Ecuația paralelogramului. Calculăm suma unghiurilor și aria unui paralelogram: proprietăți și semne. Calcularea ariei unei figuri

Ca și în geometria euclidiană, punctul și dreapta sunt elementele principale ale teoriei planelor, deci paralelogramul este una dintre figurile cheie ale patrulaterelor convexe. Din el, ca firele dintr-o minge, curg conceptele de „dreptunghi”, „pătrat”, „romb” și alte cantități geometrice.

In contact cu

Definiția paralelogramului

patrulater convex, format din segmente, fiecare pereche fiind paralelă, este cunoscut în geometrie ca paralelogram.

Cum arată un paralelogram clasic este un patrulater ABCD. Laturile se numesc baze (AB, BC, CD și AD), perpendiculara trasată de la orice vârf pe latura opusă a acestui vârf se numește înălțime (BE și BF), liniile AC și BD sunt diagonalele.

Atenţie! Pătratul, rombul și dreptunghiul sunt cazuri speciale de paralelogram.

Laturi și unghiuri: caracteristici de raport

Proprietățile cheie, în general, predeterminat de denumirea în sine, ele sunt dovedite prin teoremă. Aceste caracteristici sunt după cum urmează:

1. Laturile care sunt opuse sunt identice în perechi.
2. Unghiurile care sunt opuse unul altuia sunt egale în perechi.

Demonstrație: se consideră ∆ABC și ∆ADC, care se obțin prin împărțirea patrulaterului ABCD la dreapta AC. ∠BCA=∠CAD și ∠BAC=∠ACD, deoarece AC le este comun (unghiuri verticale pentru BC||AD și respectiv AB||CD). Din aceasta rezultă: ∆ABC = ∆ADC (al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor).

Segmentele AB și BC din ∆ABC corespund în perechi liniilor CD și AD din ∆ADC, ceea ce înseamnă că sunt identice: AB = CD, BC = AD. Astfel, ∠B corespunde lui ∠D și sunt egale. Deoarece ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, care sunt de asemenea identice în perechi, atunci ∠A = ∠C. Proprietatea a fost dovedită.

Caracteristicile diagonalelor figurii

Caracteristica principală aceste drepte paralelograme: punctul de intersecție le traversează.

Demonstrație: fie m. E punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD ale figurii ABCD. Ele formează două triunghiuri proporționale - ∆ABE și ∆CDE.

AB=CD deoarece sunt opuse. Conform dreptelor și secantelor, ∠ABE = ∠CDE și ∠BAE = ∠DCE.

Conform celui de-al doilea semn de egalitate, ∆ABE = ∆CDE. Aceasta înseamnă că elementele ∆ABE și ∆CDE sunt: ​​AE = CE, BE = DE și, în plus, sunt părți proporționale ale AC și BD. Proprietatea a fost dovedită.

Caracteristicile colțurilor adiacente

Pe laturile adiacente, suma unghiurilor este de 180°, deoarece se află de aceeași parte a dreptelor paralele și a secantei. Pentru patrulater ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Proprietăți bisectoare:

1. , coborât într-o parte, sunt perpendiculare;
2. vârfurile opuse au bisectoare paralele;
3. triunghiul obţinut prin trasarea bisectoarei va fi isoscel.

Determinarea trăsăturilor caracteristice ale unui paralelogram prin teoremă

Caracteristicile acestei figuri decurg din teorema ei principală, care sună după cum urmează: patrulaterul este considerat paralelogramîn cazul în care diagonalele sale se intersectează, iar acest punct le împarte în segmente egale.

Demonstrație: Fie că liniile AC și BD ale patrulaterului ABCD se intersectează în t. E. Deoarece ∠AED = ∠BEC și AE+CE=AC BE+DE=BD, atunci ∆AED = ∆BEC (prin primul semn de egalitate a triunghiurilor). Adică ∠EAD = ∠ECB. Ele sunt, de asemenea, unghiurile de trecere interioare ale secantei AC pentru liniile AD și BC. Astfel, prin definiția paralelismului - AD || î.Hr. O proprietate similară a liniilor BC și CD este, de asemenea, derivată. Teorema a fost demonstrată.

Calcularea ariei unei figuri

Zona acestei figuri găsit în mai multe feluri una dintre cele mai simple: înmulțirea înălțimii și a bazei la care este trasă.

Demonstrație: Desenați perpendicularele BE și CF de la vârfurile B și C. ∆ABE și ∆DCF sunt egale deoarece AB = CD și BE = CF. ABCD este egal cu dreptunghiul EBCF, deoarece acestea constau și din cifre proporționale: S ABE și S EBCD, precum și S DCF și S EBCD. De aici rezultă că zona acestuia figură geometrică este situat în același mod ca un dreptunghi:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Pentru determinare formula generala aria paralelogramului, notează înălțimea ca hb, și lateral b. Respectiv:

Alte modalități de a găsi zonă

Calcule de suprafață prin laturile paralelogramului și unghiului, pe care o formează, este a doua metodă cunoscută.

,

Spr-ma - zona;

a și b sunt laturile sale

α - unghiul dintre segmentele a și b.

Această metodă se bazează practic pe prima, dar în cazul în care este necunoscută. decupează întotdeauna un triunghi dreptunghic ai cărui parametri sunt găsiți prin identități trigonometrice, adică . Transformând raportul, obținem . În ecuația primei metode, înlocuim înălțimea cu acest produs și obținem o dovadă a validității acestei formule.

Prin diagonalele unui paralelogram și a unui unghi, pe care le creează atunci când se intersectează, puteți găsi și zona.

Dovada: AC și BD care se intersectează formează patru triunghiuri: ABE, BEC, CDE și AED. Suma lor este egală cu aria acestui patrulater.

Aria fiecăruia dintre aceste ∆ poate fi găsită din expresia , unde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Deoarece , atunci o singură valoare a sinusului este utilizată în calcule. i.e . Deoarece AE+CE=AC= d 1 și BE+DE=BD= d 2 , formula ariei se reduce la:

.

Aplicație în algebră vectorială

Caracteristicile părților constitutive ale acestui patrulater și-au găsit aplicație în algebra vectorială și anume: adunarea a doi vectori. Regula paralelogramului prevede că dacă se dau vectorișinusunt coliniare, atunci suma lor va fi egală cu diagonala acestei figuri, ale cărei baze corespund acestor vectori.

Dovada: de la un început ales arbitrar – adică. - construim vectori și . În continuare, construim un paralelogram OASV, unde segmentele OA și OB sunt laturi. Astfel, sistemul de operare se află pe vector sau sumă.

Formule pentru calcularea parametrilor unui paralelogram

Identitățile sunt date în următoarele condiții:

1. a și b, α - laturile și unghiul dintre ele;
2. d 1 și d 2 , γ - diagonalele și în punctul de intersecție a acestora;
3. h a și h b - înălțimi coborâte pe laturile a și b;

Parametru	Formulă
Găsirea părților
de-a lungul diagonalelor și cosinusului unghiului dintre ele
în diagonală și lateral
prin înălțime și vârf opus
Aflarea lungimii diagonalelor
pe laturi si marimea varfului intre ele
de-a lungul laturilor și una dintre diagonale	 Concluzie Paralelogramul, ca una dintre figurile cheie ale geometriei, este folosit în viață, de exemplu, în construcții, atunci când se calculează suprafața site-ului sau alte măsurători. Prin urmare, cunoștințele despre caracteristicile distinctive și metodele de calculare a diferiților săi parametri pot fi utile în orice moment al vieții.

Instituție de învățământ bugetar municipal

Savinskaya medie şcoală cuprinzătoare

Cercetare

Paralelogramul și noile sale proprietăți

Realizat de: elev clasa 8B

Școala secundară MBOU Savinskaya

Kuznetsova Svetlana, 14 ani

Conducător: profesor de matematică

Tulchevskaya N.A.

Savino

Regiunea Ivanovo, Rusia

2016

eu. Introducere ________________________________________________ pagina 3

II. Din istoria paralelogramului ___________________________________pagina 4

III Proprietăți suplimentare ale unui paralelogram ______________________pagina 4

IV. Dovada proprietăților _____________________________________ pagina 5

V. Rezolvarea problemelor folosind proprietăți suplimentare __________pagina 8

VI. Aplicarea proprietăților unui paralelogram în viață ___________________pagina 11

VII. Concluzie _________________________________________________pagina 12

VIII. Literatură _________________________________________________ pagina 13

Introducere

"Printre minți egale

la asemănarea altor condiții

superior celor care cunosc geometria”

(Blaise Pascal).

În timp ce studiam subiectul „Paralelogram” în lecțiile de geometrie, am luat în considerare două proprietăți ale unui paralelogram și trei caracteristici, dar când am început să rezolvăm probleme, sa dovedit că acest lucru nu era suficient.

Am avut o întrebare, paralelogramul are alte proprietăți și cum vor ajuta ele la rezolvarea problemelor.

Și am decis să studiez proprietăți suplimentare ale unui paralelogram și să arăt cum pot fi aplicate pentru a rezolva probleme.

Subiect de studiu : paralelogram

Obiect de studiu : proprietățile paralelogramului
Obiectiv:

formularea și demonstrarea proprietăților suplimentare ale unui paralelogram care nu sunt studiate la școală;

aplicarea acestor proprietăți pentru rezolvarea problemelor.

Sarcini:

Să studieze istoria paralelogramului și istoria dezvoltării proprietăților acestuia;

Găsiți literatură suplimentară despre problema studiată;

Studiați proprietăți suplimentare ale unui paralelogram și demonstrați-le;

Arată aplicarea acestor proprietăți pentru rezolvarea problemelor;

Luați în considerare aplicarea proprietăților unui paralelogram în viață.
Metode de cercetare:

Lucrați cu literatură educațională și științifică - populară, resurse de pe Internet;

Studiul materialului teoretic;

Selectarea unei game de sarcini care pot fi rezolvate folosind proprietăți suplimentare ale unui paralelogram;

Observație, comparație, analiză, analogie.

Durata studiului : 3 luni: ianuarie-martie 2016

1. Din istoria paralelogramului

Într-un manual de geometrie, citim următoarea definiție a paralelogramului: Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi.

Cuvântul „paralelogram” este tradus ca „linii paralele” (din cuvintele grecești Parallelos - paralel și gram - linie), acest termen a fost introdus de Euclid. În cartea sa „Elemente”, Euclid a demonstrat următoarele proprietăți ale unui paralelogram: laturile și unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale, iar o diagonală îl bisectează. Euclid nu menționează punctul de intersecție al paralelogramului. Abia până la sfârșitul Evului Mediu s-a dezvoltat o teorie completă a paralelogramelor și abia în secolul al XVII-lea au apărut în manuale teoremele paralelogramelor, care sunt dovedite folosind teorema lui Euclid asupra proprietăților paralelogramului.

III Proprietăți suplimentare ale unui paralelogram

În manualul de geometrie, sunt date doar 2 proprietăți ale unui paralelogram:

Unghiurile și laturile opuse sunt egale

Diagonalele unui paralelogram se intersectează, iar punctul de intersecție este bisectat

LA diverse surse geometrie, puteți găsi următoarele proprietăți suplimentare:

Suma unghiurilor adiacente ale unui paralelogram este 180 0

Bisectoarea unghiului unui paralelogram decupează un triunghi isoscel din acesta;

Bisectoarele unghiurilor opuse ale unui paralelogram se află pe drepte paralele;

Bisectoarele unghiurilor adiacente ale unui paralelogram se intersectează în unghi drept;

Bisectoarele tuturor unghiurilor unui paralelogram formează un dreptunghi atunci când se intersectează;

Distanțele de la colțurile opuse ale unui paralelogram la una și aceeași diagonală sunt egale.

Dacă conectați vârfuri opuse într-un paralelogram cu punctele medii ale laturilor opuse, obțineți un alt paralelogram.

Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu de două ori suma pătratelor laturilor adiacente ale acestuia.

Dacă desenăm înălțimi din două unghiuri opuse într-un paralelogram, obținem un dreptunghi.

IV Dovada proprietăților unui paralelogram

Suma unghiurilor adiacente ale unui paralelogram este 180 0

Dat:

ABCD este un paralelogram

Dovedi:

A+
B=

Dovada:

A și
B - colțuri interioare unilaterale cu linii drepte paralele BC AD și secanta AB, deci
A+
B=

2

Dat: ABCD - paralelogram,

AK -bisectoare
DAR.

Dovedi: AVK - isoscel

Dovada:

1)
1=
3 (încrucișat cu BC AD și secant AK ),

2)
2=
3 deoarece AK este o bisectoare,

înseamnă 1=
2.

3) ABK este isoscel deoarece 2 unghiuri ale unui triunghi sunt egale

. Bisectoarea unghiului unui paralelogram decupează un triunghi isoscel din acesta

3

Dat: ABCD este un paralelogram

AK este bisectoarea lui A,

СР este bisectoarea lui C.

Dovedi: AK ║ SR

Dovada:

1) 1=2 deoarece AK-bisectoare

2) 4=5 deoarece SR - bisectoare

3) 3=1 (unghiuri încrucișate la

BC ║ AD și AK-secante),

4) A \u003d C (prin proprietatea unui paralelogram), ceea ce înseamnă 2 \u003d 3 \u003d 4 \u003d 5.

4) Din paragrafele 3 și 4 rezultă că 1 = 4, iar aceste unghiuri corespund dreptelor AK și SR și unei secante BC,

prin urmare, AK ║ SR (pe baza liniilor paralele)

. Bisectoarele unghiurilor opuse ale unui paralelogram se află pe drepte paralele

Bisectoarele unghiurilor adiacente ale unui paralelogram se intersectează în unghi drept

Dat: ABCD - paralelogram,

bisectoare AC A,

DP-bisectoare D

Dovedi: DP AK.

Dovada:

1) 1=2, deoarece AK - bisectoare

Fie 1=2=x, apoi A=2x,

2) 3=4, deoarece D P - bisectoare

Fie 3=4=y, apoi D=2y

3) A + D \u003d 180 0, deoarece suma unghiurilor adiacente ale unui paralelogram este 180

2) Luați în considerare O OD

1+3=90 0 atunci
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Bisectoarele tuturor unghiurilor unui paralelogram formează un dreptunghi când se intersectează

Dat: ABCD - paralelogram, AK-bisectoare A,

DP-bisectoare D,

CM este bisectoarea lui C,

BF -bisectoarea lui B .

Dovedi: KRNS -dreptunghi

Dovada:

Pe baza proprietății anterioare 8=7=6=5=90 0 ,

înseamnă că KRNS este un dreptunghi.

Distanțele de la colțurile opuse ale unui paralelogram la una și aceeași diagonală sunt egale.

Dat: ABCD-paralelogram, AC-diagonală.

VK AU, D.P. AC

Dovedi: BK=DP

Dovada: 1) DCP \u003d KAB, ca interior încrucișat la AB ║ CD și secant AC.

2) AKB= CDP (de-a lungul lateralului și a două colțuri adiacente AB=CD CD P=AB K).

Și în triunghiuri egale, laturile corespunzătoare sunt egale, deci DP \u003d BK.

Dacă conectați vârfuri opuse într-un paralelogram cu punctele medii ale laturilor opuse, obțineți un alt paralelogram.

Dat: ABCD paralelogram.

Dovedi: VKDP este un paralelogram.

Dovada:

1) BP=KD (AD=BC, punctele K și P

traversează aceste părți)

2) BP ║ KD (mintire pe AD BC)

Dacă laturile opuse ale unui patrulater sunt egale și paralele, atunci acest patrulater este un paralelogram.

Dacă desenăm înălțimi din două unghiuri opuse într-un paralelogram, obținem un dreptunghi.

Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu de două ori suma pătratelor laturilor adiacente ale acestuia.

Dat: ABCD este un paralelogram. BD și AC sunt diagonale.

Dovedi: AC 2 + BD 2 =2(AB 2 + AD 2 )

Dovada: 1)CERE: AC ²=
+

2)B RD : BD 2 = B R 2 + PD 2 (conform teoremei lui Pitagora)

3) AC ²+ BD ²=SC²+A K²+B Р²+РD ²

4) SK = BP = H(înălţime )

5) AC 2 +VD 2 = H 2 + A La 2 + H 2 +PD 2

6) Lasa D K=A P=x, apoi C LaD : H 2 = CD 2 - X 2 conform teoremei lui Pitagora )

7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,

AC²+VD ²=2CD 2 -2x 2 + A La 2 +PD 2

8) A La=AD+ X, RD=AD- X,

AC²+VD ² =2CD 2 -2x 2 +(ANUNȚ +x) 2 +(ANUNȚ -X) 2 ,

AC²+ LAD²=2 CuD²-2 X²+AD 2 +2AD X+ X 2 + AD 2 -2AD X+ X 2 ,
AC²+ LAD²=2CD 2 +2AD 2 =2(CD 2 + AD 2 ).

V . Rezolvarea problemelor folosind aceste proprietăți

Punctul de intersecție al bisectoarelor a două unghiuri ale unui paralelogram adiacent unei laturi aparține laturii opuse. Partea mai scurtă a paralelogramului este 5 . Găsește-i partea cea mare.

Dat: ABCD este un paralelogram,

AK - bisectoare
DAR,

D K - bisectoare
D, AB=5

A găsi: soare

soluţie

Decizie

pentru că AK - bisectoare
A, atunci ABC este isoscel.

pentru că D K - bisectoare
D, atunci DCK - isoscel

DC \u003d C K \u003d 5

Apoi, VS=VK+SK=5+5 = 10

Raspuns: 10

2. Aflați perimetrul paralelogramului dacă bisectoarea unuia dintre unghiurile sale împarte latura paralelogramului în segmente de 7 cm și 14 cm.

1 caz

Dat:
DAR,

VK=14 cm, KS=7 cm

A găsi: R paralelogram

Decizie

BC=VK+KS=14+7=21 (cm)

pentru că AK - bisectoare
A, atunci ABC este isoscel.

AB=BK=14cm

Apoi P \u003d 2 (14 + 21) \u003d 70 (cm)

intamplandu-se

Dat: ABCD este un paralelogram,

D K - bisectoare
D,

VK=14 cm, KS=7 cm

A găsi: R paralelogram

Decizie

BC=VK+KS=14+7=21 (cm)

pentru că D K - bisectoare
D, atunci DCK - isoscel

DC \u003d C K \u003d 7

Apoi, P \u003d 2 (21 + 7) \u003d 56 (cm)

Răspuns: 70 cm sau 56 cm

3. Laturile paralelogramului sunt de 10 cm și 3 cm. Bisectoarele a două unghiuri adiacente laturii mai mari împart latura opusă în trei segmente. Găsiți aceste segmente.

1 caz: bisectoarele se intersectează în afara paralelogramului

Dat: ABCD - paralelogram, AK - bisectoare
DAR,

D K - bisectoare
D, AB=3 cm, BC=10 cm

A găsi: BM, MN, NC

Decizie

pentru că AM - bisectoare
Și, atunci AVM este isoscel.

pentru că DN - bisectoare
D, atunci DCN - isoscel

DC=CN=3

Apoi, MN \u003d 10 - (BM + NC) \u003d 10 - (3 + 3) \u003d 4 cm

2 caz: bisectoarele se intersectează în interiorul unui paralelogram

pentru că AN - bisectoare
A, atunci ABN este isoscel.

AB=BN = 3 D

Și grila glisantă - deplasați-vă la distanța necesară în prag

Mecanismul paralelogramului- un mecanism cu patru legături, ale cărui legături formează un paralelogram. Este utilizat pentru implementarea mișcării de translație a mecanismelor cu balamale.

Paralelogram cu legătură fixă- o verigă este nemișcată, cea opusă face o mișcare de balansare, rămânând paralelă cu cea nemișcată. Două paralelograme conectate unul în spatele celuilalt dau verigii finale două grade de libertate, lăsând-o paralelă cu cea fixă.

Exemple: ștergătoarele de parbriz pentru autobuze, stivuitoare, trepiede, umerase, umerase auto.

Paralelogram cu balama fixa- proprietatea paralelogramului este folosită pentru a menține un raport constant al distanțelor între trei puncte. Exemplu: pantograf de desen - un dispozitiv pentru scalarea desenelor.

Romb- toate legăturile sunt de aceeași lungime, apropierea (contracția) unei perechi de balamale opuse duce la extinderea celorlalte două balamale. Toate linkurile funcționează în compresie.

Exemple sunt un cric diamant de mașină, un pantograf de tramvai.

foarfeca sau Mecanism în formă de X, de asemenea cunoscut ca si foarfece de la Nürnberg- o variantă a unui romb - două verigi legate în mijloc printr-o balama. Avantajele mecanismului sunt compactitatea și simplitatea, dezavantajul este prezența a două perechi glisante. Două (sau mai multe) astfel de mecanisme, conectate în serie, formează un romb (e) în mijloc. Se foloseste la lifturi, jucarii pentru copii.

VII Concluzie

Cine a fost implicat în matematică încă din copilărie,

își dezvoltă atenția, își antrenează creierul,

propria voință, cultivă perseverența

și perseverență în atingerea scopului

A. Markushevici

În timpul lucrului, am demonstrat proprietăți suplimentare ale unui paralelogram.

Eram convins că, aplicând aceste proprietăți, poți rezolva mai rapid problemele.

Am arătat cum aceste proprietăți sunt aplicate pe exemple de rezolvare a unor probleme specifice.

Am învățat multe despre paralelogram care nu se află în manualul nostru de geometrie

Eram convins că cunoștințele de geometrie sunt foarte importante în viață prin exemple de aplicare a proprietăților unui paralelogram.

Scopul muncii mele de cercetare a fost îndeplinit.

Importanța cunoștințelor matematice este evidențiată de faptul că a fost stabilit un premiu pentru cel care publică o carte despre o persoană care a trăit toată viața fără ajutorul matematicii. Nimeni nu a primit acest premiu până acum.

VIII Literatură

1. Pogorelov A.V. Geometrie 7-9: manual pentru învățământul general. instituții-M.: Educație, 2014

   L.S. Atanasyan și alții. Geometrie. Adăuga. Capitole la manual 8 celule: manual. indemnizatie pentru elevii scolilor si claselor cu aprofundare. studiul matematicii. – M.: Vita-press, 2003

   Resurse de internet

   Materiale Wikipedia

Și din nou întrebarea este: un romb este un paralelogram sau nu?

Cu dreapta completă - un paralelogram, pentru că are și (amintiți-vă semnul nostru 2).

Și din nou, deoarece un romb este un paralelogram, atunci trebuie să aibă toate proprietățile unui paralelogram. Aceasta înseamnă că un romb are unghiuri opuse egale, laturile opuse sunt paralele, iar diagonalele sunt tăiate în două de punctul de intersecție.

Proprietăți romb

Uitate la imagine:

Ca și în cazul unui dreptunghi, aceste proprietăți sunt distinctive, adică pentru fiecare dintre aceste proprietăți, putem concluziona că nu avem doar un paralelogram, ci un romb.

Semne ale unui romb

Și fiți atenți din nou: nu ar trebui să existe doar un patrulater cu diagonale perpendiculare, ci un paralelogram. Asigurați-vă că:

Nu, desigur că nu, deși diagonalele și sunt perpendiculare, iar diagonala este bisectoarea unghiurilor u. Dar ... diagonalele nu se împart, punctul de intersecție la jumătate, prin urmare - NU un paralelogram și, prin urmare, NU un romb.

Adică un pătrat este un dreptunghi și un romb în același timp. Să vedem ce iese din asta.

Este clar de ce? - romb - bisectoarea unghiului A, care este egal cu. Deci se împarte (și de asemenea) în două unghiuri de-a lungul.

Ei bine, este destul de clar: diagonalele dreptunghiului sunt egale; Diagonalele rombului sunt perpendiculare și, în general, diagonalele paralelogramelor sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție.

NIVEL MIJLOCIU

Proprietățile patrulaterelor. Paralelogram

Proprietățile paralelogramului

Atenţie! Cuvintele " proprietățile paralelogramului» înseamnă că dacă ai o sarcină există paralelogram, atunci pot fi folosite toate următoarele.

Teoremă asupra proprietăților unui paralelogram.

În orice paralelogram:

Să vedem de ce este adevărat, cu alte cuvinte VOM DOVEDĂ teorema.

Deci de ce este 1) adevărat?

Deoarece este un paralelogram, atunci:

• ca minciuna în cruce
• ca întins peste.

Prin urmare, (pe baza II: și - general.)

Ei bine, o dată, atunci - asta este! - demonstrat.

Dar apropo! Am demonstrat și noi 2)!

De ce? Dar la urma urmei (uita-te la poza), adica si anume pentru ca.

Au mai rămas doar 3).

Pentru a face acest lucru, mai trebuie să desenați o a doua diagonală.

Și acum vedem că - conform semnului II (unghiul și latura „dintre” ele).

Proprietăți dovedite! Să trecem la semne.

Caracteristicile paralelogramului

Amintiți-vă că semnul unui paralelogram răspunde la întrebarea „cum să aflați?” Că figura este un paralelogram.

În pictograme este așa:

De ce? Ar fi bine să înțelegem de ce - este suficient. Dar uite:

Ei bine, ne-am dat seama de ce semnul 1 este adevărat.

Ei bine, asta e și mai ușor! Să desenăm din nou o diagonală.

Care înseamnă:

Și este, de asemenea, ușor. Dar... diferit!

Mijloace, . Wow! Dar, de asemenea - intern unilateral la o secanta!

Prin urmare faptul că înseamnă că.

Și dacă te uiți din cealaltă parte, atunci sunt interne unilaterale la o secantă! Prin urmare.

Vezi ce grozav este?!

Și din nou pur și simplu:

Exact la fel, și.

Fiţi atenți: dacă ai găsit macar un semn de paralelogram în problema ta, atunci ai exact paralelogram și puteți folosi toata lumea proprietățile paralelogramului.

Pentru o claritate completă, priviți diagrama:

Proprietățile patrulaterelor. Dreptunghi.

Proprietăți dreptunghiulare:

Punctul 1) este destul de evident - la urma urmei, semnul 3 () este pur și simplu îndeplinit

Și punctul 2) - foarte important. Deci haideți să dovedim asta

Deci, pe două picioare (și - general).

Ei bine, deoarece triunghiurile sunt egale, atunci și ipotenuzele lor sunt egale.

A demonstrat asta!

Și imaginați-vă, egalitatea diagonalelor este o proprietate distinctivă a unui dreptunghi printre toate paralelogramele. Adică, următoarea afirmație este adevărată

Să vedem de ce?

Deci, (adică unghiurile paralelogramului). Dar încă o dată, amintiți-vă că - un paralelogram și, prin urmare.

Mijloace, . Și, desigur, de aici rezultă că fiecare dintre ele La urma urmei, în suma pe care ar trebui să o dea!

Aici am demonstrat că dacă paralelogram brusc (!) vor fi diagonale egale, atunci aceasta exact un dreptunghi.

Dar! Fiţi atenți! Este vorba despre paralelograme! Nu orice un patrulater cu diagonale egale este un dreptunghi și numai paralelogram!

Proprietățile patrulaterelor. Romb

Și din nou întrebarea este: un romb este un paralelogram sau nu?

Cu dreapta completă - un paralelogram, pentru că are și (Amintiți-vă semnul nostru 2).

Și din nou, deoarece un romb este un paralelogram, trebuie să aibă toate proprietățile unui paralelogram. Aceasta înseamnă că un romb are unghiuri opuse egale, laturile opuse sunt paralele, iar diagonalele sunt tăiate în două de punctul de intersecție.

Dar există și proprietăți speciale. Noi formulăm.

Proprietăți romb

De ce? Ei bine, deoarece un romb este un paralelogram, atunci diagonalele sale sunt împărțite în jumătate.

De ce? Da, de aceea!

Cu alte cuvinte, diagonalele și s-au dovedit a fi bisectoare ale colțurilor rombului.

Ca și în cazul unui dreptunghi, aceste proprietăți sunt distinctiv, fiecare dintre ele este și semnul unui romb.

Semne romb.

De ce este asta? Și uite

Prin urmare, și ambii aceste triunghiuri sunt isoscele.

Pentru a fi un romb, un patrulater trebuie mai întâi să „devină” un paralelogram și apoi să demonstreze deja caracteristica 1 sau caracteristica 2.

Proprietățile patrulaterelor. Pătrat

Adică un pătrat este un dreptunghi și un romb în același timp. Să vedem ce iese din asta.

Este clar de ce? Pătrat - romb - bisectoarea unghiului, care este egală cu. Deci se împarte (și de asemenea) în două unghiuri de-a lungul.

Ei bine, este destul de clar: diagonalele dreptunghiului sunt egale; Diagonalele romb sunt perpendiculare și, în general, diagonalele paralelogramelor sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție.

De ce? Ei bine, aplicați teorema lui Pitagora la.

REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

Proprietățile paralelogramului:

1. Laturile opuse sunt egale: , .
2. Unghiurile opuse sunt: ​​, .
3. Unghiurile dintr-o parte se aduna la: , .
4. Diagonalele sunt împărțite la punctul de intersecție în jumătate: .

Proprietăți dreptunghiulare:

1. Diagonalele unui dreptunghi sunt: ​​.
2. Dreptunghiul este un paralelogram (toate proprietățile unui paralelogram sunt îndeplinite pentru un dreptunghi).

Proprietățile rombului:

1. Diagonalele rombului sunt perpendiculare: .
2. Diagonalele unui romb sunt bisectoarele unghiurilor sale: ; ; ; .
3. Un romb este un paralelogram (toate proprietățile unui paralelogram sunt îndeplinite pentru un romb).

Proprietăți pătrate:

Un pătrat este romb și dreptunghi în același timp, prin urmare, pentru un pătrat, toate proprietățile unui dreptunghi și ale unui romb sunt îndeplinite. Precum și.

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi. Aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre baza (a) și înălțimea (h). De asemenea, puteți găsi aria sa prin două laturi și un unghi și prin diagonale.

Proprietățile paralelogramului

1. Laturile opuse sunt identice

În primul rând, desenați diagonala \(AC \) . Se obțin două triunghiuri: \(ABC \) și \(ADC \) ​​​​.

Deoarece \(ABCD \) este un paralelogram, este adevărat:

\(AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 \) ca întins peste cap.

\(AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 \) ca întins peste cap.

Prin urmare, (pe a doua bază: și \(AC\) este comun).

Prin urmare, \(\triunghi ABC = \triunghi ADC \), apoi \(AB = CD \) și \(AD = BC \) .

2. Unghiurile opuse sunt identice

Conform dovezii proprietăți 1 Noi stim aia \(\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 \). Deci suma unghiurilor opuse este: \(\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 \). Dat fiind \(\triunghi ABC = \triunghi ADC \) obținem \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) .

3. Diagonalele sunt tăiate în două de punctul de intersecție

De proprietatea 1știm că laturile opuse sunt identice: \(AB = CD \) . Încă o dată observăm unghiurile egale situate transversal.

Astfel, se vede că \(\triunghi AOB = \triunghi COD \) conform celui de-al doilea criteriu de egalitate a triunghiurilor (două unghiuri și o latură între ele). Adică, \(BO = OD \) (opus colțurilor \(\angle 2 \) și \(\angle 1 \) ) și \(AO = OC \) (opus colțurilor \(\angle 3 \) și \( \angle 4 \) respectiv).

Caracteristicile paralelogramului

Dacă în problema dvs. este prezent un singur semn, atunci figura este un paralelogram și puteți utiliza toate proprietățile acestei figuri.

Pentru o memorare mai bună, rețineți că semnul paralelogramului va răspunde la următoarea întrebare - "cum sa aflu?". Adică, cum să afli că o cifră dată este un paralelogram.

1. Un paralelogram este un patrulater ale cărui două laturi sunt egale și paralele

\(AB = CD \) ; \(AB || CD \Rightarrow ABCD \)- paralelogram.

Să luăm în considerare mai detaliat. De ce \(AD || BC \)?

\(\triunghi ABC = \triunghi ADC \) pe proprietatea 1: \(AB = CD \) , \(\angle 1 = \angle 2 \) ca în cruce cu paralele \(AB \) și \(CD \) și secante \(AC \) .

Dar dacă \(\triunghi ABC = \triunghi ADC \), atunci \(\angle 3 = \angle 4 \) (ele se află opuse \(AD || BC \) (\(\angle 3 \) și \(\angle 4 \) - aflate vizavi sunt de asemenea egale).

Primul semn este corect.

2. Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt egale

\(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) este un paralelogram.

Să luăm în considerare această caracteristică. Desenați din nou diagonala \(AC \).

De proprietatea 1\(\triunghi ABC = \triunghi ACD \).

Rezultă că: \(\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC \)și \(\angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD \), adică \(ABCD\) este un paralelogram.

Al doilea semn este corect.

3. Un paralelogram este un patrulater ale cărui unghiuri opuse sunt egale

\(\unghi A = \unghi C \), \(\unghi B = \unghi D \Rightarrow ABCD \)- paralelogram.

\(2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) \)(deoarece \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) prin definiție).

Se dovedește, . Dar \(\alpha \) și \(\beta \) sunt interne unilaterale la secanta \(AB \) .

Si ce \(\alpha + \beta = 180^(\circ) \) mai spune că \(AD || BC \) .

Subiectul lecției

• Proprietățile diagonalelor unui paralelogram.

Obiectivele lecției

• Familiarizați-vă cu noi definiții și amintiți-vă unele deja studiate.
• Formulați și demonstrați proprietatea diagonalelor unui paralelogram.
• Învață să aplici proprietățile formelor în rezolvarea problemelor.
• Dezvoltarea - pentru a dezvolta atenția elevilor, perseverența, perseverența, gândirea logică, vorbirea matematică.
• Educativ - printr-o lecție, de a cultiva o atitudine atentă unul față de celălalt, de a insufla capacitatea de ascultare a camarazilor, asistență reciprocă, independență.

Obiectivele lecției

• Verificați capacitatea elevilor de a rezolva probleme.

Planul lecției

1. Introducere.
2. Repetarea materialului învățat anterior.
3. Paralelogramul, proprietățile și semnele sale.
4. Exemple de sarcini.
5. Verificare personală.

Introducere

„O descoperire științifică majoră oferă o soluție la o problemă majoră, dar în soluționarea oricărei probleme există un sâmbure de descoperire.”

Proprietățile laturilor opuse ale unui paralelogram

Un paralelogram are laturile opuse egale.

Dovada.

Fie ABCD un paralelogram dat. Și lăsați diagonalele sale să se intersecteze în punctul O.
Deoarece Δ ​​AOB = Δ COD prin primul semn de egalitate al triunghiurilor (∠ AOB = ∠ COD, ca verticale, AO=OC, DO=OB, prin proprietatea diagonalelor paralelogramelor), atunci AB=CD. În mod similar, din egalitatea triunghiurilor BOC și DOA rezultă că BC=DA. Teorema a fost demonstrată.

Proprietatea unghiurilor opuse ale unui paralelogram

Un paralelogram are unghiuri opuse.

Dovada.

Fie ABCD un paralelogram dat. Și lăsați diagonalele sale să se intersecteze în punctul O.
Din proprietățile laturilor opuse ale unui paralelogram demonstrate în teorema pe Δ ABC = Δ CDA pe trei laturi (AB=CD, BC=DA din dovedit, AC este general). Din egalitatea triunghiurilor rezultă că ∠ABC = ∠CDA.
De asemenea, se demonstrează că ∠ DAB = ∠ BCD, care rezultă din ∠ ABD = ∠ CDB. Teorema a fost demonstrată.

Proprietatea diagonalelor unui paralelogram

Diagonalele unui paralelogram se intersectează, iar punctul de intersecție este bisectat.

Dovada.

Fie ABCD un paralelogram dat. Să desenăm diagonala AC. Marcam pe el mijlocul O. Pe continuarea segmentului DO, punem deoparte segmentul OB 1 egal cu DO.
După teorema anterioară, AB 1 CD este un paralelogram. Prin urmare, linia AB 1 este paralelă cu DC. Dar prin punctul A, o singură linie poate fi trasată paralelă cu DC. Prin urmare, linia AB 1 coincide cu dreapta AB.
De asemenea, se dovedește că BC 1 coincide cu BC. Deci punctul C coincide cu C 1 . paralelogramul ABCD coincide cu paralelogramul AB 1 CD. Prin urmare, diagonalele paralelogramului se intersectează și punctul de intersecție este bisectat. Teorema a fost demonstrată.

În manualele pentru școlile obișnuite (de exemplu, la Pogorelov), se demonstrează astfel: diagonalele împart paralelogramul în 4 triunghiuri. Luați în considerare o pereche și aflați - sunt egale: bazele lor sunt laturi opuse, unghiurile corespunzătoare adiacente acesteia sunt egale ca verticale cu linii paralele. Adică, segmentele diagonalelor sunt egale pe perechi. Tot.

Asta-i tot?
S-a dovedit mai sus că punctul de intersecție traversează diagonalele - dacă există. Raționamentul de mai sus nu dovedește în niciun fel existența sa. Adică, partea teoremei „diagonalele paralelogramelor se intersectează” rămâne nedovedită.

Este amuzant că această parte este mult mai greu de demonstrat. Apropo, asta rezultă dintr-un rezultat mai general: pentru orice patrulater convex, diagonalele se vor intersecta, pentru orice neconvex, nu.

Pe egalitatea triunghiurilor de-a lungul laturii și a două unghiuri adiacente acesteia (al doilea semn al egalității triunghiurilor) și altele.

Teorema privind egalitatea a două triunghiuri de-a lungul unei laturi și a două unghiuri adiacente acesteia, Thales a găsit o aplicație practică importantă. În portul Milet a fost construit un telemetru, care determină distanța până la navă pe mare. Acesta a constat din trei chei antrenate A, B și C (AB = BC) și o linie dreaptă marcată SK, perpendiculară pe CA. Când nava a apărut pe linia dreaptă SC, s-a găsit un punct D astfel încât punctele D, .B și E se aflau pe aceeași linie dreaptă. După cum reiese din desen, distanța CD la sol este distanța dorită până la navă.

Întrebări

1. Diagonalele unui pătrat sunt încrucișate de punctul de intersecție?
   
2. Diagonalele unui paralelogram sunt egale?
3. Sunt unghiurile opuse ale unui paralelogram egale?
4. Care este definiția unui paralelogram?
5. Câte caracteristici ale unui paralelogram?
   
6. Poate un romb să fie un paralelogram?
   

Lista surselor utilizate

1. Kuznetsov A. V., profesor de matematică (clasele 5-9), Kiev
2. „Examen unificat de stat 2006. Matematică. Materiale educaționale și de instruire pentru pregătirea studenților / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. „Rezolvarea principalelor probleme competitive de matematică ale colecției editate de M. I. Scanavi”
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina „Geometrie, 7 - 9: un manual pentru instituțiile de învățământ”

Lucrând la lecție

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Evgheni Petrov

Puteți ridica o întrebare despre educația modernă, puteți exprima o idee sau rezolva o problemă urgentă la Forumul Educației unde se întrunește la nivel internațional un consiliu educațional de gândire și acțiune proaspătă. După ce a creat blog, Nu numai că îți vei îmbunătăți statutul de profesor competent, dar vei aduce și o contribuție semnificativă la dezvoltarea școlii viitorului. Breasla Liderilor Educației deschide ușa specialiștilor de top și vă invită să cooperați în direcția creării celor mai bune școli din lume.

Subiecte > Matematică > Matematică Clasa a 8-a