Ecuații în diferențiale totale. Exemple de soluții. Ecuaţii în diferenţiale totale Integrarea diferenţialelor totale

unele functii. Dacă restabilim o funcție din diferența sa totală, vom găsi integrala generală a ecuației diferențiale. Mai jos vom vorbi despre metoda de restabilire a unei funcţii din diferenţialul ei total.

Partea stângă a unei ecuații diferențiale este diferența totală a unei funcții U(x, y) = 0, dacă condiția este îndeplinită.

Deoarece funcție diferențială completă U(x, y) = 0 Acest , ceea ce înseamnă că atunci când condiția este îndeplinită, se precizează că .

Apoi, .

Din prima ecuație a sistemului obținem . Găsim funcția folosind a doua ecuație a sistemului:

În acest fel vom găsi funcția necesară U(x, y) = 0.

Exemplu.

Să găsim soluția generală a DE .

Soluţie.

În exemplul nostru. Condiția este îndeplinită deoarece:

Apoi, partea stângă a ecuației diferențiale inițiale este diferența totală a unei funcții U(x, y) = 0. Trebuie să găsim această funcție.

Deoarece este diferența totală a funcției U(x, y) = 0, Mijloace:

Ne integrăm prin X prima ecuație a sistemului și diferențiați în raport cu y rezultat:

Din ecuația a 2-a a sistemului obținem . Mijloace:

Unde CU- constantă arbitrară.

Astfel, integrala generală a ecuației date va fi .

Există un al doilea metoda de calcul a unei funcţii din diferenţialul ei total. Constă în luarea integralei drepte a unui punct fix (x 0 , y 0) până la un punct cu coordonate variabile (X y): . În acest caz, valoarea integralei este independentă de calea integrării. Este convenabil să luăm ca traseu de integrare o linie întreruptă ale cărei legături sunt paralele cu axele de coordonate.

Exemplu.

Să găsim soluția generală a DE .

Soluţie.

Verificăm îndeplinirea condiției:

Astfel, partea stângă a ecuației diferențiale este diferența completă a unei funcții U(x, y) = 0. Să găsim această funcție calculând integrala curbilinie a punctului (1; 1) inainte de (X y). Ca cale de integrare luăm o linie întreruptă: prima secțiune a liniei întrerupte este trecută de-a lungul unei linii drepte y = 1 din punct (1, 1) inainte de (x, 1), a doua secțiune a traseului ia un segment de linie dreaptă din punct (x, 1) inainte de (X y):

Deci, soluția generală a telecomenzii arată astfel: .

Exemplu.

Să determinăm soluția generală a DE.

Soluţie.

Deoarece , ceea ce înseamnă că condiția nu este îndeplinită, atunci partea stângă a ecuației diferențiale nu va fi o diferență completă a funcției și trebuie să utilizați a doua metodă de soluție (această ecuație este o ecuație diferențială cu variabile separabile).

Diferenţial numită ecuație a formei

P(X y)dx + Q(X y)dy = 0 ,

unde partea stângă este diferența totală a oricărei funcții a două variabile.

Să notăm funcția necunoscută a două variabile (acesta este ceea ce trebuie găsit atunci când rezolvăm ecuații în diferențiale totale) prin Fși vom reveni la el în curând.

Primul lucru la care ar trebui să acordați atenție este că trebuie să existe un zero în partea dreaptă a ecuației, iar semnul care leagă cei doi termeni din partea stângă trebuie să fie un plus.

În al doilea rând, trebuie observată o oarecare egalitate, ceea ce confirmă că această ecuație diferențială este o ecuație în diferențiale totale. Această verificare este o parte obligatorie a algoritmului de rezolvare a ecuațiilor în diferențiale totale (este în al doilea paragraf al acestei lecții), deci procesul de găsire a unei funcții F destul de intensivă în muncă și este important să ne asigurăm, la etapa inițială, că nu pierdem timpul.

Deci, funcția necunoscută care trebuie găsită este notată cu F. Suma diferenţialelor parţiale pentru toate variabilele independente dă diferenţialul total. Prin urmare, dacă ecuația este o ecuație diferențială totală, partea stângă a ecuației este suma diferențialelor parțiale. Apoi, prin definiție

dF = P(X y)dx + Q(X y)dy .

Să ne amintim formula de calcul a diferenţialului total al unei funcţii a două variabile:

Rezolvând ultimele două egalități, putem scrie

Diferențiam prima egalitate în raport cu variabila „y”, a doua - în raport cu variabila „x”:

care este o condiție pentru ca o ecuație diferențială dată să fie cu adevărat o ecuație diferențială totală.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este o ecuație diferențială totală. Pentru expresia a fost diferența totală a unei funcții F(X y) este necesar şi suficient pentru ca . Cu alte cuvinte, trebuie să luați derivata parțială cu privire la X iar derivata parțială în raport cu y un alt termen și, dacă aceste derivate sunt egale, atunci ecuația este o ecuație diferențială totală.

Pasul 2. Scrieți un sistem de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3. Integrați prima ecuație a sistemului - prin X (y F:

,
y.

O opțiune alternativă (dacă este mai ușor să găsiți integrala în acest fel) este să integrați a doua ecuație a sistemului - prin y (X rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). În acest fel, funcția este restabilită F:

,
unde este o funcție încă necunoscută a X.

Pasul 4. Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) se diferențiază prin y(alternativ - conform X) și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

și într-o versiune alternativă - la prima ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm (alternativ)

Pasul 5. Rezultatul pasului 4 este integrarea și găsirea (alternativ, găsirea).

Pasul 6.Înlocuiți rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F. Constanta arbitrara C scris adesea după semnul egal - în partea dreaptă a ecuației. Astfel obținem o soluție generală a ecuației diferențiale în diferențiale totale. După cum am menționat deja, are forma F(X y) = C.

Exemple de soluții ale ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Exemplul 1.

Pasul 1. ecuație în diferențiale totale X un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu y alt termen
ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2. F:

Pasul 3. De X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel restabilim funcția F:

unde este o funcție încă necunoscută a y.

Pasul 4. y

Pasul 5.

Pasul 6. F. Constanta arbitrara C :
.

Ce eroare este cel mai probabil să apară aici? Cele mai frecvente greșeli sunt să luați o integrală parțială peste una dintre variabile pentru integrala obișnuită a unui produs de funcții și să încercați să integrați prin părți sau o variabilă de înlocuire și, de asemenea, să luați derivata parțială a doi factori ca derivată a unui produs al funcțiilor și căutați derivata folosind formula corespunzătoare.

Acest lucru trebuie reținut: atunci când se calculează o integrală parțială față de una dintre variabile, cealaltă este o constantă și este scoasă din semnul integralei, iar când se calculează derivata parțială față de una dintre variabile, cealaltă este de asemenea o constantă și derivata expresiei se găsește ca derivată a variabilei „acționante” înmulțită cu constanta.

Printre ecuații în diferențiale totale Nu este neobișnuit să găsiți exemple cu o funcție exponențială. Acesta este următorul exemplu. Se remarcă și prin faptul că soluția sa folosește o opțiune alternativă.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 1. Să ne asigurăm că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la X un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu y alt termen
. Aceste derivate sunt egale, ceea ce înseamnă că ecuația este ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2. Să scriem un sistem de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3. Să integrăm a doua ecuație a sistemului - prin y (X rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel restabilim funcția F:

unde este o funcție încă necunoscută a X.

Pasul 4. Diferențiem rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) în raport cu X

și echivalează cu prima ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5. Integram rezultatul pasului 4 si gasim:
.

Pasul 6.Înlocuim rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F. Constanta arbitrara C scrie după semnul egal. Astfel obținem totalul rezolvarea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale :
.

În exemplul următor ne întoarcem de la o opțiune alternativă la cea principală.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 1. Să ne asigurăm că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la y un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu X alt termen
. Aceste derivate sunt egale, ceea ce înseamnă că ecuația este ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2. Să scriem un sistem de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3. Să integrăm prima ecuație a sistemului - De X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel restabilim funcția F:

unde este o funcție încă necunoscută a y.

Pasul 4. Diferențiem rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) în raport cu y

și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5. Integram rezultatul pasului 4 si gasim:

Exemplul 4. Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 2. Să scriem un sistem de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3. Să integrăm prima ecuație a sistemului - De X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel restabilim funcția F:

unde este o funcție încă necunoscută a y.

Pasul 4. Diferențiem rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) în raport cu y

și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5. Integram rezultatul pasului 4 si gasim:

Exemplul 5. Rezolvați ecuația diferențială

Enunțarea problemei în cazul bidimensional

Reconstruirea unei funcţii a mai multor variabile din diferenţialul ei total

9.1. Enunțarea problemei în cazul bidimensional. 72

9.2. Descrierea soluției. 72

Aceasta este una dintre aplicațiile unei integrale curbilinii de al doilea fel.

Expresia pentru diferența totală a unei funcții a două variabile este dată:

Găsiți funcția.

1. Deoarece nu orice expresie a formei este o diferenţială completă a unei funcţii U(X,y), atunci este necesar să se verifice corectitudinea enunțului problemei, adică să se verifice condiția necesară și suficientă pentru diferența totală, care pentru o funcție de 2 variabile are forma . Această condiție rezultă din echivalența afirmațiilor (2) și (3) din teorema secțiunii precedente. Dacă condiția indicată este îndeplinită, atunci problema are o soluție, adică o funcție U(X,y) poate fi restaurat; dacă condiția nu este îndeplinită, atunci problema nu are soluție, adică funcția nu poate fi restabilită.

2. Puteți găsi o funcție din diferența sa totală, de exemplu, folosind o integrală curbilinie de al doilea fel, calculând-o de-a lungul unei linii care leagă un punct fix ( X 0 ,y 0) și punct variabil ( X y) (Orez. 18):

Astfel, se obţine că integrala curbilinie a celui de-al doilea fel al diferenţialului total dU(X,y) este egală cu diferența dintre valorile funcției U(X,y) la punctele de capăt și de început ale liniei de integrare.

Cunoscând acest rezultat acum, trebuie să înlocuim dUîn expresia integrală curbilinie și calculați integrala de-a lungul liniei întrerupte ( ACB), având în vedere independența sa față de forma liniei de integrare:

pe ( A.C.): pe ( NE) :

(1)

Astfel, s-a obţinut o formulă cu ajutorul căreia se restabileşte o funcţie a 2 variabile din diferenţialul ei total.

3. Este posibil să se restabilească o funcție din diferența sa totală doar până la un termen constant, deoarece d(U+ const) = dU. Prin urmare, în urma rezolvării problemei, obținem un set de funcții care diferă între ele printr-un termen constant.

Exemple (reconstruirea unei funcții a două variabile din diferența sa totală)

1. Găsiți U(X,y), Dacă dU = (X 2 – y 2)dx – 2xydy.

Verificăm condiția pentru diferența totală a unei funcții a două variabile:

Condiția diferențială completă este satisfăcută, ceea ce înseamnă funcția U(X,y) poate fi restaurat.

Verificați: – adevărat.

Răspuns: U(X,y) = X 3 /3 – X y 2 + C.

2. Găsiți o funcție astfel încât

Verificăm condițiile necesare și suficiente pentru diferența completă a unei funcții de trei variabile: , , , dacă este dată expresia.

În problema care se rezolvă

toate condițiile pentru un diferențial complet sunt îndeplinite, prin urmare, funcția poate fi restabilită (problema este formulată corect).

Vom restabili funcția folosind o integrală curbilinie de al doilea fel, calculând-o de-a lungul unei anumite linii care leagă un punct fix și un punct variabil, deoarece

(această egalitate este derivată în același mod ca în cazul bidimensional).

Pe de altă parte, o integrală curbilinie de al doilea fel dintr-o diferență totală nu depinde de forma liniei de integrare, așa că este cel mai ușor să o calculăm de-a lungul unei linii întrerupte constând din segmente paralele cu axele de coordonate. În acest caz, ca punct fix, puteți lua pur și simplu un punct cu coordonate numerice specifice, urmărind doar că în acest punct și de-a lungul întregii linii de integrare este îndeplinită condiția existenței unei integrale curbilinii (adică, astfel încât funcțiile și sunt continue). Ținând cont de această remarcă, în această problemă putem lua, de exemplu, punctul M 0 ca punct fix. Apoi pe fiecare dintre legăturile liniei întrerupte vom avea

10.2. Calculul integralei de suprafață de primul fel. 79

10.3. Unele aplicații ale integralei de suprafață de primul fel. 81

Arată cum se recunoaște o ecuație diferențială în diferențiale totale. Sunt date metode de rezolvare. Este dat un exemplu de rezolvare a unei ecuații în diferențe totale în două moduri.

Conţinut

Introducere

O ecuație diferențială de ordinul întâi în diferențiale totale este o ecuație de forma:
(1) ,
unde partea stângă a ecuației este diferența totală a unei funcții U (X y) din variabilele x, y:
.
în care .

Dacă se găseşte o astfel de funcţie U (X y), atunci ecuația ia forma:
dU (x, y) = 0.
Integrala sa generală este:
U (x, y) = C,
unde C este o constantă.

Dacă o ecuație diferențială de ordinul întâi este scrisă în termenii derivatei sale:
,
atunci este ușor să-l aduci în formă (1) . Pentru a face acest lucru, înmulțiți ecuația cu dx. Apoi . Ca rezultat, obținem o ecuație exprimată în termeni de diferențe:
(1) .

Proprietatea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale

Pentru ca ecuația (1) a fost o ecuație în diferențiale totale, este necesar și suficient pentru ca relația să se țină:
(2) .

Dovada

În plus, presupunem că toate funcțiile utilizate în demonstrație sunt definite și au derivate corespunzătoare într-un interval de valori ale variabilelor x și y. Punctul x 0, y 0 aparține și acestei zone.

Să demonstrăm necesitatea condiției (2).
Lasă partea stângă a ecuației (1) este diferența unei funcții U (X y):
.
Apoi
;
.
Deoarece derivata a doua nu depinde de ordinea diferențierii, atunci
;
.
Rezultă că . Condiție de necesitate (2) dovedit.

Să demonstrăm suficiența condiției (2).
Să fie îndeplinită condiția (2) :
(2) .
Să arătăm că este posibil să găsim o astfel de funcție U (X y) că diferența sa este:
.
Aceasta înseamnă că există o astfel de funcție U (X y), care satisface ecuațiile:
(3) ;
(4) .
Să găsim o astfel de funcție. Să integrăm ecuația (3) prin x din x 0 la x, presupunând că y este o constantă:
;
;
(5) .
Diferențiem față de y, presupunând că x este o constantă și se aplică (2) :

.
Ecuația (4) va fi executat dacă
.
Integrați peste y din y 0 la y:
;
;
.
Înlocuiește în (5) :
(6) .
Deci, am găsit o funcție a cărei diferenţială
.
Suficiența a fost dovedită.

În formulă (6) , U (x 0 , y 0) este o constantă - valoarea funcției U (X y)în punctul x 0, y 0. I se poate atribui orice valoare.

Cum se recunoaște o ecuație diferențială în diferențiale totale

Luați în considerare ecuația diferențială:
(1) .
Pentru a determina dacă această ecuație este în diferențe totale, trebuie să verificați condiția (2) :
(2) .
Dacă este valabil, atunci această ecuație este în diferențe totale. Dacă nu, atunci aceasta nu este o ecuație diferențială totală.

Exemplu

Verificați dacă ecuația este în diferențe totale:
.

Aici
, .
Diferențiem față de y, considerând constanta x:

.
Sa facem diferenta

.
Deoarece:
,
atunci ecuația dată este în diferențe totale.

Metode de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale în diferenţiale totale

Metoda de extracție diferențială secvențială

Cea mai simplă metodă de rezolvare a unei ecuații în diferențiale totale este metoda izolării secvenţiale a diferenţialei. Pentru a face acest lucru, folosim formule de diferențiere scrise sub formă diferențială:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
În aceste formule, u și v sunt expresii arbitrare formate din orice combinație de variabile.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația:
.

Anterior am constatat că această ecuație este în diferențe totale. Să-l transformăm:
(P1) .
Rezolvăm ecuația izolând succesiv diferența.
;
;
;
;

.
Înlocuiește în (P1):
;
.

Metoda integrării succesive

În această metodă căutăm funcția U (X y), satisfacand ecuatiile:
(3) ;
(4) .

Să integrăm ecuația (3) în x, având în vedere constanta y:
.
Aici φ (y)- o funcție arbitrară a lui y care trebuie determinată. Este constanta integrării. Înlocuiți în ecuație (4) :
.
De aici:
.
Integrând, găsim φ (y)și, astfel, U (X y).

Exemplul 2

Rezolvați ecuația în diferențiale totale:
.

Anterior am constatat că această ecuație este în diferențe totale. Să introducem următoarea notație:
, .
Se caută funcția U (X y), a cărei diferență este partea stângă a ecuației:
.
Apoi:
(3) ;
(4) .
Să integrăm ecuația (3) în x, având în vedere constanta y:
(P2)
.
Diferențierea față de y:

.
Să înlocuim (4) :
;
.
Să integrăm:
.
Să înlocuim (P2):

.
Integrala generală a ecuației:
U (x, y) = const.
Combinăm două constante într-una singură.

Metoda de integrare de-a lungul unei curbe

Funcția U, definită prin relația:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
poate fi găsit prin integrarea acestei ecuații de-a lungul curbei care leagă punctele (x 0 , y 0)Și (X y):
(7) .
Deoarece
(8) ,
atunci integrala depinde numai de coordonatele initialei (x 0 , y 0) si finala (X y) puncte și nu depinde de forma curbei. Din (7) Și (8) găsim:
(9) .
Aici x 0 și y 0 - permanentă. Prin urmare U (x 0 , y 0)- de asemenea constantă.

Un exemplu de astfel de definiție a lui U a fost obținut în demonstrație:
(6) .
Aici integrarea se realizează mai întâi de-a lungul unui segment paralel cu axa y din punct (x 0 , y 0 ) până la punctul (x 0 , y). Apoi integrarea se realizează de-a lungul unui segment paralel cu axa x din punct (x 0 , y) până la punctul (X y) .

Mai general, trebuie să reprezentați ecuația unei curbe care leagă punctele (x 0 , y 0 )Și (X y) sub forma parametrica:
X 1 = s(t 1); y 1 = r(t 1);
X 0 = s(t 0); y 0 = r(t 0);
x = s (t); y = r (t);
și integrează peste t 1 de la T 0 la t.

Cel mai simplu mod de a realiza integrarea este peste un segment de puncte de conectare (x 0 , y 0 )Și (X y). În acest caz:
X 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
După înlocuire, obținem integrala peste t din 0 inainte de 1 .
Această metodă, însă, duce la calcule destul de greoaie.

Referinte:
V.V. Stepanov, Curs de ecuații diferențiale, „LKI”, 2015.

Ecuații în diferențiale totale. Exemple de soluții. Ecuaţii în diferenţiale totale Integrarea diferenţialelor totale

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Exemple de soluții ale ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Introducere