Viteza ca derivat. Rezolvarea derivatei pentru manechine: definiție, cum se găsește, exemple de soluții Derivată a doua a mișcării în funcție de timp

Derivata unei coordonate în raport cu timpul este viteza. x"(t)=v(t) Sensul fizic al derivatului

Derivata vitezei în raport cu timpul sau derivata a doua a coordonatei în raport cu timpul este accelerația. a(t)=v "(t)=x""(t)

Un punct se deplasează de-a lungul unei linii de coordonate conform legii x(t)= t²+t+2, unde x(t) este coordonata punctului la momentul t (timpul se măsoară în secunde, distanța în metri). În ce moment va fi viteza punctului de 5 m/s? Rezolvare: Viteza unui punct în timpul t este derivata coordonatei în raport cu timpul. Deoarece v(t) = x"(t) = 2t+1 și v = 5 m/s, atunci 2t +1= 5 t=2 Răspuns: 2.

La frânare, volantul se rotește printr-un unghi φ (t) = 6 t-t² radiani în t secunde. Aflați viteza unghiulară ω de rotație a volantului la momentul t=1s. (φ (t) - unghi în radiani, ω (t) - viteza în rad/s, t - timpul în secunde). Rezolvare: ω (t) = φ "(t) ω (t) = 6 – 2t t = 1 s. ω (1) = 6 – 2 × 1 = 4 rad/s Răspuns:4.

Când un corp se deplasează în linie dreaptă, viteza lui v(t) conform legii v(t)=15+8 t -3t² (t este timpul de mișcare a corpului în secunde). Care va fi accelerația de corpul (în m/s²) la o secundă după începerea mișcării? Rezolvare: v(t)=15+8t-3t² a(t)=v"(t) a(t)=8-6t t=1 a(1)=2 m/s² Răspuns: 2.

Aplicarea derivatei în probleme fizice. Sarcina care trece prin secțiunea transversală a conductorului se calculează prin formula q(t)=2t 2 -5t. Aflați puterea curentului la t=5c. Rezolvare: i(t)=q"(t) i(t)=4t-5 t=5 i(5)=15 A. Răspuns:15.

Când un corp se deplasează în linie dreaptă, distanța s(t) de la punctul de plecare M se modifică conform legii s(t)=t 4 -4t 3 -12t +8 (t este timpul în secunde). Care va fi accelerația corpului (în m/s 2) după 3 secunde? Soluţie. a(t)=v "(t)=s""(t). Să găsim v(t)=s"(t)=(t 4 -4t 3 -12t +8)" =4t 3 -12t a( t )=v "(t)= s""(t)= (4t 3 -12t 2 -12)" =12t 2 -24t, a(3)=12× ×3=108-72=36m/s 2 . Răspuns: 36.

Rezolvarea problemelor fizice sau a exemplelor de matematică este complet imposibilă fără cunoașterea derivatei și a metodelor de calcul. Derivata este unul dintre cele mai importante concepte în analiza matematică. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este o derivată, care este semnificația sa fizică și geometrică, cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?

Sensul geometric și fizic al derivatului

Să existe o funcție f(x) , specificat într-un anumit interval (a, b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența de valori x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. O modificare sau o creștere a unei funcții este diferența dintre valorile unei funcții în două puncte. Definiția derivatului:

Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.

Altfel se poate scrie asa:

Ce rost are să găsești o astfel de limită? Și iată ce este:

derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.

Sensul fizic al derivatului: derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza mișcării rectilinie.

Într-adevăr, încă din timpul școlii, toată lumea știe că viteza este o cale anume x=f(t) si timpul t . Viteza medie pe o anumită perioadă de timp:

Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:

Prima regulă: setați o constantă

Constanta poate fi scoasă din semnul derivatului. Mai mult, acest lucru trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați-o ca regulă - Dacă puteți simplifica o expresie, asigurați-vă că o simplificați .

Exemplu. Să calculăm derivata:

Regula a doua: derivata sumei functiilor

Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.

Nu vom oferi o dovadă a acestei teoreme, ci mai degrabă luăm în considerare un exemplu practic.

Aflați derivata funcției:

Regula trei: derivata produsului de funcții

Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:

Exemplu: găsiți derivata unei funcții:

Soluţie:

Este important să vorbim aici despre calcularea derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar si derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.

În exemplul de mai sus întâlnim expresia:

În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, mai întâi calculăm derivata funcției externe în raport cu argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar în sine față de variabila independentă.

Regula a patra: derivată a câtului a două funcții

Formula pentru determinarea derivatei coeficientului a două funcții:

Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.

Cu orice întrebări pe acest subiect și pe alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. În scurt timp, vă vom ajuta să rezolvați cel mai dificil test și să înțelegeți sarcinile, chiar dacă nu ați mai făcut niciodată calcule derivate.

Algebra este generoasă. Ea dă adesea mai mult decât ceea ce i se cere.

J. d'Alembert

Conexiunile interdisciplinare sunt o condiție didactică și un mijloc de stăpânire profundă și cuprinzătoare a fundamentelor științei la școală.
În plus, ajută la îmbunătățirea cunoștințelor științifice ale studenților, la dezvoltarea gândirii logice și a abilităților lor creative. Implementarea conexiunilor interdisciplinare elimină dublarea în studiul materialului, economisește timp și creează condiții favorabile pentru dezvoltarea abilităților educaționale generale ale elevilor.
Stabilirea de conexiuni interdisciplinare într-un curs de fizică crește eficiența pregătirii politehnice și practice.
Latura motivațională este foarte importantă în predarea matematicii. O problemă de matematică este percepută mai bine de către elevi dacă apare ca în fața ochilor lor și este formulată după luarea în considerare a unor fenomene fizice sau probleme tehnice.
Oricât de mult vorbește un profesor despre rolul practicii în progresul matematicii și despre importanța matematicii pentru studiul fizicii și dezvoltarea tehnologiei, dacă nu arată modul în care fizica influențează dezvoltarea matematicii și cum matematica ajută practica în rezolvarea problemelor sale, atunci dezvoltarea unei viziuni materialiste asupra lumii va fi afectată daune serioase. Dar pentru a arăta cum matematica ajută la rezolvarea problemelor sale, avem nevoie de probleme care nu sunt inventate în scopuri metodologice, ci apar de fapt în diverse domenii ale activității umane practice.

Informații istorice

Calculul diferențial a fost creat de Newton și Leibniz la sfârșitul secolului al XVII-lea pe baza a două probleme:

• despre găsirea unei tangente la o dreaptă arbitrară;
• la găsirea vitezei conform unei legi arbitrare a mișcării.

Chiar și mai devreme, conceptul de derivat a fost întâlnit în lucrările matematicianului italian Nicolo Tartaglia (aproximativ 1500 - 1557) - tangenta a apărut aici în timpul studiului problemei unghiului de înclinare a unui pistol, la care cea mai mare rază de acțiune a proiectilului este asigurată.

În secolul al XVII-lea, pe baza învățăturilor lui G. Galileo despre mișcare, conceptul cinematic al derivatului a fost dezvoltat activ.

Celebrul om de știință Galileo Galilei dedică un întreg tratat despre rolul derivatelor în matematică. Diverse prezentări au început să fie găsite în lucrările lui Descartes, matematicianul francez Roberval și savantul englez L. Gregory. L'Hopital, Bernoulli, Lagrange, Euler și Gauss au adus mari contribuții la studiul calculului diferențial.

Unele aplicații ale derivatelor în fizică

Derivat- conceptul de bază al calculului diferenţial, caracterizarea rata de schimbare a funcției.

Determinat ca limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului ei, deoarece incrementul argumentului tinde spre zero, dacă o astfel de limită există.

Prin urmare,

Deci, pentru a calcula derivata funcției f(x) la punct x 0 prin definiție, aveți nevoie de:

Să luăm în considerare câteva probleme fizice în care se utilizează această schemă.

Problema vitezei instantanee. Sensul mecanic al derivatului

Să ne amintim cum a fost determinată viteza de mișcare. Un punct material se deplasează de-a lungul unei linii de coordonate. Coordonata x a acestui punct este o funcție cunoscută x(t) timp t. Pe perioada de timp de la t 0 inainte de t 0+ deplasarea punctului este x(t 0 + ) – x(t 0) – iar viteza sa medie este: .
De obicei, natura mișcării este de așa natură încât la valori mici, viteza medie rămâne practic neschimbată, adică. miscarea poate fi considerata uniforma cu un grad ridicat de precizie. Cu alte cuvinte, valoarea vitezei medii la tinde către o valoare bine definită, care se numește viteza instantanee. v(t 0) punct material la un moment dat t 0.

Asa de,

Dar prin definiție
Prin urmare, se crede că viteza instantanee la momentul de timp t 0

Raționând în mod similar, aflăm că derivata vitezei în raport cu timpul este accelerația, adică.

Problema capacitatii termice a unui corp

Pentru ca temperatura unui corp care cântărește 1 g să crească de la 0 grade la t grade, organismul trebuie să furnizeze o anumită cantitate de căldură Q. Mijloace, Q există o funcție de temperatură t, la care se încălzește corpul: Q = Q(t). Lasă temperatura corpului să crească de la t 0 inainte de t. Cantitatea de căldură consumată pentru această încălzire este egală cu Raportul este cantitatea de căldură necesară în medie pentru a încălzi corpul cu 1 grad atunci când temperatura se schimbă cu grade. Acest raport se numește capacitatea termică medie a unui corp dat și este notat de mier.
Deoarece capacitatea termică medie nu oferă o idee despre capacitatea termică pentru orice temperatură T, apoi se introduce conceptul de capacitate termică la o anumită temperatură t 0(în acest moment t 0).
Capacitate termica la temperatura t 0(la un punct dat) se numește limită

Problemă privind densitatea liniară a unei tije

Să luăm în considerare o tijă neuniformă.

Pentru o astfel de tijă, se pune întrebarea cu privire la viteza de schimbare a masei în funcție de lungimea acesteia.

Densitatea liniară medie masa tijei este în funcție de lungimea acesteia X.

Astfel, densitatea liniară a unei tije neuniforme într-un punct dat este determinată după cum urmează:

Luând în considerare probleme similare, se pot obține concluzii similare pentru multe procese fizice. Unele dintre ele sunt prezentate în tabel.

Funcţie	Formulă	Concluzie
m(t) – dependența masei de combustibil consumat de timp.		Derivat mase de-a lungul timpului Există viteză consum de combustibil.
T(t) – dependența de timp a temperaturii corpului încălzit.		Derivat temperatura de-a lungul timpului Există vitezăîncălzirea corpului.
m(t) – dependența masei în timpul dezintegrarii unei substanțe radioactive în timp.		Derivat masa substanței radioactive în timp Există viteză dezintegrare radioactivă.
q(t) – dependența cantității de energie electrică care curge prin conductor în timp		Derivat cantitatea de energie electrică în timp Există puterea curentului.
A(t) – dependența muncii de timp		Derivat lucra la timp Există putere.

Sarcini practice:

Un proiectil tras dintr-un tun se deplasează conform legii x(t) = – 4t 2 + 13t (m). Găsiți viteza proiectilului la sfârșitul a 3 secunde.

Cantitatea de electricitate care curge prin conductor, începând cu momentul t = 0 s, este dată de formula q(t) = 2t 2 + 3t + 1 (Kul) Aflați puterea curentului la sfârșitul celei de-a cincea secunde.

Cantitatea de căldură Q (J) necesară pentru a încălzi 1 kg de apă de la 0 o la t o C este determinată de formula Q(t) = t + 0,00002t 2 + 0,0000003t 3. Calculați capacitatea termică a apei dacă t = 100 o.

Corpul se deplasează rectiliniu conform legii x(t) = 3 + 2t + t 2 (m). Determinați viteza și accelerația acestuia la timpi de 1 s și 3 s.

Aflați mărimea forței F care acționează asupra unui punct de masă m, deplasându-se conform legii x(t) = t 2 – 4t 4 (m), la t = 3 s.

Un corp a cărui masă este m = 0,5 kg se deplasează rectiliniu conform legii x(t) = 2t 2 + t – 3 (m). Aflați energia cinetică a corpului la 7 s după începerea mișcării.

Concluzie

Se pot evidenția mult mai multe probleme tehnice, pentru a căror rezolvare este, de asemenea, necesar să se găsească rata de schimbare a funcției corespunzătoare.
De exemplu, găsirea vitezei unghiulare a unui corp în rotație, a coeficientului liniar de expansiune al corpurilor când sunt încălzite, a vitezei unei reacții chimice la un moment dat.
Datorită abundenței de probleme care duc la calcularea ratei de modificare a unei funcții sau, cu alte cuvinte, la calculul limitei raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului, când acesta din urmă tinde la zero, sa dovedit a fi necesară izolarea unei astfel de limite pentru o funcție arbitrară și studierea proprietăților sale de bază. Această limită a fost numită derivata unei functii.

Deci, folosind o serie de exemple, am arătat cum sunt descrise diferite procese fizice folosind probleme matematice, cum analiza soluțiilor ne permite să tragem concluzii și predicții despre cursul proceselor.
Desigur, numărul de exemple de acest fel este uriaș și o parte destul de mare dintre ele sunt destul de accesibile studenților interesați.

„Muzica poate înălța sau alina sufletul,
Pictura este plăcută ochiului,
Poezia este să trezească sentimente,
Filosofia este să satisfacă nevoile minții,
Ingineria este de a îmbunătăți partea materială a vieții oamenilor,
Și matematica poate atinge toate aceste obiective.”

Așa a spus matematicianul american Maurice Cline.

Bibliografie :

1. Abramov A.N., Vilenkin N.Ya.şi altele.Întrebări alese de matematică. Clasa 10. – M: Iluminismul, 1980.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov A.P.În spatele paginilor unui manual de matematică. – M: Iluminismul, 1996.
3. Dobrohotova M.A., Safonov A.N.. Funcția, limita și derivata ei. – M: Iluminismul, 1969.
4. Kolmogorov A.N., Abramov A.M.şi altele.Algebra şi începuturile analizei matematice. – M: Educație, 2010.
5. Kolosov A.A. O carte de lectură extracurriculară despre matematică. – M: Uchpedgiz, 1963.
6. Fikhtengolts G.M. Fundamentele analizei matematice, partea 1 – M: Nauka, 1955.
7. Yakovlev G.N. Matematică pentru școlile tehnice. Algebra și începuturile analizei, partea 1 - M: Nauka, 1987.

Uneori, în problema B9 de la examenul de stat unificat de matematică, în loc de graficele preferate ale tuturor unei funcții sau derivate, este dată pur și simplu ecuația distanței de la un punct la origine. Ce să faci în acest caz? Cum să găsești viteza sau accelerația de la distanță.

Este de fapt simplu. Viteza este derivata distanței, iar accelerația este derivata vitezei (sau, echivalent, derivata a doua a distanței). În acest scurt videoclip, veți vedea că astfel de probleme nu sunt rezolvate mai greu decât „clasicul” B9.

Astăzi vom analiza două probleme privind semnificația fizică a derivatelor de la Examenul Unificat de Stat la matematică. Aceste sarcini se găsesc în partea B și sunt semnificativ diferite de cele pe care majoritatea studenților sunt obișnuiți să le vadă pe mostre și examene. Chestia este că necesită înțelegerea semnificației fizice a derivatei unei funcții. În aceste probleme vom vorbi despre funcții care exprimă distanțe.

Dacă $S=x\left(t\right)$, atunci putem calcula $v$ după cum urmează:

Aceste trei formule sunt tot ce ai nevoie pentru a rezolva astfel de exemple despre semnificația fizică a derivatului. Nu uitați că $v$ este derivata distanței, iar accelerația este derivata vitezei.

Să vedem cum funcționează acest lucru în rezolvarea problemelor reale.

Exemplul #1

unde $x$ este distanța de la punctul de referință în metri, $t$ este timpul în secunde care a trecut de la începutul mișcării. Aflați viteza punctului (în m/s) la momentul $t=2c$.

Aceasta înseamnă că avem o funcție care specifică distanța, dar trebuie să calculăm viteza la momentul $t=2c$. Cu alte cuvinte, trebuie să găsim $v$, adică.

Asta este tot ce ne trebuia să ne dăm seama din condiție: în primul rând, cum arată funcția și, în al doilea rând, ce trebuie să găsim.

Să decidem. Mai întâi de toate, să calculăm derivata:

\[(x)"\left(t \right)=-\frac(1)(5)\cdot 5((t)^(4))+4((t)^(3))-3(( t)^(2))+5\]

\[(x)"\left(t \right)=-((t)^(4))+4((t)^(3))-3((t)^(2))+5\]

Trebuie să găsim derivata la punctul 2. Să înlocuim:

\[(x)"\left(2 \right)=-((2)^(4))+4\cdot ((2)^(3))-3\cdot ((2)^(2)) +5=\]

\[=-16+32-12+5=9\]

Gata, am gasit raspunsul final. În total, viteza punctului nostru material la momentul $t=2c$ va ​​fi de 9 m/s.

Exemplul nr. 2

Un punct material se deplasează conform legii:

unde $x$ este distanța de la punctul de referință în metri, $t$ este timpul în secunde, măsurat de la începutul mișcării. În ce moment a fost viteza sa egală cu 3 m/s?

Uite, data trecută ni s-a cerut să găsim $v$ la un moment de 2 s, iar de data aceasta ni se cere să găsim exact momentul în care această viteză este egală cu 3 m/s. Putem spune că știm valoarea finală, iar din această valoare finală trebuie să găsim cea inițială.

În primul rând, căutăm din nou derivata:

\[(x)"\left(t \right)=\frac(1)(3)\cdot 3((t)^(2))-4\cdot 2t+19\]

\[(x)"\left(t \right)=((t)^(2))-8t+19\]

Ni se cere să aflăm în ce moment viteza va fi de 3 m/s. Compunem și rezolvăm o ecuație pentru a găsi semnificația fizică a derivatei:

\[((t)^(2))-8t+19=3\]

\[((t)^(2))-8t+16=0\]

\[((\left(t-4 \right))^(2))=0\]

Numărul rezultat înseamnă că la momentul 4 s $v$ ai unui punct material care se deplasează conform legii descrise mai sus vor fi exact 3 m/s.

Puncte cheie

În concluzie, să trecem din nou peste cel mai important punct al sarcinii de astăzi, și anume, regula de conversie a distanței în viteză și accelerație. Deci, dacă problema ne descrie direct o lege care indică direct distanța de la un punct material la un punct de referință, atunci prin această formulă putem găsi orice viteză instantanee (aceasta este doar o derivată). Și mai mult, putem găsi și accelerație. Accelerația, la rândul ei, este egală cu derivata vitezei, adică. derivata a doua a distantei. Astfel de probleme sunt destul de rare, așa că nu ne-am uitat la ele astăzi. Dar dacă vedeți cuvântul „accelerare” în stare, nu lăsați să vă sperie, doar găsiți un alt derivat.

Sper că această lecție vă va ajuta să vă pregătiți pentru examenul de stat unificat la matematică.