Toate triplele pitagorice. Numerele incredibile ale profesorului Stewart. Toate triple ireductibile

În continuare, luați în considerare metodele bine-cunoscute pentru a genera triple pitagoreene eficiente. Elevii lui Pitagora au fost primii care au inventat o modalitate simplă de a genera triple lui Pitagora, folosind o formulă ale cărei părți reprezintă un triplu pitagoreic:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Unde m- nepereche, m>2. Într-adevăr,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

O formulă similară a fost propusă de filosoful grec antic Platon:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Unde m- orice număr. Pentru m= 2,3,4,5 sunt generate următoarele triplete:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

După cum puteți vedea, aceste formule nu pot da toate triplele primitive posibile.

Luați în considerare următorul polinom, care este descompus într-o sumă de polinoame:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

De aici rezultă următoarele formule pentru obținerea triplelor primitive:

A = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Aceste formule generează triple în care numărul mediu diferă de cel mai mare cu exact unul, adică nu sunt generate și toate triplele posibile. Aici primele triple sunt: ​​(5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Pentru a determina cum se generează toate triplele primitive, trebuie să le examinăm proprietățile. În primul rând, dacă ( a,b,c) este un triplu primitiv, atunci AȘi b, bȘi c, darȘi c— trebuie să fie coprime. Lasa AȘi b sunt împărțite în d. Apoi A 2 + b 2 este de asemenea divizibil cu d. Respectiv, c 2 și c ar trebui împărțit în d. Adică nu este o triplă primitivă.

În al doilea rând, printre numere A, b unul trebuie să fie împerecheat, iar celălalt neîmperecheat. Într-adevăr, dacă AȘi b- pereche, atunci din vor fi pereche, iar numerele pot fi împărțite cu cel puțin 2. Dacă ambele sunt nepereche, atunci pot fi reprezentate ca 2 k+1 și 2 l+1, unde k,l- unele numere. Apoi A 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, adică din 2, precum și A 2 + b 2 are un rest de 2 când este împărțit la 4.

Lasa din- orice număr, adică din = 4k+i (i=0,…,3). Apoi din 2 = (4k+i) 2 are un rest de 0 sau 1 și nu poate avea un rest de 2. Astfel, AȘi b nu poate fi deconectat, adică A 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 și rest din 2 cu 4 ar trebui să fie 1, ceea ce înseamnă că din ar trebui să fie nepereche.

Asemenea cerințe pentru elementele triplei pitagoreice sunt îndeplinite de următoarele numere:

A = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Unde mȘi n sunt coprime cu perechi diferite. Pentru prima dată, aceste dependențe au devenit cunoscute din lucrările lui Euclid, care a trăit la 2300 r. înapoi.

Să demonstrăm validitatea dependențelor (2). Lasa dar- dublu, atunci bȘi c- nepereche. Apoi c + b i c − b- cupluri. Ele pot fi reprezentate ca c + b = 2uȘi c − b = 2v, Unde u,v sunt niște numere întregi. De aceea

A 2 = din 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u 2 v = 4UV

Prin urmare ( A/2) 2 = UV.

Se poate dovedi prin contradicţie că uȘi v sunt coprime. Lasa uȘi v- se împart în d. Apoi ( c + b) Și ( c − b) se împart în d. Prin urmare cȘi b ar trebui împărțit în d, iar aceasta contrazice condiția pentru triplul pitagoreic.

pentru că UV = (A/2) 2 și uȘi v coprime, este ușor să demonstrezi asta uȘi v trebuie să fie pătrate ale unor numere.

Deci există numere întregi pozitive mȘi n, astfel încât u = m 2 și v = n 2. Apoi

dar 2 = 4UV = 4m 2 n 2 deci
dar = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

pentru că b> 0, atunci m > n.

Rămâne să arătăm asta mȘi n au perechi diferite. Dacă mȘi n- pereche, atunci uȘi v trebuie să fie împerecheate, dar acest lucru este imposibil, deoarece sunt coprime. Dacă mȘi n- nepereche, atunci b = m 2 − n 2 și c = m 2 + n 2 ar fi pereche, ceea ce este imposibil deoarece cȘi b sunt coprime.

Astfel, orice triplă pitagoreică primitivă trebuie să îndeplinească condițiile (2). În același timp, numerele mȘi n numit generând numere tripleti primitivi. De exemplu, să avem o triplă pitagoreică primitivă (120,119,169). În acest caz

dar= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 − 25 și c = 144+25=169,

Unde m = 12, n= 5 - numere generatoare, 12 > 5; 12 și 5 sunt coprime și de perechi diferite.

Se poate dovedi că numerele m, n formulele (2) dau o triplă pitagoreică primitivă (a,b,c). Într-adevăr,

dar 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

adica ( A,b,c) este o triplă pitagoreică. Să dovedim asta în timp A,b,c sunt numere coprime prin contradicție. Lasă aceste numere să fie împărțite la p> 1. Din moment ce mȘi n atunci au perechi diferite bȘi c- nepereche, adică p≠ 2. Din moment ce R desparte bȘi c, apoi R trebuie împărțit 2 m 2 și 2 n 2, ceea ce este imposibil pentru că p≠ 2. Prin urmare m, n sunt coprime și A,b,c sunt, de asemenea, coprime.

Tabelul 1 prezintă toate triplele pitagoreene primitive generate de formulele (2) pentru m≤10.

Tabelul 1. Triple primitive pitagoreice pt m≤10

m	n	A	b	c	m	n	A	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Analiza acestui tabel arată prezența următoarelor serii de modele:

• sau A, sau b sunt împărțite la 3;
• unul dintre numere A,b,c este divizibil cu 5;
• număr dar este divizibil cu 4;
• muncă A· b este divizibil cu 12.

În 1971, matematicienii americani Teigan și Hedwin au propus parametri atât de puțin cunoscuți ai unui triunghi dreptunghic precum înălțimea (înălțimea) acestuia pentru a genera tripleți. h = c− b și exces (succes) e = A + b − c. În Fig.1. aceste cantități sunt afișate pe un anumit triunghi dreptunghic.

Figura 1. Triunghi dreptunghic și creșterea și excesul acestuia

Numele „exces” derivă din faptul că aceasta este distanța suplimentară care trebuie parcursă de-a lungul catetelor triunghiului de la un vârf la opus, dacă nu mergeți de-a lungul diagonalei sale.

Prin exces și creștere, laturile triunghiului pitagoreic pot fi exprimate astfel:

e 2 e 2
A = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Nu toate combinațiile hȘi e poate corespunde triunghiurilor pitagoreice. Pentru un dat h valori posibile e este produsul unui număr d. Acest număr d se numeste crestere si se refera la h in felul urmator: d este cel mai mic număr întreg pozitiv al cărui pătrat este divizibil cu 2 h. pentru că e multiplu d, atunci se scrie ca e = kd, Unde k este un număr întreg pozitiv.

Cu ajutorul perechilor ( k,h) puteți genera toate triunghiurile pitagorice, inclusiv cele neprimitive și generalizate, după cum urmează:

(dk) 2 (dk) 2
A = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Mai mult, un triplu este primitiv dacă kȘi h sunt coprime și dacă h =± q 2 la q- nepereche.
Mai mult, va fi exact o triplă pitagoreică dacă k> √2 h/dȘi h > 0.

A găsi kȘi h de la ( A,b,c) urmează următoarele instrucțiuni:

• h = c − b;
• scrie h Cum h = pq 2, unde p> 0 și astfel încât să nu fie un pătrat;
• d = 2pq dacă p- nepereche și d = pq, dacă p este pereche;
• k = (A − h)/d.

De exemplu, pentru triplul (8,15,17) avem h= 17−15 = 2 1, deci p= 2 și q = 1, d= 2 și k= (8 − 2)/2 = 3. Deci acest triplu este dat ca ( k,h) = (3,2).

Pentru triplul (459,1260,1341) avem h= 1341 − 1260 = 81, deci p = 1, q= 9 și d= 18, prin urmare k= (459 − 81)/18 = 21, deci codul acestui triplu este ( k,h) = (21, 81).

Specificarea triplelor cu hȘi k are o serie de proprietăți interesante. Parametru k egală

k = 4S/(dP), (5)

Unde S = ab/2 este aria triunghiului și P = A + b + c este perimetrul acestuia. Aceasta rezultă din egalitate eP = 4S, care provine din teorema lui Pitagora.

Pentru un triunghi dreptunghic e este egal cu diametrul cercului înscris în triunghi. Aceasta provine din faptul că ipotenuza din = (dar − r)+(b − r) = A + b − 2r, Unde r este raza cercului. De aici h = c − b = dar − 2rȘi e = A − h = 2r.

Pentru h> 0 și k > 0, k este numărul ordinal de triplete A-b-cîntr-o succesiune de triunghiuri pitagorice cu creștere h. Din tabelul 2, care prezintă mai multe variante de tripleți generate de perechi h, k, se vede că odată cu creșterea k laturile triunghiului cresc. Astfel, spre deosebire de numerotarea clasică, numerotarea în perechi h, k are un ordin superior în secvențe de tripleți.

Tabelul 2. Triple pitagoreene generate de perechile h, k.

h	k	A	b	c	h	k	A	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Pentru h > 0, d satisface inegalitatea 2√ h ≤ d ≤ 2h, în care limita inferioară este atinsă la p= 1, iar cea de sus, la q= 1. Prin urmare, valoarea dîn raport cu 2√ h este o măsură a cât de mult h departe de pătratul unui număr.

„Centrul regional de educație”

Dezvoltare metodică

Folosirea triplelor pitagorice în rezolvare

probleme geometrice și sarcini trigonometrice UTILIZARE

Kaluga, 2016

I. Introducere

Teorema lui Pitagora este una dintre principalele și, s-ar putea spune chiar, cea mai importantă teoremă de geometrie. Semnificația sa constă în faptul că majoritatea teoremelor de geometrie pot fi deduse din ea sau cu ajutorul ei. Teorema lui Pitagora este de asemenea remarcabilă prin faptul că nu este deloc evidentă în sine. De exemplu, proprietățile unui triunghi isoscel pot fi văzute direct pe desen. Dar indiferent cum privești un triunghi dreptunghic, nu vei vedea niciodată că există un raport atât de simplu între laturile lui: a2+b2=c2. Cu toate acestea, nu Pitagora a descoperit teorema care îi poartă numele. Era cunoscut chiar mai devreme, dar poate doar ca un fapt derivat din măsurători. Probabil că Pitagora știa asta, dar a găsit dovezi.

Există un număr infinit de numere naturale a, b, c satisfacerea relatiei a2+b2=c2.. Se numesc numere pitagorice. Conform teoremei lui Pitagora, astfel de numere pot servi drept lungimi ale laturilor unui triunghi dreptunghic - le vom numi triunghiuri pitagoreene.

Obiectiv: să studieze posibilitatea și eficacitatea utilizării triplelor pitagoreice pentru rezolvarea problemelor unui curs de matematică școlar, USE teme.

Pe baza scopului lucrării, urmează sarcini:

Pentru a studia istoria și clasificarea triplelor pitagoreice. Analizați sarcinile folosind triplele pitagorice care sunt disponibile în manualele școlare și care se găsesc în testul USE și materialele de măsurare. Evaluați eficiența utilizării triplelor pitagorice și proprietățile acestora pentru rezolvarea problemelor.

Obiect de studiu: triple pitagorice ale numerelor.

Subiect de studiu: sarcini ale cursului școlar de trigonometrie și geometrie, în care se folosesc triplele pitagorice.

Relevanța cercetării. Triplele pitagorice sunt adesea folosite în geometrie și trigonometrie, cunoașterea lor va elimina erorile în calcule și va economisi timp.

II. Parte principală. Rezolvarea problemelor folosind triplele pitagorice.

2.1 Tabelul triplelor numerelor pitagorice (după Perelman)

Numerele pitagorice au forma A= m n, , unde m și n sunt numere impare coprime.

Numerele pitagorice au o serie de caracteristici interesante:

Unul dintre „picioare” trebuie să fie multiplu de trei.

Unul dintre „picioare” trebuie să fie multiplu de patru.

Unul dintre numerele pitagorice trebuie să fie multiplu de cinci.

Cartea „Entertaining Algebra” conține un tabel de triple pitagoreice care conțin numere până la o sută, care nu au factori comuni.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Clasificarea lui Shustrov a triplelor pitagoreice.

Shustrov a descoperit următorul model: dacă toate triunghiurile pitagorice sunt împărțite în grupuri, atunci următoarele formule sunt valabile pentru catetul impar x, par y și ipotenuza z:

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, unde N este numărul familiei și n este numărul ordinal al triunghiului din familie.

Înlocuind în formulă în locul lui N și n orice numere întregi pozitive, pornind de la unu, puteți obține toate triplele principale de numere pitagorice, precum și multiplii unui anumit tip. Puteți face un tabel cu toate triplele pitagoreice pentru fiecare familie.

2.3. Sarcini de planimetrie

Luați în considerare problemele din diverse manuale de geometrie și aflați cât de des se găsesc triple pitagorice în aceste sarcini. Problemele banale de găsire a celui de-al treilea element în tabelul triplelor pitagoreice nu vor fi luate în considerare, deși se găsesc și în manuale. Să arătăm cum să reducem soluția unei probleme ale cărei date nu sunt exprimate în numere naturale la triple pitagoreene.

Luați în considerare sarcinile dintr-un manual de geometrie pentru clasele 7-9.

№ 000. Aflați ipotenuza unui triunghi dreptunghic dar=, b=.

Soluţie. Înmulțiți lungimile picioarelor cu 7, obținem două elemente din triplul pitagoreic 3 și 4. Elementul care lipsește este 5, pe care îl împărțim la 7. Răspuns.

№ 000. În dreptunghi ABCD găsiți BC dacă CD=1,5, AC=2,5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Soluţie. Să rezolvăm triunghiul dreptunghic ACD. Înmulțim lungimile cu 2, obținem două elemente din triplul pitagoreic 3 și 5, elementul care lipsește este 4, pe care îl împărțim la 2. Răspuns: 2.

Când rezolvați următorul număr, verificați raportul a2+b2=c2 nu este deloc necesar, este suficient să folosiți numerele pitagorice și proprietățile lor.

№ 000. Aflați dacă un triunghi este dreptunghic dacă laturile sale sunt exprimate prin numere:

a) 6,8,10 (tripla pitagoreică 3,4,5) - da;

Unul dintre catetele unui triunghi dreptunghic trebuie să fie divizibil cu 4. Răspuns: nu.

c) 9,12,15 (tripla pitagoreică 3,4,5) - da;

d) 10,24,26 (tripla pitagoreică 5,12,13) ​​- da;

Unul dintre numerele pitagorice trebuie să fie un multiplu de cinci. Raspuns: nu.

g) 15, 20, 25 (tripla pitagoreică 3,4,5) - da.

Dintre cele treizeci și nouă de sarcini din această secțiune (teorema lui Pitagora), douăzeci și două sunt rezolvate oral folosind numerele lui Pitagora și cunoașterea proprietăților lor.

Luați în considerare problema #000 (din secțiunea „Sarcini suplimentare”):

Găsiți aria patrulaterului ABCD unde AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.

Sarcina este de a verifica raportul a2+b2=c2și demonstrați că patrulaterul dat este format din două triunghiuri dreptunghiulare (teorema inversă). Și cunoașterea triplelor pitagorice: 3, 4, 5 și 5, 12, 13 elimină necesitatea calculelor.

Să dăm soluții la mai multe probleme dintr-un manual de geometrie pentru clasele 7-9.

Problema 156 (h). Lamele unui triunghi dreptunghic sunt 9 și 40. Aflați mediana trasată de ipotenuză.

Soluţie . Mediana trasată de ipotenuză este egală cu jumătate din aceasta. Triplul pitagoreic este 9,40 și 41. Prin urmare, mediana este 20,5.

Problema 156 (i). Laturile triunghiului sunt: dar= 13 cm, b= 20 cm si inaltime hс = 12 cm.Găsiți baza din.

O sarcină ( Examinarea de stat unificată KIMS). Aflați raza unui cerc înscris într-un triunghi ascuțit ABC dacă înălțimea BH este egală cu 12 și se știe că sin A=,sin C \u003d stânga „\u003e

Soluţie. Rezolvăm dreptunghiular ∆ ASC: sin A=, BH=12, deci AB=13,AK=5 (triplu pitagoreic 5,12,13). Rezolvați dreptunghiular ∆ BCH: BH =12, sin С===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Pitagora triplu 3,4,5).Raza se afla prin formula r === 4. Raspuns.4.

2.4. Triple pitagorice în trigonometrie

Principala identitate trigonometrică este un caz special al teoremei lui Pitagora: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Prin urmare, unele sarcini trigonometrice sunt ușor de rezolvat verbal folosind triplele pitagorice.

Problemele în care este necesar să se găsească valorile altor funcții trigonometrice dintr-o anumită valoare a funcției pot fi rezolvate fără pătrat și extrage rădăcină pătrată. Toate sarcinile de acest tip din manualul școlar de algebră (10-11) Mordkovich (nr. 000-nr. 000) pot fi rezolvate oral, cunoscând doar câteva triple pitagorice: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Să luăm în considerare soluțiile a două sarcini.

nr. 000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Soluţie. Tripla pitagoreică: 3, 4, 5. Prin urmare, cos t = -3/5; tg t = -4/3,

nr 000 b). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.

Soluţie. tg t \u003d 2,4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Tripla pitagoreică 5,12,13. Având în vedere semnele, obținem sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Materiale de control și măsurare ale examenului

a) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

b) sin (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

c) tg (arcsin 0,6)=0,75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1

e) verifica valabilitatea egalitatii:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Soluţie. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Concluzie

În problemele geometrice, de multe ori trebuie să rezolvi triunghiuri dreptunghiulare, uneori de mai multe ori. După analiza sarcinilor manualele școlareȘi UTILIZAȚI materiale, putem concluziona că se folosesc în principal tripleții: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; care sunt ușor de reținut. La rezolvarea unor sarcini trigonometrice se utilizează soluția clasică formule trigonometrice iar un număr mare de calcule necesită timp, iar cunoașterea triplelor pitagoreice va elimina erorile de calcul și va economisi timp pentru rezolvarea problemelor mai dificile la examen.

Lista bibliografică

1. Algebra și începuturile analizei. 10-11 clase. La 2 ore Partea 2. O carte de sarcini pentru instituțiile de învățământ / [și altele]; ed. . - Ed. a 8-a, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 p. : bolnav.

2. Algebra Perelman. - D.: VAP, 1994. - 200 p.

3. Roganovsky: Proc. Pentru 7-9 celule. cu o adâncime studiul matematicii educatiei generale. şcoală din rusă lang. învăţare, - ed. a III-a. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 p.: ill.

4. Matematică: Cititor de istorie, metodologie, didactică. / Comp. . - M.: Editura URAO, 2001. - 384 p.

5. Jurnalul „Matematica la școală” Nr.1, 1965.

6. Materiale de control și măsurare ale examenului.

7. Geometrie, 7-9: Proc. pentru instituţii de învăţământ / etc. - ed. a XIII-a - M .: Educaţie, 2003. – 384 p. : bolnav.

8. Geometrie: Proc. pentru 10-11 celule. medie scoala / etc. - ed. a II-a. - M .: Educaţie, 1993, - 207 p.: ill.

algebră Perelman. - D.: VAP, 1994. - 200 p.

Jurnalul „Matematica la școală” nr.1, 1965.

Geometrie, 7-9: Proc. pentru instituţii de învăţământ / etc. - ed. a XIII-a - M .: Educaţie, 2003. – 384 p. : bolnav.

Roganovsky: Proc. Pentru 7-9 celule. cu o adâncime studiul matematicii educatiei generale. şcoală din rusă lang. învăţare, - ed. a III-a. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 p.: ill.

Algebra și începuturile analizei. 10-11 clase. La 2 ore Partea 2. O carte de sarcini pentru instituțiile de învățământ / [și altele]; ed. . - Ed. a 8-a, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 p. : bolnav, p.18.

Belotelov V.A. Triplele pitagorice și numărul lor // Enciclopedia Nesterovilor

Acest articol este un răspuns pentru un profesor - un ciupitor. Uite, domnule profesor, cum procedează în satul nostru.

Regiunea Nijni Novgorod, Zavolzhye.

Este necesară cunoașterea algoritmului de rezolvare a ecuațiilor diofante (ADDE) și cunoașterea progresiilor polinomiale.

DACA este un numar prim.

MF este un număr compus.

Să fie un număr impar N. Pentru orice număr impar, cu excepția unuia, puteți scrie o ecuație.

p 2 + N \u003d q 2,

unde р + q = N, q – р = 1.

De exemplu, pentru numerele 21 și 23, ecuațiile ar fi, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Dacă N este prim, această ecuație este unică. Dacă numărul N este compus, atunci este posibil să se compună ecuații similare pentru numărul de perechi de factori care reprezintă acest număr, inclusiv 1 x N.

Să luăm numărul N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Am visat, dar este posibil, agățandu-mă de această diferență dintre IF și MF, să găsesc o metodă de identificare a acestora.

Să introducem notația;

Să schimbăm ecuația inferioară, -

N \u003d în 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

Să grupăm valorile N în funcție de caracteristica din - a, adică. hai sa facem o masa.

Numerele N au fost rezumate într-o matrice, -

Pentru această sarcină a trebuit să mă ocup de progresiile polinoamelor și matricele lor. Totul s-a dovedit a fi în zadar - apărarea PCh este ținută puternic. Să introducem o coloană în tabelul 1, unde în - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Din nou. Tabelul 2 a fost obținut ca urmare a încercării de a rezolva problema identificării FI și MF. Din tabel rezultă că, pentru orice număr N, există tot atâtea ecuații de forma a 2 + N \u003d în 2, în câte perechi de factori poate fi împărțit numărul N, inclusiv factorul 1 x N. În plus la numerele N \u003d ℓ 2, unde

ℓ - FC. Pentru N = ℓ 2 , unde ℓ este DACA, există o ecuație unică p 2 + N = q 2 . Despre ce dovadă suplimentară putem vorbi dacă în tabel sunt enumerați factorii mai mici din perechile de factori care formează N, de la unu la ∞. Vom așeza Tabelul 2 într-un cufăr și îl vom ascunde într-un dulap.

Să revenim la subiectul menționat în titlul articolului.

Acest articol este un răspuns pentru un profesor - un ciupitor.

Am cerut ajutor - aveam nevoie de o serie de numere pe care nu le puteam găsi pe internet. M-am lovit de întrebări de genul: „Pentru ce?”, „Dar arată-mi metoda”. În special, s-a pus întrebarea dacă seria triplelor pitagoreice este infinită, „dar cum să demonstrăm?”. Nu m-a ajutat. Uite, domnule profesor, cum procedează în satul nostru.

Să luăm formula triplelor pitagoreice, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (unu)

Să trecem prin ARDU.

Sunt posibile trei situații:

I. x - numar impar,

y este un număr par

z este un număr par.

Și există o condiție x > y > z.

II. x este un număr impar

y este un număr par

z este un număr impar.

x > z > y.

III.x - un număr par,

y este un număr impar

z este un număr impar.

x > y > z.

Să începem cu I.

Să introducem noi variabile

Înlocuiți în ecuația (1).

Să anulăm cu variabila mai mică 2γ.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Să reducem variabila 2β – 2γ cu una mai mică cu introducerea simultană a unui nou parametru ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Apoi, 2α - 2β = x - y - 1.

Ecuația (2) va lua forma, -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Să-l pătram -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU dă prin parametri relația dintre termenii seniori ai ecuației, așa că am obținut ecuația (3).

Nu este solid să te ocupi de selecția soluțiilor. Dar, în primul rând, nu există unde să mergem și, în al doilea rând, avem nevoie de mai multe dintre aceste soluții și putem restabili un număr infinit de soluții.

Pentru ƒ = 1, k = 1, avem x – y = 1.

Cu ƒ = 12, k = 16, avem x - y = 9.

Cu ƒ = 4, k = 32, avem x - y = 25.

Îl poți ridica mult timp, dar în cele din urmă seria va lua forma -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Luați în considerare opțiunea II.

Să introducem noi variabile în ecuația (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

Reducem cu o variabilă mai mică 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

Să reducem cu variabila mai mică 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z și înlocuiți în ecuația (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Cu ƒ = 3, k = 4, avem x - z = 2.

Cu ƒ = 8, k = 14, avem x - z = 8.

Cu ƒ = 3, k = 24, avem x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Să desenăm un trapez -

Să scriem o formulă.

unde n=1, 2,...∞.

Cazul III nu va fi descris - nu există soluții acolo.

Pentru condiția II, setul de triple va fi după cum urmează:

Ecuația (1) este prezentată ca x 2 = z 2 + y 2 pentru claritate.

Pentru condiția I, setul de triple va fi după cum urmează:

În total, sunt pictate 9 coloane de triple, câte cinci triple fiecare. Și fiecare dintre coloanele prezentate poate fi scrisă până la ∞.

Ca exemplu, luați în considerare triplele ultimei coloane, unde x - y \u003d 81.

Pentru valorile lui x, scriem un trapez, -

Să scriem formula

Pentru valorile scriem un trapez, -

Să scriem formula

Pentru valorile lui z, scriem un trapez, -

Să scriem formula

Unde n = 1 ÷ ∞.

După cum am promis, o serie de tripleți cu x - y = 81 zboară către ∞.

A existat o încercare pentru cazurile I și II de a construi matrici pentru x, y, z.

Scrieți ultimele cinci coloane de x din rândurile de sus și construiți un trapez.

Nu a funcționat, iar modelul ar trebui să fie pătratic. Pentru a face totul în ajurat, s-a dovedit că a fost necesar să se combine coloanele I și II.

În cazul II, mărimile y, z sunt din nou schimbate.

Am reușit să unim dintr-un singur motiv - cărțile se potrivesc bine în această sarcină - am avut noroc.

Acum puteți scrie matrici pentru x, y, z.

Să luăm din ultimele cinci coloane ale valorii x din rândurile de sus și să construim un trapez.

Totul este în regulă, puteți construi matrice și să începem cu o matrice pentru z.

Fug la dulap după un cufăr.

Total: În plus față de unul, fiecare număr impar al axei numerice participă la formarea tripleților pitagoreici printr-un număr egal de perechi de factori care formează acest număr N, inclusiv factorul 1 x N.

Numărul N \u003d ℓ 2, unde ℓ - IF, formează un triplu pitagoreic, dacă ℓ este MF, atunci nu există triplu pentru factorii ℓхℓ.

Să construim matrici pentru x, y.

Să începem cu matricea pentru x. Pentru a face acest lucru, vom trage pe el grila de coordonate din problema identificării IF și MF.

Numerotarea rândurilor verticale este normalizată prin expresie

Să eliminăm prima coloană, pentru că

Matricea va lua forma -

Să descriem rândurile verticale, -

Să descriem coeficienții la „a”, -

Să descriem membrii liberi, -

Să compunem formula generala pentru "x", -

Dacă facem o treabă similară pentru „y”, obținem -

Puteți aborda acest rezultat din cealaltă parte.

Să luăm ecuația,

și 2 + N = în 2 .

Hai sa o schimbam putin -

N \u003d în 2 - a 2.

Să-l pătram -

N 2 \u003d în 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

În partea stângă și dreaptă a ecuației, adăugați în magnitudine 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d în 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

Și, în sfârșit -

(în 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Triplele pitagoreice sunt compuse după cum urmează:

Luați în considerare un exemplu cu numărul N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Coloanele verticale din Tabelul 2 sunt numerotate cu valori în - a, în timp ce coloanele verticale din Tabelul 3 sunt numerotate cu valori x - y.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Să facem trei ecuații.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

Factorii 3 și 39 nu sunt numere prime relativ, așa că o triplă a rezultat cu un factor de 9.

Să descriem cele de mai sus scrise în simboluri generale, -

În această lucrare, totul, inclusiv un exemplu pentru calcularea triplelor pitagoreice cu numărul

N = 117, legat de factorul mai mic din - a. Discriminarea explicită în raport cu factorul în + a. Să corectăm această nedreptate - vom compune trei ecuații cu un factor în + a.

Să revenim la problema identificării IF și MF.

S-au făcut multe lucruri în această direcție, iar astăzi următorul gând a venit prin mâini - nu există ecuație de identificare și nu există așa ceva care să determine factorii.

Să presupunem că am găsit relația F = a, b (N).

Există o formulă

Puteți scăpa de în formula F din în și obțineți o ecuație omogenă de gradul al n-lea față de a, adică. F = a(N).

Pentru orice grad n al acestei ecuații, există un număr N cu m perechi de factori, pentru m > n.

Și, în consecință, o ecuație omogenă de grad n trebuie să aibă m rădăcini.

Da, asta nu poate fi.

În această lucrare, numerele N au fost luate în considerare pentru ecuația x 2 = y 2 + z 2 atunci când sunt în ecuație la locul z. Când N este în locul lui x, aceasta este o altă sarcină.

Cu stimă, Belotelov V.A.

Proprietăți

Din moment ce ecuația X 2 + y 2 = z 2 omogen, atunci când este înmulțit X , yȘi z pentru același număr se obține un alt triplu pitagoreic. Triplul pitagoreic este numit primitiv, dacă nu se poate obține în acest fel, adică - numere relativ prime.

Exemple

Câteva triple pitagorice (sortate în ordine crescătoare a numărului maxim, sunt evidențiate cele primitive):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Istorie

Triplele pitagoreice sunt cunoscute de foarte mult timp. În arhitectura pietrelor funerare antice mesopotamiene se găsește un triunghi isoscel, format din două dreptunghiulare cu laturile de 9, 12 și 15 coți. Piramidele faraonului Snefru (secolul XXVII î.Hr.) au fost construite folosind triunghiuri cu laturile de 20, 21 și 29, precum și 18, 24 și 30 de zeci de coți egipteni.

X Simpozion rusesc de matematică aplicată și industrială. Sankt Petersburg, 19 mai 2009

Raport: Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor diofantine.

Lucrarea are în vedere metoda de studiu a ecuaţiilor diofantiene şi prezintă soluţiile rezolvate prin această metodă: - marea teoremă a lui Fermat; - căutarea tripleților pitagoreici etc. http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html

Legături

• E. A. Gorin Puterile numerelor prime în triple pitagoreene // Educație matematică. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce sunt „triplele pitagorice” în alte dicționare:

În matematică, numerele pitagoreene (triplu pitagoreic) sunt un tuplu de trei numere întregi care satisfac relația pitagoreică: x2 + y2 = z2. Cuprins 1 Proprietăți ... Wikipedia

Triple de numere naturale astfel încât un triunghi ale cărui lungimi ale laturilor sunt proporționale (sau egale) cu aceste numere este dreptunghic, de ex. trei numere: 3, 4, 5... Dicţionar enciclopedic mare

Triple de numere naturale, astfel încât un triunghi ale cărui lungimi ale laturilor sunt proporționale (sau egale) cu aceste numere este un triunghi dreptunghic. Conform teoremei, inversul teoremei lui Pitagora (vezi teorema lui Pitagora), pentru aceasta este suficient ca ei ... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Triple de numere întregi pozitive x, y, z care satisfac ecuația x2+y 2=z2. Toate soluțiile acestei ecuații și, în consecință, toate P. p., sunt exprimate prin formulele x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, unde a, b sunt numere întregi pozitive arbitrare (a>b) . P. h... Enciclopedie matematică

Tripleți de numere naturale, astfel încât un triunghi, cu lungimile laturilor la care sunt proporționale (sau egale) cu aceste numere, este dreptunghiular, de exemplu. trei numere: 3, 4, 5... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Triple de numere naturale, astfel încât un triunghi ale cărui lungimi ale laturilor sunt proporționale (sau egale) cu aceste numere este dreptunghiular, de exemplu, un triplu de numere: 3, 4, 5. * * * NUMERE PITAGORIE NUMERE PITAGORIE, triple ale numerelor naturale cum ar fi acea ... ... Dicţionar enciclopedic

În matematică, un triplu pitagoreic este un tuplu de trei numere naturale care satisfac relația pitagoreică: În acest caz, numerele care formează un triplu pitagoreic se numesc numere pitagoreice. Cuprins 1 Triple primitive ... Wikipedia

Teorema lui Pitagora este una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic. Cuprins 1 ... Wikipedia

Teorema lui Pitagora este una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic. Cuprins 1 Afirmații 2 Dovezi ... Wikipedia

Aceasta este o ecuație de forma în care P este o funcție întreagă (de exemplu, un polinom cu coeficienți întregi), iar variabilele iau valori întregi. Numit după matematicianul grec antic Diophantus. Cuprins 1 Exemple ... Wikipedia

Beskrovny I.M. unu

1 OAO Angstrem-M

Scopul lucrării este de a dezvolta metode și algoritmi pentru calcularea triplelor pitagoreene de forma a2+b2=c2. Procesul de analiză a fost realizat în conformitate cu principiile abordarea sistemelor. Alături de modelele matematice, sunt folosite modele grafice care afișează fiecare membru al triplei pitagoreice sub formă de pătrate compuse, fiecare dintre ele constând dintr-un set de pătrate unitare. S-a stabilit că o mulțime infinită de triple pitagoreice conține un număr infinit de submulțimi care se disting prin diferența dintre valorile b–c. Se propune un algoritm pentru formarea triplelor pitagoreene cu orice valoare predeterminată a acestei diferențe. Se arată că triplele pitagoreene există pentru orice valoare 3≤a

tripleți pitagoreici

analiza de sistem

model matematic

model grafic

1. Anosov D.N. O privire la matematică și ceva din ea. - M.: MTSNMO, 2003. - 24 p.: ill.

2. Ayerland K., Rosen M. Introducere clasică în teoria numerelor moderne. – M.: Mir, 1987.

3. Beskrovny I.M. Analiza sistemului și Tehnologia de informație in organizatii: Tutorial. - M.: RUDN, 2012. - 392 p.

4. Simon Singh. Ultima teoremă a lui Fermat.

5. Ferma P. Studies in Number Theory and Diophantine Analysis. – M.: Nauka, 1992.

6. Yaptro. Ucoz, disponibil la: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Triplele pitagoreene sunt o cohortă de trei numere întregi care satisfac relația pitagoreică x2 + y2 = z2. În general, acesta este un caz special de ecuații diofante, și anume, sisteme de ecuații în care numărul de necunoscute este mai mare decât numărul de ecuații. Ele sunt cunoscute de multă vreme, de pe vremea Babilonului, adică cu mult înaintea lui Pitagora. Și au dobândit numele după ce Pitagora și-a demonstrat celebra teoremă pe baza lor. Totuși, după cum reiese din analiza numeroaselor surse în care problema triplelor pitagoreice este atinsă într-un fel sau altul, problema claselor existente ale acestor triple și modalitățile posibile de formare a acestora nu a fost încă dezvăluită pe deplin.

Așadar, în cartea lui Simon Singh se spune: - „Ucenicii și adepții lui Pitagora... au spus lumii secretul găsirii așa-numitelor Pitagore trei k.” Totuși, în continuare citim: - „Pitagoreii visau să găsească alte triple pitagoreice, alte pătrate, din care să se poată adăuga un al treilea pătrat mare. … Pe măsură ce numărul crește, triplele pitagoreene devin din ce în ce mai rare și mai greu de găsit. Pitagoreii au inventat o metodă de găsire a unor astfel de tripleți și, folosind-o, au demonstrat că există o infinitate de tripleți pitagoreici.

Cuvintele care provoacă confuzie sunt evidențiate în citat. De ce „pitagoreicii visau să găsească...” dacă „au inventat o metodă de găsire a unor astfel de triple...”, și de ce pentru un număr mare „devine din ce în ce mai greu să le găsești...”.

În opera celebrului matematician D.V. Anosov, răspunsul dorit, se pare, este dat. - „Există astfel de triple de numere naturale (adică numere întregi pozitive) x, y, z care

x2 + y2 = z2. (unu)

… este posibil să găsim toate soluțiile ecuației x2+y2=z2 în numere naturale? …Da. Răspunsul este că fiecare astfel de soluție poate fi reprezentată ca

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

unde l, m, n sunt numere naturale și m>n sau într-o formă similară în care x și y sunt interschimbate. Putem spune puțin mai scurt că x, y, z din (2) cu toate posibilele l naturale și m > n sunt toate solutii posibile(1) până la o permutare a lui x și y. De exemplu, triplul (3, 4, 5) se obține cu l=1, m=2, n=1. ... Se pare că babilonienii știau acest răspuns, dar nu se știe cum au ajuns la el.”

De obicei, matematicienii sunt cunoscuți pentru exactitatea lor în rigoarea formulărilor lor. Dar, în acest citat, o asemenea rigoare nu este respectată. Deci, ce anume: găsiți sau imaginați-vă? Evident, acestea sunt lucruri complet diferite. Iată o linie de triple „proaspăt coapte” (obținute prin metoda descrisă mai jos):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Nu există nicio îndoială că fiecare dintre aceste triplete poate fi reprezentat sub forma relației (2) și apoi pot fi calculate valorile lui l, m, n. Dar, asta după ce au fost găsite toate valorile triplelor. Dar înainte de asta?

Nu se poate exclude faptul că răspunsurile la aceste întrebări sunt cunoscute de mult. Dar din anumite motive, nu au fost încă găsite. Astfel, scopul acestei lucrări este o analiză sistematică a populației exemple celebre Triplele pitagoreice, căutarea relațiilor de coloană vertebrală în diferite grupuri de triple și identificarea trăsăturilor sistemice caracteristice acestor grupuri și apoi dezvoltarea unor algoritmi simpli eficienți pentru calcularea triplelor cu o configurație predeterminată. Prin configurație înțelegem relația dintre cantitățile care alcătuiesc triplul.

Ca set de instrumente, un aparat matematic va fi folosit la un nivel care nu depășește cadrul matematicii predate în liceu, și analiza sistemului bazată pe metodele descrise în .

Construirea modelului

Din punctul de vedere al analizei sistemului, orice triplu pitagoreic este un sistem format din obiecte, care sunt trei numere și proprietățile lor. Totalitatea lor, în care obiectele sunt plasate în anumite relații și formează un sistem care are noi proprietăți care nu sunt inerente nici obiectelor individuale, nici oricărui alt din totalitatea lor, unde obiectele sunt plasate în alte relații.

În ecuația (1), obiectele sistemului sunt numere naturale legate prin relații algebrice simple: în stânga semnului egal este suma a două numere ridicate la puterea lui 2, în dreapta este al treilea număr, de asemenea ridicat. la puterea lui 2. Numerele individuale, la stânga egalității, fiind ridicate la puterea lui 2, nu impun nicio restricție în funcționarea însumării lor - suma rezultată poate fi orice. Dar, semnul egal plasat după operația de însumare impune o restricție de sistem asupra valorii acestei sume: suma trebuie să fie un astfel de număr încât rezultatul operației de extragere a rădăcinii pătrate să fie un număr natural. Și această condiție nu este îndeplinită pentru niciun număr substituit în partea stângă a egalității. Astfel, semnul egal pus între doi termeni ai ecuației și al treilea transformă triplul termenilor într-un sistem. O nouă caracteristică a acestui sistem este introducerea de restricții asupra valorilor numerelor originale.

Pe baza formei de scriere, triplul pitagoreic poate fi considerat ca un model matematic al unui sistem geometric format din trei pătrate interconectate prin relații de însumare și egalitate, așa cum se arată în Fig. 1. Fig. 1 este un model grafic al sistemului luat în considerare, iar modelul său verbal este afirmația:

Aria unui pătrat cu lungimea laturii c poate fi împărțită fără rest în două pătrate cu lungimile laturilor a și b, astfel încât suma ariilor lor să fie egală cu aria pătratului inițial, adică toate cele trei mărimile a, b și c sunt legate prin relație

Model grafic al descompunerii unui pătrat

În cadrul canoanelor analizei sistemelor, se știe că, dacă un model matematic reflectă în mod adecvat proprietățile unui anumit sistem geometric, atunci analiza proprietăților acestui sistem în sine ne permite să clarificăm proprietățile modelului său matematic, să le cunoașteți mai profund, pentru a le clarifica și, dacă este necesar, pentru a le îmbunătăți. Aceasta este calea pe care o vom urma.

Să lămurim că, conform principiilor analizei de sistem, operațiile de adunare și scădere pot fi efectuate numai pe obiecte compuse, adică obiecte compuse dintr-un set de obiecte elementare. Prin urmare, vom percepe orice pătrat ca o figură alcătuită dintr-un set de pătrate elementare sau unitare. Atunci condiția pentru obținerea unei soluții în numere naturale este echivalentă cu acceptarea condiției ca pătratul unității să fie indivizibil.

Un pătrat unitar este un pătrat a cărui lungime a fiecărei laturi este egală cu unu. Adică, atunci când aria unui pătrat unitar determină următoarea expresie.

Parametrul cantitativ al unui pătrat este aria acestuia, care este determinată de numărul de pătrate unitare care pot fi plasate pe o anumită zonă. Pentru un pătrat cu o valoare arbitrară de x, expresia x2 determină aria pătratului format din segmente de lungime x segmente unitare. x2 pătrate unitare pot fi plasate pe zona acestui pătrat.

Definițiile de mai sus pot fi percepute ca fiind banale și evidente, dar nu sunt. D.N. Anosov definește conceptul de zonă într-un mod diferit: - „... aria unei figuri este egală cu suma ariilor părților sale. De ce suntem siguri că este așa? ... Ne imaginăm o figură făcută dintr-un fel de material omogen, atunci aria sa este proporțională cu cantitatea de materie conținută în ea - masa sa. În plus, se înțelege că atunci când împărțim un corp în mai multe părți, suma maselor lor este egală cu masa corpului original. Acest lucru este de înțeles, deoarece totul constă din atomi și molecule și, din moment ce numărul lor nu s-a schimbat, nici masa lor totală nu s-a schimbat... La urma urmei, de fapt, masa unei bucăți de material omogen este proporțională cu volumul acesteia; prin urmare, trebuie să știți că volumul „foii” care are forma unei figuri date este proporțional cu aria sa. Într-un cuvânt, ... că aria unei figuri este egală cu suma ariilor părților sale, în geometrie este necesar să se demonstreze acest lucru. ... În manualul lui Kiselev, existența unei zone care are însăși proprietatea pe care o discutăm acum a fost postulată sincer ca un fel de presupunere și s-a spus că acest lucru este de fapt adevărat, dar nu vom demonstra acest lucru. Deci teorema lui Pitagora, dacă se dovedește cu arii, în sens pur logic, va rămâne nedemonstrată complet.

Ni se pare că definițiile pătratului unității introduse mai sus înlătură D.N. Anosov incertitudine. La urma urmei, dacă aria unui pătrat și a unui dreptunghi este determinată de suma pătratelor unității care le umplu, atunci când dreptunghiul este împărțit în părți adiacente arbitrare, aria dreptunghiului este în mod natural egală cu suma tuturor părților sale.

Mai mult, definițiile introduse înlătură incertitudinea utilizării conceptelor „împărțire” și „adăugare” în raport cu figurile geometrice abstracte. Într-adevăr, ce înseamnă împărțirea unui dreptunghi sau oricare altul figură platăîn părți? Dacă este o foaie de hârtie, atunci poate fi tăiată cu foarfecele. Dacă terenul - pune un gard. Cameră - puneți un despărțitor. Dacă este un pătrat desenat? Desenați o linie despărțitoare și declarați că pătratul este împărțit? Dar, la urma urmei, D.I. Mendeleev: "... Poți declara totul, dar tu - haide, demonstrează!"

Și folosind definițiile propuse, „împărțiți o cifră” înseamnă împărțirea numărului de pătrate unitare care umple această cifră în două (sau mai multe) părți. Numărul de pătrate unitare din fiecare dintre aceste părți determină aria acesteia. Configurația acestor părți poate fi dată arbitrară, dar suma ariilor lor va fi întotdeauna egală cu aria figurii originale. Poate că, matematicienii vor considera aceste argumente incorecte, apoi le vom lua ca o presupunere. Dacă astfel de presupuneri sunt acceptabile în manualul lui Kiselyov, atunci ar fi un păcat pentru noi să nu folosim o astfel de tehnică.

Primul pas în analiza sistemului este identificarea situației problemei. La începutul acestei etape, câteva sute de tripleți pitagoreici s-au găsit în diverse surse. În același timp, s-a atras atenția asupra faptului că întregul set de triple pitagoreice menționate în publicații poate fi împărțit în mai multe grupuri care diferă ca configurație. Vom considera diferența dintre lungimile laturilor pătratelor originale și scăzute ca un semn al unei configurații specifice, adică valoarea c-b. De exemplu, în publicații, triplele care îndeplinesc condiția c-b=1 sunt adesea prezentate ca exemplu. Să presupunem că întreaga mulțime de astfel de triple pitagoreice formează o mulțime, pe care o vom numi „Clasa c-1”, și vom analiza proprietățile acestei clase.

Luați în considerare cele trei pătrate prezentate în figură, unde c este lungimea laturii pătratului care trebuie redus, b este lungimea laturii pătratului care trebuie scăzut și a este lungimea laturii pătratului format din diferenta lor. Pe fig. 1 se poate observa că la scăderea aria pătratului scăzut din aria pătratului redus, în rest rămân două benzi de pătrate unitare:

Pentru a forma un pătrat din acest rest, condiția trebuie îndeplinită

Aceste relații ne permit să determinăm valorile tuturor membrilor triplei printr-un singur număr dat c. Cel mai mic număr c care satisface relația (6) este c = 5. Astfel, au fost determinate lungimile tuturor celor trei laturi ale pătratelor care satisfac relația (1). Reamintim că valoarea b a laturii pătratului mediu

a fost ales atunci când am decis să formăm un pătrat de mijloc prin reducerea laturii pătratului original cu una. Apoi din relațiile (5), (6). (7) obținem următoarea relație:

din care rezultă că valoarea aleasă c = 5 determină în mod unic valorile b = 4, a = 3.

Ca urmare, se obțin relații care permit reprezentarea oricărui triplu pitagoreic al clasei "c - 1" într-o astfel de formă, unde valorile tuturor celor trei membri sunt determinate de un parametru specificat - valoarea c:

Adăugăm că numărul 5 din exemplul de mai sus a apărut ca minimul tuturor valorilor posibile ale lui c pentru care ecuația (6) are o soluție în numere naturale. Următorul număr cu aceeași proprietate este 13, apoi 25, apoi 41, 61, 85 etc. După cum puteți vedea, în această serie de numere, intervalele dintre numerele adiacente cresc rapid. Deci, de exemplu, după o valoare validă , următoarea valoare validă este , iar după , următoarea valoare validă este , adică valoarea validă este mai mult de cincizeci de milioane față de cea anterioară!

Acum este clar de unde provine această frază din carte: - „Pe măsură ce numerele cresc, triplele pitagoreice sunt din ce în ce mai puțin frecvente și devine din ce în ce mai dificil să le găsești...”. Cu toate acestea, această afirmație nu este corectă. Trebuie doar să privim triplele pitagorice corespunzătoare perechilor de mai sus de valori vecine ale lui c, deoarece o caracteristică atrage imediat atenția - în ambele perechi, în care valorile lui c sunt separate de intervale atât de mari, valorile unui se dovedesc a fi numere impare vecine. Într-adevăr, pentru prima pereche pe care o avem

iar pentru a doua pereche

Deci nu triplele în sine sunt „din ce în ce mai puțin comune”, ci intervalele dintre valorile adiacente ale lui c cresc. Triplele pitagorice în sine, așa cum se va arăta mai jos, există pentru orice număr natural.

Acum luați în considerare triplele clasei următoare - "Clasa c-2". După cum se poate observa din fig. 1, când se scade dintr-un pătrat cu latura c un pătrat cu latura (c - 2), restul este suma a două benzi unitare. Valoarea acestei sume este determinată de ecuația:

Din ecuația (10) obținem o relație care definește oricare dintre mulțimea infinită de triple clasa „c-2”:

Condiția pentru existența unei soluții a ecuației (11) în numere naturale este orice astfel de valoare c pentru care a este un număr natural. Valoarea minimă a lui c pentru care există o soluție este c = 5. Atunci triplul „de pornire” pentru această clasă de triple este determinat de mulțimea a = 4, b = 3, c = 5. Adică, din nou, clasicul Se formează triplul 3, 4, 5, doar că acum aria pătratului care trebuie scăzut este mai mică decât aria restului.

Și în sfârșit, să analizăm triplele clasei „s-8”. Pentru această clasă de triple, scăzând aria pătratului din aria c2 a pătratului original, obținem:

Apoi, din ecuația (12) rezultă:

Valoarea minimă a lui c pentru care există soluția este c = 13. Triplul lui Pitagora la această valoare va lua forma 12, 5, 13. În acest caz, aria pătratului care trebuie scăzut este din nou mai mică decât zona restului. Și rearanjand desemnările pe locuri, obținem triplul 5, 12, 13, care prin configurația sa aparține clasei „c - 1”. Se pare că analiza ulterioară a altor configurații posibile nu va dezvălui nimic fundamental nou.

Derivarea rapoartelor calculate

În secțiunea anterioară, logica analizei a fost dezvoltată în conformitate cu cerințele analizei sistemului în patru dintre cele cinci etape principale ale sale: analiza situației problemei, formarea scopurilor, formarea funcțiilor și formarea structurii. Acum este timpul să trecem la etapa finală, a cincea - testul de fezabilitate, adică testul de măsura în care obiectivele sunt atinse. .

Tabelul 1 este prezentat mai jos. 1, care arată valorile triplelor pitagoreice aparținând clasei „c - 1”. Cele mai multe triple se găsesc în diverse publicații, dar triplele pentru valori egale cu 999, 1001 nu au fost găsite în publicațiile cunoscute.

tabelul 1

Triple pitagorice din clasa „c-1”

Se poate verifica dacă toate triplele satisfac relația (3). Astfel, unul dintre obiectivele stabilite a fost atins. Relațiile (9), (11), (13) obținute în secțiunea anterioară fac posibilă formarea unui set infinit de triplete prin setarea singurului parametru c, latura pătratului redus. Aceasta, desigur, este o opțiune mai constructivă decât relația (2), pentru utilizarea căreia ar trebui să se stabilească în mod arbitrar trei numere l, m, n, având orice valoare, apoi să caute o soluție, știind doar că, în final, se va obține cu siguranță un triplu pitagoreic și care este necunoscut. În cazul nostru, configurația triplu-ului format este cunoscută dinainte și trebuie setat un singur parametru. Dar, din păcate, nu fiecare valoare a acestui parametru are o soluție. Și trebuie să cunoașteți dinainte valorile sale admisibile. Deci rezultatul este bun, dar departe de a fi ideal. Este de dorit să se obțină o astfel de soluție încât triplele pitagoreene să poată fi calculate pentru orice număr natural dat arbitrar. În acest scop, să revenim la a patra etapă - formarea structurii relațiilor matematice obținute.

Deoarece alegerea valorii c ca parametru de bază pentru determinarea membrilor rămași ai triplei s-a dovedit a fi incomod, ar trebui încercată o altă opțiune. După cum se vede din tabel. 1, alegerea parametrului a drept bază pare să fie de preferat, deoarece valorile acestui parametru sunt pe rând într-o serie de numere naturale impare. După transformări simple, aducem relațiile (9) într-o formă mai constructivă:

Relațiile (14) ne permit să găsim un triplu pitagoreic pentru orice valoare impară prealocată a. În același timp, simplitatea expresiei pentru b vă permite să efectuați calcule chiar și fără un calculator. Într-adevăr, alegând, de exemplu, numărul 13, obținem:

Și pentru numărul 99, respectiv, obținem:

Relațiile (15) permit obținerea valorilor tuturor celor trei termeni ai șirului pitagoreic pentru orice n dat, începând de la n=1.

Acum luați în considerare triplele pitagoreene din clasa „c - 2”. În tabel. 2 prezintă zece astfel de triple ca exemplu. Mai mult, doar trei perechi de triple au fost găsite în publicațiile cunoscute - 8, 15, 23; 12, 35, 36; și 16, 63, 65. Acest lucru s-a dovedit a fi suficient pentru a determina tiparele după care sunt formate. Restul de șapte au fost găsite din relații derivate anterior (11). Pentru comoditatea calculului, aceste rapoarte au fost transformate astfel încât toți parametrii să fie exprimați în termeni de a. Din (11) rezultă în mod evident că toate triplele pentru clasa „c - 2” satisfac următoarele relații:

masa 2

Triple pitagorice din clasa „c-2”

După cum se vede din tabel. 2, întregul set infinit de triple din clasa "c - 2" poate fi împărțit în două subclase. Pentru triplele în care valoarea lui a este divizibilă cu 4 fără rest, valorile lui b și c sunt impare. Astfel de triple, pentru care GCD \u003d 1, sunt numite primitive. Pentru triplele ale căror valori a nu sunt divizibile cu 4 în numere întregi, toți cei trei membri ai triplei a, b, c sunt pare.

Acum să trecem la revizuirea rezultatelor analizei a treia dintre clasele selectate - clasa „c - 8”. Relațiile calculate pentru această clasă, obținute din (13), au forma:

Relațiile (20), (21) sunt în esență identice. Diferența este doar în alegerea secvenței de acțiuni. Sau, în conformitate cu (20), este selectată valoarea dorită a lui a (în acest caz, această valoare trebuie împărțită la 4), apoi se determină valorile lui b și c. Sau, se alege un număr arbitrar și apoi, din relațiile (21), se determină toți cei trei membri ai triplei pitagoreice. În tabel. 3 prezintă un număr de triple pitagoreice calculate în acest fel. Cu toate acestea, calcularea valorilor triplelor pitagoreene este și mai ușoară. Dacă se cunoaște cel puțin o valoare, atunci toate valorile ulterioare sunt determinate foarte simplu de următoarele relații:

Tabelul 3

Valabilitatea relației (22) pentru toți poate fi verificată atât prin triple din Tabel. 2, precum și din alte surse. De exemplu, în Tabel. 4 triple cu caractere italice din tabelul extins al triplelor pitagoreene (10.000 triple) calculate pe baza unui program de calculator prin relația (2) și caractere aldine - triple calculate prin relația (20). Aceste valori nu au fost în tabelul specificat.

Tabelul 4

Triple pitagorice din clasa „s-8”

În consecință, pentru triplele formei, pot fi utilizate următoarele relații:

Și pentru tripleți de formă<>, avem raportul:

Trebuie subliniat faptul că clasele de triple de mai sus „c - 1”, „c - 2”, „c - 8” reprezintă mai mult de 90% din primele mii de triple din tabelul prezentat în. Acest lucru dă motive pentru a percepe aceste clase ca bază. Să adăugăm că în derivarea relațiilor (22), (23), (24) nu s-au folosit proprietăți speciale ale numerelor studiate în teoria numerelor (prim, coprim etc.). Regularitățile relevate în formarea triplelor pitagorice se datorează numai proprietăților de sistem ale figurilor geometrice descrise de aceste triple - pătrate, constând dintr-un set de pătrate unitare.

Concluzie

Acum, după cum a spus Andrew Wiles în 1993, „Cred că ar trebui să mă opresc aici”. Scopul stabilit a fost atins pe deplin. Se arată că analiza proprietăților modele matematice, a cărui structură este legată de forme geometrice, este mult simplificată dacă, în procesul de analiză, alături de calcule pur matematice, sunt luate în considerare și proprietățile geometrice ale modelelor studiate. Simplificarea se realizează, în special, datorită faptului că cercetătorul „vede” rezultatele dorite fără a efectua transformări matematice.

De exemplu, egalitatea

devine evident fără transformări pe partea stângă, nu trebuie decât să privim fig. 1 pentru un model grafic al acestei egalități.

Ca urmare, pe baza analizei efectuate, se arată că pentru orice pătrat cu latură se pot găsi pătrate cu laturile b și c astfel încât să fie satisfăcută egalitatea pentru ele și se obțin relații care oferă rezultate cu o cantitate minimă. de calcule:

pentru valori impare a,

și - pentru valori pare.

Link bibliografic

Beskrovny I.M. ANALIZA DE SISTEM A PROPRIETĂȚILOR TRIPLE PITAGORIE // Modern tehnologii înalte. - 2013. - Nr. 11. - P. 135-142;
URL: http://site/ru/article/view?id=33537 (data accesului: 20/03/2020). Vă aducem la cunoștință jurnale publicate de editura „Academia de Istorie Naturală”