Studiul probabilității din punct de vedere matematic constituie o disciplină specială – teoria probabilității.

Vezi si

Note

Literatură

Fundația Wikimedia. 2010.

Sinonime:

Antonime:

Vedeți ce este „Probabilitatea” în alte dicționare:

General științific și filozofic. o categorie care denotă gradul cantitativ de posibilitate a producerii unor evenimente aleatoare de masă în condiții fixe de observare, care caracterizează stabilitatea frecvențelor relative ale acestora. În logică, grad semantic... ... Enciclopedie filosofică

PROBABILITATE, un număr în intervalul de la zero la unu inclusiv, reprezentând posibilitatea ca un anumit eveniment să se producă. Probabilitatea unui eveniment este definită ca raportul dintre numărul de șanse ca un eveniment să se producă și numărul total de posibile... ... Dicționar enciclopedic științific și tehnic

După toate probabilitățile.. Dicționar de sinonime rusești și expresii similare. sub. ed. N. Abramova, M.: Dicționare rusești, 1999. probabilitate posibilitate, probabilitate, șansă, posibilitate obiectivă, maza, admisibilitate, risc. Furnică. imposibilitate...... Dicţionar de sinonime

probabilitate- O măsură că un eveniment este probabil să se producă. Notă Definiția matematică a probabilității este: „un număr real între 0 și 1 care este asociat cu un eveniment aleatoriu”. Numărul poate reflecta frecvența relativă într-o serie de observații... ... Ghidul tehnic al traducătorului

Probabilitate- „o caracteristică matematică, numerică a gradului de posibilitate de apariție a oricărui eveniment în anumite condiții specifice care poate fi repetat de un număr nelimitat de ori.” Bazat pe acest clasic...... Dicționar economic și matematic

- (probabilitate) Posibilitatea apariției unui eveniment sau a unui anumit rezultat. Poate fi prezentat sub forma unei scale cu diviziuni de la 0 la 1. Dacă probabilitatea unui eveniment este zero, apariția lui este imposibilă. Cu o probabilitate egală cu 1, debutul... Dicţionar de termeni de afaceri

Vrei să știi care sunt șansele matematice ca pariul tău să aibă succes? Atunci sunt două vești bune pentru tine. În primul rând: pentru a calcula capacitatea între țări, nu trebuie să efectuați calcule complexe și să petreceți mult timp. Este suficient să folosiți formule simple cu care să lucrați cu câteva minute. În al doilea rând: după ce ați citit acest articol, puteți calcula cu ușurință probabilitatea ca oricare dintre tranzacțiile dvs. să treacă.

Pentru a determina corect capacitatea de cross-country, trebuie să faceți trei pași:

• Calculați procentul de probabilitate a rezultatului unui eveniment în funcție de biroul casei de pariuri;
• Calculați singur probabilitatea folosind date statistice;
• Aflați valoarea pariului, ținând cont de ambele probabilități.

Să ne uităm la fiecare dintre pași în detaliu, folosind nu numai formule, ci și exemple.

Primul pas este să aflați cu ce probabilitate însuși casa de pariuri estimează șansele unui anumit rezultat. Este clar că casele de pariuri nu stabilesc cote chiar așa. Pentru a face acest lucru folosim următoarea formulă:

PB=(1/K)*100%,

unde P B este probabilitatea rezultatului conform biroului casei de pariuri;

K – cota caselor de pariuri pentru rezultat.

Să presupunem că șansele pentru victoria lui London Arsenal în meciul cu Bayern Munchen sunt 4. Aceasta înseamnă că probabilitatea victoriei lor este evaluată de casa de pariuri ca (1/4)*100%=25%. Sau Djokovic joacă împotriva lui Youzhny. Multiplicatorul pentru victoria lui Novak este 1,2, șansele lui sunt (1/1,2)*100%=83%.

Așa evaluează însăși casa de pariuri șansele de succes ale fiecărui jucător și echipă. După ce am finalizat primul pas, trecem la al doilea.

Calculul probabilității unui eveniment de către jucător

Al doilea punct al planului nostru este propria noastră evaluare a probabilității evenimentului. Deoarece nu putem lua în considerare matematic astfel de parametri precum motivația și tonul de joc, vom folosi un model simplificat și vom folosi doar statistici din întâlnirile anterioare. Pentru a calcula probabilitatea statistică a unui rezultat, folosim formula:

PȘI=(UM/M)*100%,

UndePȘI– probabilitatea unui eveniment în funcție de jucător;

UM – numărul de meciuri reușite în care a avut loc un astfel de eveniment;

M – numărul total de meciuri.

Pentru a fi mai clar, haideți să dăm exemple. Andy Murray și Rafael Nadal au jucat 14 meciuri între ei. În 6 dintre ele totalul a fost sub 21 în jocuri, în 8 totalul a fost mai mult. Trebuie să aflați probabilitatea ca următorul meci să fie jucat cu un total mai mare: (8/14)*100=57%. Valencia a jucat 74 de meciuri împotriva lui Atlético la Mestalla, în care a câștigat 29 de victorii. Probabilitatea de a câștiga Valencia: (29/74)*100%=39%.

Și învățăm toate acestea doar datorită statisticilor jocurilor anterioare! Desigur, nu va fi posibil să se calculeze o astfel de probabilitate pentru o echipă sau un jucător nou, așa că această strategie de pariere este potrivită doar pentru meciurile în care adversarii se întâlnesc de mai multe ori. Acum știm cum să stabilim probabilitățile casei de pariuri și propriile noastre de rezultate și avem toate cunoștințele pentru a trece la ultimul pas.

Determinarea valorii unui pariu

Valoarea (valoarea) unui pariu și pasabilitatea au o legătură directă: cu cât valoarea este mai mare, cu atât este mai mare șansa de a trece. Valoarea se calculează după cum urmează:

V=PȘI*K-100%,

unde V este valoarea;

P I – probabilitatea de rezultat în funcție de parior;

K – cota caselor de pariuri pentru rezultat.

Să presupunem că vrem să pariem pe victoria lui Milan în meciul cu Roma și calculăm că probabilitatea ca „roș-negrii” să câștige este de 45%. Casa de pariuri ne oferă cote de 2,5 pentru acest rezultat. Ar fi valoros un astfel de pariu? Efectuăm calcule: V=45%*2,5-100%=12,5%. Grozav, avem un pariu valoros cu șanse mari de a trece.

Să luăm un alt caz. Maria Sharapova joacă împotriva Petrei Kvitova. Vrem să facem o afacere pentru ca Maria să câștige, a cărei probabilitate, conform calculelor noastre, este de 60%. Casele de pariuri oferă un multiplicator de 1,5 pentru acest rezultat. Determinăm valoarea: V=60%*1,5-100=-10%. După cum puteți vedea, acest pariu nu are valoare și ar trebui evitat.

Probabilitatea de trecere a pariului: concluzie

La calcularea gradului de acceptare a pariului, am folosit un model simplu, care se bazează doar pe statistici. La calcularea probabilității, este recomandabil să luați în considerare mulți factori diferiți care sunt individuali în fiecare sport. Se întâmplă ca factorii non-statistici să aibă mai multă influență. Fără aceasta, totul ar fi simplu și previzibil. Odată ce vă alegeți nișa, veți învăța în cele din urmă să țineți cont de toate aceste nuanțe și să faceți o evaluare mai precisă a propriei probabilități de evenimente, inclusiv multe alte influențe. Principalul lucru este să iubești ceea ce faci, să mergi treptat înainte și să-ți îmbunătățești abilitățile pas cu pas. Mult succes și succes în lumea captivantă a pariurilor!

Teoria probabilității studiază tipurile de evenimente și probabilitățile de apariție a acestora. Apariția teoriei probabilităților datează de la mijlocul secolului al XVII-lea, când matematicienii s-au interesat de problemele puse de jucătorii de noroc și au început să studieze evenimente precum apariția unei victorii. În procesul de rezolvare a acestor probleme s-au cristalizat concepte precum probabilitatea și așteptarea matematică. Oamenii de știință din acea vreme - Huygens (1629-1695), Pascal (1623-1662), Fermat (1601-1665) și Bernoulli (1654-1705) erau convinși că modele clare pot apărea pe baza unor evenimente aleatorii masive. În același timp, operațiile aritmetice și combinatorii elementare au fost suficiente pentru cercetare.

Deci, teoria probabilității explică și explorează diferitele modele la care sunt supuse evenimentele aleatoare și variabilele aleatoare. Eveniment este orice fapt care poate fi afirmat ca urmare a observației sau experienței. Observarea sau experiența este realizarea anumitor condiții în care se poate produce un eveniment.

Ce trebuie să știți pentru a determina probabilitatea ca un eveniment să se producă

Toate evenimentele pe care oamenii le observă sau le creează ei înșiși sunt împărțite în:

• evenimente de încredere;
• evenimente imposibile;
• evenimente aleatorii.

Evenimente de încredere apar întotdeauna atunci când se creează un anumit set de circumstanțe. De exemplu, dacă muncim, primim o recompensă dacă promovăm examene și promovăm concursul, putem conta cu încredere că suntem incluși în numărul de studenți. Evenimente de încredere pot fi observate în fizică și chimie. În economie, evenimentele de încredere sunt asociate cu structura socială și legislația existentă. De exemplu, dacă am depus bani într-o bancă și ne-am exprimat dorința de a-i primi într-o anumită perioadă de timp, atunci vom primi banii. Acest lucru poate fi contat ca un eveniment de încredere.

Evenimente imposibile cu siguranță nu apar dacă a fost creat un anumit set de condiții. De exemplu, apa nu îngheață dacă temperatura este de plus 15 grade Celsius, producția nu se realizează fără electricitate.

Evenimente aleatorii Când se realizează un anumit set de condiții, acestea pot apărea sau nu. De exemplu, dacă aruncăm o monedă o dată, stema poate să cadă sau nu, un bilet de loterie poate sau nu să fie câștigat, un produs fabricat poate să fie sau nu defect. Apariția unui produs defect este un eveniment întâmplător, mai rar decât producția de produse adecvate.

Frecvența așteptată de apariție a evenimentelor aleatoare este strâns legată de conceptul de probabilitate. Tiparele de apariție și neapariție a evenimentelor aleatoare sunt studiate prin teoria probabilității.

Dacă un set de condiții necesare este realizat o singură dată, atunci primim informații insuficiente despre un eveniment aleatoriu, deoarece acesta poate să apară sau nu. Dacă un set de condiții este implementat de mai multe ori, atunci apar modele cunoscute. De exemplu, nu este niciodată posibil să știți ce aparat de cafea dintr-un magazin va avea nevoie de următorul client, dar dacă sunt cunoscute mărcile de aparate de cafea care au fost cele mai solicitate de mult timp, atunci pe baza acestor date este posibil să organizați producția sau oferta pentru a satisface cererea.

Cunoașterea tiparelor care guvernează evenimentele aleatoare în masă ne permite să anticipăm când vor avea loc aceste evenimente. De exemplu, după cum s-a menționat anterior, este imposibil să se prezică în avans rezultatul aruncării unei monede, dar dacă moneda este aruncată de mai multe ori, atunci este posibil să se prezică că stema va cădea. Eroarea poate fi mică.

Metodele teoriei probabilităților sunt utilizate pe scară largă în diferite ramuri ale științelor naturale, fizicii teoretice, geodezie, astronomie, teoria controlului automatizat, teoria observației erorilor și în multe alte științe teoretice și practice. Teoria probabilității este utilizată pe scară largă în planificarea și organizarea producției, analiza calității produselor, analiza proceselor tehnologice, asigurări, statistica populației, biologie, balistică și alte industrii.

Evenimentele aleatoare sunt de obicei notate cu majuscule ale alfabetului latin A, B, C etc.

Evenimentele aleatoare pot fi:

• incompatibil;
• comun.

Evenimentele A, B, C... sunt numite incompatibil , dacă în urma unui test poate apărea unul dintre aceste evenimente, dar două sau mai multe evenimente nu pot avea loc.

Dacă apariția unui eveniment aleatoriu nu exclude apariția unui alt eveniment, atunci astfel de evenimente sunt numite comun . De exemplu, dacă o altă piesă este îndepărtată dintr-o bandă transportoare și evenimentul A înseamnă „piesa îndeplinește standardul” și evenimentul B înseamnă „piesa nu îndeplinește standardul”, atunci A și B sunt evenimente incompatibile. Dacă evenimentul C înseamnă „o parte din gradul II este luată”, atunci acest eveniment este asociat cu evenimentul A, dar incompatibil cu evenimentul B.

Dacă în fiecare observație (test) ar trebui să apară unul și numai unul dintre evenimentele aleatoare incompatibile, atunci aceste evenimente constituie set complet (sistem) de evenimente .

Un eveniment de încredere este apariția a cel puțin unui eveniment dintr-un set complet de evenimente.

Dacă evenimentele care formează setul complet de evenimente perechi inconsecvenți , atunci ca urmare a observarii doar unul dintre aceste evenimente poate avea loc. De exemplu, un elev trebuie să rezolve două probleme de test. Unul și doar unul dintre următoarele evenimente se va întâmpla cu siguranță:

• prima problemă va fi rezolvată și a doua problemă nu va fi rezolvată;
• a doua problemă va fi rezolvată și prima problemă nu va fi rezolvată;
• ambele probleme vor fi rezolvate;
• nici una dintre probleme nu va fi rezolvată.

Aceste evenimente se formează un set complet de evenimente incompatibile .

Dacă setul complet de evenimente este format din doar două evenimente incompatibile, atunci acestea sunt numite reciproc opuse sau alternativă evenimente.

Evenimentul opus evenimentului este notat cu . De exemplu, în cazul aruncării unei monede, poate apărea denumirea () sau stema ().

Evenimentele sunt numite la fel de posibil , dacă niciuna dintre ele nu are avantaje obiective. Astfel de evenimente constituie, de asemenea, setul complet de evenimente. Aceasta înseamnă că, ca rezultat al unei observații sau al unui test, cel puțin unul dintre evenimentele la fel de posibile trebuie să aibă loc cu siguranță.

De exemplu, un grup complet de evenimente este format din pierderea numelui și a emblemei în timpul unei aruncări a unei monede, prezența a 0, 1, 2, 3 și a mai mult de 3 erori pe o pagină tipărită de text.

Probabilitate clasică și statistică. Formule de probabilitate: clasice și statistice

Definiția clasică a probabilității. O oportunitate sau un caz favorabil este cazul în care, în timpul implementării unui anumit set de circumstanțe, un eveniment Aîntâmpla. Definiția clasică a probabilității presupune calcularea directă a numărului de cazuri sau oportunități favorabile.

Probabilitatea evenimentului A numiți raportul dintre numărul de oportunități favorabile acestui eveniment și numărul tuturor evenimentelor incompatibile la fel de posibile N care poate apărea ca urmare a unui singur test sau observație. Formula probabilității evenimente A:

Dacă este complet clar despre ce probabilitate a unui eveniment vorbim, atunci probabilitatea este notă cu o literă mică p, fără a preciza desemnarea evenimentului.

Pentru a calcula probabilitatea conform definiției clasice, este necesar să se găsească numărul tuturor evenimentelor incompatibile la fel de posibile și să se determine câte dintre ele sunt favorabile definiției evenimentului. A.

Exemplul 1. Găsiți probabilitatea de a obține numărul 5 atunci când aruncați un zar.

Soluţie. Se știe că toate cele șase fețe au aceeași șansă să ajungă în vârf. Numărul 5 este marcat doar pe o singură față. Numărul tuturor evenimentelor incompatibile la fel de posibile este 6, dintre care o singură posibilitate favorabilă este numărul 5 ( M= 1). Aceasta înseamnă că probabilitatea dorită de a arunca numărul 5

Exemplul 2. O cutie conține 3 bile roșii și 12 albe de aceeași dimensiune. O minge a fost luată fără să se uite. Aflați probabilitatea ca mingea roșie să fie luată.

Soluţie. Probabilitate necesară

Găsiți singur probabilitățile și apoi vedeți soluția

Exemplul 3. Zarurile sunt aruncate. Eveniment B- rularea unui număr par. Calculați probabilitatea acestui eveniment.

Exemplul 5.Într-o urnă sunt 5 bile albe și 7 negre. 1 minge este extrasă aleatoriu. Eveniment A- se extrage o bila alba. Eveniment B- se extrage o bila neagra. Calculați probabilitățile acestor evenimente.

Probabilitatea clasică se mai numește și probabilitate anterioară deoarece este calculată înainte de a începe un test sau o observație. Din natura a priori a probabilității clasice, rezultă principalul său dezavantaj: numai în cazuri rare, înainte de începerea observației, se pot calcula toate evenimentele incompatibile la fel de posibile, inclusiv evenimentele favorabile. Astfel de oportunități apar de obicei în situații asemănătoare jocurilor.

Combinații. Dacă succesiunea evenimentelor nu este importantă, numărul de evenimente posibile este calculat ca număr de combinații:

Exemplul 6.În grup sunt 30 de elevi. Trei studenți ar trebui să meargă la departamentul de informatică pentru a ridica și aduce un computer și un proiector. Calculați probabilitatea ca trei elevi anumiți să facă acest lucru.

Soluţie. Calculăm numărul de evenimente posibile folosind formula (2):

Probabilitatea ca trei studenți anumiți să meargă la catedră:

Exemplul 7. 10 telefoane mobile de vânzare. 3 dintre ele au defecte. Cumpărătorul a ales 2 telefoane. Calculați probabilitatea ca ambele telefoane selectate să aibă defecte.

Soluţie. Numărul tuturor evenimentelor la fel de posibile este găsit folosind formula (2):

Folosind aceeași formulă, găsim numărul de oportunități favorabile unui eveniment:

Probabilitatea dorită ca ambele telefoane selectate să aibă defecte:

Găsiți singur probabilitatea și apoi uitați-vă la soluție

Exemplul 8. Lucrările de examen conțin 40 de întrebări care nu se repetă. Elevul a pregătit răspunsuri la 30 dintre ele. Fiecare bilet conține 2 întrebări. Care este probabilitatea ca studentul să cunoască răspunsurile la ambele întrebări de pe bilet?