Pentru o înțelegere mai profundă a ceea ce se întâmplă în acest articol, puteți citi.

Considerăm un sistem omogen de ecuații diferențiale de ordinul trei

Aici x(t), y(t), z(t) sunt funcțiile necesare pe intervalul (a, b), iar ij (i, j =1, 2, 3) sunt numere reale.

Să scriem sistemul original sub formă de matrice
,
Unde

Vom căuta o soluție la sistemul original în formular
,
Unde , C 1 , C 2 , C 3 sunt constante arbitrare.

Pentru a găsi sistemul fundamental de soluții, trebuie să rezolvați așa-numita ecuație caracteristică

Această ecuație este o ecuație algebrică de ordinul trei, prin urmare are 3 rădăcini. Sunt posibile următoarele cazuri:

1. Rădăcinile (valorile proprii) sunt reale și distincte.

2. Printre rădăcini (valori proprii) sunt conjugate complexe, fie
- rădăcină adevărată
=

3. Rădăcinile (valorile proprii) sunt reale. Una dintre rădăcini este un multiplu.

Pentru a ne da seama cum să acționăm în fiecare dintre aceste cazuri, vom avea nevoie de:
Teorema 1.
Fie valorile proprii distincte pe perechi ale matricei A și fie vectorii lor proprii corespunzători. Apoi

formează un sistem fundamental de soluții pentru sistemul original.

Comentariu .
Fie valoarea proprie reală a matricei A (rădăcina reală a ecuației caracteristice) și fie vectorul propriu corespunzător.
= - valori proprii complexe ale matricei A, - corespunzătoare - vector propriu. Apoi

(Re-parte reală, Im-parte imaginară)
formează un sistem fundamental de soluții pentru sistemul original. (adică și = considerate împreună)

Teorema 3.
Fie rădăcina ecuației caracteristice a multiplicității 2. Atunci sistemul original are 2 soluții liniar independente de forma
,
unde , sunt constante vectoriale. Dacă multiplicitatea este 3, atunci există 3 soluții liniar independente ale formei
.
Vectorii se găsesc prin înlocuirea soluțiilor (*) și (**) în sistemul original.
Pentru a înțelege mai bine metoda de găsire a soluțiilor de forma (*) și (**), consultați exemplele tipice de mai jos.

Acum să ne uităm la fiecare dintre cazurile de mai sus mai detaliat.

1. Algoritm de rezolvare a sistemelor omogene de ecuații diferențiale de ordinul trei în cazul diferitelor rădăcini reale ale ecuației caracteristice.
Având în vedere sistemul

1) Compunem o ecuație caracteristică

- valori proprii reale și distincte ale celor 9 rădăcini ale acestei ecuații).
2) Construim unde

3) Construim unde
- vectorul propriu al matricei A, corespunzător lui , i.e. - orice soluție de sistem

4) Construim unde
- vectorul propriu al matricei A, corespunzător lui , i.e. - orice soluție de sistem

5)

constituie un sistem fundamental de soluţii. În continuare scriem soluția generală a sistemului original sub forma
,
aici C 1, C 2, C 3 sunt constante arbitrare,
,
sau sub formă de coordonate

Să ne uităm la câteva exemple:
Exemplul 1.




2) Găsiți


3) Găsiți


4) Funcții vectoriale



sau în notație de coordonate

Exemplul 2.

1) Compunem și rezolvăm ecuația caracteristică:

2) Găsiți


3) Găsiți


4) Găsiți


5) Funcții vectoriale

formează un sistem fundamental. Soluția generală are forma

sau în notație de coordonate

2. Algoritm de rezolvare a sistemelor omogene de ecuații diferențiale de ordinul trei în cazul rădăcinilor conjugate complexe ale ecuației caracteristice.


- rădăcină reală,

2) Construim unde

3) Construim

- vectorul propriu al matricei A, corespunzător lui , i.e. satisface sistemul

Aici Re este partea reală
Im - parte imaginară
4) constituie un sistem fundamental de soluţii. În continuare scriem soluția generală a sistemului original:
, Unde
C 1, C 2, C 3 sunt constante arbitrare.

Exemplul 1.

1) Compuneți și rezolvați ecuația caracteristică

2) Construim

3) Construim
, Unde

Să reducem prima ecuație cu 2. Apoi adunăm prima ecuație înmulțită cu 2i la a doua ecuație și scădem pe prima înmulțită cu 2 din a treia ecuație.

Următorul

Prin urmare,

4) - sistem fundamental de soluţii. Să notăm soluția generală a sistemului original:

Exemplul 2.

1) Compunem și rezolvăm ecuația caracteristică


2) Construim

(adică și considerate împreună), unde

Înmulțiți a doua ecuație cu (1-i) și reduceți cu 2.


Prin urmare,

3)
Soluția generală a sistemului original

sau

2. Algoritm de rezolvare a sistemelor omogene de ecuații diferențiale de ordinul trei în cazul rădăcinilor multiple ale ecuației caracteristice.
Compunem și rezolvăm ecuația caracteristică

Există două cazuri posibile:

Luați în considerare cazul a) 1), unde

- vectorul propriu al matricei A, corespunzător lui , adică satisface sistemul

2) Să ne referim la teorema 3, din care rezultă că există două soluții liniar independente de forma
,
unde , sunt vectori constanți. Să le luăm pentru.
3) - sistem fundamental de soluţii. În continuare scriem soluția generală a sistemului original:

Luați în considerare cazul b):
1) Să ne referim la teorema 3, din care rezultă că există trei soluții liniar independente de forma
,
unde , , sunt vectori constanți. Să le luăm pentru.
2) - sistem fundamental de soluţii. În continuare scriem soluția generală a sistemului original.

Pentru a înțelege mai bine cum să găsiți soluții de forma (*), luați în considerare câteva exemple tipice.

Exemplul 1.

Compunem și rezolvăm ecuația caracteristică:

Avem cazul a)
1) Construim
, Unde

Din a doua ecuație o scădem pe prima:

? A treia linie este similară cu a doua, o tăiem. Scădeți a doua din prima ecuație:

2) = 1 (multiplii lui 2)
Conform T.3, această rădăcină trebuie să corespundă la două soluții liniar independente de forma .
Să încercăm să găsim toate soluțiile liniar independente pentru care, i.e. solutii de forma
.
Un astfel de vector va fi o soluție dacă și numai dacă vectorul propriu corespunde lui =1, adică.
, sau
, a doua și a treia linie sunt similare cu prima, aruncați-le.

Sistemul a fost redus la o singură ecuație. În consecință, există două necunoscute gratuite, de exemplu, și . Să le dăm mai întâi valorile 1, 0; apoi valorile 0, 1. Obținem următoarele soluții:
.
Prin urmare, .
3) - sistem fundamental de soluţii. Rămâne să notăm soluția generală a sistemului original:
.
sau

.. Astfel, există o singură soluție de forma Să substituim X 3 în acest sistem: Taiați a treia linie (este asemănătoare celei de-a doua). Sistemul este consistent (are o soluție) pentru orice c. Fie c=1.

Matrici. Acțiuni asupra matricelor. Proprietăţi ale operaţiilor pe matrice. Tipuri de matrice. Matrici (și, în consecință, secțiunea matematică - algebră matriceală)

sunt importante în matematica aplicată, deoarece permit să scrieți o parte semnificativă a modelelor matematice de obiecte și procese într-o formă destul de simplă. Termenul „matrice” a apărut în 1850. Matricele au fost menționate pentru prima dată în China antică, iar mai târziu de către matematicienii arabi. Matrice A=A min se numește ordinul m*n.

tabel dreptunghiular de numere care conține m - rânduri și n - coloane Elemente de matrice aij, pentru care i=j se numesc diagonală și formă.

diagonala principală

Pentru o matrice pătrată (m=n), diagonala principală este formată din elementele a 11, a 22,..., a nn.

Egalitatea matricei. A=B , dacă matricea comandă O Şi B sunt la fel și

a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Acțiuni asupra matricelor.

1. Adunarea matricei - operație în funcție de elemente

Scăderea matricei - operație în funcție de elemente

3. Produsul dintre o matrice și un număr este o operație în funcție de elemente 4. Înmulțirea A*B matrice conform regulii rând la coloană

(numărul de coloane ale matricei A trebuie să fie egal cu numărul de rânduri ale matricei B) A mk *B kn =C mn și fiecare element cu ij matrici Cmn

este egală cu suma produselor elementelor rândului i al matricei A cu elementele corespunzătoare ale coloanei j a matricei B.

6. Să arătăm operația de înmulțire a matricei folosind un exemplu:

Transpunerea matricei A. Matricea transpusă este notată cu A T sau A"

Rândurile și coloanele schimbate

Exemplu

Proprietăţi ale operaţiilor pe matrice

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

Tipuri de matrice

1. Dreptunghiular: m O n- numere întregi pozitive arbitrare

2. Pătrat: m=n

3. Rând matrice: m=1. De exemplu, (1 3 5 7) - în multe probleme practice o astfel de matrice se numește vector

4. Coloana Matrice: n=1. De exemplu

5. Matricea diagonală: m=n O a ij =0, Dacă i≠j. De exemplu

6. Matricea de identitate: m=nŞi

7. Matrice zero: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Matrice triunghiulară: toate elementele de sub diagonala principală sunt 0.

9. Matrice pătrată: m=n O a ij =a ji(adică, elementele egale sunt situate în locuri simetrice față de diagonala principală) și, prin urmare A"=A

De exemplu,

Matrice inversă- o astfel de matrice A−1, atunci când este înmulțit cu care matricea originală , dacă matricea comandă rezultă în matricea identităţii E:

O matrice pătrată este inversabilă dacă și numai dacă este nesingulară, adică determinantul său nu este egal cu zero. Pentru matricele nepătrate și matricele singulare, nu există matrici inverse. Cu toate acestea, este posibil să se generalizeze acest concept și să se introducă matrici pseudoinverse, care sunt similare cu inversele în multe proprietăți.

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei.

Să ne uităm la metoda matricei folosind exemple. În unele exemple nu vom descrie în detaliu procesul de calcul al determinanților matricilor.

Exemplu.

Folosind matricea inversă, găsiți soluția sistemului de ecuații liniare

.

Soluţie.

Sub formă de matrice, sistemul original va fi scris ca, unde . Să calculăm determinantul matricei principale și să ne asigurăm că este diferit de zero. În caz contrar, nu vom putea rezolva sistemul folosind metoda matricei. Avem , prin urmare, pentru matrice O se poate găsi matricea inversă. Astfel, dacă găsim matricea inversă, atunci definim soluția necesară a SLAE ca . Deci, sarcina a fost redusă la construirea matricei inverse. Să o găsim.

Matricea inversă poate fi găsită folosind următoarea formulă:

, unde este determinantul matricei A, este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei .

Conceptul de matrice inversă există doar pentru matrice pătrată, matrice „două câte două”, „trei câte trei”, etc.

Coordonatele polare. În sistemul de coordonate polare, poziția punctului M

M

COORDONATE DREPTUNGULARE ÎN SPAȚIU

DREPT

1. Ecuația generală a unei drepte. Orice ecuație de gradul întâi în raport cu x și y, adică o ecuație de forma:

(1) Ax+Bu+C=0 numit. comunități prin ecuația dreptei ( + ≠0), A, B, C - COEFICIENȚI CONSTANTI.

CURBELE DE ORDIN A DOUA

1. Cercul. Un cerc este un set de puncte dintr-un plan, echidistant -

echidistant de un punct dat (centru). Dacă r este raza cercului și punctul C (a; b) este centrul acestuia, atunci ecuația cercului are forma:

Hiperbolă. O hiperbola este un set de puncte dintr-un plan, absolutul

mărimea diferenței de distanțe până la două puncte date, numite fo-

bucăți, există o valoare constantă (se notează cu 2a), iar această constantă este mai mică decât distanța dintre focare. Dacă plasăm focarele hiperbolei în punctele F1 (c; 0) și F2(- c; 0), obținem ecuația canonică a hiperbolei

GEOMETRIA ANALITĂ ÎN SPAȚIU

PLAT SI DREPT

plan, numit vector normal.

Suprafata de ordinul doi

Suprafata de ordinul doi- locul geometric al punctelor din spațiul tridimensional ale căror coordonate dreptunghiulare satisfac o ecuație de formă

în care cel puțin unul dintre coeficienți , , , , , este diferit de zero.

Tipuri de suprafețe de ordinul doi

Suprafețe cilindrice

Suprafața se numește suprafata cilindrica cu generatoare, dacă pentru orice punct al acestei suprafețe linia dreaptă care trece prin acest punct paralel cu generatricea aparține în întregime suprafeței.

Teoremă (despre ecuația unei suprafețe cilindrice).
Dacă într-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene suprafața are ecuația , atunci este o suprafață cilindrică cu o generatrică paralelă cu axa.

Se numește o curbă definită de o ecuație în plan ghid suprafata cilindrica.

Dacă ghidajul unei suprafețe cilindrice este dat de o curbă de ordinul doi, atunci o astfel de suprafață se numește suprafata cilindrica de ordinul doi .

Cilindru eliptic:	Cilindru parabolic:	Cilindru hiperbolic:
O pereche de linii potrivite:	Pereche de avioane coincidente:	Pereche de planuri care se intersectează:

Suprafețe conice

Suprafata conica.

Articolul principal:Suprafata conica

Suprafața se numește suprafață conică cu vârf în punct, dacă pentru orice punct al acestei suprafețe linia dreaptă care trece prin și aparține în întregime acestei suprafețe.

Funcția este numită ordine omogenă, dacă următoarele sunt adevărate:

Teorema (pe ecuația unei suprafețe conice).
Dacă într-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene suprafața este dată de ecuație , unde este o funcție omogenă, atunci este o suprafață conică cu un vârf la origine.

Dacă o suprafață este definită de o funcție care este un polinom algebric omogen de ordinul doi, atunci se numește suprafata conica de ordinul doi .

· Ecuația canonică a unui con de ordinul doi are forma:

Suprafețe de revoluție]

Suprafața se numește suprafata de rotatie in jurul unei axe, dacă pentru orice punct a acestei suprafeţe un cerc care trece prin acest punct într-un plan cu centru la şi rază , aparține în întregime acestei suprafețe.

Teorema (despre ecuația unei suprafețe de revoluție).
Dacă într-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene suprafața este dată de ecuație, atunci este o suprafață de revoluție în jurul axei.

Elipsoid:	Hiperboloid cu o singură foaie:	Hiperboloid cu două foi:	Paraboloid eliptic:

În cazul , suprafețele enumerate mai sus sunt suprafețe de revoluție.

Paraboloid eliptic

Ecuația unui paraboloid eliptic este

Dacă , atunci un paraboloid eliptic este o suprafață de revoluție formată prin rotația unei parabole al cărei parametru , în jurul unei axe verticale care trece prin vârful și focalizarea unei parabole date.

Intersecția unui paraboloid eliptic cu un plan este o elipsă.

Intersecția unui paraboloid eliptic cu un plan sau este o parabolă.

Paraboloid hiperbolic]

Paraboloid hiperbolic.

Ecuația unui paraboloid hiperbolic are forma

Intersecția unui paraboloid hiperbolic cu un plan este o hiperbolă.

Intersecția unui paraboloid hiperbolic cu un plan sau este o parabolă.

Datorită asemănării sale geometrice, un paraboloid hiperbolic este adesea numit „șa”.

Suprafețe centrale

Dacă centrul unei suprafețe de ordinul doi există și este unic, atunci coordonatele sale pot fi găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații:

Astfel, semnul care este atribuit minorului elementului corespunzător al determinantului este determinat de următorul tabel:

În egalitatea de mai sus care exprimă determinantul de ordinul trei,

în partea dreaptă se află suma produselor elementelor din rândul 1 al determinantului și complementele lor algebrice.

Teorema 1. Determinantul de ordinul trei este egal cu suma produselor

elemente ale oricăruia dintre rândurile sau coloanele sale în complementele lor algebrice.

Această teoremă vă permite să calculați valoarea determinantului, dezvăluind-o conform

elemente ale oricăruia dintre rândurile sau coloanele sale.

Teorema 2. Suma produselor elementelor oricărui rând (coloană)

determinantul complementelor algebrice ale elementelor unui alt rând (coloană) este egal cu zero.

Proprietățile determinanților.

1°. Determinantul nu se va schimba dacă rândurile determinantului sunt înlocuite cu coloană

tsami, iar coloanele sunt rândurile corespunzătoare.

2°. Factorul comun al elementelor oricărui rând (sau coloană) poate

fi dus dincolo de semnul determinant.

3°. Dacă elementele unui rând (coloană) a determinantului, respectiv

sunt egale cu elementele altui rând (coloană), atunci determinantul este egal cu zero.

4°. La rearanjarea a două rânduri (coloane), determinantul schimbă semnul în

opus.

5°. Determinantul nu se va schimba dacă elementele aceluiași rând (coloană)

se adună elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană), înmulțite cu același număr (teorema privind combinația liniară a serii paralele a determinantului).

Rezolvarea unui sistem de trei ecuații liniare în trei necunoscute.

găsit folosind formulele lui Cramer

Se presupune că D ≠0 (dacă D = 0, atunci sistemul original este fie incert, fie inconsecvent).

Dacă sistemul este omogen, adică are forma

iar determinantul său este diferit de zero, atunci are o soluție unică x = 0,

Dacă determinantul unui sistem omogen este egal cu zero, atunci sistemul este redus

fie la două ecuații independente (a treia este consecința lor), fie la

o ecuație (celelalte două sunt consecințele ei). Primul caz

apare atunci când printre minorii determinantului unui sistem omogen există

cel puțin unul este diferit de zero, al doilea este atunci când toți minorii acestui determinant sunt egali cu zero. În ambele cazuri, un sistem omogen are un număr infinit de soluții.

Calculați determinant de ordinul trei

Curs: Determinanți și sisteme de ecuații liniare

1. Determinanți ai ordinului al doilea și al treilea și proprietățile acestora

1.1. Conceptul de matrice și de un determinant de ordinul doi

Un tabel dreptunghiular de numere,

matrice. Pentru a indica matricea, utilizați fie verticală dublă

liniuțe sau paranteze. De exemplu:

1 7 9.2 1 7 9.2

28 20 18 28 20 18

6 11 2 -6 11 2

Dacă numărul de rânduri ale unei matrice coincide cu numărul coloanelor sale, atunci matricea se numește

pătrat. Numerele care alcătuiesc matricea o numesc elemente.

Luați în considerare o matrice pătrată formată din patru elemente:

Determinantul de ordinul doi corespunzător matricei (3.1) este numărul

și notat cu simbolul

Deci, prin definiție

Elementele care alcătuiesc matricea unui determinat determinant sunt de obicei numite

elemente ale acestui determinant.

Următoarea afirmație este adevărată: pentru ca determinantul celui de-al doilea

ordinea a fost egală cu zero, este necesar și suficient ca elementele rândurilor sale (sau

conform coloanelor sale) erau proporţionale.

Pentru a dovedi această afirmație, este suficient să rețineți că fiecare dintre

proportii /

este echivalent cu egalitatea

Iar ultima egalitate, în virtutea (3.2), este echivalentă cu dispariția determinantului.

1.2. Sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute

Vom arăta cum sunt utilizați determinanții de ordinul doi pentru a studia și

găsirea de soluții la un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute

(coeficienți,

și membri gratuiti,

sunt considerate date). Amintiți-vă că o pereche de numere

Chemat

soluția sistemului (3.3), dacă este înlocuită aceste numere

și în acest sistem

transformă ambele ecuații (3.3) în identități.

Înmulțirea primei ecuații a sistemului (3.3) cu -

Iar al doilea - pe -i

apoi adunând egalitățile rezultate, obținem

În mod similar, înmulțind ecuațiile (3.3) cu - și, respectiv, obținem:

Să introducem următoarea notație:

Folosind această notație și expresia pentru determinantul de ordinul doi

ecuațiile (3.4) și (3.5) pot fi rescrise astfel:

Determinant,

compus din coeficienți pentru necunoscutele sistemului (3.3), se numește de obicei

determinant al acestui sistem. Rețineți că determinanții

si sunt obtinute din

determinant de sistem

prin înlocuirea primei sau celei de-a doua coloane a acesteia cu altele libere

Se pot prezenta două cazuri: 1) determinant de sistem

diferit de zero; 2) acest determinant este egal cu zero.

Să luăm în considerare mai întâi cazul

0. Din ecuațiile (3.7) obținem imediat formule pentru necunoscute,

numit Formule Cramer:

Formulele Cramer rezultate (3.8) dau o soluție sistemului (3.7) și, prin urmare, demonstrează

unicitatea soluției la sistemul original (3.3). Într-adevăr, sistemul (3.7)

este o consecință a sistemului (3.3), prin urmare orice soluție a sistemului (3.3) (în

caz dacă există!) trebuie să fie o soluție pentru sistem (3.7). Aşa,

până acum s-a dovedit că dacă sistemul original (3.3) există pt

0 soluție, atunci această soluție este determinată în mod unic de formulele Cramer (3.8).

Este ușor de verificat existența unei soluții, adică. ce despre

0 două numere și

Definit prin formulele Cramer (3.8). fiind pus în locul necunoscutului în

ecuațiile (3.3), transformă aceste ecuații în identități. (Oferim cititorului

notează-te singur expresiile pentru determinanți

Și asigurați-vă că identitățile indicate sunt corecte.)

Ajungem la următoarea concluzie: dacă determinantul

sistemul (3.3) este diferit de zero, atunci există și, în plus, o soluție unică la aceasta

sistem definit de formulele Cramer (3.8).

Să luăm acum în considerare cazul în care determinantul

sistemul este egal zero. Ei se pot prezenta două subcazuri: a) deși

ar fi unul dintre factorii determinanți

sau , diferit de

zero; b) ambii determinanţi

și sunt egale cu zero. (Dacă

determinant şi

unul dintre cele două calificative

și sunt egale cu zero, atunci

celălalt dintre acești doi determinanți este egal cu zero. De fapt, lasă

de exemplu = 0

Apoi din aceste proporții obținem asta

În subcazul a) cel puțin una dintre egalitățile (3.7) se dovedește a fi imposibilă, adică.

sistemul (3.7) nu are soluții și, prin urmare, sistemul original nu are soluții

(3.3) (a cărui consecință este sistemul (3.7)).

În subcazul b) sistemul original (3.3) are un număr infinit de soluții. ÎN

de fapt, din egalităţi

0 și din declarația de la sfârșitul secțiunii. 1.1 concluzionăm că a doua ecuație a sistemului

(3.3) este o consecință a primei și poate fi aruncată. Dar o ecuație cu

două necunoscute

are infinit de soluții (cel puțin unul dintre coeficienți

Sau diferit de

zero, iar necunoscuta asociată cu acesta poate fi determinată din ecuația (3.9)

printr-o valoare specificată în mod arbitrar a unei alte necunoscute).

Astfel, dacă determinantul

sistemul (3.3) este egal cu zero, atunci sistemul (3.3) fie nu are deloc soluții (în

caz dacă cel puțin unul dintre determinanți

sau diferit de

zero), sau are un număr infinit de soluții (în cazul în care

0). În ultimul

caz, două ecuații (3.3) pot fi înlocuite cu una și la rezolvarea acesteia, una

necunoscutul este setat arbitrar.

Comentariu. În cazul în care membrii liberi

și sunt egale cu zero,

sistem liniar (3.3) se numește omogen. Rețineți că omogen

sistemul are întotdeauna o așa-numită soluție trivială:

0, = 0 (acești doi

numerele transformă ambele ecuații omogene în identități).

Dacă determinantul unui sistem omogen

este diferit de zero, atunci acest sistem are doar o soluție banală. Dacă

= 0, atunci sistemul omogen are un număr infinit de soluții(din moment ce

pentru un sistem omogen este exclusă posibilitatea de a nu exista soluţii). Aşa

mod, un sistem omogen are o soluție netrivială dacă și numai dacă

în cazul în care determinantul său este egal cu zero.

Secțiunea 3.3 a arătat limitările care apar la urmărirea semnalelor de frecvență diferită folosind un sistem de ordinul doi. Să luăm acum în considerare posibilitatea de a atenua unele dintre aceste restricții prin introducerea unui al doilea integrator în sistem. Se dovedește că procesul de captare pentru un sistem de ordinul al treilea este mai puțin stabil decât pentru un sistem de ordinul al doilea, dar cu ajutorul celui de-al doilea integrator este posibil să se extindă intervalul de urmărire a unui sistem care a fost deja capturat la început. moment. Funcția de transfer al filtrului arată acum

iar din (3.1) rezultă:

După substituție, această expresie se reduce la forma

Normalizarea și introducerea notațiilor obținem

Metoda uzuală a planului de fază nu este aplicabilă ecuațiilor diferențiale de ordinul trei datorită faptului că în acest caz există trei condiții inițiale corespunzătoare a trei variabile: fază, frecvență și viteza de schimbare a frecvenței (în sistemele mecanice - deplasarea, viteza și accelerare). În principiu, traiectorii definite de o ecuație de ordinul trei ar putea fi reprezentate în spațiul tridimensional. Orice încercare de a proiecta aceste traiectorii pentru J set de condiții inițiale pe plan ar duce la o diagramă atât de confuză încât ar fi imposibil să tragem concluzii generale din aceasta.

Pe de altă parte, dacă ne limităm la un set de condiții inițiale, putem obține o proiecție a traiectoriei pe plan. De o importanță deosebită este următorul set de condiții inițiale: Cu alte cuvinte, sistemul este inițial blocat, astfel încât erorile de frecvență și fază să fie zero atunci când frecvența de referință începe să se schimbe liniar.

Este ușor să schimbați structura dispozitivului de calcul analogic pentru a permite introducerea unui al doilea integrator.

Orez. 3.19. Proiecții ale traiectoriilor în spațiul fazelor pentru o buclă de ordinul trei

(vezi scanare)

În fig. Figura 3.19 prezintă o serie de traiectorii proiectate pe plan. În toate cazurile luate în considerare, deci . Într-un „spațiu de fază” tridimensional ipotetic, traiectorii încep într-un punct și se termină la o axă

În fig. 3.19, a arată comportamentul sistemului de ordinul doi în aceleași condiții inițiale. Valoarea finală sau la starea staționară a fazei este aceeași cu cea prezentată în § 3.3. Introducerea unui al doilea integrator duce la o scădere a erorii de fază în regim de echilibru la zero, cu cât este mai rapidă, cu atât este mai mare, pe măsură ce cea mai mare eroare de fază crește, aceasta scade, totuși, datorită unei scăderi a atenuării sistemului. ceea ce duce la o creștere a erorii de fază pătrată medie (vezi Fig. 3.19, b - 3.19, g). În cele din urmă, când sistemul devine instabil.

Îmbunătățirea obținută prin creșterea ordinii sistemului este ilustrată în Fig. 3.20. Aici ca înainte, dar... În § 3.3 s-a arătat că la această viteză sau mai mare a schimbării frecvenței liniare, sistemul nu a putut efectua urmărirea. Orez. 3.20, dar confirmă această împrejurare. Pe de altă parte, chiar și cu cel mai mic grad de influență al celui de-al doilea integrator, se obține o eroare de fază în stare constantă zero. Cea mai mare valoare instantanee a nepotrivirii de fază scade pe măsură ce coeficientul crește, dar atunci când coeficientul crește, sistemul devine din nou instabil.

Caracteristici similare sunt vizibile în Fig. 3.21-3.23, cu excepția faptului că, pe măsură ce raportul crește, sunt necesare valori din ce în ce mai mari ale coeficientului pentru a menține sistemul într-o stare de captare În cele din urmă, pe măsură ce raportul se apropie de 2 sau la, este necesar să fie aproximativ 1/2. Dar din fig. 3,19, g - 3,23, h este clar că la această valoare sistemul este instabil. Intervalul valorilor coeficientului la care sistemul rămâne în starea de captare, în funcție de raport, este prezentat în Fig. 3.24-3.26 cu valori, respectiv. Gama de valori admisibile ale coeficientului este umbrită. Se poate observa că, cu o schimbare liniară a frecvenței, introducerea unui sistem de ordinul trei a făcut posibilă extinderea intervalului în care se obține urmărirea, aproximativ.

Orez. 3.20. Proiecții ale traiectoriilor în spațiul fazelor pentru o buclă de ordinul trei

(vezi scanare)

Orez. 3.21. Proiecții ale traiectoriilor în spațiul fazelor pentru o buclă de ordinul trei

(vezi scanare)

Orez. 3.22. Proiecții ale traiectoriilor în spațiul fazelor pentru o buclă de ordinul trei

(vezi scanare)

Orez. 3.23. Proiecții ale traiectoriilor în spațiul fazelor pentru o buclă de ordinul trei

(vezi scanare)

Orez. 3.24. Regiune de stat de captare a sistemului de ordinul trei

Orez. 3.25. Regiune de stat de captare a sistemului de ordinul trei

Orez. 3.26. Regiune de stat de captare a sistemului de ordinul trei

de două ori mai mult în comparație cu un sistem de ordinul doi la și chiar mai mare la valori mai mici

Este posibil să se explice teoretic natura oscilativă a modificării coeficientului b atunci când valorile sale sunt aproximativ sau mai mari de 1/2. Diferențiând ecuația (3.41), obținem

Să considerăm un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute

Folosind determinanți de ordinul 3, soluția unui astfel de sistem poate fi scrisă în aceeași formă ca și pentru un sistem de două ecuații, i.e.

(2.4)

dacă 0. Aici

E acolo regula lui Cramer rezolvarea unui sistem de trei ecuații liniare în trei necunoscute.

Exemplul 2.3. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind regula lui Cramer:

Soluţie . Găsirea determinantului matricei principale a sistemului

Deoarece 0, atunci pentru a găsi o soluție la sistem putem aplica regula lui Cramer, dar mai întâi calculăm încă trei determinanți:

Examinare:

Prin urmare, soluția a fost găsită corect. 

Regulile lui Cramer obținute pentru sistemele liniare de ordinul 2 și 3 sugerează că aceleași reguli pot fi formulate pentru sistemele liniare de orice ordin. Se întâmplă cu adevărat

teorema lui Cramer. Sistem pătratic de ecuații liniare cu un determinant diferit de zero al matricei principale a sistemului (0) are una și o singură soluție și această soluție se calculează folosind formulele

(2.5)

Unde  – determinant al matricei principale,  i – determinant matriceal, obtinut din cel principal, inlocuindia-a coloană a membrilor liberi.

Rețineți că dacă =0, atunci regula lui Cramer nu se aplică. Aceasta înseamnă că sistemul fie nu are deloc soluții, fie are infinite de soluții.

După ce a formulat teorema lui Cramer, se pune în mod firesc întrebarea de a calcula determinanții de ordine superioară.

2.4. Determinanți de ordinul al n-lea

Minor suplimentar M ij element o ij este un determinant obținut dintr-un dat prin ștergere i a linia și j a coloana. Complement algebric , dacă matricea comandă ij element o ij minorul acestui element luat cu semnul (–1) se numește i + j, adică , dacă matricea comandă ij = (–1) i + j M ij .

De exemplu, să găsim minorele și complementele algebrice ale elementelor o 23 și o 31 de calificari

Primim



Folosind conceptul de complement algebric putem formula teorema expansiunii determinanten-a ordinea după rând sau coloană.

Teorema 2.1. Determinant de matrice, dacă matricea comandăeste egală cu suma produselor tuturor elementelor unui anumit rând (sau coloană) prin complementele lor algebrice:

(2.6)

Această teoremă stă la baza uneia dintre principalele metode de calcul a determinanților, așa-numitele. metoda de reducere a comenzii. Ca urmare a extinderii determinantului n ordinea de pe orice rând sau coloană, obținem n determinanți ( n-1) ordinul. Pentru a avea mai puțini astfel de determinanți, este indicat să selectați rândul sau coloana care are cele mai multe zerouri. În practică, formula de expansiune pentru determinant este de obicei scrisă ca:

aceste. adaosurile algebrice sunt scrise explicit în termeni de minori.

Exemple 2.4. Calculați determinanții sortându-i mai întâi într-un rând sau coloană. De obicei, în astfel de cazuri, selectați coloana sau rândul care are cele mai multe zerouri. Rândul sau coloana selectată va fi indicată printr-o săgeată.



2.5. Proprietățile de bază ale determinanților

Extinderea determinantului pe orice rând sau coloană, obținem n determinanți ( n-1) ordinul. Apoi fiecare dintre acești determinanți ( n Ordinul –1 poate fi, de asemenea, descompus într-o sumă de determinanți ( n– 2) ordinul. Continuând acest proces, se poate ajunge la determinanții de ordinul 1, adică. la elementele matricei al cărei determinant se calculează. Deci, pentru a calcula determinanții de ordinul 2, va trebui să calculați suma a doi termeni, pentru determinanții de ordinul 3 - suma a 6 termeni, pentru determinanții de ordinul 4 - 24 de termeni. Numărul de termeni va crește brusc pe măsură ce ordinea determinantului crește. Aceasta înseamnă că calcularea factorilor determinanți ai comenzilor foarte mari devine o sarcină destul de intensivă în muncă, dincolo de capacitățile chiar și ale unui computer. Totuși, determinanții pot fi calculați într-un alt mod, folosind proprietățile determinanților.

Proprietatea 1 . Determinantul nu se va schimba dacă rândurile și coloanele din acesta sunt schimbate, de exemplu. la transpunerea unei matrice:

.

Această proprietate indică egalitatea rândurilor și coloanelor determinantului. Cu alte cuvinte, orice afirmație despre coloanele unui determinant este valabilă și pentru rândurile sale și invers.

Proprietatea 2 . Determinantul își schimbă semnul atunci când două rânduri (coloane) sunt schimbate.

Consecinţă . Dacă determinantul are două rânduri (coloane) identice, atunci este egal cu zero.

Proprietatea 3 . Factorul comun al tuturor elementelor din orice rând (coloană) poate fi scos din semnul determinant.

De exemplu,

Consecinţă . Dacă toate elementele unui anumit rând (coloană) a unui determinant sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero.

Proprietatea 4 . Determinantul nu se va schimba dacă elementele unui rând (coloană) sunt adăugate elementelor altui rând (coloană), înmulțite cu orice număr.

De exemplu,

Proprietatea 5 . Determinantul produsului matricelor este egal cu produsul determinanților matricelor: