Transformări ale variabilelor aleatoare

Pentru fiecare variabilă aleatoare X determina inca trei marimi - centrate Y, normalizat Vși dat U. Variabilă aleatoare centrată Y este diferența dintre o variabilă aleatoare dată Xși așteptările sale matematice M(X), acestea. Y = X – M(X). Așteptarea unei variabile aleatoare centrate Y este egal cu 0, iar varianța este varianța unei variabile aleatoare date: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). Funcția de distribuție F Y(X) variabilă aleatoare centrată Y legate de funcţia de distribuţie F(X) variabilă aleatoare inițială X raport:

F Y(X) = F(X + M(X)).

Densitățile acestor variabile aleatoare satisfac egalitatea

f Y(X) = f(X + M(X)).

Variabilă aleatorie normalizată V este raportul unei variabile aleatoare date X la abaterea sa standard, adică . Așteptările și varianța unei variabile aleatoare normalizate V exprimate prin caracteristici X Asa de:

,

Unde v– coeficientul de variație al variabilei aleatoare inițiale X. Pentru funcția de distribuție F V(X) si densitate f V(X) variabilă aleatoare normalizată V avem:

Unde F(X) – funcția de distribuție a variabilei aleatoare originale X, A f(X) – densitatea sa de probabilitate.

Variabilă aleatoare redusă U este o variabilă aleatoare centrată și normalizată:

.

Pentru variabila aleatoare dată

Variabile aleatoare normalizate, centrate și reduse sunt utilizate în mod constant atât în ​​studii teoretice, cât și în algoritmi, produse software, documentație de reglementare, tehnică și instrucțională. În special, pentru că egalitățile fac posibilă simplificarea justificării metodelor, formularea de teoreme și formule de calcul.

Se folosesc transformări ale variabilelor aleatoare și altele mai generale. Astfel, dacă Y = topor + b, Unde AȘi b– niște numere, atunci

Exemplul 7. Daca atunci Y este variabila aleatoare redusă, iar formulele (8) se transformă în formule (7).

Cu fiecare variabilă aleatoare X puteți asocia multe variabile aleatoare Y, dat de formula Y = topor + b la diferit A> 0 și b. Acest set se numește familie cu schimbare la scară, generat de variabila aleatoare X. Funcții de distribuție F Y(X) constituie o familie de distribuții cu schimbare la scară generată de funcția de distribuție F(X). În loc de Y = topor + b folosesc adesea înregistrarea

Număr Cu se numește parametrul de schimbare și numărul d- parametrul de scară. Formula (9) arată că X– rezultatul măsurării unei anumite cantități – intră în U– rezultatul măsurării aceleiași mărimi dacă începutul măsurării este mutat la punct Cu, apoi utilizați noua unitate de măsură, în d ori mai mare decât cea veche.

Pentru familia scale-shift (9), distribuția lui X se numește standard. În metodele statistice probabilistice de luare a deciziilor și alte cercetări aplicate, sunt utilizate distribuția normală standard, distribuția standard Weibull-Gnedenko, distribuția gamma standard etc. (vezi mai jos).

Sunt utilizate și alte transformări ale variabilelor aleatoare. De exemplu, pentru o variabilă aleatoare pozitivă X iau în considerare Y= jurnal X, unde lg X– logaritmul zecimal al unui număr X. Lanț de egalități

F Y (x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10X)

conectează funcțiile de distribuție XȘi Y.

CARACTERISTICI RĂSPÂNDIRE

Din caracteristicile poziției - așteptare matematică, mediană, mod - să trecem la caracteristicile răspândirii variabilei aleatoare X. variaţiile D(X)= a 2, abaterea standard a și coeficientul de variație v. Definiția și proprietățile dispersiei pentru variabile aleatoare discrete au fost discutate în capitolul anterior. Pentru variabile aleatoare continue

Abaterea standard este valoarea nenegativă a rădăcinii pătrate a varianței:

Coeficientul de variație este raportul dintre abaterea standard și așteptările matematice:

Coeficientul de variație – folosit când M(X)> O - măsoară răspândirea în unități relative, în timp ce abaterea standard - în unități absolute.

Exemplul 6. Pentru o variabilă aleatoare distribuită uniform X Să găsim dispersia, abaterea standard și coeficientul de variație. Varianta este:

Înlocuire variabilă face posibilă scrierea:

Unde Cu = f - aU2.

Prin urmare, abaterea standard este egală cu iar coeficientul de variație este:

TRANSFORMAREA VARIABILLOR ALEATORII

Pentru fiecare variabilă aleatoare X determina inca trei marimi - centrate Y, normalizat Vși dat U. Variabilă aleatoare centrată Y este diferența dintre o variabilă aleatoare dată Xși așteptările sale matematice M(X), acestea. Y=X - M(X). Așteptarea unei variabile aleatoare centrate Y este egal cu 0, iar varianța este varianța unei variabile aleatoare date:

Funcția de distribuție Fy(x) variabilă aleatoare centrată Y legate de funcţia de distribuţie F(x) a variabilei aleatoare originale X raport:

Densitățile acestor variabile aleatoare satisfac egalitatea

Variabilă aleatorie normalizată V este raportul unei variabile aleatoare date X la abaterea sa standard a, adică V = XIо. Așteptările și varianța unei variabile aleatoare normalizate V exprimate prin caracteristici X Asa de:

unde v este coeficientul de variație al variabilei aleatoare originale X. Pentru funcția de distribuție Fv(x) si densitate fv(x) variabilă aleatoare normalizată V avem:

Unde F(x)- funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare originale X; repara)- densitatea sa de probabilitate.

Variabilă aleatoare redusă U este o variabilă aleatoare centrată și normalizată:

Pentru variabila aleatoare dată

Variabile aleatoare normalizate, centrate și reduse sunt utilizate în mod constant atât în ​​studii teoretice, cât și în algoritmi, produse software, documentație de reglementare, tehnică și instrucțională. În special, pentru că egalitățile M(U) = 0, D(lf) = 1 fac posibilă simplificarea justificării metodelor, formularea teoremelor și formulelor de calcul.

Se folosesc transformări ale variabilelor aleatoare și altele mai generale. Deci, dacă U = aX + b, Unde AȘi b- niște numere, atunci

Exemplul 7. Dacă A= 1/G, b = -M(X)/G, atunci Y este o variabilă aleatoare redusă, iar formulele (8) se transformă în formule (7).

Cu fiecare variabilă aleatoare X este posibil să se asocieze un set de variabile aleatoare Y, date prin formula Y = Oh + b la diferit a > 0 și b. Acest set se numește familie cu schimbare la scară, generat de o variabilă aleatoare X. Funcții de distribuție Fy(x) constituie o familie de distribuții scale-shift generate de funcția de distribuție F(x).În loc de Y = aX + b folosesc adesea înregistrarea

Număr Cu se numește parametrul de schimbare și numărul d- parametrul de scară. Formula (9) arată că X- rezultatul măsurării unei anumite mărimi - intră în K - rezultatul măsurării aceleiași mărimi dacă începutul măsurării este mutat într-un punct Cu,și apoi utilizați noua unitate de măsură, în d ori mai mare decât cea veche.

Pentru familia scale-shift (9), distribuția X numit standard. În metodele statistice probabilistice de luare a deciziilor și alte cercetări aplicate, distribuția normală standard, distribuția standard Weibull-Gnedenko, gama standard

distribuție etc. (vezi mai jos).

Sunt utilizate și alte transformări ale variabilelor aleatoare. De exemplu, pentru o variabilă aleatoare pozitivă X iau în considerare Y = IgX, Unde IgX- logaritmul zecimal al unui număr X. Lanț de egalități

conectează funcțiile de distribuție XȘi Y.

O caracteristică completă a unei variabile aleatoare este legea distribuției. În practică, o astfel de caracteristică nu poate fi întotdeauna obținută din cauza limitărilor rezultatelor experimentale. În aceste cazuri, în locul legilor de distribuție, se folosește o descriere aproximativă a variabilelor aleatoare, care se obține folosind un număr minim de caracteristici non-aleatoare. Numărul acestor caracteristici ar trebui să fie mic, dar ar trebui să reflecte cele mai semnificative caracteristici ale distribuției:

· așteptarea matematică a unei variabile aleatoare;

· dispersie (moment de ordin zero, 1).

Cea mai simplă caracteristică numerică a unei variabile aleatoare discrete X este valoarea medie: , unde este valoarea medie a variabilei aleatoare; N – numărul de teste; - valoarea variabilei aleatoare pe care o ia în N încercări.

Pentru a caracteriza dispersia valorilor unei variabile aleatoare discrete în această serie de experimente, se utilizează diferența pătrată dintre valorile variabilei aleatoare și valoarea medie a acesteia: , unde este dispersia statistică a variabilei aleatoare X În calculele practice, în loc de dispersie, se utilizează abaterea standard: cu cât este mai mică, cu atât valorile variabilei aleatoare sunt mai apropiate de valori grupate în jurul valorii sale medii.

Dacă rezultatele experimentelor sunt caracterizate nu de o variabilă aleatoare, ci de mai multe, atunci pe lângă caracteristicile luate în considerare, se introduc valori care caracterizează gradul de dependență dintre aceste variabile aleatoare. Ca atare caracteristică, de exemplu, pentru 2 variabile aleatoare x și y din această serie de experimente s-a adoptat următoarea valoare: . Egalitatea (4) este un moment de corelație static. Pe măsură ce experimentele cresc, frecvența de apariție a unui anumit eveniment se va apropia de probabilitate. Și media aritmetică va tinde spre așteptările sale matematice: , unde este probabilitatea de apariție a valorii. Astfel, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete X este suma produselor tuturor valorilor sale posibile x și probabilitatea de apariție a acestor valori. , varianța unei variabile aleatoare este așteptarea sa matematică a pătratului abaterii de la această valoare de la așteptarea sa matematică. , unde este variabila aleatoare centrată, , . Momentul corelației: , unde este probabilitatea ca variabila aleatoare X y va lua valori x i, y i, .

Pentru variabile aleatoare continue, așteptarea matematică, dispersia și momentul de corelare se determină prin densitatea: .

Pentru variabile aleatoare independente: atunci , . Conform (9) pentru variabile aleatoare independente, dacă două variabile aleatoare sunt diferite de 0, atunci aceasta indică prezența unei relații între aceste variabile aleatoare. Variabile aleatoare pentru care se numesc variabile aleatoare necorelative. caracterizează nu numai dependența cantităților, ci și dispersia acestora. Dacă, de exemplu, una dintre mărimile X sau Y se abate ușor de la așteptările sale matematice, atunci momentul de corelare va fi mic, indiferent cât de dependente sunt aceste mărimi una de cealaltă.

Pentru a elimina acest dezavantaj, se introduce o caracteristică adimensională, care se numește coeficient de corelație: . Dacă folosim o interpretare mecanică, atunci abscisa poate fi reprezentată ca centru de greutate al figurii, iar dispersia ca momentul de inerție al figurii plate.

Momentele inițiale și centrale ale diferitelor ordine sunt de obicei considerate ca caracteristici numerice ale unui sistem de vector bidimensional aleatoriu (X,Y).

Momentul initial de ordin k+s a unui sistem de două variabile aleatoare (X,Y) sau a unui vector aleator bidimensional este așteptarea matematică a produsului X k cu Y s

a k , s =M (1)

Momentul central de ordin k+s sistem de două variabile aleatoare (X,Y) se numește așteptarea matematică a produsului prin

unde , sunt variabile aleatoare centrate.

Centrat o variabilă aleatoare este abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice.

Pentru un sistem de variabile aleatoare discrete (X,Y) se obține

P(X=x i ,Y=y j )=p ij

Pentru un sistem de variabile aleatoare continue (X,Y)

În ordine momentul inițial (sau central) se numește suma indicilor săi k+s.

Momentele inițiale de ordinul întâi:

a 1,0 = M = M[X] = m x , a 1,0 = m x

a 0,1 = M = m y , a 0,1 = m y (7)

reprezintă așteptările matematice ale variabilelor aleatoare X și Y.

Momentele centrale de ordinul întâi sunt în mod natural egale cu zero.

Momentele inițiale de ordinul doi:

Momente centrale de ordinul doi:

Primele două momente reprezintă varianța, iar al treilea se numește covarianta(sau moment de corelare) variabile aleatoare (X,Y), notate cu K xy:

Prin definiția covarianței

Kxy = Kyx (11)

acestea. Când indicii sunt schimbați, covarianța nu se modifică.

Varianta variabilelor aleatoare poate fi considerată un caz special de covarianță:

acestea. dispersia variabilelor aleatoare nu este altceva decât „covarianța sa cu ea însăși”. (Pentru variabile aleatoare independente, covarianța este 0. Demonstrați-o singur).

Este convenabil să exprimăm covarianța K xy în termenii momentelor inițiale de ordine inferioară:

K xy =a 1,1 -a 1,0 ×a 0,1 sau K xy =M-M[X]×M[Y] (13)

Este util să ne amintim această formulă: covarianța a două variabile aleatoare este egală cu valoarea așteptată a produsului lor minus produsul valorilor lor așteptate.

Covarianța caracterizează nu numai gradul de dependență al variabilelor aleatoare, ci și dispersia lor în jurul punctului (m x ,m y).

Dimensiunea covarianței este egală cu produsul dimensiunilor variabilelor aleatoare X și Y. Pentru a obține o mărime adimensională care caracterizează doar dependența, covarianța se împarte la produsul r.s. s x s y .

r xy =K xy /s x s y (14)

Se numește cantitatea r xy coeficient de corelație variabile aleatoare X și Y. Acest coeficient caracterizează doar gradul liniar dependențe ale acestor cantități. Dependența se manifestă prin faptul că atunci când o variabilă aleatoare crește, cealaltă tinde să crească și ea (sau să scadă). În primul caz, r xy >0 și variabilele aleatoare X și Y se spune că sunt corelate pozitiv; în al doilea, r xy<0, и корреляция отрицательна.

Pentru orice variabile aleatoare X și Y

Dacă covarianța a două variabile aleatoare este zero: K xy =0, atunci variabilele aleatoare X și Y se numesc necorelat, dacă K xy ¹0, atunci corelat.

Din independența variabilelor aleatoare rezultă că acestea sunt necorelate; dar din necorelarea variabilelor aleatoare (r xy =0) încă nu rezultă independenţa acestora. Dacă r xy =0, aceasta înseamnă doar lipsa conexiunii liniareîntre variabile aleatoare; poate fi prezent orice alt tip de conexiune.

Diferența dintre o variabilă aleatoare și așteptarea ei matematică se numește abatere sau variabilă aleatoare centrată:

Seria de distribuție a unei variabile aleatoare centrate are forma:

X  M(X)	X 1  M(X)	X 2  M(X)		X n  M(X)
	R 1	p 2		R n

Proprietăți variabilă aleatoare centrată:

1. Așteptarea matematică a abaterii este 0:

2. Varianta abaterii unei variabile aleatoare X din așteptările sale matematice este egală cu varianța variabilei aleatoare X însăși:

Cu alte cuvinte, varianța unei variabile aleatoare și varianța abaterii acesteia sunt egale.

4.2. Dacă abatere X M(X)împărțiți cu abaterea standard  (X), atunci obținem o variabilă aleatoare centrată adimensională, care se numește variabilă aleatoare standard (normalizată).:

Proprietăți variabilă aleatoare standard:

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare standard este zero: M(Z) =0.

Varianta unei variabile aleatoare standard este 1: D(Z) =1.

SARCINI PENTRU SOLUȚIE INDEPENDENTĂ

La loteria pentru 100 de bilete se trag două lucruri, al căror cost este de 210 și 60 USD. Întocmește o lege de repartizare a câștigurilor pentru o persoană care are: a) 1 bilet, b) 2 bilete. Găsiți caracteristici numerice.

Doi trăgători împușcă o dată într-o țintă. Valoare aleatoare X– numărul de puncte marcate într-o singură lovitură de primul trăgător – are o lege de distribuție:

Z– suma punctelor înscrise de ambii trăgători. Determinați caracteristicile numerice.

Doi trăgători împușcă în ținta lor, trăgând câte o lovitură, fiecare independent unul de celălalt. Probabilitatea de a lovi ținta pentru primul trăgător este de 0,7, pentru al doilea - 0,8. Valoare aleatoare X 1 – numărul de lovituri de către primul trăgător, X 2 - numărul de lovituri ale celui de-al doilea trăgător. Aflați legea distribuției: a) numărul total de hit-uri; b) variabilă aleatoare Z=3X 1  2X 2 . Determinați caracteristicile numerice ale numărului total de accesări. Verificați îndeplinirea proprietăților așteptării și dispersiei matematice: M(3 X  2 Y)=3 M(X)  2 M(Y), D(3 X  2 Y)=9 D(X)+4 D(Y).

Valoare aleatoare X– veniturile companiei – are o lege de distribuție:

Găsiți legea distribuției pentru o variabilă aleatoare Z- profitul companiei. Determinați caracteristicile sale numerice.

Variabile aleatoare XȘi U independent și au aceeași lege de distribuție:

Sens

Variabilele aleatoare au aceleași legi de distribuție? XȘi X + U ?

Demonstrați că așteptarea matematică a unei variabile aleatoare standard este egală cu zero și varianța este egală cu 1.