Funcția monotonă. Monotonitatea funcțiilor Exemple de funcție crescătoare monoton

Funcția monotonă este o funcție creştere care nu schimbă semnul, adică ori întotdeauna nenegativ ori întotdeauna nepozitiv. Dacă în plus incrementul nu este zero, atunci funcția este apelată strict monoton. O funcție monotonă este o funcție care se schimbă în aceeași direcție.

O funcție este incrementată dacă o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției. O funcție scade dacă o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției.

Să fie dată funcția

O funcție (strict) crescătoare sau descrescătoare se numește (strict) monotonă.

Definiţia extremum

Se spune că o funcție y = f(x) este crescătoare (descrescătoare) într-un anumit interval dacă, pentru x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).

Dacă funcția diferențiabilă y = f(x) crește (descrește) pe un interval, atunci derivata sa pe acest interval f "(x) > 0

(f" (x)< 0).

Un punct x® se numește punct local de maxim (minim) al funcției f(x) dacă există o vecinătate a punctului x® pentru care inegalitatea f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо) )) este valabil pentru toate punctele.

Punctele maxime și minime se numesc puncte extreme, iar valorile funcției din aceste puncte se numesc extreme.

Puncte extreme

Condiții necesare pentru un extremum. Dacă punctul x® este un punct extrem al funcției f(x), atunci fie f "(xо) = 0, fie f (xо) nu există. Astfel de puncte sunt numite critice, iar funcția însăși este definită la punctul critic. punct extremele funcției ar trebui căutate printre punctele sale critice.

Prima condiție suficientă. Fie xo punctul critic. Dacă f „(x) își schimbă semnul din plus în minus la trecerea prin punctul xo, atunci în punctul xo funcția are un maxim, altfel are un minim. Dacă la trecerea prin punctul critic derivata nu își schimbă semnul, atunci la punctul xo nu există extremum.

A doua condiție suficientă. Fie ca funcția f(x) să aibă o derivată f " (x) în vecinătatea punctului x® și o derivată a doua în punctul xо însuși. Dacă f " (xо) = 0,>0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

Pe un segment, funcția y = f(x) își poate atinge valoarea minimă sau maximă fie în punctele critice, fie la capetele segmentului.

7. Intervale de convexitate, funcții de concavitate .Puncte de inflexiune.

Graficul unei funcții y=f(x) numit convex pe interval (a; b), dacă este situat sub oricare dintre tangentele sale pe acest interval. Graficul unei funcții y=f(x) numit concav pe interval (a; b), dacă este situat deasupra oricăreia dintre tangentele sale pe acest interval. Figura prezintă o curbă care este convexă la (a; b)și concav pe (b;c). Exemple. Să luăm în considerare un criteriu suficient care ne permite să stabilim dacă graficul unei funcții într-un interval dat va fi convex sau concav. Teorema. Lăsa y=f(x) diferentiabil prin (a; b). Dacă în toate punctele intervalului (a; b) derivata a doua a functiei y = f(x) negativ, adică f""(X) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(X) > 0 – concav. Dovada. Să presupunem pentru certitudine că f""(X) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Să luăm funcțiile din grafic y = f(x) punct arbitrar M 0 cu abscisă X 0  (A; b) și trageți prin punct M 0 tangentă. Ecuația ei. Trebuie să arătăm că graficul funcției pe (a; b) se află sub această tangentă, adică la aceeasi valoare X ordonata curbei y = f(x) va fi mai mică decât ordonata tangentei.

Punctul de inflexiune al unei funcții

Acest termen are alte semnificații, vezi Punct de inflexiune.

Punctul de inflexiune al unei funcții punct intern domeniul definirii, astfel încât este continuă în acest punct, există o derivată infinită finită sau un anumit semn în acest punct, este simultan sfârșitul intervalului de convexitate strictă în sus și începutul intervalului de convexitate strictă în jos, sau invers.

Neoficial

În acest caz, ideea este punct de inflexiune graficul unei funcții, adică graficul unei funcții într-un punct care „se îndoaie”. tangentă la acesta în acest punct: la tangentă se află sub grafic și deasupra graficului (sau invers)

Condiții de existență

O condiție necesară pentru existența unui punct de inflexiune: dacă o funcție f(x), diferențiabilă de două ori într-o vecinătate a punctului, are un punct de inflexiune, atunci.

O condiție suficientă pentru existența unui punct de inflexiune: dacă o funcție dintr-o anumită vecinătate a punctului este continuu diferențiabilă și impară și, și pentru a, atunci funcția are un punct de inflexiune.

crescând pe intervalul \(X\) dacă pentru orice \(x_1, x_2\in X\) astfel încât \(x_1

Funcția este numită nescădere

\(\blacktriangleright\) Se apelează funcția \(f(x)\). in scadere pe intervalul \(X\) dacă pentru orice \(x_1, x_2\in X\) astfel încât \(x_1 f(x_2)\) .

Funcția este numită necrescătoare pe intervalul \(X\) dacă pentru orice \(x_1, x_2\in X\) astfel încât \(x_1

\(\blacktriangleright\) Sunt numite funcții crescătoare și descrescătoare strict monoton, și necrescătoare și nedescrescătoare sunt pur și simplu monoton.

\(\blacktriangleright\) Proprietăți de bază:

eu. Dacă funcția \(f(x)\) este strict monotonă pe \(X\) , atunci din egalitatea \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) rezultă \(f( x_1)= f(x_2)\) și invers.

Exemplu: funcția \(f(x)=\sqrt x\) este strict crescător pentru toate \(x\in \) , prin urmare ecuația \(x^2=9\) are cel mult o soluție pe acest interval, sau mai degrabă unul: \(x=-3\) .

funcția \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) este strict crescătoare pentru toate \(x\in (-1;+\infty)\), deci ecuația \(-\dfrac 1 (x +1)=0\) nu are mai mult de o soluție pe acest interval, sau mai degrabă nici una, deoarece numărătorul din partea stângă nu poate fi niciodată egal cu zero.

III. Dacă funcția \(f(x)\) este nedescrescătoare (necrescătoare) și continuă pe segmentul \(\), iar la capetele segmentului ia valorile \(f(a)= A, f(b)=B\) , atunci pentru \(C\in \) (\(C\in \) ) ecuația \(f(x)=C\) are întotdeauna cel puțin o soluție.

Exemplu: funcția \(f(x)=x^3\) este strict crescătoare (adică strict monotonă) și continuă pentru toate \(x\in\mathbb(R)\), deci pentru orice \(C\ în ( -\infty;+\infty)\) ecuația \(x^3=C\) are exact o soluție: \(x=\sqrt(C)\) .

Sarcina 1 #3153

Nivel de activitate: mai ușor decât examenul de stat unificat

are exact două rădăcini.

Să rescriem ecuația ca: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Se consideră funcția \(f(t)=t^3+t\) . Apoi ecuația va fi rescrisă sub forma: \ Să studiem funcția \(f(t)\) . \ În consecință, funcția \(f(t)\) crește pentru toate \(t\) . Aceasta înseamnă că fiecare valoare a funcției \(f(t)\) corespunde exact unei valori a argumentului \(t\) . Prin urmare, pentru ca ecuația să aibă rădăcini, este necesar: \ Pentru ca ecuația rezultată să aibă două rădăcini, discriminantul său trebuie să fie pozitiv: \

Răspuns:

\(\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)\)

Sarcina 2 #2653

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) pentru care ecuația \

are două rădăcini.

(Sarcina de la abonați.)

Să facem o înlocuire: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Atunci ecuația va lua forma: \ Luați în considerare funcția \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Atunci ecuația noastră va lua forma: \

Să găsim derivata \ Rețineți că pentru toate \(w\ne 0\) derivata este \(f"(w)>0\) , deoarece \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . Rețineți și că funcția \(f(w)\) în sine este definită pentru toate \(w\) . Deoarece \(f(w)\) este de asemenea continuă, putem concluziona că \(f (w)\) crește pe întreg \(\mathbb(R)\) .
Aceasta înseamnă că egalitatea \(f(t)=f(u)\) este posibilă dacă și numai dacă \(t=u\) . Să revenim la variabilele inițiale și să rezolvăm ecuația rezultată:

\ Pentru ca această ecuație să aibă două rădăcini, trebuie să fie pătrată și discriminantul ei trebuie să fie pozitiv:

\[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Răspuns:

\((-\infty;1)\cup(1;2)\)

Sarcina 3 #3921

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile pozitive ale parametrului \(a\) pentru care ecuația

are cel puțin \(2\) soluții.

Să mutăm toți termenii care conțin \(ax\) la stânga și pe cei care conțin \(x^2\) la dreapta și luăm în considerare funcția
\

Atunci ecuația inițială va lua forma:
\

Să găsim derivata:
\

Deoarece \((t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), apoi \(f"(t)\geqslant 0\) pentru orice \(t\in \mathbb(R)\) .

Mai mult, \(f"(t)=0\) dacă \((t-2)^2=0\) și \(1+\cos(2t)=0\) în același timp, ceea ce nu este adevărat pentru orice \ (t\) . Prin urmare, \(f"(t)> 0\) pentru orice \(t\in \mathbb(R)\) .

Astfel, funcția \(f(t)\) este strict crescătoare pentru toate \(t\in \mathbb(R)\) .

Aceasta înseamnă că ecuația \(f(ax)=f(x^2)\) este echivalentă cu ecuația \(ax=x^2\) .

Ecuația \(x^2-ax=0\) pentru \(a=0\) are o rădăcină \(x=0\), iar pentru \(a\ne 0\) are două rădăcini diferite \(x_1 =0 \) și \(x_2=a\) .
Trebuie să găsim valorile lui \(a\) la care ecuația va avea cel puțin două rădăcini, ținând cont și de faptul că \(a>0\) .
Prin urmare, răspunsul este: \(a\in (0;+\infty)\) .

Răspuns:

\((0;+\infty)\) .

Sarcina 4 #1232

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \

are o soluție unică.

Să înmulțim părțile din dreapta și din stânga ecuației cu \(2^(\sqrt(x+1))\) (deoarece \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) și să rescriem ecuația sub forma: \

Luați în considerare funcția \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\) pentru \(t\geqslant 0\) (din moment ce \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ).

Derivat \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\dreapta)\).

Deoarece \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) pentru toate \(t\geqslant 0\), apoi \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

În consecință, pe măsură ce \(t\geqslant 0\) funcția \(y\) scade monoton.

Ecuația poate fi considerată sub forma \(y(t)=y(z)\) , unde \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . Din monotonitatea funcției rezultă că egalitatea este posibilă numai dacă \(t=z\) .

Aceasta înseamnă că ecuația este echivalentă cu ecuația: \(ax=\sqrt(x+1)\), care, la rândul ei, este echivalentă cu sistemul: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\]

Când \(a=0\) sistemul are o soluție \(x=-1\) care satisface condiția \(ax\geqslant 0\) .

Luați în considerare cazul \(a\ne 0\) . Discriminant al primei ecuații a sistemului \(D=1+4a^2>0\) pentru toate \(a\) . În consecință, ecuația are întotdeauna două rădăcini \(x_1\) și \(x_2\), și acestea sunt de semne diferite (deoarece, conform teoremei lui Vieta \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

Aceasta înseamnă că pentru \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) condiția este îndeplinită de o rădăcină pozitivă. Prin urmare, sistemul are întotdeauna o soluție unică.

Deci, \(a\in \mathbb(R)\) .

Răspuns:

\(a\în \mathbb(R)\) .

Sarcina 5 #1234

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \

are cel puțin o rădăcină din segmentul \([-1;0]\) .

Luați în considerare funcția \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) pentru unele fixe \(a\) . Să-i găsim derivata: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\).

Rețineți că \(f"(x)\geqslant 0\) pentru toate valorile lui \(x\) și \(a\) și este egal cu \(0\) numai pentru \(x=a=1 \). Dar pentru \(a=1\) :
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\) ecuația \(2(x-1)^3=0\) are o singură rădăcină \(x=1\) care nu satisface condiția. Prin urmare, \(a\) nu poate fi egal cu \(1\) .

Aceasta înseamnă că pentru toate \(a\ne 1\) funcția \(f(x)\) este strict crescătoare, prin urmare, ecuația \(f(x)=0\) nu poate avea mai mult de o rădăcină. Ținând cont de proprietățile funcției cubice, graficul lui \(f(x)\) pentru un \(a\) fix va arăta astfel:

Aceasta înseamnă că pentru ca ecuația să aibă o rădăcină a segmentului \([-1;0]\), este necesar: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Astfel, \(a\in [-2;0]\) .

Răspuns:

\(a\în [-2;0]\) .

Sarcina 6 #2949

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

are rădăcini.

(sarcină de la abonați)

Ecuații ODZ: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Prin urmare, pentru ca o ecuație să aibă rădăcini, este necesar ca cel puțin una dintre ecuații \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(or)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] a avut decizii cu privire la ODZ.

1) Luați în considerare prima ecuație \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(aliniat) \end(adunat)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Această ecuație trebuie să aibă rădăcini în \(\) . Luați în considerare un cerc:

Astfel, vedem că pentru orice \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) ecuația va avea o soluție, iar pentru toate celelalte nu va avea soluții. Prin urmare, când \(a\în \left[-1;-1+\sin 1\right]\) ecuația are soluții.

2) Luați în considerare a doua ecuație \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

Luați în considerare funcția \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) . Să-i găsim derivata: \ Pe ODZ, derivata are un zero: \(x=\frac34\) , care este și punctul maxim al funcției \(f(x)\) .
Rețineți că \(f(0)=f(1)=0\) . Deci, schematic graficul \(f(x)\) arată astfel:

Prin urmare, pentru ca ecuația să aibă soluții, este necesar ca graficul \(f(x)\) să se intersecteze cu dreapta \(y=-a\) (figura arată una dintre opțiunile potrivite). Adică este necesar ca \ . Pentru acestea \(x\):

Funcția \(y_1=\sqrt(x-1)\) este strict crescătoare. Graficul funcției \(y_2=5x^2-9x\) este o parabolă, al cărei vârf se află în punctul \(x=\dfrac(9)(10)\) . În consecință, pentru toate \(x\geqslant 1\), funcția \(y_2\) este de asemenea strict crescătoare (ramura dreaptă a parabolei). Deoarece suma funcțiilor strict crescătoare este strict crescătoare, atunci \(f_a(x)\) este strict crescătoare (constanta \(3a+8\) nu afectează monotonitatea funcției).

Funcția \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) pentru toate \(x\geqslant 1\) reprezintă o parte din ramura dreaptă a hiperbolei și este strict descrescătoare.

Rezolvarea ecuației \(f_a(x)=g_a(x)\) înseamnă găsirea punctelor de intersecție ale funcțiilor \(f\) și \(g\) . Din monotonitatea lor opusă rezultă că ecuația poate avea cel mult o rădăcină.

Când \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Prin urmare, ecuația va avea o soluție unică dacă:

\\ceașcă

Răspuns:

\(a\in (-\infty;-1]\cup Scăderea strictă a funcției \(y = f\left(x \right)\) în punctul \((x_0).\) este definită într-un mod similar

Criteriul de creștere și descreștere a funcției

Să considerăm din nou funcția \(y = f\left(x \right),\) considerând-o diferențiabilă pe un anumit interval \(\left((a,b) \right).\) Creșterea sau descreșterea unui funcția pe interval este determinată de semnul primei derivate funcții.

Teorema 1 .
Pentru ca funcția \(y = f\left(x \right)\) să fie crescând pe intervalul \(\left((a,b) \right),\) este necesar și suficient ca derivata întâi a funcției să fie nenegativă peste tot pe acest interval: \ Un criteriu similar se aplică în cazul unui funcţie in scadere pe intervalul \(\left((a,b) \right):\) \ Să demonstrăm ambele părți ale teoremei (necesitatea și suficiența) pentru cazul unei funcții crescătoare.

Condiție prealabilă .
Considerăm un punct arbitrar \((x_0) \în \left((a,b) \right).\) Dacă funcția \(y = f\left(x \right)\) crește cu \(\left(( a, b) \right),\) atunci prin definiție putem scrie că \[\forall\;x \in \left((a,b) \right):x > (x_0) \Rightarrow f\left(x \right ) > f\left(((x_0)) \right);\] \[\forall\;x \in \left((a,b) \right):x
Sa luam in considerare condiție suficientă , adică afirmația opusă.
Fie derivata \(f"\left(x \right)\) a funcției \(y = f\left(x \right)\) să fie nenegativă pe intervalul \(\left((a,b) \right):\) \ Dacă \((x_1)\) și \((x_2)\) sunt două puncte arbitrare ale unui interval dat, astfel încât \((x_1) teorema lui Lagrange poate fi scris: \ unde \(c \in \left[ ((x_1),(x_2)) \right],\;\; \Rightarrow c \in \left((a,b) \right).\)

Deoarece \(f"\left(c \right) \ge 0,\) atunci partea dreaptă a egalității este nenegativă. Prin urmare, \adică funcția \(y = f\left(x \right) \) este în creștere pe intervalul \(\left((a,b) \right).\)

Să luăm acum în considerare cazurile strict crescând Și coborare strictă funcții. Există o teoremă similară aici care descrie condițiile necesare și suficiente. Omitând demonstrația, o formulăm pentru cazul unei funcții strict crescătoare.

Teorema 2 .
Pentru ca o funcție diferențiabilă pe intervalul \(\left((a,b) \right)\) să fie strict crescând în acest interval, este necesar și suficient ca următoarele condiții să fie îndeplinite:

\(f"\left(x \right) \ge 0\;\forall\;x \in \left((a,b) \right);\)

Derivata \(f"\left(x \right)\) nu este identic zero în niciun interval \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right] \in \left((a,b) \ dreapta).\)

Condiția \(1\) este conținută în teorema \(1\) și este un semn al unei funcții nedescrescătoare. Condiția suplimentară \(2\) este necesară pentru a exclude zonele de funcție constantă în care derivata funcției \(f\left(x \right)\) este identic egală cu zero.

În practică (la găsirea intervalelor de monotonitate) este de obicei folosit condiție suficientă pentru creșterea strictă sau coborare strictă funcții. Din teorema \(2\) rezultă următoarea formulare a criteriului suficient:

Dacă pentru toate \(x \in \left((a,b) \right)\) condiția \(f"\left(x \right) > 0\) este îndeplinită peste tot în intervalul \(\left(( a,b ) \right),\) cu excepția poate doar a unor puncte individuale la care \(f"\left(x \right) = 0,\) atunci funcția \(f\left(x \right)\) este strict crescând .

În consecință, condiția \(f"\left(x \right) strict în scădere funcţie.

Numărul de puncte la care \(f"\left(x \right) = 0,\) este, de regulă, finit. Conform teoremei \(2\), ele nu pot umple dens niciun gol în intervalul \( \stânga((a,b)\dreapta).\)

De asemenea, oferim un test pentru creșterea (scăderea) strictă a unei funcții la un punct:

Teorema 3 .
Fie \((x_0) \în \left((a,b) \right).\)

Dacă \(f"\left(((x_0)) \right) > 0\), atunci funcția \(f\left(x \right)\) crește strict în punctul \((x_0)\);

Dacă \(f"\stânga(((x_0)) \dreapta)

Proprietățile funcțiilor monotone

Funcțiile crescătoare și descrescătoare au anumite proprietăți algebrice care pot fi utile în studiul funcțiilor. Să enumerăm câteva dintre ele:

Creșterea și scăderea funcțiilor în interval

DEFINIȚIE

Se spune că o funcție crește în intervalul \(\ (a ; b) \) dacă o valoare mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției, adică pentru orice pereche \(\ x_(1), x_( 2) \in(a, b ) \) , pentru care \(\ x_(1)>x_(2) \) inegalitatea \(\ f\left(x_(1)\right)>f\left(x_ (2)\dreapta) \)

DEFINIȚIE

Se spune că o funcție este descrescătoare în intervalul \(\ (a, b) \) dacă o valoare mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției, i.e. Pentru orice pereche \(\ x_(1), x_(2) \in(a, b) \) pentru care \(\ x_(1)>x_(2) \) , \(\ f\left( x_( 1)\dreapta) Funcția monotonă

DEFINIȚIE

Se spune că o funcție este monotonă pe un interval dacă fie crește, fie scade în acel interval.

O condiție suficientă pentru monotonitatea unei funcții. Fie funcția \(\f(x)\) să fie definită și diferențiabilă în intervalul \(\(a ; b)\) . Pentru ca o funcție să crească în intervalul \(\ (a ; b) \) , este suficient ca \(\ f^(\prime)(x)>0 \) pentru toate \(\ x \in( a, b) \)

Pentru a reduce o funcție, este suficient ca \(\f^(\prime)(x) Pentru a studia funcția \(\f(x)\) pe un monoton, este necesar:

1. găsiți derivata ei \(\f(x)\) ;

2. Găsiți punctele critice ale funcției ca soluție a ecuației \(\f^(\prime)(x)=0\)

3. determinați semnul derivatei pe fiecare dintre intervalele în care punctele critice împart domeniul de definire al funcției;

4. în conformitate cu condiţia suficientă pentru ca monotonitatea funcţiei să determine intervalele de creştere şi scădere.

Exemple de rezolvare a problemelor

Sarcină

Pentru a găsi intervalele de monotonitate ale funcției \(\f(x)=3+9 x^(2)-x^(3)\)

Soluţie

Această funcție este definită pe întreaga axă a numerelor. Găsiți derivata acestei funcții.

\(\ f^(\prime)(x)=18 x-3 x^(2) \)

Găsiți punctele critice, pentru aceasta rezolvăm ecuația

\(\ 18 x-3 x^(2)=0 \Leftrightarrow 3 x(6-x)=0 \Leftrightarrow x_(1)=0 ; x_(2)=6 \)

Aceste puncte împart zona în trei intervale și le plasează într-un tabel:

\(\ \begin(array)(|c|c|c|c|) \hline x&(-\infty ; 0)& (0 ; 6)& (6 ;+\infty)\\ \hline f^( \prime)(x)&-&+&-\\ \hline f(x)&descreşte&creşte&descreşte\\ \hline \end(array) \)

Răspuns.

Funcția \(\ f(x)=3+9 x^(2)-x^(3) \) crește pe intervalul \(\ (0 ; 6) \) și descrește pe intervalele \(\ (- \infty ; 0) \), \(\ (6 ;+\infty) \)

Sarcină

Determinați intervalele de creștere și scădere a unei funcții

\(\y=\frac(x^(2)+1)(x)\)

Soluţie

Domeniul de definire al funcției soluție \(\ D(y) : x \in(-\infty ; 0) \cup(0 ;+\infty) \)

Calculați derivata unei funcții date

\(\ y^(\prime)=\frac(2 x \cdot x-1 \cdot\left(x^(2)+1\right))(x)=\frac(x^(2)-1 )(X)\)

Să echivalăm derivata derivatei cu zero și să găsim rădăcinile ecuației rezultate

\(\ \frac(x^(2)-1)(x)=0 \Leftrightarrow \frac((x+1)(x-1))(x)=0 \Leftrightarrow x \neq 0 ; x_(1 )=-1 ; x_(2)=1 \)

Obținem patru intervale, le vom aduce la masă.

\(\ \begin(array)(|c|c|c|c|c|) \hline x&(-\infty ;-1)& (-1 ; 0)& (0 ; 1)& (1 ;+ \infty)\\ \hline y^(\prime)&-&+&-&+\\ \hline y&decreasing&creasing&descreasing&creasing\\ \hline \end(array) \)

Răspuns

Funcția \(\ y=\frac(x^(2)+1)(x) \) crește pe intervalele \(\ (-1 ; 0) \), \(\ (1 ;+\infty) \ ) și scade pe segmentele \(\ (-\infty ;-1) \), \(\ (1 ;+\infty) \)