Sisteme omogene de ecuații liniare. Rezolvarea sloughs omogene Cum se rezolvă sisteme neomogene de ecuații liniare

Sistem m ecuații liniare c n numite necunoscute sistem de omogen liniar ecuații dacă toți termenii liberi sunt egali cu zero. Un astfel de sistem arată astfel:

Unde şi ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - numere date; x i– necunoscut.

Un sistem de ecuații liniare omogene este întotdeauna consistent, deoarece r(A) = r(). Are întotdeauna cel puțin zero ( banal) soluție (0; 0; …; 0).

Să luăm în considerare în ce condiții sistemele omogene au soluții diferite de zero.

Teorema 1. Un sistem de ecuații liniare omogene are soluții diferite de zero dacă și numai dacă rangul matricei sale principale este r mai putine necunoscute n, adică r < n.

□ 1). Fie ca un sistem de ecuații liniare omogene să aibă o soluție diferită de zero. Deoarece rangul nu poate depăși dimensiunea matricei, atunci, evident, r ≤ n. Lăsa r = n. Apoi una dintre dimensiunile minore n n diferit de zero. Prin urmare, sistemul corespunzător de ecuații liniare are o soluție unică: . . . Asta înseamnă că nu există alte soluții decât cele banale. Deci, dacă există o soluție non-trivială, atunci r < n.

2). Lăsa r < n. Atunci sistemul omogen, fiind consistent, este incert. Aceasta înseamnă că are un număr infinit de soluții, adică. are soluții diferite de zero. ■

Luați în considerare un sistem omogen n ecuații liniare c n necunoscut:

(2)

Teorema 2. Sistem omogen n ecuații liniare c n necunoscute (2) are soluții diferite de zero dacă și numai dacă determinantul său este egal cu zero: = 0.

□ Dacă sistemul (2) are o soluție diferită de zero, atunci = 0. Pentru că atunci când sistemul are o singură soluție zero. Dacă = 0, atunci rangul r matricea principală a sistemului este mai mică decât numărul de necunoscute, adică r < n. Și, prin urmare, sistemul are un număr infinit de soluții, adică. are soluții diferite de zero. ■

Să notăm soluția sistemului (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n ca o sfoară .

Soluțiile unui sistem de ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:

1. Dacă linia este o soluție pentru sistemul (1), atunci linia este o soluție pentru sistemul (1).

2. Dacă liniile și sunt soluții ale sistemului (1), apoi pentru orice valoare Cu 1 și Cu 2 combinația lor liniară este, de asemenea, o soluție pentru sistemul (1).

Valabilitatea acestor proprietăți poate fi verificată prin substituirea lor directă în ecuațiile sistemului.

Din proprietățile formulate rezultă că orice combinație liniară de soluții la un sistem de ecuații liniare omogene este, de asemenea, o soluție pentru acest sistem.

Sistem de soluții liniar independente e 1 , e 2 , …, e r numit fundamental, dacă fiecare soluție a sistemului (1) este o combinație liniară a acestor soluții e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Dacă rang r matricele de coeficienți pentru variabilele sistemului de ecuații liniare omogene (1) sunt mai mici decât numărul de variabile n, atunci orice sistem fundamental de soluții la sistemul (1) constă din n–r decizii.

De aceea decizie comună sistemul de ecuații liniare omogene (1) are forma:

Unde e 1 , e 2 , …, e r– orice sistem fundamental de soluții ale sistemului (9), Cu 1 , Cu 2 , …, cu p- numere arbitrare, R = n–r.

Teorema 4. Soluția generală a sistemului m ecuații liniare c n necunoscute este egală cu suma soluției generale a sistemului corespunzător de ecuații liniare omogene (1) și a unei soluții particulare arbitrare a acestui sistem (1).

Exemplu. Rezolvați sistemul

Soluţie. Pentru acest sistem m = n= 3. Determinant

prin teorema 2, sistemul are doar o soluție banală: X = y = z = 0.

Exemplu. 1) Găsiți soluții generale și particulare ale sistemului

2) Găsiți sistemul fundamental de soluții.

Soluţie. 1) Pentru acest sistem m = n= 3. Determinant

prin teorema 2, sistemul are soluții diferite de zero.

Deoarece există o singură ecuație independentă în sistem

X + y – 4z = 0,

apoi din ea ne vom exprima X =4z- y. De unde obținem un număr infinit de soluții: (4 z- y, y, z) – aceasta este soluția generală a sistemului.

La z= 1, y= -1, obținem o soluție particulară: (5, -1, 1). Punând z= 3, y= 2, obținem a doua soluție particulară: (10, 2, 3), etc.

2) În soluția generală (4 z- y, y, z) variabile yȘi z sunt libere, iar variabila X- dependent de ele. Pentru a găsi sistemul fundamental de soluții, să atribuim valori variabilelor libere: mai întâi y = 1, z= 0, atunci y = 0, z= 1. Obținem soluții parțiale (-1, 1, 0), (4, 0, 1), care formează sistemul fundamental de soluții.

Ilustrații:

Orez. 1 Clasificarea sistemelor de ecuații liniare

Orez. 2 Studiul sistemelor de ecuații liniare

Prezentări:

· Soluție metoda SLAE_matrix

· Rezolvarea metodei SLAE_Cramer

· Soluție metoda SLAE_Gauss

· Pachete pentru rezolvarea problemelor matematice Mathematica, MathCad: căutarea soluțiilor analitice și numerice ale sistemelor de ecuații liniare

Întrebări de control:

1. Definiți o ecuație liniară

2. Ce tip de sistem arată? m ecuații liniare cu n necunoscut?

3. Ce se numește rezolvarea sistemelor de ecuații liniare?

4. Ce sisteme se numesc echivalente?

5. Care sistem se numește incompatibil?

6. Ce sistem se numește articulație?

7. Care sistem se numește definit?

8. Care sistem se numește nedefinit

9. Enumeraţi transformările elementare ale sistemelor de ecuaţii liniare

10. Enumeraţi transformările elementare ale matricelor

11. Formulați o teoremă privind aplicarea transformărilor elementare la un sistem de ecuații liniare

12. Ce sisteme pot fi rezolvate folosind metoda matricei?

13. Ce sisteme pot fi rezolvate prin metoda lui Cramer?

14. Ce sisteme pot fi rezolvate prin metoda Gauss?

15. Enumerați 3 cazuri posibile care apar la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss

16. Descrieți metoda matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

17. Descrieți metoda lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

18. Descrieți metoda lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

19. Ce sisteme pot fi rezolvate folosind o matrice inversă?

20. Enumerați 3 cazuri posibile care apar la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Cramer

Literatură:

1. Matematică superioară pentru economiști: Manual pentru universități / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITATEA, 2005. – 471 p.

2. Curs general de matematică superioară pentru economiști: Manual. / Ed. IN SI. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 p.

3. Culegere de probleme de matematică superioară pentru economiști: Manual / Editat de V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 p.

4. Gmurman V. E. Ghid de rezolvare a problemelor în teoria probabilităților și statistica magmatică. - M.: Liceu, 2005. – 400 p.

5. Gmurman. V.E Teoria probabilității și statistică matematică. - M.: Liceu, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematică superioară în exerciții și probleme. Partea 1, 2. – M.: Onix secolul XXI: pace și educație, 2005. – 304 p. Partea 1; – 416 p. Partea 2.

7. Matematică în economie: Manual: În 2 părți / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Finanțe și Statistică, 2006.

8. Shipachev V.S. Matematică superioară: manual pentru elevi. universități - M.: Liceu, 2007. - 479 p.

Informații conexe.

2.4.1. Definiție. Să ni se dea un sistem neomogen de ecuații liniare

Luați în considerare un sistem omogen

a cărui matrice de coeficienți coincide cu matricea de coeficienți ai sistemului (2.4.1). Apoi se numește sistemul (2.4.2). sistem omogen redus (2.4.1).

2.4.2. Teorema. Soluția generală a unui sistem neomogen este egală cu suma unei soluții particulare a sistemului neomogen și soluția generală a sistemului omogen redus.

Astfel, pentru a găsi o soluție generală a sistemului neomogen (2.4.1) este suficient:

1) Cercetați-l pentru compatibilitate. În caz de compatibilitate:

2) Aflați soluția generală a sistemului omogen redus.

3) Găsiți orice soluție specială la cea originală (neomogenă).

4) Adunând soluția particulară găsită și soluția generală a celei date, găsiți soluția generală a sistemului original.

2.4.3. Exercițiu. Investigați sistemul pentru compatibilitate și, în cazul compatibilității, găsiți soluția generală a acestuia sub forma sumei particularului și generalului dat.

Soluţie. a) Pentru a rezolva problema, aplicăm schema de mai sus:

1) Examinăm sistemul pentru compatibilitate (prin metoda minorilor învecinați): rangul matricei principale este 3 (a se vedea soluția la Exercițiul 2.2.5, a), iar minorul non-zero de ordinul maxim este compus din elemente de 1, Al 2-lea, al 4-lea rând și 1-a, 3-a, a 4-a coloană. Pentru a găsi rangul matricei extinse, o marginim cu al 3-lea rând și a 6-a coloană a matricei extinse: =0. Mijloace, rg A =rg=3, iar sistemul este consistent. În special, este echivalent cu sistemul

2) Să găsim o soluție generală X 0 sistem omogen redus

X 0 ={(-2A - b ; A ; b ; b ; b ) | A , b Î R}

(vezi soluția la Exercițiul 2.2.5, a)).

3) Să găsim orice soluție specială x h a sistemului original . Pentru aceasta, în sistemul (2.4.3), echivalent cu cel original, necunoscutele libere X 2 și X Presupunem că 5 este egal cu, de exemplu, zero (aceasta este datele cele mai convenabile):

și rezolvați sistemul rezultat: X 1 =- , X 3 =- , X 4 =-5. Astfel, (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ este o soluție particulară a sistemului.

4) Aflați soluția generală X n a sistemului original :

X n={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2A - b ; A ; b ; b ; b )}=

={(- -2A - b ; A ; - + b ; -5+b ; b )}.

Cometariu. Comparați răspunsul primit cu al doilea răspuns din exemplul 1.2.1 c). Pentru a obține răspunsul în prima formă pentru 1.2.1 c) se iau necunoscutele de bază X 1 , X 3 , X 5 (minorul pentru care, de asemenea, nu este egal cu zero), și ca liber ¾ X 2 și X 4 .

§3. Unele aplicații.

3.1. În problema ecuațiilor matriceale. Vă reamintim că ecuația matriceală peste câmp F este o ecuație în care necunoscutul este o matrice peste câmp F .

Cele mai simple ecuații matriceale sunt ecuații de formă

TOPOR=B , XA =B (2.5.1)

Unde A , B ¾ dată (cunoscută) matrice peste un câmp F , A X ¾ astfel de matrici, la înlocuirea cărora ecuațiile (2.5.1) se transformă în egalități matriceale adevărate. În special, metoda matriceală a anumitor sisteme se reduce la rezolvarea unei ecuații matriceale.

În cazul în care matricile A în ecuațiile (2.5.1) sunt nedegenerate, au soluții, respectiv X =A B Și X =B.A. .

În cazul în care cel puțin una dintre matricele din partea stângă a ecuațiilor (2.5.1) este singulară, această metodă nu mai este potrivită, deoarece matricea inversă corespunzătoare A nu exista. În acest caz, găsirea de soluții la ecuațiile (2.5.1) se reduce la rezolvarea sistemelor.

Dar mai întâi, să introducem câteva concepte.

Să numim setul tuturor soluțiilor sistemului decizie generală . Să numim o soluție luată separat a unui sistem nedefinit soluție privată .

3.1.1. Exemplu. Rezolvați ecuația matriceală pe câmp R.

A) X = ; b) X = ; V) X = .

Soluţie. a) Deoarece =0, atunci formula X =A B nu este potrivit pentru rezolvarea acestei ecuații. Dacă în muncă XA =B matrice A are 2 rânduri, apoi matricea X are 2 coloane. Numărul de linii X trebuie să se potrivească cu numărul de linii B . De aceea X are 2 linii. Prin urmare, X ¾ o matrice pătrată de ordinul doi: X = . Să înlocuim X în ecuația inițială:

Înmulțind matricele din partea stângă a (2.5.2), ajungem la egalitate

Două matrici sunt egale dacă și numai dacă au aceleași dimensiuni și elementele lor corespunzătoare sunt egale. Prin urmare (2.5.3) este echivalent cu sistemul

Acest sistem este echivalent cu sistemul

Rezolvând-o, de exemplu, folosind metoda Gaussiană, ajungem la un set de soluții (5-2 b , b , -2d , d ), Unde b , d rulează independent unul de celălalt R. Prin urmare, X = .

b) Similar cu a) avem X = și.

Acest sistem este inconsecvent (verificați-l!). Prin urmare, această ecuație matriceală nu are soluții.

c) Să notăm această ecuație cu TOPOR =B . Deoarece A are 3 coloane și B are 2 coloane, atunci X ¾ o matrice de dimensiunea 3´2: X = . Prin urmare, avem următorul lanț de echivalențe:

Rezolvăm ultimul sistem folosind metoda Gaussiană (omitem comentariile)

Astfel, ajungem la sistem

a cărui soluție este (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) Unde z , w rulează independent unul de celălalt R.

Raspuns: a) X = , b , d Î R.

b) Nu există soluții.

V) X = z , w Î R.

3.2. Pe problema permutabilității matricelor.În general, produsul matricelor este necomutabil, adică dacă A Și B astfel încât AB Și B.A. sunt definite, atunci, în general, AB ¹ B.A. . Dar un exemplu de matrice de identitate E arată că comutabilitatea este de asemenea posibilă A.E. =E.A. pentru orice matrice A , doar daca A.E. Și E.A. au fost determinati.

În această secțiune vom lua în considerare problemele de găsire a mulțimii tuturor matricelor care fac naveta cu una dată. Prin urmare,

Necunoscut X 1 , y 2 și z 3 poate lua orice valoare: X 1 =A , y 2 =b , z 3 =g . Apoi

Prin urmare, X = .

Răspuns. A) X d ¾ orice număr.

b) X ¾ set de matrici de forma , unde A , b Și g ¾ orice numere.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) este, fără îndoială, cel mai important subiect dintr-un curs de algebră liniară. Un număr mare de probleme din toate ramurile matematicii se rezumă la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acești factori explică motivul acestui articol. Materialul articolului este selectat și structurat astfel încât cu ajutorul lui să puteți

• alege metoda optimă pentru rezolvarea sistemului tău de ecuații algebrice liniare,
• studiază teoria metodei alese,
• rezolvați sistemul dvs. de ecuații liniare luând în considerare soluții detaliate la exemple și probleme tipice.

Scurtă descriere a materialului articolului.

În primul rând, dăm toate definițiile, conceptele necesare și introducem notații.

În continuare, vom lua în considerare metode de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și care au o soluție unică. În primul rând, ne vom concentra pe metoda lui Cramer, în al doilea rând, vom prezenta metoda matriceală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme de ecuații, iar în al treilea rând, vom analiza metoda Gauss (metoda eliminării secvențiale a variabilelor necunoscute). Pentru a consolida teoria, cu siguranță vom rezolva mai multe SLAE-uri în moduri diferite.

După aceasta, vom trece la rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală, în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau matricea principală a sistemului este singulară. Să formulăm teorema Kronecker-Capelli, care ne permite să stabilim compatibilitatea SLAE-urilor. Să analizăm soluția sistemelor (dacă sunt compatibile) folosind conceptul de bază minoră a unei matrice. Vom lua în considerare și metoda Gauss și vom descrie în detaliu soluțiile exemplelor.

Ne vom opri cu siguranță asupra structurii soluției generale a sistemelor omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare. Să dăm conceptul de sistem fundamental de soluții și să arătăm cum este scrisă soluția generală a unui SLAE folosind vectorii sistemului fundamental de soluții. Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la câteva exemple.

În concluzie, vom lua în considerare sisteme de ecuații care pot fi reduse la cele liniare, precum și diverse probleme în soluția cărora apar SLAE-uri.

Navigare în pagină.

Definiții, concepte, denumiri.

Vom lua în considerare sisteme de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute (p poate fi egal cu n) de forma

Variabile necunoscute, - coeficienți (unele numere reale sau complexe), - termeni liberi (și numere reale sau complexe).

Această formă de înregistrare SLAE se numește coordona.

ÎN formă matriceală Scrierea acestui sistem de ecuații are forma,
Unde - matricea principală a sistemului, - o matrice coloană de variabile necunoscute, - o matrice coloană de termeni liberi.

Dacă adăugăm o coloană matrice de termeni liberi la matricea A ca coloană (n+1), obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, o matrice extinsă este desemnată cu litera T, iar coloana de termeni liberi este separată printr-o linie verticală de coloanele rămase, adică

Rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare numit un set de valori ale variabilelor necunoscute care transformă toate ecuațiile sistemului în identități. Ecuația matriceală pentru valorile date ale variabilelor necunoscute devine, de asemenea, o identitate.

Dacă un sistem de ecuații are cel puțin o soluție, atunci se numește comun.

Dacă un sistem de ecuații nu are soluții, atunci se numește nearticulată.

Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit; dacă există mai multe soluții, atunci - incert.

Dacă termenii liberi ai tuturor ecuațiilor sistemului sunt egali cu zero , atunci sistemul este apelat omogen, in caz contrar - eterogen.

Rezolvarea sistemelor elementare de ecuații algebrice liniare.

Dacă numărul de ecuații ale unui sistem este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei sale principale nu este egal cu zero, atunci astfel de SLAE vor fi numite elementar. Astfel de sisteme de ecuații au o soluție unică, iar în cazul unui sistem omogen, toate variabilele necunoscute sunt egale cu zero.

Am început să studiem astfel de SLAE în liceu. Când le-am rezolvat, am luat o ecuație, am exprimat o variabilă necunoscută în termenii altora și am înlocuit-o în ecuațiile rămase, apoi am luat următoarea ecuație, am exprimat următoarea variabilă necunoscută și am înlocuit-o în alte ecuații și așa mai departe. Sau au folosit metoda adunării, adică au adăugat două sau mai multe ecuații pentru a elimina unele variabile necunoscute. Nu ne vom opri în detaliu asupra acestor metode, deoarece sunt în esență modificări ale metodei Gauss.

Principalele metode de rezolvare a sistemelor elementare de ecuații liniare sunt metoda Cramer, metoda matriceală și metoda Gauss. Să le rezolvăm.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda lui Cramer.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm un sistem de ecuații algebrice liniare

în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, adică .

Fie determinantul matricei principale a sistemului, și - determinanţi ai matricelor care se obţin din A prin înlocuire 1, 2, …, al n-lea coloana respectiv la coloana de membri liberi:

Cu această notație, variabilele necunoscute sunt calculate folosind formulele metodei lui Cramer ca . Așa se găsește soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer.

Exemplu.

metoda lui Cramer .

Soluţie.

Matricea principală a sistemului are forma . Să calculăm determinantul acestuia (dacă este necesar, vezi articolul):

Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer.

Să compunem și să calculăm determinanții necesari (obținem determinantul prin înlocuirea primei coloane din matricea A cu o coloană de termeni liberi, determinantul prin înlocuirea celei de-a doua coloane cu o coloană de termeni liberi și prin înlocuirea celei de-a treia coloane a matricei A cu o coloană de termeni liberi) :

Găsirea variabilelor necunoscute folosind formule :

Răspuns:

Principalul dezavantaj al metodei lui Cramer (dacă poate fi numită un dezavantaj) este complexitatea calculării determinanților atunci când numărul de ecuații din sistem este mai mare de trei.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei (folosind o matrice inversă).

Fie dat un sistem de ecuații algebrice liniare sub formă de matrice, unde matricea A are dimensiunea n cu n și determinantul său este diferit de zero.

Deoarece , matricea A este inversabilă, adică există o matrice inversă. Dacă înmulțim ambele părți ale egalității cu stânga, obținem o formulă pentru găsirea unei matrice-coloană de variabile necunoscute. Așa am obținut o soluție a unui sistem de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei.

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda matricei.

Soluţie.

Să rescriem sistemul de ecuații sub formă de matrice:

Deoarece

atunci SLAE poate fi rezolvat folosind metoda matricei. Folosind matricea inversă, soluția acestui sistem poate fi găsită ca .

Să construim o matrice inversă folosind o matrice din adunări algebrice ale elementelor matricei A (dacă este necesar, vezi articolul):

Rămâne de calculat matricea variabilelor necunoscute prin înmulțirea matricei inverse la o coloană-matrice de membri liberi (dacă este necesar, vezi articolul):

Răspuns:

sau într-o altă notație x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Principala problemă la găsirea de soluții la sisteme de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei este complexitatea găsirii matricei inverse, în special pentru matrice pătrată de ordin mai mare decât treimea.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss.

Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la un sistem de n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în eliminarea secvenţială a variabilelor necunoscute: mai întâi, x 1 este exclus din toate ecuaţiile sistemului, începând de la a doua, apoi x 2 este exclus din toate ecuaţiile, începând cu a treia, şi tot aşa, până când rămâne doar variabila necunoscută x n în ultima ecuație. Acest proces de transformare a ecuațiilor de sistem pentru a elimina secvențial variabilele necunoscute se numește metoda Gaussiană directă. După finalizarea cursei înainte a metodei gaussiene, se găsește x n din ultima ecuație, folosind această valoare din penultima ecuație, se calculează x n-1 și așa mai departe, se află x 1 din prima ecuație. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit inversa metodei gaussiene.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem realiza întotdeauna acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Să eliminăm variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului o adunăm pe prima, înmulțită cu , la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si .

Am fi ajuns la același rezultat dacă am fi exprimat x 1 în termenii altor variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am fi înlocuit expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, procedăm într-un mod similar, dar numai cu o parte din sistemul rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului o adunăm pe a doua, înmulțită cu , la a patra ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si . Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.

În continuare, procedăm la eliminarea necunoscutului x 3, în timp ce acționăm similar cu partea de sistem marcată în figură

Așa că continuăm progresia directă a metodei gaussiene până când sistemul ia forma

Din acest moment începem inversul metodei gaussiene: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea obținută a lui x n găsim x n-1 din penultima ecuație, și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație .

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda Gauss.

Soluţie.

Să excludem variabila necunoscută x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la ambele părți ale celei de-a doua și a treia ecuații adăugăm părțile corespunzătoare ale primei ecuații, înmulțite cu și, respectiv, cu:

Acum eliminăm x 2 din a treia ecuație adunând la laturile sale stânga și dreapta laturile stânga și dreapta ale celei de-a doua ecuații, înmulțite cu:

Aceasta completează cursa înainte a metodei Gauss; începem cursa inversă.

Din ultima ecuație a sistemului de ecuații rezultat găsim x 3:

Din a doua ecuație obținem .

Din prima ecuație găsim variabila necunoscută rămasă și completăm astfel inversul metodei Gauss.

Răspuns:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

În general, numărul de ecuații ale sistemului p nu coincide cu numărul de variabile necunoscute n:

Astfel de SLAE-uri pot să nu aibă soluții, să aibă o singură soluție sau să aibă infinite de soluții. Această afirmație se aplică și sistemelor de ecuații a căror matrice principală este pătrată și singulară.

Teorema Kronecker–Capelli.

Înainte de a găsi o soluție la un sistem de ecuații liniare, este necesar să se stabilească compatibilitatea acestuia. Răspunsul la întrebarea când SLAE este compatibil și când este inconsecvent este dat de Teorema Kronecker–Capelli:
Pentru ca un sistem de p ecuații cu n necunoscute (p poate fi egal cu n) să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei principale a sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse, adică , Rang(A)=Rang(T).

Să luăm în considerare, ca exemplu, aplicarea teoremei Kronecker–Capelli pentru a determina compatibilitatea unui sistem de ecuații liniare.

Exemplu.

Aflați dacă sistemul de ecuații liniare are solutii.

Soluţie.

. Să folosim metoda limitării minorilor. Minor de ordinul doi diferit de zero. Să ne uităm la minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta:

Deoarece toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, rangul matricei principale este egal cu doi.

La rândul său, rangul matricei extinse este egal cu trei, întrucât minorul este de ordinul trei

diferit de zero.

Prin urmare, Rang(A), prin urmare, folosind teorema Kronecker–Capelli, putem concluziona că sistemul original de ecuații liniare este inconsecvent.

Răspuns:

Sistemul nu are soluții.

Deci, am învățat să stabilim inconsistența unui sistem folosind teorema Kronecker-Capelli.

Dar cum să găsești o soluție la un SLAE dacă compatibilitatea acestuia este stabilită?

Pentru a face acest lucru, avem nevoie de conceptul de bază minoră a unei matrice și de o teoremă despre rangul unei matrice.

Se numește minorul de ordinul cel mai înalt al matricei A, diferit de zero de bază.

Din definiția unei baze minore rezultă că ordinea acesteia este egală cu rangul matricei. Pentru o matrice A diferită de zero pot exista mai multe baze minore; există întotdeauna o bază minoră.

De exemplu, luați în considerare matricea .

Toate minorele de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero, deoarece elementele celui de-al treilea rând al acestei matrice sunt suma elementelor corespunzătoare din primul și al doilea rând.

Următorii minori de ordinul doi sunt de bază, deoarece sunt diferit de zero

Minorii nu sunt de bază, deoarece sunt egale cu zero.

Teorema rangului matricei.

Dacă rangul unei matrice de ordinul p cu n este egal cu r, atunci toate elementele de rând (și coloană) ale matricei care nu formează baza minoră aleasă sunt exprimate liniar în termenii elementelor de rând (și coloană) corespunzătoare care formează baza minoră.

Ce ne spune teorema rangului matricei?

Dacă, conform teoremei Kronecker–Capelli, am stabilit compatibilitatea sistemului, atunci alegem orice bază minoră a matricei principale a sistemului (ordinea acesteia este egală cu r) și excludem din sistem toate ecuațiile care nu nu formează baza selectată minoră. SLAE obținut în acest fel va fi echivalent cu cel inițial, deoarece ecuațiile aruncate sunt încă redundante (conform teoremei rangului matricei, ele sunt o combinație liniară a ecuațiilor rămase).

Ca rezultat, după eliminarea ecuațiilor inutile ale sistemului, sunt posibile două cazuri.

Dacă numărul de ecuații r din sistemul rezultat este egal cu numărul de variabile necunoscute, atunci acesta va fi definit și singura soluție poate fi găsită prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Exemplu.

.

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemului este egal cu doi, deoarece minorul este de ordinul doi diferit de zero. Rang matrice extins este, de asemenea, egal cu doi, deoarece singurul minor de ordinul trei este zero

iar minorul de ordinul doi considerat mai sus este diferit de zero. Pe baza teoremei Kronecker–Capelli, putem afirma compatibilitatea sistemului original de ecuații liniare, deoarece Rank(A)=Rank(T)=2.

Ca bază minoră luăm . Este format din coeficienții primei și celei de-a doua ecuații:


A treia ecuație a sistemului nu participă la formarea bazei minore, așa că o excludem din sistemul bazat pe teorema privind rangul matricei:


Așa am obținut un sistem elementar de ecuații algebrice liniare. Să o rezolvăm folosind metoda lui Cramer:


Răspuns:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Dacă numărul de ecuații r din SLAE rezultat este mai mic decât numărul de variabile necunoscute n, atunci în partea stângă a ecuațiilor lăsăm termenii care formează baza minori și transferăm termenii rămași în partea dreaptă a ecuațiilor. ecuații ale sistemului cu semnul opus.

Se numesc variabilele necunoscute (r dintre ele) rămase în partea stângă a ecuațiilor principal.

Se numesc variabile necunoscute (există n - r piese) care sunt în partea dreaptă gratuit.

Acum credem că variabilele necunoscute libere pot lua valori arbitrare, în timp ce principalele r variabile necunoscute vor fi exprimate prin variabile necunoscute libere într-un mod unic. Expresia lor poate fi găsită prin rezolvarea SLAE rezultată folosind metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Exemplu.

Rezolvați un sistem de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Să găsim rangul matricei principale a sistemului prin metoda limitării minorilor. Să luăm un 1 1 = 1 ca un minor diferit de zero de ordinul întâi. Să începem să căutăm un minor diferit de zero de ordinul doi care se învecinează cu acest minor:


Așa am găsit un minor non-zero de ordinul doi. Să începem să căutăm un minor de ordinul al treilea care nu se limitează la zero:


Astfel, rangul matricei principale este de trei. Rangul matricei extinse este, de asemenea, egal cu trei, adică sistemul este consecvent.

Luăm ca bază minorul non-zero găsit de ordinul al treilea.

Pentru claritate, arătăm elementele care formează baza minoră:


Lăsăm termenii implicați în baza minoră în partea stângă a ecuațiilor sistemului și transferăm restul cu semne opuse în partea dreaptă:


Să dăm variabilelor necunoscute libere x 2 și x 5 valori arbitrare, adică acceptăm , unde sunt numere arbitrare. În acest caz, SLAE va lua forma


Să rezolvăm sistemul elementar rezultat de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer:


Prin urmare, .

În răspunsul dvs., nu uitați să indicați variabile necunoscute gratuite.

Răspuns:

Unde sunt numerele arbitrare.

Rezuma.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații algebrice liniare generale, determinăm mai întâi compatibilitatea acestuia folosind teorema Kronecker–Capelli. Dacă rangul matricei principale nu este egal cu rangul matricei extinse, atunci ajungem la concluzia că sistemul este incompatibil.

Dacă rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci selectăm o bază minoră și renunțăm la ecuațiile sistemului care nu participă la formarea bazei minore selectate.

Dacă ordinea bazei minore este egală cu numărul de variabile necunoscute, atunci SLAE are o soluție unică, care poate fi găsită prin orice metodă cunoscută de noi.

Dacă ordinea bazei minore este mai mică decât numărul de variabile necunoscute, atunci în partea stângă a ecuațiilor sistemului lăsăm termenii cu principalele variabile necunoscute, transferăm termenii rămași în partea dreaptă și dăm valori arbitrare pentru variabilele necunoscute libere. Din sistemul de ecuații liniare rezultat găsim principalele variabile necunoscute folosind metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Metoda Gauss poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare de orice fel fără a le testa mai întâi pentru consistență. Procesul de eliminare secvențială a variabilelor necunoscute face posibilă tragerea unei concluzii atât despre compatibilitatea, cât și despre incompatibilitatea SLAE, iar dacă există o soluție, face posibilă găsirea acesteia.

Din punct de vedere computațional, metoda gaussiană este de preferat.

Vezi descrierea detaliată a acesteia și exemplele analizate în articolul Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare generale.

Scrierea unei soluții generale la sisteme algebrice liniare omogene și neomogene folosind vectori ai sistemului fundamental de soluții.

În această secțiune vom vorbi despre sisteme omogene și neomogene simultane de ecuații algebrice liniare care au un număr infinit de soluții.

Să ne ocupăm mai întâi de sisteme omogene.

Sistem fundamental de soluții sistem omogen de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute este o colecție de (n – r) soluții liniar independente ale acestui sistem, unde r este ordinul bazei minore a matricei principale a sistemului.

Dacă notăm soluții liniar independente ale unui SLAE omogen ca X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sunt matrici coloane de dimensiunea n prin 1) , atunci soluția generală a acestui sistem omogen este reprezentată ca o combinație liniară de vectori ai sistemului fundamental de soluții cu coeficienți constanți arbitrari C 1, C 2, ..., C (n-r), adică .

Ce înseamnă termenul de soluție generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (oroslau)?

Semnificația este simplă: formula specifică toate soluțiile posibile ale SLAE inițial, cu alte cuvinte, luând orice set de valori ale constantelor arbitrare C 1, C 2, ..., C (n-r), folosind formula pe care o vom obțineți una dintre soluțiile SLAE omogen original.

Astfel, dacă găsim un sistem fundamental de soluții, atunci putem defini toate soluțiile acestui SLAE omogen ca .

Să arătăm procesul de construire a unui sistem fundamental de soluții la un SLAE omogen.

Selectăm baza minoră a sistemului original de ecuații liniare, excludem toate celelalte ecuații din sistem și transferăm toți termenii care conțin variabile necunoscute libere în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului cu semne opuse. Să dăm variabilelor necunoscute libere valorile 1,0,0,...,0 și să calculăm principalele necunoscute prin rezolvarea sistemului elementar rezultat de ecuații liniare în orice mod, de exemplu, folosind metoda Cramer. Aceasta va avea ca rezultat X (1) - prima soluție a sistemului fundamental. Dacă dăm necunoscutelor libere valorile 0,1,0,0,…,0 și calculăm principalele necunoscute, obținem X (2) . Și așa mai departe. Dacă atribuim valorile 0,0,…,0,1 variabilelor necunoscute libere și calculăm principalele necunoscute, obținem X (n-r) . În acest fel, se va construi un sistem fundamental de soluții la un SLAE omogen și soluția sa generală poate fi scrisă sub forma .

Pentru sistemele neomogene de ecuații algebrice liniare, soluția generală este reprezentată sub forma , unde este soluția generală a sistemului omogen corespunzător și este soluția particulară a SLAE neomogen original, pe care o obținem dând necunoscutelor libere valorile ​0,0,…,0 și calcularea valorilor principalelor necunoscute.

Să ne uităm la exemple.

Exemplu.

Aflați sistemul fundamental de soluții și soluția generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemelor omogene de ecuații liniare este întotdeauna egal cu rangul matricei extinse. Să găsim rangul matricei principale folosind metoda limitării minorilor. Ca un minor non-zero de ordinul întâi, luăm elementul a 1 1 = 9 din matricea principală a sistemului. Să găsim minorul care se limitează la zero de ordinul doi:

A fost găsit un minor de ordinul doi, diferit de zero. Să trecem prin minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta în căutarea unuia diferit de zero:

Toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei principale și extinse este egal cu doi. Hai sa luam . Pentru claritate, să notăm elementele sistemului care îl formează:

A treia ecuație a SLAE inițial nu participă la formarea bazei minore, prin urmare, poate fi exclusă:

Lăsăm termenii care conțin principalele necunoscute în partea dreaptă a ecuațiilor și transferăm termenii cu necunoscute libere în partea dreaptă:

Să construim un sistem fundamental de soluții la sistemul omogen original de ecuații liniare. Sistemul fundamental de soluții al acestui SLAE constă din două soluții, deoarece SLAE original conține patru variabile necunoscute, iar ordinea bazei sale minore este egală cu două. Pentru a găsi X (1), dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 = 1, x 4 = 0, apoi găsim principalele necunoscute din sistemul de ecuații
.

Sistemul liniar se numește omogen , dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu 0.

Sub formă de matrice, un sistem omogen se scrie:
.

Sistemul omogen (2) este întotdeauna consistent . Evident, setul de numere
,
, …,
satisface fiecare ecuație a sistemului. Soluţie
numit zero sau banal decizie. Astfel, un sistem omogen are întotdeauna o soluție zero.

În ce condiții sistemul omogen (2) va avea soluții diferite de zero (netriviale)?

Teorema 1.3 Sistem omogen (2) are soluții diferite de zero dacă şi numai dacă rangul r matricea sa principală mai putine necunoscute n .

Sistemul (2) – incert
.

Corolarul 1. Dacă numărul de ecuații m sistemul omogen are mai puține variabile
, atunci sistemul este incert și are multe soluții diferite de zero.

Corolarul 2. Sistem omogen pătrat
are soluții diferite de zero dacă și când matricea principală a acestui sistem degenerat, adică determinant
.

În caz contrar, dacă determinantul
, un sistem omogen pătrat are singurul lucru soluție zero
.

Fie rangul sistemului (2)
adică sistemul (2) are soluții netriviale.

Lăsa Și - soluții particulare ale acestui sistem, de ex.
Și
.

Proprietățile soluțiilor unui sistem omogen

Într-adevăr, .

Într-adevăr, .

Combinând proprietățile 1) și 2), putem spune că dacă

…,
- soluții ale unui sistem omogen (2), atunci orice combinație liniară a acestora este și soluția sa. Aici
- numere reale arbitrare.

Poate fi găsit
soluții parțiale liniar independente sistem omogen (2), cu ajutorul căruia puteți obține orice altă soluție particulară a acestui sistem, i.e. obţine o soluţie generală a sistemului (2).

Definiție 2.2 Totalitate
soluții parțiale liniar independente

…,
sistem omogen (2) astfel încât fiecare soluție a sistemului (2) poate fi reprezentată ca o combinație liniară a acestora se numește sistem fundamental de soluții (FSR) a unui sistem omogen (2).

Lăsa

…,
este un sistem fundamental de soluții, atunci soluția generală a sistemului omogen (2) poate fi reprezentată ca:

Unde

.

Cometariu. Pentru a obține FSR, trebuie să găsiți soluții private

…,
, dând unei variabile libere valoarea „1” la rândul său, iar tuturor celorlalte variabile libere valoarea „0”.

Primim ,, …,- FSR.

Exemplu. Aflați soluția generală și sistemul fundamental de soluții ale sistemului omogen de ecuații:

Soluţie. Să notăm matricea extinsă a sistemului, după ce a pus anterior ultima ecuație a sistemului pe primul loc și să o aducem într-o formă treptat. Deoarece părțile din dreapta ecuațiilor nu se modifică ca urmare a transformărilor elementare, rămânând zero, coloana

poate să nu fie scris.

̴
̴
̴

Rangul sistemului unde
- numărul de variabile. Sistemul este incert și are multe soluții.

Minor de bază pentru variabile
diferit de zero:
alege
ca variabile de bază, restul
- variabile libere (iau orice valori reale).

Ultima matrice din lanț corespunde unui sistem treptat de ecuații:

(3)

Să exprimăm variabilele de bază
prin variabile libere
(reversul metodei gaussiene).

Din ultima ecuație pe care o exprimăm :
și înlocuiți-l în prima ecuație. O vom primi. Să deschidem parantezele, să dăm altele asemănătoare și să exprimăm :
.

crezând
,
,
, Unde
, Hai să scriem

- solutia generala a sistemului.

Să găsim un sistem fundamental de soluții

,,.

Apoi soluția generală a sistemului omogen poate fi scrisă astfel:

Cometariu. FSR ar fi putut fi găsit în alt mod, fără a găsi mai întâi o soluție generală a sistemului. Pentru a face acest lucru, sistemul de etape rezultat (3) a trebuit să fie rezolvat de trei ori, presupunând pentru :
; Pentru :
; Pentru :
.

Sisteme omogene de ecuații algebrice liniare

Ca parte a lecțiilor metoda gaussianaȘi Sisteme/sisteme incompatibile cu o soluție comună am luat în considerare sisteme neomogene de ecuaţii liniare, Unde membru liber(care este de obicei în dreapta) cel puțin unul din ecuații a fost diferit de zero.
Și acum, după o bună încălzire cu rangul matricei, vom continua să lustruim tehnica transformări elementare pe sistem omogen de ecuații liniare.
Pe baza primelor paragrafe, materialul poate părea plictisitor și mediocru, dar această impresie este înșelătoare. Pe lângă dezvoltarea ulterioară a tehnicilor, vor exista o mulțime de informații noi, așa că vă rugăm să încercați să nu neglijați exemplele din acest articol.

Ce este un sistem omogen de ecuații liniare?

Răspunsul se sugerează de la sine. Un sistem de ecuații liniare este omogen dacă termenul liber toata lumea ecuația sistemului este zero. De exemplu:

Este absolut clar că un sistem omogen este întotdeauna consistent, adică are întotdeauna o soluție. Și, în primul rând, ceea ce îți atrage atenția este așa-zisul banal soluţie . Trivial, pentru cei care nu înțeleg deloc sensul adjectivului, înseamnă fără o prezentare. Nu din punct de vedere academic, desigur, dar inteligibil =) ...De ce să ne batem prin tufiș, să aflăm dacă acest sistem are alte soluții:

Exemplul 1

Soluţie: pentru a rezolva un sistem omogen este necesar să se scrie matricea sistemului iar cu ajutorul transformărilor elementare aduceți-o într-o formă treptat. Vă rugăm să rețineți că aici nu este nevoie să scrieți bara verticală și coloana zero a termenilor liberi - la urma urmei, indiferent ce faceți cu zerouri, acestea vor rămâne zero:

(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –3.

(2) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1.

Împărțirea celei de-a treia rânduri la 3 nu are prea mult sens.

Ca urmare a transformărilor elementare se obține un sistem omogen echivalent , și, folosind inversul metodei Gauss, este ușor de verificat că soluția este unică.

Răspuns:

Să formulăm un criteriu evident: un sistem omogen de ecuaţii liniare are doar o solutie banala, Dacă rangul matricei sistemului(în acest caz 3) este egal cu numărul de variabile (în acest caz – 3 bucăți).

Să ne încălzim și să ne acordăm radioul la valul de transformări elementare:

Exemplul 2

Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare

Din articol Cum să găsiți rangul unei matrice? Să ne amintim tehnica rațională de scădere simultană a numerelor matriceale. În caz contrar, va trebui să tăiați pește mare și adesea mușcător. Un exemplu aproximativ de sarcină la sfârșitul lecției.

Zerourile sunt bune și convenabile, dar în practică cazul este mult mai comun atunci când rândurile matricei sistemului dependent liniar. Și atunci apariția unei soluții generale este inevitabil:

Exemplul 3

Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare

Soluţie: să notăm matricea sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte. Prima acțiune vizează nu numai obținerea unei singure valori, ci și scăderea numerelor din prima coloană:

(1) La prima linie a fost adăugată o a treia linie, înmulțită cu –1. A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. În stânga sus, am primit o unitate cu un „minus”, care este adesea mult mai convenabil pentru transformări ulterioare.

(2) Primele două rânduri sunt aceleași, unul dintre ele a fost șters. Sincer, nu am împins soluția - așa s-a dovedit. Dacă efectuați transformări într-un mod șablon, atunci dependență liniară liniile ar fi fost dezvăluite puțin mai târziu.

(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 3.

(4) Semnul primei linii a fost schimbat.

Ca urmare a transformărilor elementare s-a obținut un sistem echivalent:

Algoritmul funcționează exact la fel ca pentru sisteme eterogene. Variabilele „șezând pe trepte” sunt principalele, variabila care nu a primit „pas” este liberă.

Să exprimăm variabilele de bază printr-o variabilă liberă:

Răspuns: decizie comună:

Soluția banală este inclusă în formula generală și nu este necesar să o notăm separat.

Verificarea se efectuează, de asemenea, conform schemei obișnuite: soluția generală rezultată trebuie înlocuită în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului și trebuie obținut un zero legal pentru toate substituțiile.

Ar fi posibil să se termine acest lucru în liniște și pașnic, dar soluția unui sistem omogen de ecuații trebuie adesea reprezentată sub formă de vector prin utilizarea sistem fundamental de soluții. Vă rog să uitați de asta pentru moment geometrie analitică, întrucât acum vom vorbi despre vectori în sens algebric general, pe care i-am deschis puțin în articolul despre rangul matricei. Nu este nevoie să trecem peste terminologie, totul este destul de simplu.