Aflați gradientul unei funcții a două variabile într-un punct. Analiză vectorială câmp scalar al suprafeței și linii de nivel derivat în direcție gradient derivat al câmpului scalar proprietăți de bază ale gradientului invariant definirea regulilor gradientului pentru calcularea gr

Concept derivată direcțională luate în considerare pentru funcţii de două şi trei variabile. Pentru a înțelege semnificația derivatei direcționale, trebuie să comparați derivatele prin definiție

Prin urmare,

Acum putem găsi derivata direcțională a acestei funcții folosind formula sa:

Și acum - teme. Oferă o funcție de nu trei, ci doar două variabile, dar vectorul de direcție este specificat oarecum diferit. Așa că va trebui să o faci din nou algebră vectorială .

Exemplul 2. Aflați derivata unei funcții într-un punct M0 (1; 2) în direcția vectorului, unde M1 - punct cu coordonate (3; 0).

Vectorul care specifică direcția derivatei poate fi dat și sub forma ca în exemplul următor - în formă expansiunea în vectori unitari ai axelor de coordonate, dar acesta este un subiect familiar încă de la începutul algebrei vectoriale.

Exemplul 3. Aflați derivata unei funcții la punct M0 (1; 1; 1) în direcția vectorului.

Soluţie. Să găsim cosinusurile de direcție ale vectorului

Să găsim derivatele parțiale ale funcției la punctul M0 :

Prin urmare, putem găsi derivata direcțională a acestei funcții folosind formula sa:

.

Funcția gradient

Gradientul unei funcții de mai multe variabile într-un punct M0 caracterizează direcţia de creştere maximă a acestei funcţii în punct M0 și amploarea acestei creșteri maxime.

Cum să găsesc gradientul?

Trebuie să se determine un vector ale cărui proiecții pe axele de coordonate sunt valorile derivate parțiale, , această funcție în punctul corespunzător:

.

Adică ar trebui să meargă reprezentarea unui vector prin vectori unitari ai axelor de coordonate, în care derivata parțială corespunzătoare axei sale se înmulțește cu fiecare unitate.

Se consideră formula pentru derivata unei funcții scalare u în direcția λ

Cei doi factori sunt proiecțiile vectorului unitar îndreptate de-a lungul razei λ.

Să luăm un vector ale cărui proiecții pe axele de coordonate vor fi valorile derivatelor parțiale din punctul selectat P(x, y, z).

Acest vector se numește gradient al funcției u (x, y, z) și se notează grad or

Definiție. Gradientul unei funcții u(x, y, z) este un vector ale cărui proiecții sunt valorile derivatelor parțiale ale acestei funcții, adică.

Derivata unei functii intr-o directie data este egala cu produsul scalar al gradientului functiei si vectorul unitar al acestei directii.

Extinderea produsului scalar, obținem

,

unde φ este unghiul dintre vector graduși raza λ.

Atinge cea mai mare valoare

Deci, există cea mai mare valoare a derivatei într-un TR dat, iar direcția grad u coincide cu direcția razei care iese din TR, de-a lungul căreia funcția se schimbă cel mai rapid.

Să stabilim o legătură între direcția gradientului funcției și suprafețele de nivel ale câmpului scalar.

Teorema. Gradientul funcției u (x,y,z) în fiecare punct coincide cu normala la suprafața de nivel a câmpului scalar care trece prin acest punct.

Dovada. Să alegem un t arbitrar P 0 (x 0, y 0, z 0).

Ecuația suprafeței

nivel care trece prin

adică va fi u(x,y,z)= ,

u 0 = u (x 0 , y 0 , z 0)

Ecuația normalei la această suprafață va fi

Rezultă că vectorul normal de direcție, care are proiecții , este gradientul funcției u (x, y, z) în t. P 0 etc.

Astfel, gradientul în fiecare punct este perpendicular pe planul tangent la suprafața de nivel care trece prin acest punct, adică. proiecția sa pe acest plan este zero.

Prin urmare: Derivata în orice direcție tangentă la suprafața de nivel care trece printr-un punct dat este egală cu zero.

Proprietățile de bază ale funcției de gradient:

2) grad , unde C – Const

4) grad

Toate proprietățile sunt dovedite folosind definiția gradientului unei funcții.

Exemplu.În punctul M(1, 1, 1) găsiți direcția celei mai mari modificări în câmpul scalar și magnitudinea acestei modificări.

Scurtă teorie

Un gradient este un vector a cărui direcție indică direcția celei mai rapide creșteri a funcției f(x). Găsirea acestei mărimi vectoriale este asociată cu determinarea derivatelor parțiale ale funcției. Derivata direcțională este o mărime scalară și arată rata de schimbare a unei funcții atunci când se deplasează pe direcția specificată de un vector.

Exemplu de rezolvare a problemei

Sarcina

Dați o funcție, un punct și un vector. Găsi:

Rezolvarea problemei

Găsirea gradientului unei funcții

1) Găsiți gradientul funcției în punctul:

Gradientul dorit:

Aflarea derivatei în raport cu direcția unui vector

2) Aflați derivata în direcția vectorului:

unde este unghiul format de vector și axă

Derivata necesară la punctul:

Pretul este foarte influentat de urgenta deciziei (de la o zi la cateva ore). Asistența online cu examene/teste este disponibilă pe bază de programare.

Puteți lăsa o solicitare direct în chat, după ce ați trimis în prealabil condițiile sarcinilor și v-a informat despre termenele limită pentru soluția de care aveți nevoie. Timpul de răspuns este de câteva minute.

Dacă în fiecare punct al spațiului sau parte a spațiului este determinată valoarea unei anumite cantități, atunci se spune că câmpul acestei mărimi este specificat. Un câmp se numește scalar dacă mărimea luată în considerare este scalară, adică. caracterizat pe deplin prin valoarea sa numerică. De exemplu, câmpul de temperatură. Câmpul scalar este dat de funcția punct scalar u = /(M). Dacă un sistem de coordonate carteziene este introdus în spațiu, atunci există o funcție a trei variabile x, yt z - coordonatele punctului M: Definiție. Suprafața de nivel a unui câmp scalar este mulțimea de puncte la care funcția f(M) ia aceeași valoare. Ecuația unei suprafețe de nivel Exemplu 1. Găsiți suprafețe de nivel ale unui câmp scalar ANALIZA VECTORALĂ Câmp scalar Suprafețe și linii de nivel Derivată direcțională Derivată Gradient câmp scalar Proprietăți de bază ale unui gradient Definiția invariantă a unui gradient Reguli de calcul a unui gradient -4 Conform definiției , ecuația unei suprafețe plane va fi. Aceasta este ecuația unei sfere (cu Ф 0) cu centrul ei la origine. Un câmp scalar se numește plat dacă câmpul este același în toate planurile paralele cu un anumit plan. Dacă planul indicat este considerat planul xOy, atunci funcția câmpului nu va depinde de coordonata z, adică va fi o funcție doar a argumentelor x și y. Un câmp plan poate fi caracterizat folosind linii de nivel - a mulţime de puncte de pe plan la care funcţia /(x, y) are unul şi de asemenea semnificaţia. Ecuația unei linii de nivel - Exemplul 2. Găsiți linii de nivel ale unui câmp scalar Liniile de nivel sunt date prin ecuații Când c = 0, obținem o pereche de drepte, obținem o familie de hiperbole (Fig. 1). 1.1. Derivată direcțională Fie un câmp scalar definit de funcția scalară u = /(Af). Să luăm punctul Afo și să alegem direcția determinată de vectorul I. Să luăm un alt punct M astfel încât vectorul M0M să fie paralel cu vectorul 1 (Fig. 2). Să notăm lungimea vectorului MoM cu A/, iar incrementul funcției /(Af) - /(Afo), corespunzătoare mișcării lui D1, prin Di. Raportul determină rata medie de modificare a câmpului scalar pe unitate de lungime în direcția dată.Să tind acum la zero, astfel încât vectorul M0M să rămână paralel cu vectorul I tot timpul.Definiție. Dacă la D/O există o limită finită a relației (5), atunci se numește derivată a funcției la un punct dat Afo la direcția dată I și se notează cu simbolul 3!^. Deci, prin definiție, Această definiție nu este legată de alegerea sistemului de coordonate, adică este de natură **variantă. Să găsim o expresie pentru derivata direcțională în sistemul de coordonate carteziene. Fie funcția / să fie diferențiabilă într-un punct. Să luăm în considerare valoarea lui /(Af) la un punct. Apoi incrementul total al funcției poate fi scris în următoarea formă: unde și simbolurile înseamnă că derivatele parțiale sunt calculate în punctul Afo. Prin urmare, aici mărimile jfi, ^ sunt cosinusurile de direcție ale vectorului. Întrucât vectorii MoM și I sunt codirecționali, cosinusurile lor de direcție sunt aceleași: Deoarece M Afo, fiind întotdeauna pe o dreaptă paralelă cu vectorul 1, unghiurile sunt constante deci În sfârșit, din egalitățile (7) și (8) obținem Eamuan este 1. Derivatele particulare sunt derivate ale funcției și de-a lungul direcțiilor axelor de coordonate, deci-Exemplu 3. Aflați derivata funcției în direcția către punctul Vectorul are lungimea. Cosinusurile sale de direcție: Conform formulei (9), vom avea Faptul că, înseamnă că câmpul scalar într-un punct într-o direcție dată de vârstă - Pentru un câmp plat, derivata față de direcția I într-un punct este calculat prin formula unde a este unghiul format de vectorul I cu axa Oh. Zmmchmm 2. Formula (9) pentru calcularea derivatei în raport cu direcția I într-un punct dat Afo rămâne în vigoare atunci când punctul M tinde spre punctul Mo de-a lungul unei curbe pentru care vectorul I este tangent în punctul PrIShr 4. Calculați derivata lui câmpul scalar în punctul Afo(l, 1). aparținând unei parabole în direcția acestei curbe (în sensul creșterii absciselor). Direcția ] a unei parabole într-un punct este considerată a fi direcția tangentei la parabolă în acest punct (Fig. 3). Fie tangenta la parabolă în punctul Afo să formeze un unghi o cu axa Ox. Atunci de unde provin cosinusurile direcției tangentei? Să calculăm valorile și în punctul. Avem Acum folosind formula (10) obținem. Aflați derivata câmpului scalar într-un punct de-a lungul direcției cercului Ecuația vectorială a unui cerc are forma. Găsim vectorul unitar m al tangentei la cerc.Punctul corespunde valorii parametrului.Valoarea lui r în punctul Afo va fi egală.De aici obținem cosinusurile direcției tangentei la cerc la punct. Să calculăm valorile derivatelor parțiale ale câmpului scalar dat în punctul respectiv. Aceasta înseamnă derivata dorită. Gradient de câmp scalar Fie câmpul scalar definit de o funcție scalară care se presupune că este diferențiabilă. Definiție. Gradientul câmpului scalar „la un punct dat M este un vector notat cu simbolul grad și și definit prin egalitate Este clar că acest vector depinde atât de funcția / cât și de punctul M la care se calculează derivata lui. Fie 1 un vector unitar în direcție.Atunci formula derivatei direcționale se poate scrie sub următoarea formă: . Astfel, derivata funcției u în direcția 1 este egală cu produsul scalar al gradientului funcției u(M) și vectorul unitar 1° al direcției I. 2.1. Proprietățile de bază ale gradientului Teorema 1. Gradientul câmpului scalar este perpendicular pe suprafața de nivel (sau pe linia de nivel dacă câmpul este plat). (2) Să desenăm o suprafață de nivel u = const printr-un punct arbitrar M și să alegem pe această suprafață o curbă netedă L care trece prin punctul M (Fig. 4). Fie I un vecgor tangent la curba L în punctul M. Deoarece pe suprafața de nivel u(M) = u(M|) pentru orice punct Mj e L, atunci pe de altă parte, = (gradu, 1°). De aceea. Aceasta înseamnă că vectorii grad și și 1° sunt ortogonali, astfel, vectorul grad și este ortogonal cu orice tangentă la suprafața de nivel în punctul M. Astfel, este ortogonal cu suprafața de nivel în sine în punctul M. Teorema 2. gradientul este îndreptat spre creșterea funcției câmpului . Anterior, am demonstrat că gradientul câmpului scalar este îndreptat de-a lungul normalei la suprafața de nivel, care poate fi orientată fie în direcția creșterii funcției u(M), fie în direcția scăderii acesteia. Să notăm cu n normala suprafeței de nivel, orientată în direcția creșterii funcției ti(M), și să găsim derivata funcției u în direcția acestei normale (Fig. 5). Avem Deoarece conform condiției din Fig. 5 și deci ANALIZA VECTORALĂ Câmp scalar Suprafețe și linii de nivel Derivată direcțională Derivată Gradient al câmpului scalar Proprietăți de bază ale gradientului Definiția invariabilă a gradientului Reguli de calcul a gradientului Rezultă că gradul este direcționat în aceeași direcție cu cea pe care am ales-o normala n, adică în direcția creșterii funcției u(M). Teorema 3. Lungimea gradientului este egală cu cea mai mare derivată în raport cu direcția într-un punct dat din câmp (aici verificarea este luată de-a lungul tuturor direcțiilor posibile la un punct dat M). Avem unde este unghiul dintre vectorii 1 și grad n. Deoarece cea mai mare valoare este Exemplul 1. Aflați direcția celei mai mari modificări a câmpului scalar într-un punct și, de asemenea, mărimea acestei cele mai mari modificări în punctul specificat. Direcția celei mai mari schimbări în câmpul scalar este indicată de un vector. Avem astfel încât Acest vector determină direcția celei mai mari creșteri a câmpului într-un punct. Mărimea celei mai mari modificări de câmp în acest punct este 2,2. Definirea invariantă a gradientului Mărimile care caracterizează proprietățile obiectului studiat și nu depind de alegerea sistemului de coordonate se numesc invarianți ai obiectului dat. De exemplu, lungimea unei curbe este un invariant al acestei curbe, dar unghiul tangent la curba cu axa Ox nu este un invariant. Pe baza celor trei proprietăți ale gradientului de câmp scalar demonstrat mai sus, putem da următoarea definiție invariantă a gradientului. Definiție. Gradientul de câmp scalar este un vector direcționat normal pe suprafața de nivel în direcția creșterii funcției de câmp și având o lungime egală cu cea mai mare derivată în direcție (la un punct dat). Fie un vector normal unitar îndreptat în direcția câmpului crescător. Apoi Exemplul 2. Găsiți gradientul distanței - un punct fix și M(x,y,z) - cel curent. 4 Avem unde este vectorul direcției unitare. Reguli pentru calcularea gradientului unde c este un număr constant. Formulele date sunt obținute direct din definiția gradientului și proprietățile derivatelor. Conform regulii diferențierii produsului, demonstrația este similară cu demonstrația proprietății Fie F(u) o funcție scalară diferențiabilă. Apoi 4 Prin definiția fadientului avem Aplicați regula de diferențiere a unei funcții complexe tuturor termenilor din partea dreaptă. Obținem În special, formula (6) rezultă din formula Exemplul 3. Găsiți derivata față de direcția vectorului rază r din funcție Folosind formula (3) și folosind formula Ca rezultat, obținem acel exemplu 4 Să fie dat un câmp scalar plan - distanțele de la un plan punctual la două puncte fixe ale acestui plan. Să luăm în considerare o elipsă arbitrară cu focarele Fj și F] și să demonstrăm că fiecare rază de lumină care iese dintr-un focar al elipsei, după reflectarea din elipsă, ajunge în celălalt focar al acesteia. Liniile de nivel ale funcției (7) sunt ANALIZA VECTORALĂ Câmp scalar Suprafețe și linii de nivel Derivată direcțională Derivată Gradient de câmp scalar Proprietăți de bază ale gradientului Definiția invariantă a gradientului Regulile pentru calcularea gradientului Ecuațiile (8) descriu o familie de elipse cu focare la punctele F) și Fj. Conform rezultatului din Exemplul 2, avem Astfel, gradientul unui câmp dat este egal cu vectorul PQ al diagonalei rombului construit pe vectorii unitari r? și vectori cu rază. trasate la punctul P(x, y) din focarele F| și Fj și, prin urmare, se află pe bisectoarea unghiului dintre acești vectori cu rază (Fig. 6). Conform lui Tooromo 1, gradientul PQ este perpendicular pe elipsa (8) în punct. Prin urmare, Fig. 6. normala la elipsa (8) în orice punct bisectează unghiul dintre vectorii cu rază trasați în acest punct. Din aceasta și din faptul că unghiul de incidență este egal cu unghiul de reflexie, obținem: o rază de lumină care iese dintr-un focar al elipsei, reflectată din ea, va cădea cu siguranță într-un alt focar al acestei elipse.

Cursul 15. „Diferențierea unei funcții a mai multor variabile”

Gradientul unei funcții a două variabile și derivată direcțională.

Definiție. Funcția gradient

numit vector

.

După cum se poate observa din definiția gradientului unei funcții, componentele vectorului gradient sunt derivatele parțiale ale funcției.

Exemplu. Calculați gradientul unei funcții

la punctul A(2,3).

Soluţie. Să calculăm derivatele parțiale ale funcției.

În general, gradientul funcției are forma:

=

Să substituim coordonatele punctului A(2,3) în expresiile derivate parțiale

Gradientul funcției în punctul A(2,3) are forma:

În mod similar, putem defini conceptul de gradient al unei funcții de trei variabile:

Definiție. Funcția gradient a trei variabile

numit vector

În caz contrar, acest vector poate fi scris după cum urmează:

Definiție derivată direcțională.

Să fie dată o funcție a două variabile

și un vector arbitrar

Să considerăm incrementul acestei funcții luate de-a lungul unui vector dat

Acestea. vectorul este coliniar în raport cu vectorul . Lungimea incrementului argumentului

Derivata într-o anumită direcție este limita raportului dintre incrementul unei funcții pe o direcție dată și lungimea incrementului argumentului, când lungimea incrementului argumentului tinde spre 0.

Formula pentru calculul derivatei direcționale.

Pe baza definiției gradientului, derivata direcțională a funcției poate fi calculată după cum urmează.

vreun vector. Vector cu aceeași direcție, dar singur să numim lungimea

Coordonatele acestui vector se calculează după cum urmează:

Din definiția derivatei direcționale, derivata direcțională poate fi calculată folosind următoarea formulă:

Partea dreaptă a acestei formule este produsul scalar a doi vectori

Prin urmare, derivata direcțională poate fi reprezentată ca următoarea formulă:

Din această formulă decurg mai multe proprietăți importante ale vectorului gradient.

Prima proprietate a gradientului rezultă din faptul evident că produsul scalar a doi vectori capătă cea mai mare valoare atunci când vectorii coincid în direcție. A doua proprietate rezultă din faptul că produsul scalar al vectorilor perpendiculari este egal cu zero. În plus, prima proprietate implică semnificația geometrică a gradientului - gradientul este un vector de-a lungul direcției a cărui derivată direcțională este cea mai mare. Deoarece derivata direcțională determină tangenta unghiului de înclinare a tangentei la suprafața funcției, gradientul este îndreptat de-a lungul celei mai mari înclinații a tangentei.

Exemplul 2. Pentru o funcție (din exemplul 1)

Calculați derivata direcțională

la punctul A(2,3).

Soluţie. Pentru a calcula derivata direcțională, trebuie să calculați vectorul gradient în punctul specificat și vectorul direcție unitară (adică, normalizați vectorul).

Vectorul gradient a fost calculat în exemplul 1:

Calculăm vectorul direcție unitară:

Calculăm derivata în raport cu direcția:

#2. Funcții maxime și minime ale mai multor variabile.

Definiție. Funcţie

Are un maxim la un punct (adică la și ), dacă

Definiție. Exact în același mod ei spun că funcția

Are un minim la un punct (adică la și ), dacă

pentru toate punctele suficient de apropiate de punct și diferite de acesta.

Maximul și minimul unei funcții se numesc extreme ale funcției, adică se spune că o funcție are un extremum într-un punct dat dacă această funcție are un maxim sau un minim într-un punct dat.

De exemplu, funcția

Are un minim evident z = -1 la x = 1 și y = 2.

Are un maxim în punctul x = 0 și y = 0.

Teorema.(condiții necesare pentru un extremum).

Dacă funcția atinge un extrem la , atunci fiecare derivată parțială de ordinul întâi a lui z fie dispare pentru aceste valori de argument, fie nu există.

Cometariu. Această teoremă nu este suficientă pentru a studia problema valorilor extreme ale unei funcții. Putem da exemple de funcții care au derivate parțiale zero în anumite puncte, dar nu au un extrem în aceste puncte.

Exemplu. O funcție care are derivate parțiale zero, dar nu are extreme.

Într-adevăr:

Condiții suficiente pentru un extremum.

Teorema. Fie că într-un domeniu care conține punctul , funcția are derivate parțiale continue până la ordinul trei inclusiv; Fie, în plus, punctul un punct critic al funcției, adică.

Apoi când ,

Exemplul 3.2. Explorați funcțiile maxime și minime

Să găsim punctele critice, adică. puncte în care primele derivate parțiale sunt zero sau nu există.

În primul rând, calculăm propriile derivate parțiale.

Echivalăm derivatele parțiale cu zero și rezolvăm următorul sistem de ecuații liniare

Înmulțiți a doua ecuație cu 2 și adăugați-o la prima. Rezultatul este o ecuație numai în y.

Găsim și înlocuim în prima ecuație

Să ne transformăm

Prin urmare, punctul () este critic.

Să calculăm derivatele secunde de ordinul doi și să substituim coordonatele punctului critic în ele.

În cazul nostru, nu este nevoie să înlocuim valorile punctelor critice, deoarece derivatele secunde sunt numere.

Ca rezultat avem:

În consecință, punctul critic găsit este un punct extremum. Mai mult, din moment ce

atunci acesta este punctul minim.