Construcția secțiunilor unui tetraedru și paralelipiped. Construirea secțiunilor într-un tetraedru Secțiunea unui tetraedru folosind trei puncte pe fețe

În această lecție ne vom uita la tetraedrul și elementele acestuia (marginea tetraedrului, suprafața, fețele, vârfurile). Și vom rezolva câteva probleme de construire a secțiunilor într-un tetraedru, folosind metoda generală de construire a secțiunilor.

Tema: Paralelismul dreptelor și planurilor

Lecția: Tetraedrul. Probleme la construirea secțiunilor într-un tetraedru

Cum se construiește un tetraedru? Să luăm un triunghi arbitrar ABC. Orice punct D, care nu se află în planul acestui triunghi. Obținem 4 triunghiuri. Suprafața formată de aceste 4 triunghiuri se numește tetraedru (Fig. 1.). Punctele interne delimitate de această suprafață fac, de asemenea, parte din tetraedru.

Orez. 1. Tetraedrul ABCD

Elementele unui tetraedru
A,B, C, D - vârfurile unui tetraedru.
AB, A.C., ANUNȚ, B.C., BD, CD - margini tetraedrice.
ABC, ABD, BDC, ADC - fețe tetraedrice.

Cometariu: poate fi luat plat ABC in spate baza tetraedrului, și apoi punct D este vârful unui tetraedru. Fiecare muchie a tetraedrului este intersecția a două plane. De exemplu, coastă AB- aceasta este intersecția planurilor ABDȘi ABC. Fiecare vârf al unui tetraedru este intersecția a trei plane. Vertex A zace în avioane ABC, ABD, ADCU. Punct A este intersecția celor trei plane desemnate. Acest fapt este scris astfel: A= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Definiția tetraedrului

Asa de, tetraedru este o suprafață formată din patru triunghiuri.

Marginea tetraedrului- linia de intersecție a două plane ale tetraedrului.

Faceți 4 triunghiuri egale din 6 potriviri. Este imposibil să rezolvi problema într-un avion. Și în spațiu, acest lucru este ușor de făcut. Să luăm un tetraedru. 6 potriviri sunt marginile sale, patru fețe ale tetraedrului și vor fi patru triunghiuri egale. Problema este rezolvată.

Dat un tetraedru ABCD. Punct M aparține unei margini a tetraedrului AB, punct N aparține unei margini a tetraedrului ÎNDși punct R aparține marginii DCU(Fig. 2.). Construiți o secțiune a unui tetraedru folosind un plan MNP.

Orez. 2. Desen pentru problema 2 - Construiți o secțiune a unui tetraedru cu un plan

Soluţie:
Luați în considerare fața unui tetraedru DSoare. Pe această față a subiectului NȘi P aparțin fețelor DSoare, și deci tetraedrul. Dar după condiția punctului N, P aparțin planului de tăiere. Mijloace, NP- aceasta este linia de intersecție a două plane: planul feței DSoareși planul de tăiere. Să presupunem că linii drepte NPȘi Soare nu paralel. Ei zac în același plan DSoare. Să găsim punctul de intersecție al liniilor NPȘi Soare. Să o notăm E(Fig. 3.).

Orez. 3. Desen pentru problema 2. Găsirea punctului E

Punct E aparține planului de secțiune MNP, deoarece se află pe linie dreaptă NP, și linia dreaptă NP se află în întregime în planul secțiunii MNP.

De asemenea, punct E zace intr-un avion ABC, deoarece se află pe o linie dreaptă Soare din avion ABC.

Înțelegem asta MÂNCA- linia de intersecție a planelor ABCȘi MNP, din moment ce puncte EȘi M se află simultan în două planuri - ABCȘi MNP. Să conectăm punctele MȘi E, și continuați drept MÂNCA până la intersecția cu linia AC. Punctul de intersecție al liniilor MÂNCAȘi AC să notăm Q.

Deci in acest caz NPQМ- secțiunea necesară.

Orez. 4. Desen pentru problema 2. Rezolvarea problemei 2

Să luăm acum în considerare cazul când NP paralel B.C.. Dacă drept NP paralel cu o linie, de exemplu, o linie dreaptă Soare din avion ABC, apoi drept NP paralel cu întregul plan ABC.

Planul de secțiune necesar trece prin linie dreaptă NP, paralel cu planul ABC, și intersectează planul într-o linie dreaptă MQ. Deci linia de intersecție MQ paralel cu linia NP. Primim, NPQМ- secțiunea necesară.

Punct M se află pe marginea laterală ADÎN tetraedru ABCD. Construiți o secțiune a tetraedrului cu un plan care trece prin punct M paralel cu baza ABC.

Orez. 5. Desen pentru problema 3 Construiți o secțiune a unui tetraedru cu un plan

Soluţie:
Planul de tăiere φ paralel cu planul ABC conform condiției, aceasta înseamnă că acest avion φ paralele cu liniile AB, AC, Soare.
In avion ABD prin punct M hai sa facem un direct PQ paralel AB(Fig. 5). Drept PQ zace intr-un avion ABD. La fel și în avion ACD prin punct R hai sa facem un direct relatii cu publicul paralel AC. Am un punct R. Două linii care se intersectează PQȘi relatii cu publicul avion PQR respectiv paralel cu două drepte care se intersectează ABȘi AC avion ABC, ceea ce înseamnă avioane ABCȘi PQR paralel. PQR- secțiunea necesară. Problema este rezolvată.

Dat un tetraedru ABCD. Punct M- punct intern, punct de pe fața tetraedrului ABD. N- punctul intern al segmentului DCU(Fig. 6.). Construiți punctul de intersecție al unei drepte N.M.și avioane ABC.

Orez. 6. Desen pentru problema 4

Soluţie:
Pentru a rezolva acest lucru, vom construi un plan auxiliar DMN. Să fie drept DM intersectează linia AB în punct LA(Fig. 7.). Apoi, SKD- aceasta este o secțiune a avionului DMNși tetraedru. In avion DMN minciuni si dreptate N.M., și linia dreaptă rezultată SK. Astfel, dacă N.M. nu paralel SK, apoi se vor intersecta la un moment dat R. Punct Rși acolo va fi punctul de intersecție dorit al dreptei N.M.și avioane ABC.

Orez. 7. Desen pentru problema 4. Rezolvarea problemei 4

Dat un tetraedru ABCD. M- punctul intern al fetei ABD. R- punctul intern al fetei ABC. N- punctul intern al marginii DCU(Fig. 8.). Construiți o secțiune a unui tetraedru cu un plan care trece prin puncte M, NȘi R.

Orez. 8. Desen pentru problema 5 Construiți o secțiune a unui tetraedru cu un plan

Soluţie:
Să luăm în considerare primul caz, când linia dreaptă MN nu paralel cu planul ABC. În problema anterioară am găsit punctul de intersecție al dreptei MNși avioane ABC. Acesta este punctul LA, se obtine folosind planul auxiliar DMN, adică noi facem DMși obținem un punct F. Realizam CF iar la intersectie MN primim un punct LA.

Orez. 9. Desen pentru problema 5. Găsirea punctului K

Să facem o directă KR. Drept KR se află atât în ​​planul de secţiune cât şi în plan ABC. Obținerea de puncte P 1Și R 2. Conectare P 1Și Mși ca o continuare obținem ideea M 1. Conectarea punctului R 2Și N. Drept urmare, obținem secțiunea dorită Р 1 Р 2 NM 1. Problema in primul caz este rezolvata.
Să luăm în considerare al doilea caz, când linia dreaptă MN paralel cu planul ABC. Avion MNP trece printr-o linie dreaptă MN paralel cu planul ABCși intersectează planul ABC de-a lungul vreunei linii drepte R1R2, apoi drept R1R2 paralel cu linia dată MN(Fig. 10.).

Orez. 10. Desen pentru problema 5. Secțiunea necesară

Acum să tragem o linie dreaptă R 1 Mși obținem un punct M 1.Р 1 Р 2 NM 1- secțiunea necesară.

Deci, ne-am uitat la tetraedru și am rezolvat câteva probleme tipice cu tetraedrul. În lecția următoare ne vom uita la un paralelipiped.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și extinsă - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : bolnav. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevii instituțiilor de învățământ general (nivel de bază și de specialitate)

2. Sharygin I.F. - M.: Gutarda, 1999. - 208 p.: ill. Geometrie. Clasele 10-11: Manual pentru instituțiile de învățământ general

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - ediția a 6-a, stereotip. - M.: Butard, 008. - 233 p. :il. Geometrie. Clasa a 10-a: Manual pentru instituțiile de învățământ general cu studiu aprofundat și de specialitate al matematicii

Resurse web suplimentare

2. Cum se construiește o secțiune transversală a unui tetraedru. Matematică ().

3. Festivalul ideilor pedagogice ().

Faceți probleme acasă pe tema „Tetraedru”, cum să găsiți marginea unui tetraedru, fețele unui tetraedru, vârfurile și suprafața unui tetraedru

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevii instituțiilor de învățământ general (nivel de bază și de specialitate) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și extinsă - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. Sarcinile 18, 19, 20 p. 50

2. Punct E coasta mijlocie MA tetraedru MAVS. Construiți o secțiune a tetraedrului cu un plan care trece prin puncte B, CȘi E.

3. În tetraedrul MABC, punctul M aparține feței AMB, punctul P aparține feței BMC, punctul K aparține muchiei AC. Construiți o secțiune a tetraedrului cu un plan care trece prin puncte M, R, K.

4. Ce forme se pot obține în urma intersecției unui tetraedru cu un plan?

, diapozitivele 1-2)

• invata sa aplici axiomele stereometriei in rezolvarea problemelor;
• învață să găsești poziția punctelor de intersecție ale planului de tăiere cu marginile tetraedrului;
• stăpânește metodele de construire a acestor secțiuni
• de a forma activitate cognitivă, capacitatea de a gândi logic;
• crearea condițiilor pentru autocontrolul dobândirii cunoștințelor și deprinderilor.

Tip de lecție: Formarea de noi cunoștințe.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric

II. Actualizarea cunoștințelor elevilor

Sondaj frontal. (Axiome de stereometrie, proprietăți ale planurilor paralele)

Cuvântul profesorului

Pentru a rezolva multe probleme geometrice legate de tetraedru, este util să le poți desena secțiuni avioane diferite. ( slide 3). Hai sa sunăm plan de tăiere tetraedrul este orice plan pe ambele părți ale căruia există puncte ale tetraedrului dat. Planul de tăiere intersectează fețele tetraedrului de-a lungul segmentelor. Un poligon ale cărui laturi sunt aceste segmente se numește secțiunea transversală a unui tetraedru. Deoarece un tetraedru are patru fețe, secțiunile sale pot fi doar triunghiuri și patrulatere. Rețineți, de asemenea, că pentru a construi o secțiune, este suficient să construiți punctele de intersecție ale planului de tăiere cu marginile tetraedrului, după care rămâne să desenați segmente care leagă fiecare două puncte construite situate pe aceeași față.

În această lecție vei putea studia în detaliu secțiunile unui tetraedru și vei stăpâni metodele de construire a acestor secțiuni. Veți învăța cinci reguli pentru construirea secțiunilor de poliedre, veți învăța să găsiți poziția punctelor de intersecție ale planului de tăiere cu marginile tetraedrului.

Actualizarea conceptelor suport

• Prima regulă. Dacă două puncte aparțin atât planului de tăiere, cât și planului unei fețe a poliedrului, atunci linia dreaptă care trece prin aceste două puncte este linia de intersecție a planului de tăiere cu planul acestei fețe (o consecință a axiomei privind intersecția planelor).
• A doua regulă. Dacă planul de tăiere este paralel cu un anumit plan, atunci aceste două plane se intersectează cu orice față de-a lungul unor linii paralele (proprietatea a două plane paralele intersectate de o treime).
• A treia regulă. Dacă planul de tăiere este paralel cu o dreaptă situată într-un anumit plan (de exemplu, planul unei fețe), atunci linia de intersecție a planului de tăiere cu acest plan (față) este paralelă cu această dreaptă (proprietatea unei fețe). linie paralelă cu planul).
• A patra regulă. Un plan de tăiere intersectează fețe paralele de-a lungul unor linii paralele (proprietatea planurilor paralele intersectate de o treime).
• A cincea regulă. Fie două puncte A și B aparțin planului de tăiere, iar punctele A 1 și B 1 sunt proiecții paralele ale acestor puncte pe o anumită față. Dacă liniile AB și A 1 B 1 sunt paralele, atunci planul de tăiere intersectează această față de-a lungul unei drepte paralele cu A 1 B 1. Dacă dreptele AB și A 1 B 1 se intersectează la un punct, atunci acest punct aparține atât planului de tăiere, cât și planului acestei fețe (prima parte a acestei teoreme decurge din proprietatea unei drepte paralele cu planul, iar a doua rezultă din proprietățile suplimentare ale unei proiecții paralele).

III. Învățarea de noi materiale (formarea cunoștințelor, abilități)

Rezolvarea colectivă a problemelor cu explicație(diapozitivul 4)

Sarcina 1. Construiți o secțiune a tetraedrului DABC cu un plan care trece prin punctele K є AD,M = DS, E = BC.

Să privim cu atenție desenul. Deoarece punctele K și M aparțin aceluiași plan, găsim intersecția planului de tăiere cu fața ADS - acesta este segmentul KM. Punctele M și E se află, de asemenea, în același plan, ceea ce înseamnă că intersecția planului de tăiere și fața VDS este segmentul ME. Găsim punctul de intersecție al dreptelor KM și AC, care se află în același plan ADS. Acum punctul X se află în fața ABC, apoi poate fi conectat la punctul E. Tragem o dreaptă XE, care se intersectează cu AB în punctul P. Segmentul PE este intersecția planului de tăiere cu fața ABC, iar segmentul KP este intersecția planului de tăiere cu fața ABC. Prin urmare, patrulaterul KMER este secțiunea dorită. Înregistrarea soluției în blocnotes:

Soluţie.

1. KM = α ∩ ADS
2. ME = α ∩ VDS
3. X = KM ∩ AC
4. P = XE ∩ AB
5. PE = α ∩ ABC
6. KR = α ∩ ADV
7. KMER – secțiune transversală necesară

Sarcina 2.(diapozitivul 5)

Construiți o secțiune a tetraedrului DABC cu un plan care trece prin punctele K = ABC, M = VDS, N = AD

Să analizăm acest desen. Nu există puncte situate pe aceeași față. În acest caz, vom folosi regula 5. Luați în considerare proiecțiile a două puncte. Într-un tetraedru, proiecțiile punctelor se găsesc de la vârf la planul de bază, adică. M→M1, N→A. Găsim intersecția dreptelor NM și AM 1 punctul X. Acest punct aparține planului de tăiere, deoarece se află pe dreapta NM și aparține planului ABC, deoarece se află pe dreapta AM 1. Aceasta înseamnă că acum în planul ABC avem două puncte care pot fi conectate, obținem linia dreaptă KX. Linia dreaptă intersectează latura BC în punctul L, și latura AB în punctul H. În fața ABC găsim linia de intersecție, aceasta trece prin punctele H și K - aceasta este NL. În fața ABP linia de intersecție este НN, în fața VDS trasăm linia de intersecție prin punctele L și M - aceasta este LQ, iar în fața ADS obținem segmentul NQ. HNQL patrulater este secțiunea necesară.

Soluţie

1. M → M 1 N → A
2. X = NM ∩ AM 1
3. L = KX ∩ BC
4. H = KX ∩ AB
5. НL = α ∩ АВС, К є НL
6. НN = α ∩ АВД,
7. LQ = α ∩ VDS, М є LQ
8. NQ = α ∩ ADS
9. HNQL – secțiune necesară

IV. Consolidarea cunoștințelor

Lucrul cu obiectul animat „Construirea unei secțiuni a unui tetraedru cu un plan” (disc „Lecții de geometrie în clasa a 10-a”, lecția nr. 16)

Rezolvarea problemei cu verificarea ulterioară

Sarcina 3. (diapozitivul 6)

Construiți o secțiune a tetraedrului DAWS cu un plan care trece prin punctele K є BC, M є ADV, N є VDS.

Soluţie

1. 1. M → M 1, N → N 1
2. Х = NM ∩ N 1 М 1
3. R = KX ∩ AB
4. RL = α ∩ АВД, М є RL
5. KR = α ∩ VDS, N є KR
6. LP = α ∩ ADS
7. RLPK – secțiune necesară

V.Munca independentă (în funcție de opțiuni)

(diapozitivul 7)

Sarcina 4.N = AC, K = AD.

Soluţie

1. KM = α ∩ AVD,
2. МN = α ∩ АВС,
3. KN = α ∩ ADS
4. KMN – secțiune necesară

Sarcina 5. Construiți o secțiune a tetraedrului DABC cu un plan care trece prin punctele M є AB,K є DS, N є DV.

Soluţie

1. MN = α ∩ AVD
2. NK = α ∩ VDS
3. X = NK ∩ BC
4. P = AC ∩ MX
5. RK = α ∩ ADS
6. MNKP – secțiune necesară

Sarcina 6. Construiți o secțiune a tetraedrului DABC cu un plan care trece prin punctele M = ABC, K = VD, N = DS

Soluţie

1. KN = α ∩ ICE
2. Х = КN ∩ ВС
3. T = MX ∩ AVR = TX ∩ AC
4. RT = α ∩ ABC, M є RT
5. PN = α ∩ ADS
6. TP N K – secțiune necesară

VI. Rezumatul lecției.

(diapozitivul 8)

Așadar, astăzi am învățat cum să construim cele mai simple probleme pe secțiuni tetraedrice. Permiteți-mi să vă reamintesc că o secțiune a unui poliedru este un poligon obținut ca urmare a intersecției unui poliedru cu un anumit plan. Avionul în sine se numește plan de tăiere. A construi o secțiune înseamnă a determina ce muchii se intersectează planul de tăiere, tipul secțiunii rezultate și poziția exactă a punctelor de intersecție a planului de tăiere cu aceste muchii. Adică, obiectivele care au fost stabilite în lecție au fost atinse.

VII. Teme pentru acasă.

(diapozitivul 9)

Lucrare practică „Construiți secțiuni ale unui tetraedru” în formă electronică sau versiune pe hârtie. (Fiecare a primit o sarcină individuală).

Astăzi ne vom uita din nou la cum construiți o secțiune a unui tetraedru cu un plan.
Să luăm în considerare cel mai simplu caz (nivel obligatoriu), când 2 puncte ale planului de secțiune aparțin unei fețe, iar al treilea punct aparține altei fețe.

Să vă reamintim algoritm pentru construirea secțiunilor de acest tip (caz: 2 puncte aparțin aceleiași fețe).

1. Cautam o fata care sa contina 2 puncte ale planului de sectiune. Desenați o linie dreaptă prin două puncte situate pe aceeași față. Găsim punctele de intersecție cu marginile tetraedrului. Partea liniei drepte care se termină în față este partea laterală a secțiunii.

2. Dacă poligonul poate fi închis, secțiunea a fost construită. Dacă este imposibil să se închidă, atunci găsim punctul de intersecție al dreptei construite și planul care conține al treilea punct.

1. Vedem că punctele E și F se află pe aceeași față (BCD), trasează o linie dreaptă EF în plan (BCD).
2. Să găsim punctul de intersecție al dreptei EF cu marginea tetraedrului BD, acesta este punctul H.
3. Acum trebuie să găsiți punctul de intersecție al dreptei EF și planul care conține al treilea punct G, adică. avion (ADC).
Linia dreaptă CD se află în planele (ADC) și (BDC), ceea ce înseamnă că intersectează linia dreaptă EF, iar punctul K este punctul de intersecție al dreptei EF și planul (ADC).
4. În continuare, găsim încă două puncte situate în același plan. Acestea sunt punctele G și K, ambele se află în planul feței din partea stângă. Desenăm o dreaptă GK și marchem punctele în care această linie intersectează marginile tetraedrului. Acestea sunt punctele M și L.
4. Rămâne să „închideți” secțiunea, adică să conectați punctele situate pe aceeași față. Acestea sunt punctele M și H și, de asemenea, L și F. Ambele segmente sunt invizibile, le desenăm cu o linie punctată.

Secțiunea transversală s-a dovedit a fi un patrulater MHFL. Toate vârfurile sale se află pe marginile tetraedrului. Să selectăm secțiunea rezultată.

Acum să formulăm „proprietăți” unei secțiuni corect construite:

1. Toate vârfurile unui poligon, care este o secțiune, se află pe marginile unui tetraedru (paralelepiped, poligon).

2. Toate laturile secțiunii se află pe fețele poliedrului.
3. Fiecare față a unui poligon nu poate conține mai mult de o parte (una sau niciuna!) a secțiunii

Slide 2

Informații pentru profesori. Scopul creării acestei prezentări este de a demonstra în mod clar algoritmii pentru construirea punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan, a liniei de intersecție a planurilor și a secțiunilor unui tetraedru. Profesorul poate folosi prezentarea atunci când preda lecții pe această temă sau o poate recomanda pentru studiu independent de către studenții cărora le-au ratat din anumite motive să o studieze sau să repete anumite întrebări. Elevii își însoțesc studiul prezentării completând un scurt rezumat.

Slide 3

Informații pentru student. Scopul creării acestei prezentări este de a demonstra în mod clar algoritmii pentru rezolvarea problemelor care implică construcția în spațiu. Încercați să studiați cu atenție și încet comentariile la înștiințări și să le comparați cu desenul. Completați toate spațiile libere din rezumat. Când rezolvați singur problemele, trebuie mai întâi să vă gândiți singur la soluție, apoi să vă uitați la cea propusă de autor. Scrieți întrebări pentru profesor și adresați-le în clasă.

Slide 4

I. Dreapta a intersectează planul α. Construiți un punct de intersecție.

α β P m a Răspuns: I. Pentru a construi punctul de intersecție al dreptei a și planului α, trebuie să: 1) desenați (găsiți) un plan β care trece prin linia a și planul de intersecție α de-a lungul dreptei m 2) construiți punctul P de intersecție a dreptelor a și m. Prin dreapta a desenăm un plan β care intersectează planul α de-a lungul unei drepte t Intersectăm dreapta a cu linia de intersecție a planelor α și β: dreapta t este punctul comun al dreptei a și planul α, deoarece dreapta m se află în planul α. Notați algoritmul într-un scurt rezumat.

Slide 5

1) Construiți punctul de intersecție al dreptei MN și al planului BDC.

D B A C M N P (M, N) (ABC) Răspuns: Planul ABC trece prin dreapta MN și intersectează planul BDC de-a lungul dreptei BC. Linia dreaptă MN intersectează dreapta BC în punctul P. Linia dreaptă BC se află în planul BDC, ceea ce înseamnă că linia dreaptă MN intersectează planul BDC în punctul P.

Slide 6

2) Construiți punctul de intersecție al dreptei MN și al planului ABD.

D B A C M N P Răspuns: Vedeți soluția Dreapta MN aparține planului ВDC, care intersectează planul АВD de-a lungul dreptei DB Să intersectăm dreptele MN și DB. Mai departe

Slide 7

II. Fie ca dreapta AB să nu fie paralelă cu planul α. Construiți dreapta de intersecție a planelor α și ABC dacă punctul C aparține planului α

B C A α β P m Să construim punctul de intersecție al dreptei AB cu planul α. După condiție și construcție, punctele C și P sunt comune planurilor ABC și α. După condiție și construcție, punctele C și P sunt comune planurilor ABC și α. Aceasta înseamnă că dreapta CP este dreapta dorită de intersecție a planurilor ABC și α. II Pentru a construi dreapta de intersecție a planului α și a planului ABC (C α, (A, B) α, AB || α), trebuie să: construiți punctul de intersecție al dreptei AB și al planului. α - punctul P; 2) punctul P și C sunt puncte comune ale planurilor (ABC) și α, ceea ce înseamnă (ABC) α = CP Scrieți algoritmul într-un scurt rezumat.

Slide 8

3).Construiți linia dreaptă de intersecție a planurilor MNP și ADB.

Construiți intersecția planului MNP și a feței ADB. M D B A C N P X Q R Răspuns: Să construim punctul de intersecție al dreptei MR cu planul ADB (punctul X). Linia dreaptă MR se află în planul ADC, care intersectează planul ADB de-a lungul dreptei AD. Linia dreaptă MR se află în planul ADC, care intersectează planul ADB de-a lungul dreptei AD. Punctele X și N sunt puncte comune ale planurilor ADB și MNP. Aceasta înseamnă că se intersectează de-a lungul liniei drepte XN. Înregistrați progresul construcției într-un scurt rezumat.

Slide 9

Secțiunea unui tetraedru.

C D B A M N P α Un poligon compus din segmente de-a lungul cărora planul de tăiere intersectează fețele poliedrului se numește secțiune a poliedrului. Segmentele care alcătuiesc secțiunea se numesc urme ale planului de tăiere pe fețe. ∆ MNP – secțiune. Fie ca planul să intersecteze tetraedrul, atunci se numește plan de tăiere. Planul intersectează muchiile tetraedrului în punctele M, N, P și fețele de-a lungul segmentelor MN, MP, NP... Triunghiul MNP se numește. secţiunea tetraedrului după acest plan... Notează-o într-o scurtă notă.

Slide 10

Secțiunea transversală a unui tetraedru poate fi și un patrulater.

A C D B M N P Q α MNPQ – secțiune.

Slide 11

Un algoritm pentru construirea unei secțiuni a unui tetraedru cu un plan care trece prin trei puncte date M, N, P.

MNPQ este secțiunea necesară. D B A C M N P Q X Construiți urme ale planului de tăiere în acele fețe care au 2 puncte comune cu acesta. 3) Desenați o linie dreaptă prin punctele construite de-a lungul cărora planul de tăiere intersectează planul feței selectate ABC. 4) Marcați și desemnați punctele în care această dreaptă intersectează marginile feței ABC și completați urmele rămase. 2) Selectați o față care nu are încă o urmă. Construiți punctele de intersecție ale liniilor drepte care conțin urme deja construite cu planul feței selectate: ABC.

Slide 12

Construiți o secțiune folosind metoda planului tetraedric MNP.2.

D B A C M N P Q X MNPQ – secțiunea necesară.

Slide 13

Numarul 1. (Rezolvați singur problema). Construiți o secțiune a tetraedrului folosind planul MNP.

Q D A C M N P X B X Vezi soluția A doua metodă: Următoarea

Slide 14

nr 2. (Decideți singur). Construiți o secțiune a tetraedrului folosind planul MNP dacă P aparține feței ADC.

Slide 15

Numarul 3. Construiți o secțiune folosind planul tetraedric α, paralel cu muchia CD și care trece prin punctul F, situat pe planul DBC și punctul M.

3)α (ADB)= MN, α (ABC)=QP. Q D B A M N P F C Dat: α||DC, (M;F) α, F (BDC), M AD. Construiți o secțiune a tetraedrului DABC. α||DC, apoi (DBC) α=FP și FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. 2) Deoarece α||DC, atunci (DAC) α=MQ și MQ||DC, MQ AC=Q. DC || NP și NP α, înseamnă DC||α, prin urmare MNPQ este secțiunea dorită. Continuați propoziția: Dacă o dreaptă dată a este paralelă cu un anumit plan α, atunci orice plan care trece prin această dreaptă a și nu paralel cu planul α intersectează planul α de-a lungul unei drepte b……… ………………… paralel cu dreapta A. Continuați... α||DC, apoi planul BDC intersectează α de-a lungul unei drepte paralele cu DC și care trece prin punctul F α||DC, apoi planul ADC intersectează α de-a lungul unei drepte paralele cu DC și care trece prin punctul M

Slide 16

2)α||DВC, (ADC) (DBC)=CD, (ADC)α=MN MP||CD. P#4. Construiţi o secţiune cu un plan tetraedric α paralel cu faţa BDC şi care trece prin punctul M. B A C M N D Dat: α||DBC, M α, M AD. Construiți o secțiune a tetraedrului DABC după planul α α||DВC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD. (ADB)a=MN3)a (ABC)=NP. ∆ MNP este secțiunea necesară, deoarece………. Continuați propoziția: Dacă două plane paralele sunt intersectate de un al treilea plan, atunci liniile de intersecție ale acestora…………… sunt paralele. două drepte care se intersectează MN și MP ale planului α sunt, respectiv, paralele cu două drepte care se intersectează DB și DC ale planului (DBC), ceea ce înseamnă α||(DBC). α||DВC, apoi planele AВ și ADC intersectează planele α și (ВДС) de-a lungul liniilor drepte MN și МР, paralele cu DB și, respectiv, DC, și care trec prin punctul M.

Slide 17

Următorul M R B A C N Nr. 5. Rezolvă singur și notează soluția. Construiți o secțiune a tetraedrului după planul α care trece prin punctul M și segmentul PN, dacă PN||AB și M aparțin planului (ABC). P Q D 1)NP||AB NP||(ABC) NP α, α (ABC)=MQ MQ||NP. 2)MQ AC=R. a (ADC) = NR, a (BDC) = PQ. Secțiune transversală cerută de RNPQ. Vedeți soluția NP||(ABC), ceea ce înseamnă că planul MNP intersectează planul ABC de-a lungul unei drepte MQ paralelă cu NP și care trece prin punctul M.

Slide 18

Nu uitați să formulați întrebări pentru profesor dacă ceva nu a fost clar, precum și recomandările dumneavoastră pentru îmbunătățirea acestei prezentări.

Slide 19

La realizarea prezentării s-au folosit manuale și manuale: 1. L.S. Atanasyan, V.F. Butozov și alții Geometrie 10-11. M. „Iluminismul” 2008. 2.B.G. Ziv, V.M. Mailer, A.G. Bakhansky Probleme de geometrie 7-11.M. „Iluminismul” 2000

Vizualizați toate diapozitivele

Dezvoltarea lecției

pe tema „Construcția secțiunilor unui tetraedru și paralelipiped” în clasa a 10-a „A”

Scopul lecției:

învață cum să construiești secțiuni ale unui tetraedru și paralelipiped cu un plan;

dezvoltarea capacității de a analiza, compara, generaliza și trage concluzii;

dezvolta abilitățile de activitate independentă ale elevilor și capacitatea de a lucra în grup.

Echipament: proiector, tablă interactivă, fișe.

Tip de lecție: lectie de invatare a materialelor noi.

Metode și tehnici utilizate în lecție: vizuale, practice, probleme de căutare, grup, elemente ale activității de cercetare.

eu . Organizarea timpului.

Profesorul anunță tema și scopul lecției (diapozitivul numărul 1 ).

II . Actualizarea cunoștințelor.

Profesor: În timp ce-ți făcea temele, trebuia să găsești punctele de întâlnire ale liniilor drepte și a planurilor, urma unui plan de tăiere pe planul feței unui poliedru. Comentează ce trebuie făcut pentru asta.

(Elevii comentează temele pentru acasă (diapozitivele nr. 2-3 ).

Profesor: Pentru a trece la studiul unui subiect nou, să revizuim materialul teoretic, răspunzând la întrebările:

Ceea ce se numește un plan de tăiere (diapozitivul numărul 4 )? (Elevii dau o definiție.)

Ceea ce se numește o secțiune a unui poliedru (diapozitivul numărul 5 )? (Definiția este formulată.)

Ce trebuie făcut pentru a construi o secțiune a unui poliedru printr-un plan?

Construirea unei secțiuni se reduce la construirea liniilor de intersecție a planului de tăiere și a planurilor fețelor poliedrului.)

Este necesar ca un plan de tăiere să intersecteze planele tuturor fețelor poliedrului?

Profesor: Să cercetăm puțin și să răspundem la întrebarea: „Ce figură poate fi obținută în secțiunea unui tetraedru sau paralelipiped de către un avion?”

(Elevii, lucrând în grupuri, caută răspunsul la întrebarea pusă.)

(După câteva minute ei își formulează presupunerile și începe o demonstrațiediapozitivele 6-7 .)

Profesor: Să repetăm ​​regulile care trebuie reținute atunci când construim secțiuni ale unui poliedru (elevii își amintesc și formulează axiomele, teoremele, proprietățile necesare):

Dacă două puncte aparțin planului de tăiere și planului unei fețe a poliedrului, atunci linia dreaptă care trece prin aceste puncte va fi urma planului de tăiere pe planul feței.

Dacă un plan de tăiere este paralel cu o dreaptă situată într-un anumit plan și intersectează acest plan, atunci linia de intersecție a acestor planuri este paralelă cu această dreaptă.

Când două plane paralele sunt intersectate de un plan de tăiere, se obțin linii paralele.

Dacă planul de tăiere este paralel cu un anumit plan, atunci aceste două planuri intersectează al treilea plan de-a lungul unor linii drepte paralele între ele.

Dacă un plan de tăiere și planurile a două fețe care se intersectează au un punct comun, atunci acesta se află pe o linie care conține o margine comună a acestor fețe.

Profesor: Găsiți erori în aceste desene, justificați afirmația (diapozitive 8-9 ).

Profesor: Deci, băieți, am pregătit o bază teoretică pentru a învăța cum să construim secțiuni de poliedre cu un plan, în special secțiuni de tetraedru și paralelipiped. Majoritatea sarcinilor le veți îndeplini în mod independent, lucrând în grupuri, astfel încât fiecare dintre voi are fișe de lucru cu desene goale de poliedre pe care veți construi secțiuni. Dacă este necesar, puteți solicita sfatul unui profesor sau unui senior din grup.

Așadar, vă prezentăm atențieiprima sarcină : ( diapozitivul numărul 10 ) construiți o secțiune a tetraedrului cu un plan care trece prin punctele dateM, N, K. (Secțiunea transversală se dovedește a fi un triunghi, verificați -diapozitivul numărul 11 .)

Profesor: Sa luam in considerarea doua sarcină : dat un tetraedruDABC. Construiți o secțiune a unui tetraedru folosind un planMNK, DacăMDC, NANUNȚ, KAB. ( Slide nr. 12 )

(Rezolvați problema împreună cu clasa, comentând construcția.)

( Sarcina nr. 3 – munca independenta in grup (diapozitivul numărul 14 ). Examinare -diapozitivul numărul 15 .)

Sarcina nr. 4 : Construiți o secțiune a unui tetraedru cu un planMNK, UndeMȘiN– mijlocul coastelorABȘiB.C. ( diapozitivul numărul 16 ). (Verifica pentrudiapozitivul nr. 17 .)

Profesor : Să trecem la următoarea parte a lecției. Să luăm în considerare problema construirii secțiunilor unui paralelipiped cu un plan. Am aflat că atunci când un paralelipiped este tăiat de un plan, poate rezulta un triunghi, patrulater, pentagon sau hexagon. Regulile pentru construirea secțiunilor sunt aceleași. Vă sugerez să treceți la următoarea problemă, pe care o veți rezolva singur.

(Demonstratdiapozitivul nr. 18 )

Problema #5

Construiți o secțiune transversală a unui paralelipipedABCDA 1 B 1 C 1 D 1 avionMNK, DacăMA.A. 1 , NBB 1 , KCC 1 . (Verifica pentrudiapozitivul numărul 19 ).

Problema nr. 6 : ( Slide numărul 20 ) Construiți o secțiune a unui paralelipipedABCDA 1 B 1 C 1 D 1 avionPTO, Dacă P, T, Oaparțin respectiv muchiilor AA 1, BB 1, SS 1.

(Soluția este discutată, elevii construiesc o secțiune pe foi individuale și înregistrează progresul construcției (diapozitivul numărul 21 ).)

TO ∩ BC = M

TP ∩ AB = N

NM ∩ AD = L

NM ∩ CD = F

PL, FO

PTOFL– secțiunea necesară.

Sarcina nr. 7: (diapozitivul nr. 22) Construiți o secțiune a unui paralelipiped cu un planKMN, DacăKA 1 D 1 , N, MAB.

Soluție: (diapozitivul numărul 23)

MN∩ AD=Q;

QK∩AA 1 =P;

P.M;

NE II PK; KF II MN;

F.E.

MPKFENsecțiunea dorită.

Sarcini creative (carduri în funcție de opțiuni):

Într-o piramidă triunghiulară regulatăSABC prin vârful C șimijlocul coasteiSDesenați o secțiune a piramidei paralelă cuS.B.. Un punct este luat pe muchia ABFastfel încât AF: FB=3:1. Prin punctFȘimijlocul coasteiSSe trasează o linie dreaptă din C. Va fi această linieparalel cu planul de sectiune?

AB 1 CU -secţiune de paralelipiped dreptunghiular ABCDA 1 ÎN 1 CU 1 D 1. Prin punctele E,F, K, care sunt, respectivmijlocul coastelorDD 1 , A 1 D 1 , D 1 C 1 a fost realizată a doua secţiune.Demonstrați că triunghiurile EFK și AB 1 Csimilar și instalațice unghiuri dintre aceste triunghiuri sunt egale între ele?

Rezumatul lecției: Deci, ne-am familiarizat cu regulile de construire a secțiunilor unui tetraedru și paralelipiped, am examinat tipurile de secțiuni și am rezolvat cele mai simple probleme pentru construirea secțiunilor. În următoarea lecție vom continua să studiem subiectul și să ne uităm la probleme mai complexe.

Acum să rezumam lecția, răspunzând la întrebările noastre tradiționale (diapozitivul numărul 24 ):

„Mi-a plăcut (nu mi-a plăcut) lecția pentru că...”

„Astăzi la clasă am învățat...”

"Vreau să..."

(Notă pentru lecție.)

Teme pentru acasă: paragraful 14 nr. 105, 106. (diapozitivul numărul 25 )

Sarcină suplimentară la nr. 105 : Aflați raportul în care avionulMNKdesparte o margineAB, DacăCN : ND = 2:1, B.M. = M.D.și punctK– mijlocul medianeiALtriunghiABC.

(Terminați sarcina creativă.)