Definiția și formula teoremei lui Vieta. teorema lui Vieta. Exemple de utilizare. Formularea și demonstrarea teoremei lui Vieta

I. Teorema lui Vieta pentru ecuația pătratică redusă.

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +px+q=0 este egal cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Găsiți rădăcinile ecuației pătratice date folosind teorema lui Vieta.

Exemplul 1) x 2 -x-30=0. Aceasta este ecuația pătratică redusă ( x 2 +px+q=0), al doilea coeficient p=-1, și membrul gratuit q=-30.În primul rând, să ne asigurăm că această ecuație are rădăcini și că rădăcinile (dacă există) vor fi exprimate în numere întregi. Pentru a face acest lucru, este suficient ca discriminantul să fie un pătrat perfect al unui număr întreg.

Găsirea discriminantului D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Acum, conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor trebuie să fie egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, adică. ( -p), iar produsul este egal cu termenul liber, i.e. ( q). Apoi:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Trebuie să alegem două numere astfel încât produsul lor să fie egal cu -30 , iar suma este unitate. Acestea sunt numere -5 Și 6 . Răspuns: -5; 6.

Exemplul 2) x 2 +6x+8=0. Avem ecuația pătratică redusă cu al doilea coeficient p=6și membru gratuit q=8. Să ne asigurăm că există rădăcini întregi. Să găsim discriminantul D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Discriminantul D 1 este pătratul perfect al numărului 1 , ceea ce înseamnă că rădăcinile acestei ecuații sunt numere întregi. Să selectăm rădăcinile folosind teorema lui Vieta: suma rădăcinilor este egală cu –р=-6, iar produsul rădăcinilor este egal cu q=8. Acestea sunt numere -4 Și -2 .

De fapt: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Răspuns: -4; -2.

Exemplul 3) x 2 +2x-4=0. În această ecuație pătratică redusă, al doilea coeficient p=2, și membrul gratuit q=-4. Să găsim discriminantul D 1, deoarece al doilea coeficient este un număr par. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Discriminantul nu este un pătrat perfect al numărului, așa că facem concluzie: Rădăcinile acestei ecuații nu sunt numere întregi și nu pot fi găsite folosind teorema lui Vieta. Aceasta înseamnă că rezolvăm această ecuație, ca de obicei, folosind formulele (în acest caz, folosind formulele). Primim:

Exemplul 4). Scrieți o ecuație pătratică folosind rădăcinile ei dacă x 1 =-7, x 2 =4.

Soluţie. Ecuația necesară va fi scrisă sub forma: x 2 +px+q=0și, pe baza teoremei lui Vieta –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Atunci ecuația va lua forma: x 2 +3x-28=0.

Exemplul 5). Scrieți o ecuație pătratică folosind rădăcinile sale dacă:

II. teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică completă ax 2 +bx+c=0.

Suma rădăcinilor este minus b, impartit de A, produsul rădăcinilor este egal cu Cu, impartit de

În matematică, există tehnici speciale prin care multe ecuații pătratice pot fi rezolvate foarte rapid și fără discriminatori. Mai mult, cu o pregătire adecvată, mulți încep să rezolve ecuațiile pătratice oral, literalmente „la prima vedere”.

Din păcate, în cursul modern al matematicii școlare, astfel de tehnologii aproape nu sunt studiate. Dar trebuie să știi! Și astăzi ne vom uita la una dintre aceste tehnici - teorema lui Vieta. Mai întâi, să introducem o nouă definiție.

O ecuație pătratică de forma x 2 + bx + c = 0 se numește redusă. Vă rugăm să rețineți că coeficientul pentru x 2 este 1. Nu există alte restricții asupra coeficienților.

x 2 + 7x + 12 = 0 este o ecuație pătratică redusă;
x 2 − 5x + 6 = 0 - de asemenea redus;
2x 2 − 6x + 8 = 0 - dar acest lucru nu este dat deloc, deoarece coeficientul lui x 2 este egal cu 2.

Desigur, orice ecuație pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0 poate fi redusă - doar împărțiți toți coeficienții la numărul a. Putem face întotdeauna acest lucru, deoarece definiția unei ecuații pătratice implică faptul că a ≠ 0.

Adevărat, aceste transformări nu vor fi întotdeauna utile pentru găsirea rădăcinilor. Mai jos ne vom asigura că acest lucru ar trebui făcut numai atunci când în ecuația finală dată de pătrat toți coeficienții sunt întregi. Deocamdată, să ne uităm la cele mai simple exemple:

Sarcină. Convertiți ecuația pătratică în ecuația redusă:

3x 2 − 12x + 18 = 0;

−4x 2 + 32x + 16 = 0;

1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;

2x 2 + 7x − 11 = 0.

Să împărțim fiecare ecuație la coeficientul variabilei x 2. Primim:

3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - împărțit totul la 3;
−4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - împărțit la −4;
1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - împărțit la 1,5, toți coeficienții au devenit numere întregi;
2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - împărțit la 2. În acest caz, au apărut coeficienții fracționali.

După cum puteți vedea, ecuațiile pătratice de mai sus pot avea coeficienți întregi chiar dacă ecuația originală conținea fracții.

Acum să formulăm teorema principală, pentru care, de fapt, a fost introdus conceptul de ecuație pătratică redusă:

teorema lui Vieta. Se consideră ecuația pătratică redusă de forma x 2 + bx + c = 0. Să presupunem că această ecuație are rădăcini reale x 1 și x 2. În acest caz, următoarele afirmații sunt adevărate:

x 1 + x 2 = −b. Cu alte cuvinte, suma rădăcinilor ecuației pătratice date este egală cu coeficientul variabilei x, luată cu semnul opus;

x 1 x 2 = c. Produsul rădăcinilor unei ecuații pătratice este egal cu coeficientul liber.

Exemple. Pentru simplitate, vom lua în considerare numai ecuațiile pătratice de mai sus care nu necesită transformări suplimentare:

x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; rădăcini: x 1 = 4; x 2 = 5;
x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; rădăcini: x 1 = 3; x 2 = −5;
x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; rădăcini: x 1 = −1; x 2 = −4.

Teorema lui Vieta ne oferă informații suplimentare despre rădăcinile unei ecuații pătratice. La prima vedere, acest lucru poate părea dificil, dar chiar și cu un antrenament minim veți învăța să „vedeți” rădăcinile și să le ghiciți literalmente în câteva secunde.

Sarcină. Rezolvați ecuația pătratică:

x 2 − 9x + 14 = 0;

x 2 − 12x + 27 = 0;

3x 2 + 33x + 30 = 0;

−7x 2 + 77x − 210 = 0.

Să încercăm să scriem coeficienții folosind teorema lui Vieta și să „ghicim” rădăcinile:

x 2 − 9x + 14 = 0 este o ecuație pătratică redusă.
Prin teorema lui Vieta avem: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Este ușor de observat că rădăcinile sunt numerele 2 și 7;
x 2 − 12x + 27 = 0 - de asemenea redus.
După teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. De aici rădăcinile: 3 și 9;
3x 2 + 33x + 30 = 0 - această ecuație nu este redusă. Dar vom corecta acest lucru acum împărțind ambele părți ale ecuației la coeficientul a = 3. Obținem: x 2 + 11x + 10 = 0.
Rezolvăm folosind teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ rădăcini: −10 și −1;
−7x 2 + 77x − 210 = 0 - din nou coeficientul pentru x 2 nu este egal cu 1, i.e. ecuația nu este dată. Împărțim totul la numărul a = −7. Se obține: x 2 − 11x + 30 = 0.
După teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Din aceste ecuații este ușor de ghicit rădăcinile: 5 și 6.

Din raționamentul de mai sus este clar cum teorema lui Vieta simplifică soluția ecuațiilor pătratice. Fără calcule complicate, fără rădăcini și fracții aritmetice. Și nici nu aveam nevoie de un discriminant (vezi lecția „Rezolvarea ecuațiilor pătratice”).

Desigur, în toate reflecțiile noastre am plecat de la două ipoteze importante, care, în general, nu sunt întotdeauna îndeplinite în probleme reale:

Ecuația pătratică este redusă, adică coeficientul pentru x 2 este 1;
Ecuația are două rădăcini diferite. Din punct de vedere algebric, în acest caz discriminantul este D > 0 - de fapt, presupunem inițial că această inegalitate este adevărată.

Cu toate acestea, în problemele matematice tipice aceste condiții sunt îndeplinite. Dacă calculul are ca rezultat o ecuație pătratică „rea” (coeficientul lui x 2 este diferit de 1), aceasta poate fi corectată cu ușurință - priviți exemplele de la începutul lecției. Tac în general despre rădăcini: ce fel de problemă este aceasta care nu are răspuns? Bineînțeles că vor exista rădăcini.

Astfel, schema generală de rezolvare a ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta este următoarea:

Reduceți ecuația pătratică la cea dată, dacă acest lucru nu a fost deja făcut în enunțul problemei;
Dacă coeficienții din ecuația pătratică de mai sus sunt fracționali, rezolvăm folosind discriminantul. Puteți chiar să vă întoarceți la ecuația originală pentru a lucra cu numere mai „la îndemână”;
În cazul coeficienților întregi, rezolvăm ecuația folosind teorema lui Vieta;
Dacă nu puteți ghici rădăcinile în câteva secunde, uitați de teorema lui Vieta și rezolvați folosind discriminantul.

Sarcină. Rezolvați ecuația: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Deci, avem în fața noastră o ecuație care nu se reduce, pentru că coeficientul a = 5. Împărțim totul la 5, obținem: x 2 − 7x + 10 = 0.

Toți coeficienții ecuației pătratice sunt întregi - să încercăm să-i rezolvăm folosind teorema lui Vieta. Avem: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. În acest caz, rădăcinile sunt ușor de ghicit - sunt 2 și 5. Nu este nevoie să numărați folosind discriminantul.

Sarcină. Rezolvați ecuația: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Să ne uităm: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - această ecuație nu este redusă, să împărțim ambele părți la coeficientul a = −5. Se obține: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - o ecuație cu coeficienți fracționali.

Este mai bine să reveniți la ecuația inițială și să numărați prin discriminant: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Sarcină. Rezolvați ecuația: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Mai întâi, să împărțim totul la coeficientul a = 2. Obținem ecuația x 2 + 5x − 300 = 0.

Aceasta este ecuația redusă, conform teoremei lui Vieta avem: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Este dificil de ghicit rădăcinile ecuației pătratice în acest caz - personal, am fost serios blocat când am rezolvat această problemă.

Va trebui să cauți rădăcini prin discriminant: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Dacă nu vă amintiți rădăcina discriminantului, voi observa doar că 1225: 25 = 49. Prin urmare, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Acum că rădăcina discriminantului este cunoscută, rezolvarea ecuației nu este dificilă. Se obține: x 1 = 15; x 2 = −20.

teorema lui Vieta

Fie și notăm rădăcinile ecuației pătratice reduse
(1) .
Atunci suma rădăcinilor este egală cu coeficientul lui , luat cu semnul opus. Produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber:
;
.

O notă despre mai multe rădăcini

Dacă discriminantul ecuației (1) este zero, atunci această ecuație are o rădăcină. Dar, pentru a evita formulările greoaie, se acceptă în general că, în acest caz, ecuația (1) are două rădăcini multiple sau egale:
.

Dovada unu

Să găsim rădăcinile ecuației (1). Pentru a face acest lucru, aplicați formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:
;
;
.

Aflați suma rădăcinilor:
.

Pentru a găsi produsul, aplicați formula:
.
Apoi

.

Teorema a fost demonstrată.

Dovada a doua

Dacă numerele sunt rădăcinile ecuației pătratice (1), atunci
.
Deschiderea parantezelor.

.
Astfel, ecuația (1) va lua forma:
.
Comparând cu (1) găsim:
;
.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema inversă a lui Vieta

Să fie numere arbitrare. Atunci și sunt rădăcinile ecuației pătratice
,
Unde
(2) ;
(3) .

Dovada teoremei inverse a lui Vieta

Luați în considerare ecuația pătratică
(1) .
Trebuie să demonstrăm că dacă și , atunci și sunt rădăcinile ecuației (1).

Să înlocuim (2) și (3) în (1):
.
Grupăm termenii din partea stângă a ecuației:
;
;
(4) .

Să înlocuim în (4):
;
.

Să înlocuim în (4):
;
.
Ecuația este valabilă. Adică, numărul este rădăcina ecuației (1).

Teorema a fost demonstrată.

Teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică completă

Acum luați în considerare ecuația pătratică completă
(5) ,
unde , și sunt câteva numere. În plus.

Să împărțim ecuația (5) la:
.
Adică, am obținut ecuația dată
,
Unde ; .

Atunci teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică completă are următoarea formă.

Fie și notăm rădăcinile ecuației pătratice complete
.
Apoi suma și produsul rădăcinilor sunt determinate de formulele:
;
.

Teorema lui Vieta pentru ecuația cubică

Într-un mod similar, putem stabili conexiuni între rădăcinile unei ecuații cubice. Luați în considerare ecuația cubică
(6) ,
unde , , , sunt unele numere. În plus.
Să împărțim această ecuație la:
(7) ,
Unde , , .
Fie , , rădăcinile ecuației (7) (și ecuației (6)). Apoi

.

Comparând cu ecuația (7) găsim:
;
;
.

Teorema lui Vieta pentru o ecuație de gradul al n-lea

În același mod, puteți găsi conexiuni între rădăcinile , , ... , , pentru o ecuație de gradul al n-lea
.

Teorema lui Vieta pentru o ecuație de gradul al n-lea are următoarea formă:
;
;
;

.

Pentru a obține aceste formule, scriem ecuația după cum urmează:
.
Apoi echivalăm coeficienții pentru , , , ... , și comparăm termenul liber.

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: manual pentru clasa a VIII-a în instituțiile de învățământ general, Moscova, Educație, 2006.

Bibliografie

Algebră: un manual pentru elevii de clasa a IX-a cu studiu aprofundat al matematicii / N.Ya. Vilenkin, A.N. Vilenkin, G.S. Survillo și alții.
Babinskaya, I. L. Probleme ale olimpiadelor matematice. / I. L. Babinskaya - M.: Educație, 1975.
Bolgarsky B.V. Eseuri despre istoria matematicii / B.V. Bolgarsky. – Minsk, 1979.
Enciclopedia matematică / volumul 2, ed. Vinogradova I.M. M.: Enciclopedia sovietică, 1979.
Perelman, Ya.I. Algebră distractivă. / Ya. I. Perelman - M.: Nauka, 1976.
Enciclopedie școlară. Matematică. / editat de Nikolsky S. M. - Moscova: Editura „Big Russian Encyclopedia”, 1996.
Cursuri de orientare opțională și alte mijloace de orientare de profil în pregătirea pre-profil a școlarilor. Manual educațional și metodologic / Științific. ed. S. N. Chistiakov. M.: APK și PRO, 2003.

8. Resurse de internet:

Site-ul „Ask Alena”, site-ul EqWorld, http://alexlarin.narod.ru/Stats/pavlova1.html