INTRODUCERE

Manualul metodologic este destinat profesorilor de matematică din școlile tehnice, precum și studenților din anul II de toate specialitățile.

Această lucrare prezintă conceptele de bază ale teoriei seriilor. Materialul teoretic îndeplinește cerințele standardului educațional de stat pentru învățământul profesional secundar (Ministerul Educației al Federației Ruse. M., 2002).

Prezentarea materialului teoretic pe întreaga temă este însoțită de luarea în considerare a unui număr mare de exemple și probleme și se desfășoară într-un limbaj accesibil, cât mai strict posibil. La sfârșitul manualului există exemple și sarcini pe care elevii le pot îndeplini în modul de autocontrol.

Manualul este destinat studenților cu normă parțială și cu normă întreagă.

Ținând cont de nivelul de pregătire al elevilor din școlile tehnice, precum și de numărul extrem de limitat de ore (12 ore + 4 lbs.) alocat de programul pentru promovarea matematicii superioare în școlile tehnice, concluzii stricte, care pun mari dificultăți de asimilare , sunt omise, limitându-ne la luarea în considerare a exemplelor.

NOȚIUNI DE BAZĂ

Rezolvarea unei probleme prezentate în termeni matematici, de exemplu, sub forma unei combinații de diferite funcții, derivatele și integralele lor, trebuie să fie capabilă să „o aducă la un număr”, care servește cel mai adesea drept răspuns final. În acest scop, au fost dezvoltate diverse metode în diferite ramuri ale matematicii.

Ramura matematicii care vă permite să rezolvați orice problemă bine pusă cu suficientă precizie pentru utilizare practică se numește teoria serii.

Chiar dacă unele concepte subtile de analiză matematică au apărut în afara conexiunii cu teoria seriilor, ele au fost imediat aplicate serii, care au servit ca instrument de testare a semnificației acestor concepte. Această situație continuă și astăzi.

Exprimarea formei

unde ;;;…;;… sunt membri ai seriei; - al n-lea sau termen comun al unei serii, se numește o serie (serie) infinită.

Dacă membrii seriei:

I. Seria de numere

1.1. Concepte de bază ale seriei de numere.

O serie de numere este o sumă a formei

, (1.1)

unde ,,,…,,…, numiți membri ai seriei, formează o succesiune infinită; termenul se numește termenul comun al seriei.

compuse din primii termeni ai seriei (1.1) se numesc sume parțiale ale acestei serii.

Fiecare rând poate fi asociat cu o succesiune de sume parțiale .

Dacă, cu o creștere infinită a numărului n Dacă suma parțială a unei serii tinde spre limită, atunci seria se numește convergentă, iar numărul se numește suma unei serii convergente, adică.

Această intrare este echivalentă cu

.

Dacă suma parțială a seriei (1.1) cu creștere nelimitată n nu are o limită finită (tinde spre sau ), atunci se numește o astfel de serie divergente .

Dacă rândul convergent , apoi valoarea pentru un suficient de mare n este o expresie aproximativă pentru suma seriei S.

Diferența se numește restul seriei. Dacă o serie converge, atunci restul ei tinde spre zero, adică și invers, dacă restul tinde către zero, atunci seria converge.

1.2. Exemple de serii de numere.

Exemplul 1. Seria formularului

(1.2)

numit geometric .

O serie geometrică este formată din termenii unei progresii geometrice.

Se știe că suma primului său n membrii Evident: asta n- a-a sumă parțială a seriei (1.2).

Cazuri posibile:

Seria (1.2) ia forma:

,seria diverge;

Seria (1.2) ia forma:

Nu are limită, seria diverge.

- un număr finit, seria converge.

- seria diverge.

Deci, această serie converge la și diverge la .

Exemplul 2. Seria formularului

(1.3)

numit armonic .

Să notăm suma parțială a acestei serii:

Suma este mai mare decât suma prezentată după cum urmează:

sau .

Daca atunci , sau .

Prin urmare, dacă , atunci , i.e. seria armonică diverge.

Exemplul 3. Seria formularului

(1.4)

numit armonică generalizată .

Dacă , atunci această serie se transformă într-o serie armonică, care este divergentă.

Dacă , atunci termenii acestei serii sunt mai mari decât termenii corespunzători ai seriei armonice și, prin urmare, diverge. Când avem o serie geometrică în care ; este convergent.

Deci, seria armonică generalizată converge la și diverge la .

1.3. Criterii necesare și suficiente pentru convergență.

Un semn necesar de convergență a unei serii.

O serie poate converge numai dacă termenul său comun tinde spre zero pe măsură ce numărul crește la nesfârșit: .

Dacă , atunci seria diverge – acesta este un semn suficient al divergenței seriei.

Semne suficiente de convergență a unei serii cu termeni pozitivi.

Un semn pentru compararea serii cu termeni pozitivi.

Seria studiată converge dacă termenii ei nu depășesc termenii corespunzători unei alte serii, evident convergente; seria studiată diverge dacă membrii ei depășesc membrii corespunzători ai altei serii, evident divergente.

semnul lui D'Alembert.

Dacă pentru o serie cu termeni pozitivi

condiția este îndeplinită, apoi seria converge la și diverge la .

Testul lui D'Alembert nu dă un răspuns dacă . În acest caz, se folosesc alte tehnici pentru a studia seria.

Exerciții.

Scrieți o serie pe baza termenului comun dat:

Presupunând ,,,…, avem o succesiune infinită de numere:

Adăugând termenii săi, obținem seria

.

Făcând același lucru, obținem seria

.

Dând valorile 1,2,3,... și ținând cont de faptul că,,,..., obținem seria

.

Găsi n- al-lea membru al seriei conform primilor săi membri:

Numitorii termenilor seriei, începând de la primul, sunt numere pare; prin urmare, n- Al treilea termen al seriei are forma .

Număratorii membrilor seriei formează o serie naturală de numere, iar numitorii lor corespunzători formează o serie naturală de numere, iar numitorii corespunzători formează o serie naturală de numere, începând de la 3. Semnele alternează conform legii sau conform legii. la lege. Mijloace, n- al treilea termen al seriei are forma . sau .

Investigați convergența seriei folosind testul de convergență și testul de comparație necesar:

;

.

Găsim .

Este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența unei serii, dar pentru a rezolva problema convergenței este necesar să se aplice unul dintre criteriile suficiente pentru convergență. Să comparăm această serie cu seria geometrică

,

care converge, din moment ce.

Comparând termenii acestei serii, începând de la a doua, cu termenii corespunzători ai seriei geometrice, se obțin inegalitățile

acestea. termenii acestei serii, începând cu a doua, sunt în mod corespunzător mai mici decât termenii seriei geometrice, ceea ce înseamnă că această serie converge.

.

Aici este satisfăcut un criteriu suficient pentru divergența unei serii; prin urmare, seria diverge.

Găsim .

Este îndeplinit criteriul necesar pentru ca seria să converge. Să comparăm această serie cu seria armonică generalizată

,

care converge, întrucât, deci, converge şi seria dată.

Investigați convergența seriei folosind testul lui d'Alembert:

;

.

Înlocuind în schimb termenul comun al seriei n număr n+ 1, obținem. Să găsim limita raportului dintre termenul al treilea și n- membru mu la:

Prin urmare, această serie converge.

Aceasta înseamnă că această serie diverge.

Acestea. rândul diverge.

II. Serii alternante

2.1 Conceptul de serie alternantă.

Seria de numere

numit semn alternant , dacă printre membrii săi există atât numere pozitive, cât și numere negative.

Se numește seria de numere semnalul alternant , dacă oricare doi termeni alăturați au semne opuse.

unde pentru toți (adică o serie ai cărei termeni pozitivi și negativi se succed pe rând). De exemplu,

;

;

.

Pentru seriile cu semne alternante, există un semn suficient de convergență (stabilit în 1714 de Leibniz într-o scrisoare către I. Bernoulli).

2.2 Testul lui Leibniz. Convergența absolută și condiționată a seriei.

Teoremă (testul Leibniz).

O serie alternativă converge dacă:

Secvența valorilor absolute a termenilor seriei scade monoton, adică. ;

Termenul general al seriei tinde spre zero:.

În acest caz, suma S a seriei satisface inegalitățile

Note.

Studiul unei serii alternante a formei

(cu un prim termen negativ) se reduce prin înmulțirea tuturor termenilor săi cu a studia seria .

Se numesc seriile pentru care sunt îndeplinite condiţiile teoremei lui Leibniz Leibnizian (sau seria Leibniz).

Raportul ne permite să obținem o estimare simplă și convenabilă a erorii pe care o facem la înlocuirea sumei S dintr-o serie dată prin suma sa parțială.

Seria aruncată (restul) este, de asemenea, o serie alternativă , a căror sumă în modul este mai mică decât primul termen din această serie, adică prin urmare, eroarea este mai mică decât modulul primului dintre termenii aruncați.

Exemplu. Calculați aproximativ suma seriei.

Rezolvare: această serie este de tip Leibniz. Se potriveste. Poti sa scrii:

.

Luând cinci membri, i.e. înlocuibil

Să facem o greșeală mai mică

Cum . Asa de,.

Pentru serii alternante, este valabil următorul criteriu general suficient pentru convergență.

Teorema. Să fie dată o serie alternativă

Dacă seria converge

compus din modulele termenilor unei serii date, apoi seria alternantă în sine converge.

Testul de convergență Leibniz pentru serii alternante de semne servește drept criteriu suficient pentru convergența serii alternative de semne.

Se numește o serie alternativă absolut convergente , dacă o serie compusă din valorile absolute ale membrilor săi converge, i.e. Fiecare serie absolut convergentă este convergentă.

Dacă o serie alternativă converge, dar o serie compusă din valorile absolute ale termenilor săi diverge, atunci această serie se numește conditionat (nu absolut) convergent.

2.3. Exerciții.

Examinați pentru convergență (absolută sau condiționată) seria alternativă:

Și

Prin urmare, după criteriul lui Leibniz, seria converge. Să aflăm dacă această serie converge absolut sau condiționat.

Rând , compus din valorile absolute ale unei serii date, este o serie armonică care diverge. Prin urmare, această serie converge condiționat.

Termenii acestei serii scad monoton în valoare absolută:

, Dar

.

Seria diverge deoarece testul lui Leibniz nu este valabil.

Folosind testul lui Leibniz, obținem

;,

acestea. seria converge.

.

Aceasta este o serie geometrică a formei unde, care converge. Prin urmare, această serie converge absolut.

Folosind testul lui Leibniz, avem

;

, adică seria converge.

Să luăm în considerare o serie alcătuită din valorile absolute ale termenilor acestei serii:

, sau

.

Aceasta este o serie armonică generalizată care diverge deoarece. Prin urmare, această serie converge condiționat.

III. Gama funcțională

3.1. Conceptul de serie funcțională.

Se numește o serie ai cărei membri sunt funcții funcţional :

Dând o anumită valoare, obținem o serie de numere

care pot fi fie convergente, fie divergente.

Dacă seria de numere rezultată converge, atunci punctul este numit punct de convergență gamă funcțională; dacă seria diverge - punct de divergenta gamă funcțională.

Setul de valori numerice ale argumentului la care converge seria funcțională se numește ei zona de convergenta .

În regiunea de convergență a unei serii funcționale, suma acesteia este o funcție a:.

Este definită în regiunea de convergență prin egalitate

, Unde

Suma parțială a unei serii.

Exemplu. Găsiți aria de convergență a seriei.

Soluţie. Această serie este o serie de progresie geometrică cu numitor. În consecință, această serie converge la , i.e. în fața tuturor; suma seriei este ;

, la .

3.2. Serie de puteri.

O serie de putere este o serie a formei

,

unde sunt numerele sunt numite coeficienții seriei , iar termenul este un termen comun al seriei.

Regiunea de convergență a unei serii de puteri este mulțimea tuturor valorilor pentru care seria converge.

Numărul este sunat raza de convergenta serie de puteri, dacă seria converge și, în plus, absolut, iar seria diverge.

Să găsim raza de convergență folosind semnul lui d'Alembert:

(nu depinde de)

acestea. dacă seria de puteri converge pentru oricare care satisface această condiție și diverge pentru .

Rezultă că dacă există o limită

,

atunci raza de convergență a seriei este egală cu această limită și seria de puteri converge la , i.e. în intervalul numit interval (interval) de convergenţă.

Dacă , atunci seria de puteri converge într-un singur punct.

La sfârșitul intervalului, seria poate converge (absolut sau condiționat), dar poate și diverge.

Convergența unei serii de puteri la și este studiată folosind oricare dintre testele de convergență.

3.3. Exerciții.

Găsiți aria de convergență a seriei:

Soluţie. Să găsim raza de convergență a acestei serii:

.

În consecință, această serie converge absolut pe întreaga linie numerică.

Soluţie. Să folosim semnul lui d'Alembert. Pentru aceasta serie avem:

.

Seria este absolut convergentă dacă sau . Să studiem comportamentul seriei la capetele intervalului de convergență.

Când avem serialul

Când avem serialul - aceasta este și o serie Leibniz convergentă. În consecință, regiunea de convergență a seriei originale este un segment.

Soluţie. Să găsim raza de convergență a seriei:

În consecință, seria converge la, i.e. la.

Luăm serialul , care converge după criteriul Leibniz.

Luăm o serie divergentă

.

În consecință, regiunea de convergență a seriei originale este intervalul.

IV. Extinderea funcțiilor elementare în seria Maclaurin.

Pentru aplicații, este important să puteți extinde această funcție într-o serie de puteri, de exemplu. reprezintă funcția ca sumă a unei serii de puteri.

O serie Taylor pentru o funcție este o serie de puteri de forma

Dacă , atunci obținem un caz special al seriei Taylor

Care e numit lângă Maclaurin .

O serie de puteri în intervalul său de convergență poate fi diferențiată termen cu termen și integrată de câte ori se dorește, iar seria rezultată are același interval de convergență ca și seria originală.

Două serii de puteri pot fi adăugate și înmulțite termen cu termen conform regulilor de adunare și înmulțire a polinoamelor. În acest caz, intervalul de convergență al seriei noi rezultate coincide cu partea generală a intervalelor de convergență ale seriei originale.

Pentru a extinde o funcție într-o serie Maclaurin este necesar:

Calculați valorile funcției și derivatele sale succesive la punctul, adică,,,…,;

Compuneți o serie Maclaurin prin înlocuirea valorilor funcției și a derivatelor sale succesive în formula seriei Maclaurin;

Găsiți intervalul de convergență al seriei rezultate folosind formula

, .

Exemplul 1. Extindeți funcția într-o serie Maclaurin.

Soluţie. Deoarece , apoi, înlocuind cu în expansiune, obținem:

Exemplul 2. Scrieți seria Maclaurin a funcției .

Soluţie. Din moment ce , folosind formula în care înlocuim cu , obținem:

,

Exemplul 3. Extindeți funcția într-o serie Maclaurin.

Soluţie. Să folosim formula. Deoarece

, apoi înlocuind cu obținem:

, sau

unde, adica .

V. Sarcini practice pentru autocontrolul elevilor.

Folosind testul pentru compararea seriilor, stabiliți convergența

converge condiționat;

converge condiționat;

converge absolut.

;

;

VII. Referință istorică.

Rezolvarea multor probleme se reduce la calcularea valorilor funcțiilor și integralelor sau rezolvarea ecuațiilor diferențiale care conțin derivate sau diferențiale de funcții necunoscute.

Cu toate acestea, executarea exactă a acestor operații matematice se dovedește în multe cazuri a fi foarte dificilă sau imposibilă. În aceste cazuri, este posibil să se obțină o soluție aproximativă a multor probleme cu orice precizie dorită folosind seriale.

Seriile sunt un instrument simplu și avansat de analiză matematică pentru calculul aproximativ al funcțiilor, integralelor și soluțiilor ecuațiilor diferențiale.

Și rândul funcțional din dreapta.

Pentru a înlocui semnul „” cu un semn egal, este necesar să se efectueze câteva considerații suplimentare legate în mod specific de infinitatea numărului de termeni din partea dreaptă a egalității și cu privire la regiunea de convergență a seriei.

Când formula Taylor ia forma în care se numește formula Maclaurin:

Colin Maclaurin (1698 – 1746), un student al lui Newton, în lucrarea sa „Treatise on Fluxions” (1742) a stabilit că seria de puteri care exprimă o funcție analitică este singura, și va fi seria Taylor generată de o astfel de funcție. . În formula binomială Newton, coeficienții puterilor sunt valorile, unde .

Deci, rândurile au apărut în secolul al XVIII-lea. ca modalitate de reprezentare a funcţiilor care permit diferenţierea infinită. Cu toate acestea, funcția reprezentată de o serie nu a fost numită suma ei și, în general, la acel moment nu era încă determinată care este suma unei serii numerice sau funcționale; au existat doar încercări de a introduce acest concept.

De exemplu, L. Euler (1707-1783), după ce a scris seria de puteri corespunzătoare pentru o funcție, a dat variabilei o valoare specifică. Rezultatul a fost o serie de numere. Euler a considerat că suma acestei serii este valoarea funcției originale la punctul. Dar acest lucru nu este întotdeauna adevărat.

Oamenii de știință au început să realizeze că o serie divergentă nu are sumă doar în secolul al XIX-lea, deși în secolul al XVIII-lea. mulți, și mai ales L. Euler, au lucrat mult la conceptele de convergență și divergență. Euler a numit o serie convergentă dacă termenul său comun tinde spre zero ca .

În teoria seriilor divergente, Euler a obținut multe rezultate semnificative, dar aceste rezultate nu și-au găsit aplicație mult timp. În 1826 N.G. Abel (1802 – 1829) a numit seria divergentă „invenția diavolului”. Rezultatele lui Euler au fost fundamentate abia la sfârșitul secolului al XIX-lea.

Omul de știință francez O.L. a jucat un rol major în formarea conceptului de sumă a unei serii convergente. Cauchy (1789 – 1857); a făcut o sumă enormă nu numai în teoria seriilor, ci și în teoria limitelor, în dezvoltarea însuși conceptului de limită. În 1826 Cauchy a afirmat că o serie divergentă nu are sumă.

În 1768 Matematicianul și filozoful francez J.L. D'Alembert a investigat raportul dintre termenul următor și cel anterior într-o serie binomială și a arătat că dacă acest raport este mai mic decât unul în valoare absolută, atunci seria converge. Cauchy în 1821 a demonstrat o teoremă care stabilește în general un test pentru convergența seriilor pozitive, numit acum testul lui D’Alembert.

Pentru a studia convergența seriilor alternante se folosește testul Leibniz.

G.V. Leibniz (1646 – 1716), marele matematician și filozof german, împreună cu I. Newton, este fondatorul calculului diferențial și integral.

Bibliografie:

Principal:

1. Bogomolov N.V., Lecții practice de matematică. M., „Școala superioară”, 1990 – 495 p.;
2. Tarasov N.P., Curs de matematica superioara pentru scolile tehnice. M., „Știință”, 1971 – 448 p.;
3. Zaitsev I.L., Curs de matematică superioară pentru școlile tehnice. M., editura de stat a scolilor tehnice - literatura teoretica, 1957 - 339 p.;
4. Pismenny D.T., Curs de cursuri de matematică superioară. M., „Iris Press”, 2005, partea 2 – 256 p.;
5. Vygodsky M.Ya., Manual de matematică superioară. M., „Știință”, 1975 – 872 p.;

Adiţional:

1. Gusak A.A., Matematică superioară. În 2 volume, T.2: Manual pentru studenți. Mos., „TetraSystems”, 1988 – 448 p.;
2. Griguletsky V.G., Lukyanova I.V., Petunina I.A., Matematică pentru studenții specialităților economice. Partea 2. Krasnodar, 2002 – 348 p.;
3. Griguletsky V.G. etc Cartea cu probleme la matematică. Krasnodar. KSAU, 2003 – 170 p.;
4. Griguletsky V.G., Stepantsova K.G., Getman V.N., Sarcini și exerciții pentru studenții facultății de contabilitate și financiară. Krasnodar. 2001 – 173 p.;
5. Griguletsky V.G., Yashchenko Z.V., Matematică superioară. Krasnodar, 1998 – 186 p.;
6. Malykhin V.I., Matematică în economie. M., „Infra-M”, 1999 – 356 p.

1 proprietate.

Eliminarea unui număr finit de termeni nu afectează convergența ecuației.

ConsiderLet

Dacă există o limită finită la dreapta în (29.1), atunci există și o limită la stânga, iar seria converge

2 proprietate.

Dacă seria converge și are suma S, atunci seria

c = const, converge și are suma cS.

Lasă atunci

3 proprietate.

Dacă seria converge și are sume, atunci seria converge și are sumă

1. Serii cu termeni pozitivi. Semne pentru compararea convergenței seriilor pozitive. Serii pozitive

Dacă A n ≥ 0 (n= 1, 2, 3, ...), apoi seria A 1 +A 2 +A 3 + ... se numește pozitiv. În cazul în care în fața tuturor n se dovedește A n> 0, vom numi seria strict pozitiv.

Seriile pozitive au multe proprietăți care le fac similare cu sumele obișnuite ale unui număr finit de termeni.

Este ușor de observat că suma parțială S n =A 1 +A 2 + ... +A n serie pozitivă crește(poate nu strict) cu creșterea n. Deoarece fiecare succesiune de numere crescătoare are o limită finită sau infinită (și termenii șirului nu depășesc această limită), atunci pentru orice serie pozitivă există o limită

Această limită va fi finită sau infinită, în funcție de dacă mulțimea sumelor parțiale este mărginită deasupra sau nu ( S n). Astfel, există

Teorema 1. O serie pozitivă converge dacă și numai dacă mulțimea sumelor sale parțiale este mărginită mai sus.

Desigur, pentru o serie nepozitivă, mărginirea mulțimii de sume parțiale nu asigură convergența, așa cum se poate observa din exemplul seriei 1 + (-1) + 1 + (-1) + ...

De asemenea, observăm că sumele parțiale ale unei serii pozitive convergente nu depășesc suma acesteia.

Teorema demonstrată reduce problema convergenței unei serii pozitive la întrebarea mai simplă a mărginirii mulțimii sumelor sale parțiale.

Luați în considerare, de exemplu, seria (24)

in care α > 1. Suma acestei serii poate fi scrisă astfel:

Deoarece suma conține 2 k termeni, iar cel mai mare dintre ei este primul, atunci această sumă nu depășește numărul

De aceea

Suma din dreapta aici este suma parțială a progresiei geometrice

După cum sa demonstrat mai devreme, această progresie converge (din moment ce α > 1), iar suma sa este egală cu

Deoarece progresia (25) este și o serie pozitivă, sumele sale parțiale nu depășesc suma (26). In mod deosebit

Această inegalitate este stabilită pentru orice m. Dar pentru toată lumea n poti gasi asa ceva m că 2 m - 1 >n.

Prin urmare, în orice caz n Se pare că seria (24) converge.

Trebuie remarcat, totuși, că aplicarea directă a teoremei 1 este relativ rară.

De obicei, pe baza acestuia, se folosesc teste mai convenabile pentru convergența seriei. Cel mai simplu dintre ele este așa-numitul semn de comparație de serie

Dacă fiecare membru al unei serii pozitive nu este mai mare decât membrul altei serii având același număr, atunci se numește a doua serie majorantîn raport cu primul.

Cu alte cuvinte, o serie b 1 +b 2 +b 3 + ... este majorant în raport cu seria A 1 +A 2 +A 3 + ..., dacă e pentru toți n voi A n ≤b n .

Este ușor de înțeles că suma parțială a unei serii date nu este mai mare decât (având același număr) suma parțială a unei serii majorante. Aceasta înseamnă că, dacă sumele parțiale ale unei serii majorante sunt mărginite de sus, atunci acest lucru este și mai mult pentru seria originală. Din aceasta rezultă

Teorema 2. Dacă pentru o serie pozitivă există o serie majorantă convergentă, atunci această serie în sine converge. Dacă o serie dată diverge, atunci fiecare serie majoră pentru ea diverge.

Luați în considerare, de exemplu, seria (27)

presupunând α < 1. Ясно, что этот ряд - мажорантный по отношению к гармоническому ряду, и потому ряд (27) расходится.

Primul semn de comparație a seriei. Fie și două serii de numere pozitive și inegalitatea este valabilă pentru toate k = 1, 2, 3, ... Atunci convergența seriei implică convergență, iar divergența seriei implică divergență. Primul criteriu de comparație este folosit foarte des și este un instrument foarte puternic pentru studierea seriilor de numere pentru convergență. Problema principală este selectarea unei serii potrivite pentru comparație. O serie pentru comparație este de obicei aleasă (dar nu întotdeauna) astfel încât exponentul său kth termenul este egal cu diferența dintre exponenții numărătorului și numitorului kth membru al seriei numerice studiate. De exemplu, fie diferența dintre exponenții numărătorului și numitorului să fie egală cu 2 – 3 = -1 , prin urmare, pentru comparație selectăm rândul cu kth membru, adică o serie armonică. Să ne uităm la câteva exemple. Exemplu. Determinați convergența sau divergența unei serii. Soluţie.Întrucât limita termenului general al seriei este zero, este îndeplinită condiția necesară pentru convergența seriei. Este ușor de observat că inegalitatea este adevărată pentru toți naturali k. Știm că seria armonică diverge; prin urmare, după primul criteriu de comparație, seria originală este și ea divergentă. Exemplu. Explorați convergența seriilor numerice. Soluţie. Condiția necesară pentru convergența unei serii de numere este îndeplinită, deoarece . Inegalitatea este evidentă pentru orice valoare naturală k. Seria converge, deoarece seria armonică generalizată este convergentă pt s > 1. Astfel, primul semn de comparație de serie ne permite să enunțăm convergența seriei numerice originale. Exemplu. Determinați convergența sau divergența unei serii de numere. Soluţie., prin urmare, este îndeplinită condiția necesară pentru convergența seriei de numere. Ce rând ar trebui să aleg pentru comparație? O serie de numere se sugerează, dar pentru a decide s, examinați cu atenție șirul de numere. Termenii șirului de numere cresc spre infinit. Astfel, pornind de la un anumit număr N(și anume, cu N=1619), membrii acestei secvențe vor fi mai mari 2 . Pornind de la acest număr N, inegalitatea este adevărată. O serie de numere converge datorită primei proprietăți a seriei convergente, deoarece se obține dintr-o serie convergentă prin eliminarea primei N – 1 membru. Astfel, prin prima proprietate a comparației, seria este convergentă, iar în virtutea primei proprietăți a seriei numerice convergente, seria va converge și ea. Al doilea semn de comparație. Să fie serii de numere cu semn pozitiv. Dacă, atunci convergența seriei implică convergență. Dacă, atunci divergența rezultă din divergența unei serii de numere. Consecinţă. Dacă și, atunci din convergența unei serii urmează convergența celeilalte, iar din divergență urmează divergența. Studiem convergența seriei folosind al doilea criteriu de comparație. Să luăm o serie convergentă ca o serie. Să găsim limita raportului k membri ai seriei de numere: Astfel, conform celui de-al doilea criteriu de comparație, din convergența unei serii numerice urmează convergența seriei originale.

Exemplu. Examinați convergența unei serii de numere. Soluţie. Să verificăm condiția necesară pentru convergența seriei . Condiția este îndeplinită. Pentru a aplica al doilea criteriu de comparație, să luăm o serie armonică. Să găsim limita raportului k membri: În consecință, din divergența seriei armonice urmează divergența seriei originale după al doilea criteriu de comparație. Pentru informare, prezentăm al treilea criteriu de comparare a seriilor. Al treilea semn de comparație. Să fie serii de numere cu semn pozitiv. Dacă dintr-un anumit număr N condiția este îndeplinită, atunci convergența seriei implică convergență, iar divergența seriei implică divergență.

1. Concepte de bază. Să ni se dea o succesiune infinită de numere

Definiție. Expresie

unde este termenul comun al seriei.

Exemplul 7.1

Să luăm în considerare serialul. Iată termenul comun al seriei.

Să considerăm sumele formate dintr-un număr finit de termeni ai seriei (7.1): , , , ..., , . . . Se numesc astfel de sume sume parțiale rând. se numește a treia sumă parțială a seriei. Astfel, o sumă parțială este suma (un număr finit de) termeni:

.

(7.3)

Urmărire , , , ..., , ... sau .se numește șir de sume parțiale ale seriei (7.1).

Definiție. Dacă există o limită finită , atunci se numește seria (1.1). convergent, iar numărul este suma acestei serii. În acest caz ei scriu

Dacă succesiunea nu are limită, atunci se numește seria (7.1). divergente. O serie divergentă nu are sumă.

Exemplul 7.2

Soluţie

Termenul general al seriei poate fi reprezentat ca

, (n= 1, 2, 3, . . .).

Prin urmare, această serie converge și suma ei este 1.

Exemplul 7.3(progresie geometrică)

Să considerăm o succesiune, a cărei fiecare termen, începând cu al doilea, se obține prin înmulțirea termenului anterior cu același număr:

Uneori seria (7.5) în sine este numită progresie geometrică.

Suma parțială a seriei (7.5) este suma termenilor progresiei geometrice și

calculate prin formula

.

(7.6)

Daca atunci. În consecință, când seria (7.5) converge. Daca atunci. În consecință, atunci când seria (7.5) diverge. Dacă , atunci (7.5) se transformă în seria 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... . Pentru o astfel de serie și

În consecință, atunci când seria (7.5) diverge.

Când luăm în considerare seriale, problema convergenței (divergenței) este importantă. Pentru a aborda această problemă, exemplele 7.1 și 7.2 au folosit definiția convergenței. Mai des, anumite proprietăți ale seriei sunt folosite pentru aceasta, care sunt numite semne de convergență a seriei.

Teorema 7.1(un semn necesar de convergență). Dacă seria (7.1) converge, atunci termenul său comun tinde spre zero cu o creștere nelimitată în , i.e.

Seria (7.8) se numește armonic aproape.

Pentru acest rând. Cu toate acestea, nu se poate face încă o concluzie despre convergența seriei (7.8), deoarece afirmația inversă teoremei 7.1 nu este adevărată.

Să arătăm că seria (7.8) diverge. Acest lucru poate fi stabilit prin raționament contradictoriu. Să presupunem că seria (7.8) converge și suma ei este egală cu S.Atunci = –

– , ceea ce contrazice inegalitatea

În consecință, seria armonică diverge.

Caracteristica necesară poate fi folosită pentru a stabili faptul divergenței unei serii. Într-adevăr, din teorema 7.1 rezultă că dacă termenul comun al seriei nu tinde spre zero, atunci seria diverge.

Exemplul 7.5

Să luăm în considerare serialul.

Aici , . Limita nu este egală cu zero, prin urmare seria diverge.

Astfel, dacă condiția (7.7) este îndeplinită, întrebarea convergenței seriei (7.1) rămâne deschisă. Seria poate diverge sau poate converge. Pentru a rezolva această problemă, pot

trebuie folosite proprietăţile seriei din care rezultă convergenţa acestei serii. Astfel de proprietăți sunt numite semne suficiente de convergenţă rânduri.

Serii cu termeni pozitivi. Considera semne suficiente de convergenţă a seriilor cu termeni pozitivi.

Teorema 7.2.(semnul lui D'Alembert).

sunt pozitive:

1) dacă , seria (7.1) converge;

2) dacă , seria (7.1) converge;

Notă. Seria (7.1) va diverge și în cazul în care , de atunci, pornind de la un anumit număr N, va fi și, prin urmare, nu tinde spre zero la .

Exemplul 7.6

Examinați seria pentru convergență.

Soluţie. ... atunci =

Limita găsită este mai mică decât unitatea. Prin urmare, această serie converge.

Exemplul 7.7

Examinați seria pentru convergență.

Soluţie. ... atunci =

= = = = = = = .

Limita găsită este mai mare decât unitatea. Prin urmare, această serie diverge.

Teorema 7.3.(semnul Radical Cauchy).

Să fie dată o serie (7.1) a cărei toți termeni sunt pozitive:

și există o limită

,

(7.11)

(unde este desemnarea limitei găsite). Apoi:

1) dacă , seria (7.1) converge;

2) dacă , seria (7.1) converge;

3) dacă , criteriul luat în considerare nu răspunde la întrebarea despre convergența seriei.

O dovadă a semnului poate fi găsită în.

Exemplul 7.8

Examinați seria pentru convergență.

Soluţie.

Să găsim limita (7.11):

Limita găsită este mai mare decât unitatea. În consecință, această serie diverge (Teorema 7.3).

Serii armonice generalizate.Serii armonice generalizate se numește o serie a formei

Teorema 7.3. (teorema lui Leibniz). Dacă pentru o serie(7.13) sunt îndeplinite două condiții:

1) termenii seriei scad monoton în valoare absolută:

2)termenul comun al seriei tinde spre zero:

apoi o serie(7.13) converge.

O dovadă a semnului poate fi găsită, de exemplu, în.

Exemplul 7.9.

Luați în considerare semnul seriei alternative

(7.14)

Pentru această serie, condițiile teoremei (7.13) sunt îndeplinite:

În consecință, seria (7.12) converge.

Corolarul teoremei 7.3. Restul seriei alternative (7.13), care îndeplinește condițiile teoremei lui Leibniz, are semnul primului său termen și este mai mic decât acesta în valoare absolută.

Exemplul 7.10. Calculați suma unei serii convergente cu o precizie de 0,1

Ca valoare aproximativă a sumei seriei, trebuie să luăm suma parțială pentru care . Potrivit anchetei, . Prin urmare, este suficient să puneți , adică atunci

Prin urmare, cu o precizie de 0,1.

Convergența absolută și condiționată. Luați în considerare o serie ai cărei termeni au semne arbitrare

Rețineți că seria (7.16) este o serie cu termeni pozitivi și i se aplică teoremele corespunzătoare date mai sus.

Teorema 7.4(Un semn de convergență absolută). Dacă seria (7.16) converge, atunci și seria (7.15) converge.

(Demonstrația teoremei poate fi găsită, de exemplu, în).

Definiție.

Dacă seria (7.16) converge, atunci seria corespunzătoare (7.15) se numește absolut convergentă absolut descendentă Xia.

Se poate dovedi că seria (7.16) diverge, dar seria (7.15) converge. În acest caz, se numește seria (7.15). convergent condiționat.

Rețineți că seria alternativă (7.13) este un caz special al unei serii ai cărei termeni au semne arbitrare. Prin urmare, pentru a studia o serie alternativă, putem aplica și Teorema 7.5.

Exemplul 7.11

Soluţie

Să considerăm o serie alcătuită din valorile absolute ale membrilor unei serii date. Această serie converge, deoarece este o serie armonică generalizată (7.12) cu valoarea Prin urmare, conform criteriului de convergență absolută (Teorema 7.5), seria inițială converge absolut.

Exemplul 7.12

Seria este examinată pentru convergență.

Soluţie

Conform teoremei lui Leibniz, aceasta converge, dar seria compusă din valorile absolute ale termenilor seriei originale diverge (aceasta este o serie armonică). În consecință, seria originală converge condiționat.

Definiții de bază

Definiție. Suma termenilor unei șiruri infinite de numere se numește serie de numere.

În acest caz, numerele le vom numi membri ai seriei și un - termenul comun al seriei.

Definiție. Sumele, n = 1, 2, ... sunt numite sume private (parțiale) ale seriei.

Astfel, este posibil să se ia în considerare șiruri de sume parțiale din seriile S1, S2, …, Sn, …

Definiție. O serie se numește convergentă dacă șirul sumelor sale parțiale converge. Suma unei serii convergente este limita succesiunii sumelor sale parțiale.

Definiție. Dacă succesiunea sumelor parțiale ale unei serii diverge, i.e. nu are limită, sau are o limită infinită, atunci seria se numește divergentă și nu i se atribuie nicio sumă.

Proprietăți rând

1) Convergența sau divergența seriei nu va fi încălcată dacă modificați, renunțați sau adăugați un număr finit de termeni ai seriei.

2) Se consideră două serii și, unde C este un număr constant.

Teorema. Dacă o serie converge și suma ei este egală cu S, atunci seria converge și suma sa este egală cu CS. (C 0)

3) Luați în considerare două rânduri și. Suma sau diferența acestor serii se va numi serie în care elementele sunt obținute ca urmare a adunării (scăderii) elementelor originale cu aceleași numere.

Teorema. Dacă seria și converg și sumele lor sunt egale cu S și, respectiv, atunci seria converge și ea și suma sa este egală cu S +.

Diferența dintre două serii convergente va fi, de asemenea, o serie convergentă.

Suma unei serii convergente și a unei serii divergente este o serie divergentă.

Este imposibil să faci o afirmație generală despre suma a două serii divergente.

Când studiază seriale, ele rezolvă în principal două probleme: studierea convergenței și găsirea sumei seriei.

Criteriul Cauchy.

(condiții necesare și suficiente pentru convergența seriei)

Pentru ca o secvență să fie convergentă, este necesar și suficient ca pentru oricare să existe un număr N astfel încât pentru n > N și orice p > 0, unde p este un număr întreg, inegalitatea ar fi valabilă:

Dovada. (necesitate)

Fie atunci pentru orice număr există un număr N astfel încât inegalitatea

este îndeplinită când n>N. Pentru n>N și orice număr întreg p>0 inegalitatea este de asemenea valabilă. Ținând cont de ambele inegalități, obținem:

Necesitatea a fost dovedită. Nu vom lua în considerare dovada suficienței.

Să formulăm criteriul Cauchy pentru serie.

Pentru ca o serie să fie convergentă, este necesar și suficient ca pentru oricare să existe un număr N astfel încât pentru n>N și orice p>0 inegalitatea să fie valabilă.

Cu toate acestea, în practică, utilizarea directă a criteriului Cauchy nu este foarte convenabilă. Prin urmare, de regulă, se folosesc teste de convergență mai simple:

1) Dacă seria converge, atunci este necesar ca termenul comun un să tinde spre zero. Cu toate acestea, această condiție nu este suficientă. Putem spune doar că dacă termenul comun nu tinde spre zero, atunci seria diverge cu siguranță. De exemplu, așa-numita serie armonică este divergentă, deși termenul său comun tinde spre zero.

Exemplu. Investigați convergența seriei

• - nu este îndeplinit criteriul necesar de convergență, ceea ce înseamnă că seria diverge.
• 2) Dacă o serie converge, atunci șirul sumelor sale parțiale este mărginită.

Cu toate acestea, acest semn nu este suficient.

De exemplu, seria 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+... diverge deoarece succesiunea sumelor sale parţiale diverge datorită faptului că

Cu toate acestea, succesiunea sumelor parțiale este limitată, deoarece pentru orice n.

1. Dacă a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= converge, atunci seria a m+1 +a m+2 +a m+3 +…, obținută din această serie prin eliminarea primilor m termeni, de asemenea converge. Această serie rezultată se numește al-lea rest al seriei. Și, invers: din convergența celui de-al mi-lea rest al seriei, urmează convergența acestei serii. Acestea. Convergența și divergența unei serii nu este încălcată dacă un număr finit al termenilor ei este adăugat sau eliminat.

2 . Dacă seria a 1 + a 2 + a 3 +... converge și suma sa este egală cu S, atunci seria Ca 1 + Ca 2 +..., unde C = converge și suma sa este egală cu CS.

3. Dacă seria a 1 +a 2 +... și b 1 +b 2 +... converg și sumele lor sunt egale cu S1 și, respectiv, S2, atunci seria (a 1 +b 1)+(a 2 + b 2)+(a 3 +b 3)+... și (a 1 -b 1)+(a 2 -b 2)+(a 3 -b 3)+... converg de asemenea. Sumele lor sunt egale cu S1+S2 și respectiv S1-S2.

4. A). Dacă o serie converge, atunci al n-lea termen al său tinde spre 0 pe măsură ce n crește la nesfârșit (reversul nu este adevărat).

- necesar semn (condiție)convergenţă rând.

b). Dacă
atunci seria este divergentă - suficient condițiedivergente rând.

-seriile de acest tip sunt studiate numai conform proprietatii 4. Acest divergente rânduri.

Seria semn pozitiv.

Semne de convergență și divergență ale seriei cu semne pozitive.

Seriile pozitive sunt serii în care toți termenii sunt pozitivi. Vom lua în considerare aceste semne de convergență și divergență pentru seriile cu semne pozitive.

1. Primul semn de comparație.

Să fie date două serii cu semne pozitive a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= (1) иb 1 +b 2 +b 3 +…+b n +…= (2).

Dacă membrii seriei (1) nu mai multb n și seria (2) converge, apoi converge și seria (1).

Dacă membrii seriei (1) nu mai puțin membrii corespunzători ai seriei (2), adică si n b n și rândul (2) diverge, apoi seria (1) diverge.

Acest criteriu de comparație este valabil dacă inegalitatea nu este satisfăcută pentru toți n, ci doar pornind de la unii.

2. Al doilea semn de comparație.

Dacă există o limită finită și diferită de zero
, atunci ambele serii converg sau diverg simultan.

- rânduri de acest tip diverge conform celui de-al doilea criteriu de comparaţie. Ele trebuie comparate cu seria armonică.

3. Semnul lui D'Alembert.

Dacă pentru o serie pozitivă (a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= ) există
(1), atunci seria converge dacă q<1, расходится, если q>

4. Semnul lui Cauchy este radical.

Dacă există o limită pentru o serie pozitivă
(2), atunci seria converge dacăq<1, расходится, если q>1. Dacă q=1 atunci întrebarea rămâne deschisă.

5. Testul lui Cauchy este integral.

Să ne amintim integralele improprii.

Dacă există o limită
. Aceasta este o integrală improprie și este desemnată
.

Dacă această limită este finită, atunci se spune că integrala improprie converge. Seria, respectiv, converge sau diverge.

Fie seria a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= - serii pozitive.

Să notăm a n =f(x) și să considerăm funcția f(x). Dacă f(x) este o funcție pozitivă, monoton descrescătoare și continuă, atunci dacă integrala improprie converge, atunci seria dată converge. Și invers: dacă integrala improprie diverge, atunci seria diverge.

Dacă seria este finită, atunci converge.

Rândurile sunt foarte frecvente
-Seria Derichlet. Converge dacă p>1, diverge p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.