Prezentare pe tema „ecuația unei tangente la graficul unei funcții”. Rezumatul lecției "Semnificația fizică și geometrică a unei derivate. Tangenta la graficul unei funcții" Formule de diferențiere de bază

Lecția video „Ecuația unei tangente la graficul unei funcții” demonstrează material educațional pentru însușirea subiectului. În timpul lecției video sunt descrise materialul teoretic necesar formulării conceptului de ecuație a unei tangente la graficul unei funcții într-un punct dat, un algoritm pentru găsirea unei astfel de tangente și exemple de rezolvare a problemelor folosind materialul teoretic studiat. .

Tutorialul video folosește metode care îmbunătățesc claritatea materialului. Prezentarea conține desene, diagrame, comentarii vocale importante, animație, evidențiere și alte instrumente.

Lecția video începe cu o prezentare a subiectului lecției și o imagine a unei tangente la graficul unei funcții y=f(x) în punctul M(a;f(a)). Se știe că coeficientul unghiular al tangentei trasate la grafic într-un punct dat este egal cu derivata funcției f΄(a) în acest punct. Tot din cursul de algebră cunoaștem ecuația dreptei y=kx+m. Schematic este prezentată soluția problemei găsirii ecuației tangentei într-un punct, ceea ce se reduce la găsirea coeficienților k, m. Cunoscând coordonatele unui punct aparținând graficului funcției, putem găsi m substituind valoarea coordonatei în ecuația tangentei f(a)=ka+m. Din el găsim m=f(a)-ka. Astfel, cunoscând valoarea derivatei într-un punct dat și coordonatele punctului, putem reprezenta ecuația tangentei în acest fel y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Următorul este un exemplu de compunere a unei ecuații tangente după diagramă. Având în vedere funcția y=x 2 , x=-2. Luând a=-2, găsim valoarea funcției la un punct dat f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Determinăm derivata funcției f΄(x)=2x. În acest moment, derivata este egală cu f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Pentru alcătuirea ecuației s-au găsit toți coeficienții a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, deci ecuația tangentei este y=4+(-4)(x+2). Simplificand ecuația, obținem y = -4-4x.

Următorul exemplu sugerează construirea unei ecuații pentru tangenta de la origine la graficul funcției y=tgx. La un punct dat a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Deci ecuația tangentei arată ca y=x.

Ca o generalizare, procesul de alcătuire a unei ecuații tangente la graficul unei funcții la un anumit punct este formalizat sub forma unui algoritm format din 4 pași:

• Introduceți denumirea a pentru abscisa punctului tangent;
• f(a) se calculează;
• Se determină f΄(x) și se calculează f΄(a). Valorile găsite ale lui a, f(a), f΄(a) sunt substituite în formula ecuației tangente y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Exemplul 1 are în vedere alcătuirea ecuației tangente la graficul funcției y=1/x în punctul x=1. Pentru a rezolva problema folosim un algoritm. Pentru o funcție dată la punctul a=1, valoarea funcției f(a)=-1. Derivată a funcției f΄(x)=1/x 2. La punctul a=1 derivata f΄(a)= f΄(1)=1. Cu ajutorul datelor obținute se întocmește ecuația tangentei y=-1+(x-1), sau y=x-2.

În exemplul 2, este necesar să găsim ecuația tangentei la graficul funcției y=x 3 +3x 2 -2x-2. Condiția principală este paralelismul tangentei și dreptei y=-2x+1. În primul rând, găsim coeficientul unghiular al tangentei, egal cu coeficientul unghiular al dreptei y=-2x+1. Deoarece f΄(a)=-2 pentru o linie dată, atunci k=-2 pentru tangenta dorită. Găsim derivata funcției (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Știind că f΄(a)=-2, găsim coordonatele punctului 3a 2 +6a-2=-2. După ce am rezolvat ecuația, obținem un 1 =0 și 2 =-2. Folosind coordonatele găsite, puteți găsi ecuația tangentei folosind un algoritm binecunoscut. Găsim valoarea funcției în punctele f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Valoarea derivatei în punctul f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Substituind valorile găsite în ecuația tangentei, obținem pentru primul punct a 1 =0 y=-2x-2, iar pentru al doilea punct a 2 =-2 ecuația tangentei y=-2x-22.

Exemplul 3 descrie compoziția ecuației tangentei pentru trasarea acesteia în punctul (0;3) la graficul funcției y=√x. Rezolvarea se face folosind un algoritm binecunoscut. Punctul tangent are coordonatele x=a, unde a>0. Valoarea funcției în punctul f(a)=√x. Derivata funcției f΄(х)=1/2√х, deci la un punct dat f΄(а)=1/2√а. Înlocuind toate valorile obținute în ecuația tangentei, obținem y = √a + (x-a)/2√a. Transformând ecuația, obținem y=x/2√а+√а/2. Știind că tangenta trece prin punctul (0;3), găsim valoarea lui a. Găsim a de la 3=√a/2. Prin urmare √a=6, a=36. Găsim ecuația tangentei y=x/12+3. Figura prezintă graficul funcției luate în considerare și tangenta dorită construită.

Elevilor li se reamintesc egalitățile aproximative Δy=≈f΄(x)Δx și f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Luând x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, obținem f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), deci f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

În exemplul 4, este necesar să găsim valoarea aproximativă a expresiei 2.003 6. Deoarece este necesar să găsim valoarea funcției f(x)=x 6 în punctul x=2,003, putem folosi formula binecunoscută, luând f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Derivată în punctul f΄(2)=192. Prin urmare, 2,003 6 ≈65-192·0,003. După ce am calculat expresia, obținem 2,003 6 ≈64,576.

Lecția video „Ecuația unei tangente la graficul unei funcții” este recomandată pentru utilizare într-o lecție tradițională de matematică la școală. Pentru un profesor care predă de la distanță, materialul video va ajuta la explicarea subiectului mai clar. Videoclipul poate fi recomandat studenților să-l revizuiască independent, dacă este necesar, pentru a-și aprofunda înțelegerea subiectului.

DECODIFICAREA TEXTULUI:

Știm că dacă un punct M (a; f(a)) (em cu coordonatele a și ef din a) aparține graficului funcției y = f (x) și dacă în acest punct este posibil să se deseneze o tangentă la graficul funcției care nu este perpendiculară pe abscisa axei, atunci coeficientul unghiular al tangentei este egal cu f"(a) (eff prim din a).

Să fie date o funcție y = f(x) și un punct M (a; f(a)) și se știe de asemenea că f´(a) există. Să creăm o ecuație pentru tangenta la graficul unei funcții date la un punct dat. Această ecuație, ca și ecuația oricărei drepte care nu este paralelă cu axa ordonatelor, are forma y = kx+m (y este egal cu ka x plus em), deci sarcina este de a găsi valorile lui coeficienții k și m. (ka și em)

Coeficientul unghiului k= f"(a). Pentru a calcula valoarea lui m, folosim faptul că dreapta dorită trece prin punctul M(a; f (a)). Aceasta înseamnă că dacă înlocuim coordonatele lui punctul M în ecuația dreptei, obținem egalitatea corectă : f(a) = ka+m, de unde aflăm că m = f(a) - ka.

Rămâne să înlocuiți valorile găsite ale coeficienților ki și m în ecuația dreptei:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(A)+ f"(A) (X- A). ( y este egal cu ef dintr-un plus ef prim din a, înmulțit cu x minus a).

Am obținut ecuația tangentei la graficul funcției y = f(x) în punctul x=a.

Dacă, să spunem, y = x 2 și x = -2 (adică a = -2), atunci f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, ceea ce înseamnă f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (atunci ef a lui a este egal cu patru, ef a primului lui x este egal cu doi x, ceea ce înseamnă ef prim din a este egal cu minus patru)

Înlocuind valorile găsite a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 în ecuație, obținem: y = 4+(-4)(x+2), adică y = -4x -4.

(E este egal cu minus patru x minus patru)

Să creăm o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = tanx (y este egal cu tangentei x) la origine. Avem: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , ceea ce înseamnă f"(0) = l. Înlocuind valorile găsite a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 în ecuație, obținem: y=x.

Să rezumam pașii noștri în găsirea ecuației tangentei la graficul unei funcții în punctul x folosind un algoritm.

ALGORITM DE DEZVOLTARE A ECUATIEI PENTRU O TANGENTA LA GRAFUL FUNCTIEI y = f(x):

1) Desemnați abscisa punctului tangent cu litera a.

2) Calculați f(a).

3) Aflați f´(x) și calculați f´(a).

4) Înlocuiți numerele găsite a, f(a), f´(a) în formulă y= f(A)+ f"(A) (X- A).

Exemplul 1. Creați o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = - in

punctul x = 1.

Soluţie. Să folosim algoritmul, ținând cont de faptul că în acest exemplu

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Înlocuiți cele trei numere găsite: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 în formula. Se obține: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Răspuns: y = x-2.

Exemplul 2. Având în vedere funcția y = x 3 +3x 2 -2x-2. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y = f(x), paralelă cu dreapta y = -2x +1.

Folosind algoritmul de alcătuire a ecuației tangentei, ținem cont că în acest exemplu f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, dar abscisa punctului tangent nu este indicată aici.

Să începem să gândim așa. Tangenta dorită trebuie să fie paralelă cu dreapta y = -2x+1. Și liniile paralele au coeficienți unghiulari egali. Aceasta înseamnă că coeficientul unghiular al tangentei este egal cu coeficientul unghiular al dreptei date: k tangentă. = -2. Hok cas. = f"(a). Astfel, putem găsi valoarea lui a din ecuația f ´(a) = -2.

Să găsim derivata funcției y=f(X):

f"(X)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f„(a)= 3a 2 +6a-2.

Din ecuația f"(a) = -2, i.e. 3a 2 +6a-2=-2 găsim a 1 =0, a 2 =-2. Aceasta înseamnă că există două tangente care îndeplinesc condițiile problemei: una în punctul cu abscisa 0, cealaltă în punctul cu abscisa -2.

Acum puteți urma algoritmul.

1) a 1 =0 și 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Înlocuind valorile a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 în formulă, obținem:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Înlocuind valorile a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 în formula, obținem:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Răspuns: y=-2x-2, y=-2x+2.

Exemplul 3. Din punctul (0; 3) trageți o tangentă la graficul funcției y = . Soluţie. Sa folosim algoritmul de alcatuire a ecuatiei tangentei, tinand cont ca in acest exemplu f(x) = . Rețineți că aici, ca în exemplul 2, abscisa punctului tangent nu este indicată în mod explicit. Cu toate acestea, urmăm algoritmul.

1) Fie x = a abscisa punctului de tangență; este clar că un >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Înlocuind valorile lui a, f(a) = , f"(a) = în formula

y=f (a) +f "(a) (x-a), primim:

Prin condiție, tangenta trece prin punctul (0; 3). Înlocuind valorile x = 0, y = 3 în ecuație, obținem: 3 = , iar apoi =6, a =36.

După cum puteți vedea, în acest exemplu, abia la pasul al patrulea al algoritmului am reușit să găsim abscisa punctului tangent. Înlocuind valoarea a =36 în ecuație, obținem: y=+3

În fig. Figura 1 prezintă o ilustrare geometrică a exemplului considerat: se construiește un grafic al funcției y =, se trasează o linie dreaptă y = +3.

Răspuns: y = +3.

Știm că pentru o funcție y = f(x), care are o derivată în punctul x, egalitatea aproximativă este valabilă: Δyf´(x)Δx (delta y este aproximativ egal cu eff prim al lui x înmulțit cu delta x)

sau, mai detaliat, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff din x plus delta x minus ef din x este aproximativ egal cu ef prim din x prin delta x).

Pentru comoditatea discuțiilor ulterioare, să schimbăm notația:

în loc de x vom scrie A,

în loc de x+Δx vom scrie x

În loc de Δx vom scrie x-a.

Atunci egalitatea aproximativă scrisă mai sus va lua forma:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff din x este aproximativ egal cu ef dintr-un plus ef prim din a, înmulțit cu diferența dintre x și a).

Exemplul 4. Aflați valoarea aproximativă a expresiei numerice 2.003 6.

Soluţie. Vorbim despre găsirea valorii funcției y = x 6 în punctul x = 2,003. Să folosim formula f(x)f(a)+f´(a)(x-a), ținând cont că în acest exemplu f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 și, prin urmare, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Ca rezultat obținem:

2,003 6 64+192· 0,003, i.e. 2,003 6 =64,576.

Dacă folosim un calculator, obținem:

2,003 6 = 64,5781643...

După cum puteți vedea, acuratețea aproximării este destul de acceptabilă.

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Tangenta la graficul unei functii. Clasa 10

Tangenta la graficul funcției x y 0 A Tangenta O linie dreaptă care trece prin punctul (x 0 ; f (x 0)), cu segmentul căruia graficul funcției f se contopește practic pentru valori apropiate de x 0 , se numește tangentă la graficul funcției f în punctul (x 0 ; f (x 0)).

Tangenta este poziția limită a secantei la ∆х →0 x y 0 k – coeficientul unghiular al dreptei (secantei) Coeficientul unghiular al tangentei este egal cu f ˈ(x 0). Acesta este sensul geometric al derivatului. Tangent Secant Display automat. Faceți clic 1 dată. Secanta k → f’(x 0)

Tangenta la graficul unei functii f diferentiabila intr-un punct x o este o dreapta care trece prin punctul (x o; f (x o)) si avand un coeficient unghiular f ˈ (x o). Să derivăm ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul A (x o; f (x o)). k = f ˈ (x o) => y = fˈ (x o) x + b Găsiți b: f (x o) = f ˈ (x o) x o + b => b = f (x o) - f ˈ (x o) x o y = fˈ (x o) x + f (x o) - f ˈ (x o) x o y = f (x o) – f ˈ (x o)(x - x o)

Formula lui Lagrange. Dacă funcția este diferențiabilă, atunci pe intervalul (a; b) există un punct cu Є (a; b) astfel încât f' (c) = f (b) – f (a) b - a x y 0 A B a b c l o α C f ' (c) = tg α l o ll AB

Pe tema: dezvoltări metodologice, prezentări și note

Lucrați cu scopul de a repeta abilitățile de a extrage un număr dintr-o rădăcină pătrată aritmetică și de a găsi semnificațiile expresiilor, exersând abilitățile de a compara rădăcinile. Exersarea abilităților în construirea graficelor de funcții...

Prezentare pentru lecția „Cum se construiește un grafic al funcției y=f(x+l)+m, dacă este cunoscut graficul funcției y=f(x).

Această prezentare arată cum să construiți grafice ale funcțiilor utilizând algoritmi pentru transferul paralel de grafice ale funcțiilor de bază....

Rezumatul lecției cu prezentarea „Funcții. Grafice ale funcțiilor și proprietățile lor” clasa a X-a

Rezumatul lecției pe tema „Funcții. Grafice ale funcțiilor și proprietățile lor” în clasa a X-a. Tipul lecției: Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor. Către manualul lui Alimov și alții Lucrarea principală din lecție se bazează pe prezentare, adică....

Data de:__________________

Subiect: Ecuația unei tangente la graficul unei funcții.

Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.

Metode de predare: vizual, parțial de căutare.

Scopul lecției.

Introduceți conceptul de tangentă la graficul unei funcții într-un punct, aflați care este semnificația geometrică a derivatei, deduceți ecuația tangentei și învățați cum să o găsiți pentru anumite funcții.

Dezvoltați gândirea logică și vorbirea matematică.

Cultivați voința și perseverența pentru a obține rezultatele finale.

“O persoană realizează ceva doar atunci când crede în forțele sale.”

L. Feuerbach

În timpul orelor.

I. Moment organizatoric

Verificarea gradului de pregătire a elevilor pentru lecție. Comunicați subiectul și obiectivele lecției.

II. Actualizarea cunoștințelor.

(Amintiți-vă împreună cu elevii de definiția geometrică a unei tangente la graficul unei funcții. Dați exemple care să arate că această afirmație nu este completă.)

Să ne amintim ce este o tangentă?

„O tangentă este o dreaptă care are un punct comun cu o curbă dată.”

Discuție asupra corectitudinii acestei definiții. (După discuție, elevii ajung la concluzia că această definiție este incorectă.) Pentru a-și demonstra în mod clar concluzia, dăm următorul exemplu.

Să ne uităm la un exemplu.

Să fie date o parabolă și două drepte , care are un punct comun M (1;1) cu o parabolă dată. Există o discuție despre motivul pentru care prima linie nu este tangentă la o parabolă dată, dar a doua este.

În această lecție, tu și cu mine trebuie să aflăm ce este o tangentă la graficul unei funcții într-un punct, cum să creăm o ecuație pentru tangentă?

Luați în considerare principalele sarcini pentru alcătuirea ecuației tangentei.

Pentru a face acest lucru, amintiți-vă forma generală a ecuației unei drepte, condițiile pentru paralelismul liniilor, definiția unei derivate și regulile de diferențiere.

III. Lucrări pregătitoare pentru învățarea de materiale noi.

Formulați definiția unei derivate.

Completați tabelul cu funcții elementare arbitrare.

Amintiți-vă regulile de diferențiere.

Care dintre următoarele drepte sunt paralele și de ce? (Verificați-l clar)

IV Studierea materialelor noi.

Pentru a stabili ecuația unei drepte pe un plan, este suficient să cunoaștem coeficientul unghiular și coordonatele unui punct.

Să fie dat graficul funcției. Pe el este selectat un punct, în acest punct este trasată o tangentă la graficul funcției (presupunem că există). Aflați panta tangentei.

Să dăm argumentului o creștere și să considerăm pe grafic (Fig. 3) punctul P cu abscisă. Coeficientul unghiular al secantei MP, i.e. tangenta unghiului dintre secanta si axa x se calculeaza prin formula.

Dacă acum avem tendința la zero, atunci punctul P va începe să se apropie de punctul M de-a lungul unei curbe.Am caracterizat tangenta ca poziție limită a secantei în timpul acestei abordări. Aceasta înseamnă că este firesc să presupunem că coeficientul unghiular al tangentei va fi calculat folosind formula.

Prin urmare, .

Dacă la graficul funcţiei y = f (x) în punctul x = a puteți desena o tangentă care nu este paralelă cu axa la, apoi exprimă panta tangentei.

Sau altfel. Derivată la un punct x = a egală cu panta tangentei la graficul funcției y = f(x)în acest moment.

Acesta este sensul geometric al derivatului.

Mai mult, dacă:

Să aflăm forma generală a ecuației tangentei.

Fie ca linia dreaptă să fie dată de ecuație. Noi stim aia . Pentru a calcula m, folosim faptul că linia trece prin punct. Să-l conectăm în ecuație. Primim, i.e. . Să înlocuim valorile găsite kȘi mîn ecuația unei linii drepte:

– ecuația tangentei la graficul funcției.

Să ne uităm la exemple:

Să creăm o ecuație pentru tangentă:

În rezolvarea acestor exemple, am folosit un algoritm foarte simplu, care este următorul:

Să ne uităm la sarcinile tipice și la soluțiile acestora.

№1. Creați o ecuație pentru tangenta la graficul unei funcții într-un punct.

Soluţie. Să folosim algoritmul, ținând cont de faptul că în acest exemplu .

2)

3) ;

4) Înlocuiți numerele găsite ,, în formulă.

Răspuns:

№2. Desenați o tangentă la graficul funcției astfel încât să fie paralelă cu dreapta.

Soluţie. Să clarificăm formularea problemei. Cerința de a „trage o tangentă” înseamnă de obicei „a forma o ecuație pentru tangentă”. Să folosim algoritmul pentru construirea unei tangente, ținând cont de faptul că în acest exemplu .

Tangenta dorită trebuie să fie paralelă cu dreapta. Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă panta lor este egală. Aceasta înseamnă că coeficientul unghiular al tangentei trebuie să fie egal cu coeficientul unghiular al dreptei date: .Dar . Prin urmare: ; .

Din ecuație, i.e. , găsim că și . Aceasta înseamnă că există două tangente care îndeplinesc condițiile problemei: una în punctul cu abscisa 2, cealaltă în punctul cu abscisa -2.

Acționăm conform algoritmului.

4) Înlocuind valorile ,, , obținem , i.e. .

Înlocuind valorile ,, , obținem , i.e.

Răspuns:, .

V. Rezolvarea problemelor.

1. Rezolvarea problemelor folosind desene gata făcute

VI. Rezumând.

1. Răspundeți la întrebări:

Care este tangenta la graficul unei functii intr-un punct?

Care este semnificația geometrică a derivatei?

Formulați un algoritm pentru găsirea ecuației tangentei?

2. Care au fost dificultățile din timpul lecției, ce părți ale lecției ți-au plăcut cel mai mult?

3. Notare.

Secțiuni: Matematică

Clasă: 10

Scopul lecției. Generalizarea, sistematizarea și aprofundarea cunoștințelor pe tema „Semnificația geometrică a derivatelor”.

Obiectivele lecției.

• Dezvoltați capacitatea de a aplica cunoștințele teoretice atunci când rezolvați sarcini de complexitate diferită.
• Pregătirea pentru examenul de stat unificat
• Dezvoltați capacitatea de a gestiona timpul de lecție și de a vă evalua activitățile de învățare.

Echipament: Tablă interactivă, prezentare, instrumente de desen, cretă, manuale, caiete. Toată lumea are un puzzle de cuvinte încrucișate pe birou.

Tipul de lecție. O lecție de sistematizare și aprofundare a cunoștințelor pe această temă (pregătirea pentru Examenul Unificat de Stat.).

În timpul orelor

1. Repetarea materialului teoretic. Soluție de cuvinte încrucișate (Diapozitiv - 3)

2. Repetați algoritmul pentru alcătuirea ecuației tangentei. (Diapozitiv - 6.7)

Pentru a crea o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y=f(x) în punctul x 0, trebuie să găsiți

2) y"(x0) =f"(x 0)

3) y(x0) =f(x 0)

4) Înlocuiți numerele găsite în formulă

3. Rezolvarea exemplelor. Evaluare inter pares. Autotestare. Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y=f(x) în punctul x 0.

a), x 0 =1 (Diapozitiv - 7,8)

b) y=-x 2 +4, x 0 =-1 (Diapozitiv - 9,10)

c)y = x 3, x 0 = 1 (Diapozitiv - 12-15)

d) x 0 =4 (Diapozitiv - 16,17)

e) y = tgx în punctul x 0 =0 (Diapozitiv - 20-22)

4. Rezolvarea problemelor complexe.

Al doilea tip de ecuație tangentă. (Diapozitiv - 23)

• Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y=f(x0), dacă tangenta este paralelă cu dreapta y= kx+b.

Algoritm de găsire.

1. Să găsim derivata funcției.

2. Întrucât coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției y= f(x0) este egal cu valoarea derivatei funcției, i.e. k=f "(x0), atunci găsim abscisa punctului de tangență prin rezolvarea ecuației f "(x0) = k.

3. Aflați valoarea funcției în punctul x0.

4. Înlocuind valorile găsite în formulă, obținem ecuația tangentei.

Al treilea tip de ecuație tangentă. (Diapozitiv - 27)

Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y=f(x), dacă se știe că această tangentă trece prin punctul A(x 0 ,y 0).

Algoritm de rezolvare.

• Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y=f(x), dacă se știe că această tangentă trece prin punctul A(x 0 ,y 0).

Y=(x-2)2-1; A(3;-1) (Diapozitiv - 28-30)

Al patrulea tip de ecuație tangentă. (Diapozitiv - 31)

• Scrieți o ecuație pentru tangenta comună la graficele funcțiilor y= f(X) și y = g (x).

Algoritm de rezolvare.

1. Să introducem punctele presupuse de tangență x1 - pentru funcția y= f(x) și x2 - pentru funcția y= g(x).
2. Să găsim derivatele acestor funcții.
3. Să găsim valorile derivatelor în aceste puncte f „(x1) și g” (x2).
4. Să găsim valorile funcțiilor în aceste puncte y = f(x1) și y = g(x2).
5. Să compunem ecuații tangente pentru fiecare funcție respectiv.
6. Să notăm coeficienții unghiulari k1, k2 și b1, b2.
   Deoarece tangenta este comună, coeficienții unghiulari sunt egali, iar valorile lui b sunt egale. k1 = k2 și b1= b2
7. Să creăm un sistem de ecuații și să-l rezolvăm, să găsim valorile lui x1 și x2
8. Înlocuim valorile găsite în ecuațiile tangente generale.
9. Ecuațiile s-au dovedit a fi aceleași. Am obținut ecuația tangentei comune la grafice

• Scrieți o ecuație pentru tangenta comună la graficele funcțiilor y=f(x) și y= g(x).
  Y-(x-+2) 2 - 3 și y=x 2 (Diapozitiv - 32-36)

Rezolvarea sarcinilor în formatul Unified State Exam (Slide - 37-40)

Lecție despre învățarea de materiale noi în clasa a X-a

„Ecuația unei tangente la graficul unei funcții”

UMK: Algebra și începutul analizei matematice. 10-11 clase

(de referință) 2011

Articol: matematică.

Clasă: 10

Tip de lecție: învăţarea de materiale noi

Subiect: Ecuația tangentei la graficul unei funcții

Ţintă: deduceți formula pentru ecuația unei tangente la graficul unei funcții într-un punct dat, creați un algoritm pentru găsirea ecuației unei tangente, învățați cum să scrieți o ecuație pentru o tangente.

Sarcini:

Educational:

exersați și sistematizați abilitățile și abilitățile pe tema „Tangentă, ecuația unei tangente la graficul unei funcții”.

Educational:

promovează dezvoltarea atenției;

promovează dezvoltarea abilităților de calcul mental;

promovează dezvoltarea gândirii logice și a intuiției matematice;

promovează dezvoltarea și înțelegerea legăturilor interdisciplinare între studenți;

Educational:

dezvoltarea competențelor comunicative ale elevilor (cultura comunicării, capacitatea de a lucra în grup, capacitatea de a-și argumenta punctul de vedere);

să creeze condiții pentru înțelegerea necesității unei acțiuni independente în rezolvarea problemelor;

realizează marea semnificație practică și istorică a derivatului.

Echipament: calculator, proiector, prezentare, manual, program „Matematică vie”, desene de grafice de funcții în programul „Matematică vie”.

Structura și planul lecției:

1.Motivarea (autodeterminarea) pentru activități educaționale.

2. Actualizarea cunoștințelor și remedierea dificultăților în activitate.

3. Enunțarea sarcinii educaționale.

4.Descoperirea de noi cunoștințe.

Sarcina 9 din slide-ul de prezentare: „Faceți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției f(x) = x 2 +3x+1 la abscisa x 0 =1" vă duce la următoarea etapă a lecției.

3. Enunțarea sarcinii educaționale.

Scop: discutarea dificultăților. De ce au fost dificultăți? Ce nu știm încă? (1-2 min) Elevii formulează scopurile și obiectivele lecției.

4.Descoperirea de noi cunoștințe.

Scop: construirea unui proiect pentru ieșirea dintr-o dificultate (5-7 min)

Ca temă suplimentară, 2 elevi „puternici” Ivan Shein și Vitaly Konev au fost rugați să folosească un manual pentru a înțelege derivarea formulei generale pentru ecuația unei tangente (pagina 174 de manual) și un exemplu de alcătuire a ecuației unei tangente. la graficul unei funcții 2 la punctul x = 1 (pagina 166 de manual, exemplul 2).

Elevii își notează concluziile pe tablă, iar restul în caiete. După plecarea elevilor, profesorul demonstrează desenul 1, realizat în programul „Matematică în direct” (graficul unei funcții și o tangentă la ea la un punct) și cu o ecuație pentru tangente.

5.Consolidarea primară în vorbirea externă.

Scop: pronunțarea cunoștințelor noi, înregistrarea sub formă de semnal de referință (5 min).

Clasa este împărțită în 4 grupuri, cărora li se cere să creeze un algoritm pentru alcătuirea unei ecuații pentru o tangentă la graficul unei funcții. Elevii folosesc doar ecuația tangentei generale. După discuție, algoritmul este discutat punct cu punct, completat și corectat. Ca urmare, este demonstrat.

6. Lucru independent cu autotestare conform standardului.

Scop: fiecare trebuie să ajungă singur la o concluzie despre ceea ce știe deja să facă (5-6 min).

În această etapă, revenim la problema de pe diapozitivul 9 despre alcătuirea ecuației tangente; elevii o rezolvă independent, urmată de autotest. , precum și desenul 2 „Matematică vie”.

7. Includerea noilor cunoștințe în sistemul de cunoștințe și repetarea.

Scop: se efectuează exerciții în care se folosesc cunoștințe noi împreună cu cunoștințele învățate anterior (10-12 min).

Lucrul cu cartea de probleme: pagina 91, alegerea independentă a numărului de la nr. 29.12 - 29.16 (răspunsurile sunt în manual). Elevii au posibilitatea de a alege sarcini în funcție de nivelul de dificultate.

TEMA pentru acasă va fi aceleași numere 29.12 – 29.16, lucrați la alcătuirea ecuației tangentei folosind algoritmul. Rezolvați cel puțin 3 litere, fără a număra cele completate la clasă.

8. Reflecția activității (rezumatul lecției).

Scop: conștientizarea elevilor cu privire la activitățile lor educaționale, autoevaluarea rezultatelor activităților proprii și ale întregii clase (2-3 min).

Întrebări:

Care a fost sarcina?

Ai reusit sa rezolvi problema?

Cum?

Ce rezultate ai obtinut?

Unde poți aplica noile cunoștințe?

Și în sfârșit, după „tot felul de lucruri inteligente”, puțin umor. Ecranul prezintă grafice ale nivelului de cunoștințe în funcție de timp, în intervalul de la începutul lecției până la finalizarea acesteia.

Vă rugăm să alegeți programul care credeți că este cel mai apropiat de dvs. Sunt relevante pentru tema lecției noastre? Din aceste grafice se poate judecadespre rata de crestere cunoștințele tale în timpul lecției. Graficul 1 – am atins scopul și am rezolvat sarcinile stabilite la începutul lecției.

Mulțumesc pentru lecție!

Literatură

Algebra și începutul analizei matematice. 10-11 clase. La ora 2. Părțile 1,2. Manual și carte de probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general (nivel de bază) / ed. A. G. Mordkovici. - M.: Mnemosyne, 2011.

Matematică vie: o colecție de materiale didactice. – M.: INT. 176 p.

V. M. Chernyavsky Lucrul cu programul „Matematică vie”.

Diverse resurse de internet pentru ca copiii să găsească informații suplimentare pe tema „Derivate”.