A este limita funcției. Limita unei funcții într-un punct

Luați în considerare funcția %%f(x)%% definită cel puțin într-o zonă perforată %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% din punctul %%a \in \overline( \ mathbb(R))%% linie numerică extinsă.

Conceptul de limită Cauchy

Numărul %%A \în \mathbb(R)%% este numit limita functiei%%f(x)%% la punctul %%a \in \mathbb(R)%% (sau la %%x%% care tinde spre %%a \in \mathbb(R)%%), dacă, ce Indiferent de numărul pozitiv %%\varepsilon%%, există un număr pozitiv %%\delta%% astfel încât pentru toate punctele din vecinătatea punctului %%\delta%% a punctului %%a%% valorile funcției aparțin %%\varepsilon %%-vecinătatea punctului %%A%%, sau

$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$

Această definiție se numește definiția %%\varepsilon%% și %%\delta%%, propusă de matematicianul francez Augustin Cauchy și folosită de la începutul secolului al XIX-lea până în zilele noastre deoarece are rigoarea și acuratețea matematică necesară.

Combinând diferite vecinătăți ale punctului %%a%% din forma %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \ text(U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^ - (a) %% cu împrejurimile %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \ text(U) _\varepsilon (-\infty)%%, obținem 24 de definiții ale limitei Cauchy.

Sensul geometric

Sensul geometric al limitei unei funcții

Să aflăm care este semnificația geometrică a limitei unei funcții într-un punct. Să construim un grafic al funcției %%y = f(x)%% și să marchem punctele %%x = a%% și %%y = A%% pe ea.

Limita funcției %%y = f(x)%% în punctul %%x \to a%% există și este egală cu A dacă pentru orice %%\varepsilon%% vecinătate a punctului %%A%% se poate specifica o astfel de %%\ delta%%-vecinătate a punctului %%a%%, astfel încât pentru orice %%x%% din acest %%\delta%%-vecinătate valoarea %%f(x)% % va fi în punctele de vecinătate %%\varepsilon%% %%A%%.

Rețineți că prin definirea limitei unei funcții conform lui Cauchy, pentru existența unei limite la %%x \to a%%, nu contează ce valoare ia funcția în punctul %%a%%. Pot fi date exemple în care funcția nu este definită când %%x = a%% sau ia o altă valoare decât %%A%%. Cu toate acestea, limita poate fi %%A%%.

Determinarea limitei Heine

Elementul %%A \in \overline(\mathbb(R))%% se numește limita funcției %%f(x)%% la %% x \to a, a \in \overline(\mathbb( R))%% , dacă pentru orice secvență %%\(x_n\) \la un%% din domeniul definiției, secvența valorilor corespunzătoare ​​%%\big\(f(x_n)\big\)% % tinde spre %%A%%.

Definiția unei limite conform Heine este convenabil de utilizat atunci când apar îndoieli cu privire la existența unei limite a unei funcții la un punct dat. Dacă este posibil să construiți cel puțin o secvență %%\(x_n\)%% cu o limită în punctul %%a%% astfel încât secvența %%\big\(f(x_n)\big\)%% nu are limită, atunci putem concluziona că funcția %%f(x)%% nu are nicio limită în acest moment. Dacă pentru doi variat secvențele %%\(x"_n\)%% și %%\(x""_n\)%% având la fel limită %%a%%, secvențele %%\big\(f(x"_n)\big\)%% și %%\big\(f(x""_n)\big\)%% au variat limite, atunci în acest caz nu există nici o limită a funcției %%f(x)%%.

Exemplu

Fie %%f(x) = \sin(1/x)%%. Să verificăm dacă limita acestei funcții există în punctul %%a = 0%%.

Să alegem mai întâi o secvență $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\) care converge în acest punct. $$

Este clar că %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% și %%\lim (x_n) = 0%%. Atunci %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% și %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.

Apoi luați o secvență care converge către același punct $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$

pentru care %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% și %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%. În mod similar, pentru secvența $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1) ) \pi) \dreapta\), $$

de asemenea, convergând către punctul %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.

Toate cele trei secvențe au dat rezultate diferite, ceea ce contrazice condiția definiției Heine, adică. această funcție nu are limită în punctul %%x = 0%%.

Teorema

Definițiile Cauchy și Heine ale limitei sunt echivalente.

Astăzi ne vom uita la o selecție de probleme noi privind găsirea unei limite la un punct. Să începem cu exemple simple de înlocuire a valorii, cel mai adesea luate în considerare în clasa a XI-a a programa de matematică școlară.
În continuare, ne vom opri și analiza limitele cu incertitudini, metodele de dezvăluire a incertitudinilor, aplicarea primei și a doua limite importante și consecințele acestora.
Exemplele date nu vor acoperi în întregime întreaga temă, dar vor clarifica multe întrebări.

Găsiți limita funcției într-un punct:

Exemplul 46. Limita unei funcții într-un punct este determinată prin substituție

Deoarece numitorul fracției nu se transformă în zero, fiecare absolvent de școală poate rezolva o astfel de problemă.

Exemplul 47. Avem o fracție de polinoame, în plus, numitorul nu conține o singularitate (nu este egal cu zero).
O altă sarcină, de fapt pentru clasa a XI-a.

Exemplul 48. Folosind metoda substituției determinăm limita unei funcții
Rezultă din condiția că granița funcției este egală cu doi dacă variabila tinde spre infinit.

Exemplul 49. Substituția directă x=2 arată că granița în punct are singularitatea (0/0) . Aceasta înseamnă că atât numărătorul, cât și numitorul conțin implicit (x-2) .
Descompunem polinoamele în factori primi și apoi reducem fracția cu factorul specificat (x-2).
Găsim limita fracției care rămâne prin substituție.

Exemplul 50. Limita unei funcții într-un punct are o singularitate de tip (0/0).
Scăpăm de diferența de rădăcini prin înmulțirea cu suma rădăcinilor (expresia conjugată) și extindem polinomul.
În continuare, prin simplificarea funcției, găsim valoarea limitei în unitate.

Exemplul 51. Luați în considerare problema limitelor complexe.
Până acum, iraționalitatea era eliminată prin înmulțirea prin expresia conjugată.
Aici, la numitor, avem o rădăcină cubă, așa că trebuie să folosim formula diferenței cuburilor.
Toate celelalte transformări se repetă de la o condiție la alta.
Extindem polinomul în factori primi,
apoi o reducem cu un factor care introduce o caracteristică (0)
iar prin substituirea x=-3 găsim limita funcției în punctul

Exemplul 52. Revelăm singularitatea formei (0/0) folosind prima limită remarcabilă și consecințele acesteia.
Mai întâi, vom scrie diferența de sinusuri conform formulei trigonometrice
sin(7x)-sin(3x)=2sin(2x)cos(5x).
În continuare, completăm numărătorul și numitorul fracției cu expresii care sunt necesare pentru a evidenția limite importante.
Trecem la produsul limitelor și evaluăm investiția fiecărui factor.

Aici am folosit prima limită remarcabilă:

și consecințele din aceasta


unde a și b sunt numere arbitrare.

Exemplul 53. Pentru a dezvălui incertitudinea când o variabilă tinde spre zero, folosim a doua limită remarcabilă.
Pentru a izola exponentul, aducem exponentul la a 2-a limită remarcabilă, iar tot ce rămâne în trecerea la limită va da gradul exponentului.


Aici am folosit un corolar de la a doua limită remarcabilă:

Calculați limita unei funcții într-un punct:

Exemplul 54. Trebuie să găsim limita unei funcții într-un punct. O simplă înlocuire a valorii arată că avem diviziunea zerourilor.
Pentru a o dezvălui, factorizăm polinoamele în factori primi și efectuăm o reducere cu factorul care introduce caracteristica (x+2).
Cu toate acestea, numărătorul conține în plus (x+2), ceea ce înseamnă că la x=-2 limita este zero.

Exemplul 55. Avem o funcție fracțională - numărătorul este diferența rădăcinilor, iar numitorul este logul.
Substituția directă produce o singularitate de forma (0/0) .
Variabila tinde spre minus unu, ceea ce înseamnă că ar trebui să căutăm și să scăpăm de caracteristicile formei (x+1).
Pentru a face acest lucru, scăpăm de iraționalitate prin înmulțirea cu suma rădăcinilor și descompunem funcția pătratică în factori simpli.
După toate reducerile, determinăm limita funcției la punct prin metoda substituției

Exemplul 56. Din apariția funcției sublimită, s-ar putea concluziona în mod eronat că prima limită trebuie aplicată, dar calculele au arătat că totul este mult mai simplu.
Mai întâi, să notăm suma sinusurilor la numitor sin(2x)+sin(6x)=2sin(4x)*cos(2x).
Apoi scriem tg(2x) , iar sinusul unghiului dublu sin(4x)=2sin(2x)cos (2x).
Simplificam sinusurile si folosim metoda substitutiei pentru a calcula limita fractiei

Exemplul 57. Sarcină privind capacitatea de a folosi a doua limită minunată:
Ideea este că ar trebui să evidențiați partea care dă exponentul.
Restul care rămâne în exponent în trecerea la limită va da gradul exponenţialului.


Analiza problemelor privind limitele funcțiilor și secvențelor nu se termină aici.
În prezent, mai mult de 150 de răspunsuri gata făcute la limitele funcțiilor, așa că studiază și împărtășește link-uri către materiale cu colegii de clasă.

Astăzi în clasă ne vom uita la secvențiere strictăȘi definirea strictă a limitei unei funcții, și, de asemenea, să învețe să rezolve probleme relevante de natură teoretică. Articolul este destinat în primul rând studenților din anul I de științe naturale și specialități de inginerie care au început să studieze teoria analizei matematice și au întâmpinat dificultăți în înțelegerea acestei secțiuni a matematicii superioare. În plus, materialul este destul de accesibil elevilor de liceu.

De-a lungul anilor de existență a site-ului, am primit o duzină de scrisori cu aproximativ următorul conținut: „Nu înțeleg bine analiza matematică, ce să fac?”, „Nu înțeleg deloc matematica, sunt mă gândesc să renunț la studii” etc. Și într-adevăr, matanul este cel care deseori subțiază grupul de studenți după prima sesiune. De ce este acesta cazul? Pentru că subiectul este inimaginabil de complex? Deloc! Teoria analizei matematice nu este atât de dificilă pe cât este deosebită. Și trebuie să o accepți și să o iubești pentru ceea ce este =)

Să începem cu cel mai dificil caz. Primul și cel mai important lucru este că nu trebuie să renunți la studii. Înțelege corect, poți oricând să renunți;-) Desigur, dacă după un an sau doi ți se face rău de specialitatea aleasă, atunci da, ar trebui să te gândești la asta (și nu te supăra!) despre o schimbare de activitate. Dar deocamdată merită să continui. Și vă rugăm să uitați expresia „Nu înțeleg nimic” - nu se întâmplă să nu înțelegeți absolut nimic.

Ce să faci dacă teoria este proastă? Acest lucru, apropo, se aplică nu numai analizei matematice. Dacă teoria este proastă, atunci mai întâi trebuie să te concentrezi SERIOS pe practică. În acest caz, două sarcini strategice sunt rezolvate simultan:

– În primul rând, o parte semnificativă a cunoștințelor teoretice a apărut prin practică. Și de aceea mulți oameni înțeleg teoria prin... – așa este! Nu, nu, nu te gândești la asta =)

– Și, în al doilea rând, abilitățile practice te vor „trage” cel mai probabil prin examen, chiar dacă... dar să nu ne entuziasmăm atât de mult! Totul este real și totul poate fi „ridicat” într-un timp destul de scurt. Analiza matematică este secțiunea mea preferată de matematică superioară și, prin urmare, pur și simplu nu m-am putut abține să nu vă dau o mână de ajutor:

La începutul semestrului I, limitele secvenței și limitele funcției sunt de obicei acoperite. Nu înțelegi ce sunt acestea și nu știi cum să le rezolvi? Începeți cu articolul Limitele funcției, în care conceptul în sine este examinat „pe degete” și sunt analizate cele mai simple exemple. Apoi, lucrați prin alte lecții pe acest subiect, inclusiv o lecție despre în cadrul secvenţelor, asupra căruia de fapt am formulat deja o definiție strictă.

Ce simboluri, în afară de semnele de inegalitate și modul, cunoașteți?

– un baston vertical lung citește astfel: „astfel care”, „astfel care”, „astfel că” sau „astfel că”, în cazul nostru, evident, vorbim despre un număr - deci „astfel că”;

– pentru toate „en” mai mari decât ;

– semnul modulului înseamnă distanță, adică această intrare ne spune că distanța dintre valori este mai mică decât epsilon.

Ei bine, este greu de moarte? =)

După ce stăpânesc practica, aștept cu nerăbdare să ne vedem în următorul paragraf:

Și, de fapt, să ne gândim puțin - cum să formulezi o definiție strictă a secvenței? ...Primul lucru care-mi vine în minte în lume lectie practica: „limita unei secvențe este numărul de care membrii secvenței se apropie infinit.”

Bine, hai să o scriem ulterior :

Nu este greu de înțeles asta ulterior se apropie infinit de numărul –1 și de termeni pari - catre unul".

Sau poate sunt două limite? Dar atunci de ce nicio secvență nu poate avea zece sau douăzeci dintre ele? Poți merge departe în acest fel. În acest sens, este logic să presupunem că dacă o secvență are o limită, atunci este unică.

Notă : secvența nu are limită, dar de ea se pot distinge două subsecvențe (vezi mai sus), fiecare având propria sa limită.

Astfel, definiția de mai sus se dovedește a fi insuportabilă. Da, funcționează pentru cazuri precum (pe care nu l-am folosit destul de corect în explicațiile simplificate ale exemplelor practice), dar acum trebuie să găsim o definiție strictă.

Încercarea a doua: „limita unei secvențe este numărul la care se apropie TOȚI membrii secvenței, cu excepția, poate, a acestora. final cantități.” Acest lucru este mai aproape de adevăr, dar încă nu este complet exact. Deci, de exemplu, secvența jumătate dintre termeni nu se apropie deloc de zero - sunt pur și simplu egali cu acesta =) Apropo, „lumina intermitentă” ia în general două valori fixe.

Formularea nu este greu de clarificat, dar apoi apare o altă întrebare: cum se scrie definiția în simboluri matematice? Lumea științifică s-a luptat mult timp cu această problemă până când situația a fost rezolvată maestru celebru, care, în esență, a oficializat analiza matematică clasică în toată rigoarea ei. Cauchy a sugerat o intervenție chirurgicală împrejurimi , care a avansat semnificativ teoria.

Luați în considerare un punct și acesta arbitrar-împrejurimi:

Valoarea lui „epsilon” este întotdeauna pozitivă și, în plus, avem dreptul să o alegem noi înșine. Să presupunem că în acest cartier sunt mulți membri (nu neaparat toate) oarecare succesiune. Cum să notez faptul că, de exemplu, al zecelea termen este în cartier? Lasă-l pe partea dreaptă a ei. Apoi, distanța dintre puncte și ar trebui să fie mai mică decât „epsilon”: . Cu toate acestea, dacă „x zecime” este situat în stânga punctului „a”, atunci diferența va fi negativă și, prin urmare, semnul trebuie adăugat la acesta. modul: .

Definiție: un număr se numește limita unei secvențe dacă pentru oriceîmprejurimile sale (preselectat) există un număr natural astfel încât TOATE membrii secvenței cu numere mai mari se vor afla în cartier:

Sau pe scurt: dacă

Cu alte cuvinte, oricât de mică ar fi valoarea „epsilon” pe care o luăm, mai devreme sau mai târziu „coada infinită” a secvenței va fi COMPLET în acest cartier.

De exemplu, „coada infinită” a secvenței va intra COMPLET în orice vecinătate arbitrar mică a punctului . Deci această valoare este limita secvenței prin definiție. Permiteți-mi să vă reamintesc că se numește o secvență a cărei limită este zero infinitezimal.

Trebuie remarcat faptul că pentru o secvență nu se mai poate spune „coada fără sfârșit” va intra„- membrii cu numere impare sunt de fapt egali cu zero și „nu merge nicăieri” =) De aceea verbul „va apărea” este folosit în definiție. Și, desigur, membrii unei secvențe ca aceasta, de asemenea, „duc nicăieri”. Apropo, verificați dacă numărul este limita.

Acum vom arăta că succesiunea nu are limită. Luați în considerare, de exemplu, o vecinătate a punctului . Este absolut clar că nu există un astfel de număr după care TOȚI termenii vor ajunge într-un anumit cartier - termenii impari vor „sări” întotdeauna la „minus unu”. Dintr-un motiv similar, nu există nicio limită la punct.

Să consolidăm materialul cu practică:

Exemplul 1

Demonstrați că limita șirului este zero. Specificați numărul după care se garantează că toți membrii secvenței se află în orice vecinătate arbitrar mică a punctului.

Notă : Pentru multe secvențe, numărul natural necesar depinde de valoare - de unde notația .

Soluţie: considera arbitrar există vreunul număr – astfel încât TOȚI membrii cu numere mai mari se vor afla în acest cartier:

Pentru a arăta existența numărului necesar, îl exprimăm prin .

Deoarece pentru orice valoare a lui „en”, semnul modulului poate fi eliminat:

Folosim acțiuni „școlare” cu inegalități pe care le-am repetat în clasă Inegalități liniareȘi Domeniul funcției. În acest caz, o circumstanță importantă este că „epsilon” și „en” sunt pozitive:

Deoarece vorbim despre numere naturale din stânga, iar partea dreaptă este în general fracțională, trebuie rotunjită:

Notă : uneori o unitate este adăugată la dreapta pentru a fi în siguranță, dar în realitate acest lucru este exagerat. Relativ vorbind, dacă slăbim rezultatul prin rotunjirea în jos, atunci cel mai apropiat număr potrivit („trei”) va satisface în continuare inegalitatea inițială.

Acum ne uităm la inegalitate și ne amintim ce am considerat inițial arbitrar-cartier, i.e. „epsilon” poate fi egal cu oricine un număr pozitiv.

Concluzie: pentru orice vecinătate arbitrar mică a unui punct, valoarea a fost găsită . Astfel, un număr este limita unei secvențe prin definiție. Q.E.D.

Apropo, din rezultatul obținut un model natural este clar vizibil: cu cât vecinătatea este mai mică, cu atât numărul este mai mare, după care TOȚI membrii secvenței vor fi în acest cartier. Dar oricât de mic este „epsilonul”, va exista întotdeauna o „coadă infinită” în interior și în exterior – chiar dacă este mare, totuși final numarul de membri.

Cum sunt impresiile tale? =) Sunt de acord că este puțin ciudat. Dar strict! Vă rugăm să recitiți și să vă gândiți din nou la toate.

Să ne uităm la un exemplu similar și să ne familiarizăm cu alte tehnici tehnice:

Exemplul 2

Soluţie: prin definiţia unei secvenţe este necesar să se demonstreze că (spune cu voce tare!!!).

Sa luam in considerare arbitrar-vecinatatea punctului si verifica, există oare număr natural – astfel încât pentru toate numerele mai mari să fie valabilă următoarea inegalitate:

Pentru a arăta existența unui astfel de , trebuie să exprimați „en” prin „epsilon”. Simplificam expresia sub semnul modulului:

Modulul distruge semnul minus:

Numitorul este pozitiv pentru orice „en”, prin urmare, bastoanele pot fi îndepărtate:

Amesteca:

Acum trebuie să extragem rădăcina pătrată, dar problema este că pentru un „epsilon” partea dreaptă va fi negativă. Pentru a evita acest necaz hai sa intarim inegalitatea prin modul:

De ce se poate face asta? Dacă, relativ vorbind, se dovedește că , atunci și condiția va fi îndeplinită. Modulul poate doar crește numarul dorit si asta ne va potrivi si noua! În linii mari, dacă al sutelea este potrivit, atunci este potrivit și al două sute! Conform definiției, trebuie să arăți însuşi faptul existenţei numărului(cel puțin unii), după care toți membrii secvenței vor fi în vecinătatea -. Apropo, de aceea nu ne este frică de rotunjirea finală a părții drepte în sus.

Extragerea rădăcinii:

Și rotunjește rezultatul:

Concluzie: deoarece valoarea „epsilon” a fost aleasă în mod arbitrar, apoi pentru orice vecinătate arbitrar mică a punctului, valoarea a fost găsită , astfel încât pentru toate numerele mai mari inegalitatea este valabilă . Prin urmare, a-prioriu. Q.E.D.

recomand in mod deosebitînțelegerea întăririi și slăbirii inegalităților este o tehnică tipică și foarte comună în analiza matematică. Singurul lucru pe care trebuie să îl monitorizați este corectitudinea acestei sau acelei acțiuni. Deci, de exemplu, inegalitatea sub nicio formă nu este posibil slăbiți, scăzând, să spunem, unul:

Din nou, condiționat: dacă numărul se potrivește exact, atunci s-ar putea ca cel precedent să nu se mai potrivească.

Următorul exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 3

Folosind definiția unei secvențe, demonstrați că

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Dacă succesiunea infinit de mare, atunci definiția unei limite este formulată într-un mod similar: un punct se numește limită a unei secvențe dacă pentru oricare, cât de mare vrei număr, există un număr astfel încât pentru toate numerele mai mari, inegalitatea va fi satisfăcută. Numărul este sunat apropierea punctului „plus infinit”:

Cu alte cuvinte, indiferent cât de mare este valoarea pe care o luăm, „coada infinită” a secvenței va merge neapărat în vecinătatea punctului, lăsând doar un număr finit de termeni în stânga.

Exemplu standard:

Și notație prescurtată: , dacă

Pentru acest caz, notați singur definiția. Versiunea corectă este la sfârșitul lecției.

Odată ce v-ați gândit la exemple practice și ați dat seama de definiția limitei unei secvențe, puteți apela la literatura de calcul și/sau caietul de curs. Recomand să descărcați volumul 1 din Bohan (mai simplu - pentru studenții prin corespondență)și Fichtenholtz (mai detaliat si mai detaliat). Printre alți autori, recomand și Piskunov, al cărui curs se adresează universităților tehnice.

Încercați să studiați cu conștiință teoremele care privesc limita șirului, demonstrațiile lor, consecințele. La început, teoria poate părea „înnoră”, dar acest lucru este normal - trebuie doar să vă obișnuiți. Și mulți chiar vor avea un gust pentru el!

Definirea riguroasă a limitei unei funcții

Să începem cu același lucru - cum să formulăm acest concept? Definiția verbală a limitei unei funcții este formulată mult mai simplă: „un număr este limita unei funcții dacă „x” tinde spre (atat la stanga cat si la dreapta), valorile funcției corespunzătoare tind să » (vezi desen). Totul pare a fi normal, dar cuvintele sunt cuvinte, sensul este sens, o icoană este o icoană și nu există suficiente notații matematice stricte. Și în al doilea paragraf ne vom familiariza cu două abordări pentru rezolvarea acestei probleme.

Să fie definită funcția pe un anumit interval, cu posibila excepție a punctului. În literatura educațională este general acceptat că funcția acolo Nu definit:

Această alegere subliniază esenţa limitei unei funcţii: "X" infinit de aproape abordări, iar valorile corespunzătoare ale funcției sunt infinit de aproape La . Cu alte cuvinte, conceptul de limită nu implică „abordare exactă” a punctelor, ci anume aproximare infinit de apropiată, nu contează dacă funcția este definită la punct sau nu.

Prima definiție a limitei unei funcții, nu este surprinzător, este formulată folosind două secvențe. În primul rând, conceptele sunt legate și, în al doilea rând, limitele funcțiilor sunt de obicei studiate după limitele secvențelor.

Luați în considerare succesiunea puncte (nu pe desen), aparținând intervalului și diferit de, care converge La . Apoi, valorile funcției corespunzătoare formează, de asemenea, o secvență numerică, ai cărei membri sunt localizați pe axa ordonatelor.

Limita unei funcții după Heine pentru orice succesiuni de puncte (aparținând și diferit de), care converge către punctul , secvența corespunzătoare de valori ale funcției converge către .

Eduard Heine este un matematician german. ...Si nu e nevoie sa gandesti asa ceva, exista un singur gay in Europa - Gay-Lussac =)

A fost creată a doua definiție a limitei... da, da, ai dreptate. Dar mai întâi, să înțelegem designul său. Luați în considerare o vecinătate arbitrară a punctului cartier („negru”). Pe baza paragrafului anterior, intrarea înseamnă că ceva valoare funcția este situată în cartierul „epsilon”.

Acum găsim vecinătatea care corespunde cartierului dat (desenați mental linii punctate negre de la stânga la dreapta și apoi de sus în jos). Rețineți că valoarea este selectată de-a lungul segmentului mai mic, în acest caz - de-a lungul segmentului mai scurt din stânga. Mai mult decât atât, vecinătatea „zmeură” a unui punct poate fi chiar redusă, deoarece în următoarea definiție însuşi faptul existenţei este important acest cartier. Și, în mod similar, notația înseamnă că o anumită valoare se află în cartierul „deltă”.

Limita funcției Cauchy: un număr se numește limita unei funcții într-un punct dacă pentru orice preselectate Cartier (oricât de mic vrei), există- vecinătatea punctului, ASTFEL DE, că: CA NUMAI valori (aparținând) incluse în acest domeniu: (săgeți roșii)– DECI IMMEDIAT, valorile funcției corespunzătoare sunt garantate să intre în vecinătatea -: (săgeți albastre).

Trebuie să vă avertizez că, de dragul clarității, am improvizat puțin, așa că nu exagerați =)

Intrare scurtă: , dacă

Care este esența definiției? Figurat vorbind, prin scăderea infinită a vecinătății, „însoțem” valorile funcției până la limita lor, lăsându-le nicio alternativă la abordarea altundeva. Destul de neobișnuit, dar din nou strict! Pentru a înțelege pe deplin ideea, recitiți din nou formularea.

! Atenţie: dacă trebuie doar să formulezi Definiția lui Heine sau doar Definiție Cauchy te rog nu uita semnificativ comentarii preliminare: „Luați în considerare o funcție care este definită pe un anumit interval, cu posibila excepție a unui punct”. Am spus asta o dată la început și nu am repetat-o ​​de fiecare dată.

Conform teoremei corespunzătoare de analiză matematică, definițiile Heine și Cauchy sunt echivalente, dar a doua opțiune este cea mai faimoasă (încă ar fi!), care se mai numește și „limită de limbă”:

Exemplul 4

Folosind definiția limitei, demonstrați că

Soluţie: funcția este definită pe întreaga linie numerică, cu excepția punctului. Folosind definiția, demonstrăm existența unei limite la un punct dat.

Notă : valoarea cartierului „delta” depinde de „epsilon”, de unde denumirea

Sa luam in considerare arbitrar-împrejurimi. Sarcina este să folosiți această valoare pentru a verifica dacă există oare-împrejurimi, ASTFEL DE, care din inegalitate urmează inegalitatea .

Presupunând că , transformăm ultima inegalitate:
(a extins trinomul pătratic)

Definiție 1. Lasă E- un număr infinit. Dacă vreun cartier conţine puncte din mulţime E, diferit de punct A, Acea A numit final punctul setului E.

Definiție 2. (Heinrich Heine (1821-1881)). Lasă funcția
definite pe platou XȘi A numit limită funcții
la punct (sau când
, dacă pentru orice succesiune de valori ale argumentului
, convergând către , secvența corespunzătoare de valori ale funcției converge către număr A. Ei scriu:
.

Exemple. 1) Funcție
are o limită egală cu Cu, în orice punct al liniei numerice.

Într-adevăr, pentru orice punct și orice succesiune de valori ale argumentului
, convergând către și constând din alte numere decât , secvența corespunzătoare de valori ale funcției are forma
, și știm că această secvență converge către Cu. De aceea
.

2) Pentru funcție

.

Acest lucru este evident, pentru că dacă
, apoi
.

3) Funcția Dirichlet
nu are limită în niciun moment.

Într-adevăr, să
Și
, si tot - numere rationale. Apoi
pentru toți n, De aceea
. Dacă
Și asta e tot sunt numere iraționale, atunci
pentru toți n, De aceea
. Vedem că nu sunt îndeplinite, așadar, condițiile Definiției 2
nu exista.

4)
.

Într-adevăr, să luăm o secvență arbitrară
, convergând către

numărul 2. Apoi . Q.E.D.

Definiție 3. (Cauchy (1789-1857)). Lasă funcția
definite pe platou XȘi este punctul limită al acestui set. Număr A numit limită funcții
la punct (sau când
, dacă pentru vreunul
vor exista
, astfel încât pentru toate valorile argumentului X, satisfacerea inegalitatii

,

inegalitatea este adevărată

.

Ei scriu:
.

Definiția lui Cauchy poate fi dată și folosind cartiere, dacă observăm că , a:

lasa sa functioneze
definite pe platou XȘi este punctul limită al acestui set. Număr A numită limită funcții
la punct , dacă pentru vreunul -vecinatatea unui punct A
există unul străpuns - vecinătatea unui punct
,astfel încât
.

Este util să ilustrați această definiție cu un desen.

Exemplu 5.
.

Într-adevăr, să luăm
la întâmplare și găsiți
, astfel încât pentru toată lumea X, satisfacerea inegalitatii
inegalitatea este valabilă
. Ultima inegalitate este echivalentă cu inegalitatea
, așa că vedem că este suficient să luați
. Afirmația a fost dovedită.

Corect

Teorema 1. Definițiile limitei unei funcții după Heine și după Cauchy sunt echivalente.

Dovada. 1) Lasă
potrivit lui Cauchy. Să demonstrăm că același număr este și o limită după Heine.

Hai sa luam
arbitrar. Conform Definiției 3 există
, astfel încât pentru toată lumea
inegalitatea este valabilă
. Lăsa
– o succesiune arbitrară astfel încât
la
. Apoi există un număr N astfel încât pentru toată lumea
inegalitatea este valabilă
, De aceea
pentru toți
, adică

după Heine.

2) Lasă acum
după Heine. Să demonstrăm asta
iar conform lui Cauchy.

Să presupunem contrariul, adică. Ce
potrivit lui Cauchy. Apoi există
astfel încât pentru oricine
vor exista
,
Și
. Luați în considerare succesiunea
. Pentru cele specificate
și orice n există

Și
. Înseamnă că
, Cu toate că
, adică număr A nu este limita
la punct după Heine. Am obținut o contradicție, care dovedește afirmația. Teorema a fost demonstrată.

Teorema 2 (cu privire la unicitatea limitei). Dacă există o limită a unei funcții într-un punct , atunci el este singurul.

Dovada. Dacă o limită este definită conform lui Heine, atunci unicitatea ei decurge din unicitatea limitei secvenței. Dacă o limită este definită după Cauchy, atunci unicitatea ei rezultă din echivalența definițiilor unei limite după Cauchy și după Heine. Teorema a fost demonstrată.

Similar cu criteriul Cauchy pentru secvențe, criteriul Cauchy pentru existența unei limite a unei funcții este valabil. Înainte de a-l formula, să dăm

Definiție 4. Se spune că funcția
satisface conditia Cauchy la punct , dacă pentru vreunul
există

, astfel încât
Și
, inegalitatea este valabilă
.

Teorema 3 (Criteriul Cauchy pentru existența unei limite). Pentru functia
avut la punct limită finită, este necesar și suficient ca în acest moment funcția să satisfacă condiția Cauchy.

Dovada.Necesitate. Lăsa
. Trebuie să dovedim asta
satisface la punct Starea Cauchy.

Hai sa luam
în mod arbitrar şi pus
. Prin definiția limitei pentru există
, astfel încât pentru orice valori
, satisfacerea inegalităţilor
Și
, inegalitățile sunt satisfăcute
Și
. Apoi

Necesitatea a fost dovedită.

Adecvarea. Lasă funcția
satisface la punct Starea Cauchy. Trebuie să dovedim că are la punct limita finala.

Hai sa luam
arbitrar. Prin definiție există 4
, astfel încât din inegalităţi
,
urmează că
- acesta este dat.

Să arătăm mai întâi asta pentru orice secvență
, convergând către , ulterior
valorile funcției converg. Într-adevăr, dacă
, apoi, în virtutea definirii limitei succesiunii, pentru un dat
există un număr N, astfel încât pentru orice

Și
. Deoarece
la punct satisface conditia Cauchy, avem
. Apoi, după criteriul Cauchy pentru secvențe, secvența
converge. Să arătăm că toate astfel de secvențe
converg la aceeași limită. Să presupunem contrariul, adică. care sunt secvențele
Și
,
,
, astfel încât. Să luăm în considerare succesiunea. Este clar că converge către , așadar, prin cele dovedite mai sus, șirul converge, ceea ce este imposibil, întrucât subsecvențele
Și
au limite diferite Și . Contradicția rezultată arată că =. Prin urmare, după definiția lui Heine, funcția are punctul limita finala. Suficiența și, prin urmare, teorema, a fost demonstrată.

Aici ne vom uita la definiția limitei finite a unei secvențe. Cazul unei secvențe care converge către infinit este discutat la pagina „Definiția unei secvențe infinit de mare”.

Definiție .
(xn), dacă pentru orice număr pozitiv ε > 0 există un număr natural N ε care depinde de ε astfel încât pentru toate numerele naturale n > N ε inegalitatea
| x n - a|< ε .
Limita secvenței se notează după cum urmează:
.
Sau la .

Să transformăm inegalitatea:
;
;
.

Se numește un interval deschis (a - ε, a + ε). ε - vecinătatea punctului a.

Se numește o secvență care are o limită succesiune convergentă. Se mai spune că succesiunea converge la a. Se numește o secvență care nu are limită divergente.

Din definiție rezultă că, dacă o secvență are o limită a, indiferent de ce vecinătate ε a punctului a alegem, în afara acesteia poate exista doar un număr finit de elemente ale șirului, sau deloc (mulțimea goală) . Și orice vecinătate ε conține un număr infinit de elemente. De fapt, având dat un anumit număr ε, avem astfel numărul . Deci toate elementele șirului cu numere , prin definiție, sunt situate în vecinătatea ε a punctului a . Primele elemente pot fi localizate oriunde. Adică, în afara vecinătății ε nu pot exista mai mult decât elemente - adică un număr finit.

De asemenea, observăm că diferența nu trebuie să tindă monoton spre zero, adică să scadă tot timpul. Poate tinde spre zero nemonoton: poate fie să crească, fie să scadă, având maxime locale. Cu toate acestea, aceste maxime, pe măsură ce n crește, ar trebui să tindă spre zero (posibil și nu în mod monoton).

Folosind simbolurile logice ale existenței și universalității, definiția unei limite poate fi scrisă după cum urmează:
(1) .

Determinarea faptului că a nu este o limită

Acum luați în considerare afirmația inversă că numărul a nu este limita șirului.

Numărul a nu este limita secvenței, dacă există astfel încât pentru orice număr natural n există un astfel de m natural > n, Ce
.

Să scriem această afirmație folosind simboluri logice.
(2) .

Afirmați că numărul a nu este limita secvenței, înseamnă că
puteți alege un astfel de ε - vecinătate a punctului a, în afara căruia va exista un număr infinit de elemente ale secvenței.

Să ne uităm la un exemplu. Să fie dată o succesiune cu un element comun
(3)
Orice vecinătate a unui punct conține un număr infinit de elemente. Totuși, acest punct nu este limita secvenței, deoarece orice vecinătate a punctului conține și un număr infinit de elemente. Să luăm ε - o vecinătate a unui punct cu ε = 1 . Acesta va fi intervalul (-1, +1) . Toate elementele cu excepția primului cu n par aparțin acestui interval. Dar toate elementele cu n impar sunt în afara acestui interval, deoarece satisfac inegalitatea x n > 2 . Deoarece numărul de elemente impare este infinit, va exista un număr infinit de elemente în afara vecinătății alese. Prin urmare, punctul nu este limita secvenței.

Acum vom arăta acest lucru, respectând cu strictețe declarația (2). Punctul nu este o limită a șirului (3), deoarece există astfel încât, pentru orice n natural, există unul impar pentru care inegalitatea este valabilă.
.

De asemenea, se poate demonstra că orice punct a nu poate fi o limită a acestei secvențe. Putem alege întotdeauna un ε - vecinătate a punctului a care nu conține nici punctul 0, nici punctul 2. Și apoi în afara vecinătății alese va exista un număr infinit de elemente ale șirului.

Definiție echivalentă

Putem da o definiție echivalentă a limitei unei secvențe dacă extindem conceptul de ε - vecinătate. Vom obține o definiție echivalentă dacă, în loc de o vecinătate ε, conține orice vecinătate a punctului a.

Determinarea vecinătăţii unui punct
Vecinătatea punctului a se numeste orice interval deschis care contine acest punct. Matematic, vecinătatea este definită astfel: , unde ε 1 și ε 2 - numere pozitive arbitrare.

Atunci definirea limitei va fi următoarea.

Definiție echivalentă a limitei secvenței
Numărul a se numește limita secvenței, dacă pentru orice vecinătate a acestuia există un număr natural N astfel încât toate elementele șirului cu numere să aparțină acestei vecinătăți.

Această definiție poate fi prezentată și în formă extinsă.

Numărul a se numește limita secvenței, dacă pentru orice numere pozitive și există un număr natural N în funcție de și astfel încât inegalitățile să fie valabile pentru toate numerele naturale
.

Dovada echivalenței definițiilor

Să demonstrăm că cele două definiții ale limitei unei secvențe prezentate mai sus sunt echivalente.

Fie numărul a limita secvenței conform primei definiții. Aceasta înseamnă că există o funcție, astfel încât pentru orice număr pozitiv ε sunt îndeplinite următoarele inegalități:
(4) la .

Să arătăm că numărul a este limita secvenței după a doua definiție. Adică, trebuie să arătăm că există o astfel de funcție încât pentru orice numere pozitive ε 1 și ε 2 sunt satisfăcute următoarele inegalități:
(5) la .

Să avem două numere pozitive: ε 1 și ε 2 . Și să fie ε cel mai mic dintre ei: . Apoi ; ; . Să folosim asta în (5):
.
Dar inegalitățile sunt satisfăcute pentru . Atunci inegalitățile (5) sunt satisfăcute și pentru .

Adică, am găsit o funcție pentru care inegalitățile (5) sunt satisfăcute pentru orice numere pozitive ε 1 și ε 2 .
Prima parte a fost dovedită.

Acum să fie numărul a limita secvenței conform celei de-a doua definiții. Aceasta înseamnă că există o funcție astfel încât pentru orice numere pozitive ε 1 și ε 2 sunt satisfăcute următoarele inegalități:
(5) la .

Să arătăm că numărul a este limita secvenței după prima definiție. Pentru a face acest lucru trebuie să puneți . Atunci când sunt valabile următoarele inegalități:
.
Aceasta corespunde primei definiții cu .
Echivalența definițiilor a fost dovedită.

Exemple

Aici ne vom uita la câteva exemple în care trebuie să demonstrăm că un anumit număr a este limita unei secvențe. În acest caz, trebuie să specificați un număr pozitiv arbitrar ε și să definiți o funcție N de ε astfel încât inegalitatea .

Exemplul 1

Demonstrează că.

(1) .
În cazul nostru ;
.

.
Să folosim proprietățile inegalităților. Atunci dacă și , atunci
.

.
Apoi
la .
Aceasta înseamnă că numărul este limita secvenței date:
.

Exemplul 2

Folosind definiția limitei unei secvențe, demonstrați că
.

Să notăm definiția limitei unei secvențe:
(1) .
În cazul nostru , ;
.

Introduceți numere pozitive și:
.
Să folosim proprietățile inegalităților. Atunci dacă și , atunci
.

Adică, pentru orice pozitiv, putem lua orice număr natural mai mare sau egal cu:
.
Apoi
la .
.

Exemplul 3

.

Introducem notația , .
Să transformăm diferența:
.
Pentru naturala n = 1, 2, 3, ... avem:
.

Să notăm definiția limitei unei secvențe:
(1) .
Introduceți numere pozitive și:
.
Atunci dacă și , atunci
.

Adică, pentru orice pozitiv, putem lua orice număr natural mai mare sau egal cu:
.
în care
la .
Aceasta înseamnă că numărul este limita secvenței:
.

Exemplul 4

Folosind definiția limitei unei secvențe, demonstrați că
.

Să notăm definiția limitei unei secvențe:
(1) .
În cazul nostru , ;
.

Introduceți numere pozitive și:
.
Atunci dacă și , atunci
.

Adică, pentru orice pozitiv, putem lua orice număr natural mai mare sau egal cu:
.
Apoi
la .
Aceasta înseamnă că numărul este limita secvenței:
.

Referinte:
L.D. Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.
CM. Nikolsky. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 1983.