Teorema lui Gauss pentru inducția electrică (deplasarea electrică). Vector de inducție a câmpului electric. Fluxul vectorilor e și d Teorema lui Gauss a inducției câmpului electric

Să introducem conceptul de flux vectorial de inducție electrică. Să considerăm o zonă infinitezimală. În cele mai multe cazuri, este necesar să se cunoască nu numai dimensiunea site-ului, ci și orientarea acestuia în spațiu. Să introducem conceptul de zonă vectorială. Să fim de acord că prin vector zonă înțelegem un vector direcționat perpendicular pe zonă și egal numeric cu dimensiunea ariei.

Figura 1 - Spre definirea vectorului - site

Să numim fluxul vectorial prin platformă
produs scalar al vectorilor Și
. Prin urmare,

Vector de flux printr-o suprafață arbitrară se găseşte prin integrarea tuturor fluxurilor elementare

(4)

Dacă câmpul este uniform și suprafața este plană situat perpendicular pe câmp, atunci:

. (5)

Expresia dată determină numărul de linii de forță care străpung locul pe unitatea de timp.

Teorema Ostrogradsky-Gauss. Divergența intensității câmpului electric

Curgerea vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă arbitrară egală cu suma algebrică a sarcinilor electrice libere , acoperită de această suprafață

(6)

Expresia (6) reprezintă teorema O-G în formă integrală. Teorema 0-Г operează cu efectul integral (total), adică. Dacă
nu se știe dacă aceasta înseamnă absența sarcinilor în toate punctele părții studiate a spațiului sau că suma sarcinilor pozitive și negative situate în diferite puncte ale acestui spațiu este egală cu zero.

Pentru a găsi sarcinile localizate și mărimea lor într-un câmp dat, este nevoie de o relație care să relaționeze vectorul inducției electrice într-un punct dat cu o sarcină în același punct.

Să presupunem că trebuie să determinăm prezența sarcinii într-un punct A(Fig.2)

Figura 2 – Pentru a calcula divergența vectorială

Să aplicăm teorema O-G. Curgerea vectorului de inducție electrică printr-o suprafață arbitrară care limitează volumul în care se află punctul A, este egal

Suma algebrică a sarcinilor dintr-un volum poate fi scrisă ca o integrală de volum

(7)

Unde - încărcare pe unitate de volum ;

- element de volum.

Pentru a obține legătura dintre câmp și sarcină la un punct A vom reduce volumul prin contractarea suprafeței până la un punct A. În acest caz, împărțim ambele părți ale egalității noastre la valoare . Trecând la limită, obținem:

.

Partea dreaptă a expresiei rezultate este, prin definiție, densitatea de sarcină volumetrică în punctul considerat din spațiu. Partea stângă reprezintă limita raportului dintre fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă și volumul delimitat de această suprafață, când volumul tinde spre zero. Această mărime scalară este o caracteristică importantă a câmpului electric și se numește divergenta vectoriala .

Prin urmare:

,

prin urmare

, (8)

Unde - densitatea de sarcină volumetrică.

Folosind această relație, problema inversă a electrostaticei este pur și simplu rezolvată, adică. găsirea taxelor distribuite pe un câmp cunoscut.

Dacă vectorul este dat, ceea ce înseamnă că proiecțiile sale sunt cunoscute
,
,
pe axele de coordonate în funcție de coordonate și pentru a calcula densitatea distribuită a sarcinilor care au creat un câmp dat, rezultă că este suficient să găsim suma a trei derivate parțiale ale acestor proiecții în raport cu variabilele corespunzătoare. În acele puncte pentru care
fără taxe. În punctele în care
pozitiv, există o sarcină pozitivă cu o densitate de volum egală cu
, iar în acele puncte în care
va avea o valoare negativă, există o sarcină negativă, a cărei densitate este determinată și de valoarea divergenței.

Expresia (8) reprezintă Teorema 0-Г sub formă diferenţială. În această formă teorema arată că că sursele câmpului electric sunt sarcini electrice libere; liniile de câmp ale vectorului de inducție electrică încep și se termină la sarcini pozitive și, respectiv, negative.

Când există multe taxe, apar unele dificultăți la calcularea câmpurilor.

Teorema lui Gauss ajută la depășirea lor. Esenta teorema lui Gauss se rezumă la următoarele: dacă un număr arbitrar de sarcini sunt înconjurate mental de o suprafață închisă S, atunci fluxul intensității câmpului electric printr-o zonă elementară dS poate fi scris ca dФ = Есоsα۰dS unde α este unghiul dintre normala și planul și vectorul rezistență . (Fig. 12.7)

Fluxul total prin întreaga suprafață va fi egal cu suma fluxurilor de la toate sarcinile distribuite aleatoriu în interiorul acesteia și proporțional cu mărimea acestei sarcini.

(12.9)

Să determinăm curgerea vectorului intensitate printr-o suprafață sferică de rază r, în centrul căreia se află o sarcină punctiformă +q (Fig. 12.8). Liniile de tensiune sunt perpendiculare pe suprafața sferei, α = 0, deci cosα = 1. Atunci

Dacă câmpul este format dintr-un sistem de taxe, atunci

Teorema lui Gauss: fluxul vectorului intensității câmpului electrostatic în vid prin orice suprafață închisă este egal cu suma algebrică a sarcinilor conținute în interiorul acestei suprafețe, împărțită la constanta electrică.

(12.10)

Dacă nu există încărcături în interiorul sferei, atunci Ф = 0.

Teorema lui Gauss face relativ simplu calcularea câmpurilor electrice pentru sarcini distribuite simetric.

Să introducem conceptul de densitate a sarcinilor distribuite.

Densitatea liniară se notează τ și caracterizează sarcina q pe unitatea de lungime ℓ. În general, poate fi calculat folosind formula

(12.11)

Cu o distribuție uniformă a sarcinilor, densitatea liniară este egală cu

Densitatea suprafeței se notează cu σ și caracterizează sarcina q pe unitatea de suprafață S. În general, este determinată de formula

(12.12)

Cu o distribuție uniformă a sarcinilor pe suprafață, densitatea suprafeței este egală cu

Densitatea de volum se notează cu ρ și caracterizează sarcina q pe unitatea de volum V. În general, este determinată de formula

(12.13)

Cu o distribuție uniformă a sarcinilor, este egală cu
.

Deoarece sarcina q este distribuită uniform pe sferă, atunci

σ = const. Să aplicăm teorema lui Gauss. Să desenăm o sferă cu rază prin punctul A. Curgerea vectorului tensiune din Fig. 12.9 printr-o suprafață sferică cu rază este egal cu cosα = 1, deoarece α = 0. Conform teoremei lui Gauss,
.

sau

(12.14)

Din expresia (12.14) rezultă că intensitatea câmpului în afara sferei încărcate este aceeași cu intensitatea câmpului unei sarcini punctiforme plasate în centrul sferei. Pe suprafata sferei, i.e. r 1 = r 0, tensiune
.

În interiorul sferei r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Un cilindru cu raza r 0 este încărcat uniform cu densitatea suprafeței σ (Fig. 12.10). Să determinăm intensitatea câmpului într-un punct A ales în mod arbitrar. Să desenăm o suprafață cilindrică imaginară cu raza R și lungimea ℓ prin punctul A. Datorită simetriei, fluxul va ieși numai prin suprafețele laterale ale cilindrului, deoarece sarcinile de pe cilindrul cu raza r 0 sunt distribuite uniform pe suprafața acestuia, adică. liniile de tensiune vor fi drepte radiale, perpendiculare pe suprafețele laterale ale ambilor cilindri. Deoarece curgerea prin baza cilindrilor este zero (cos α = 0), iar suprafața laterală a cilindrului este perpendiculară pe liniile de forță (cos α = 1), atunci

sau

(12.15)

Să exprimăm valoarea lui E prin σ - densitatea suprafeței. A-priorie,

prin urmare,

Să înlocuim valoarea lui q în formula (12.15)

(12.16)

Prin definiția densității liniare,
, Unde
; substituim această expresie în formula (12.16):

(12.17)

acestea. Intensitatea câmpului creat de un cilindru încărcat infinit de lung este proporțională cu densitatea de sarcină liniară și invers proporțională cu distanța.

Intensitatea câmpului creată de un plan infinit încărcat uniform

Să determinăm intensitatea câmpului creat de un plan infinit încărcat uniform în punctul A. Fie ca densitatea de sarcină la suprafață a planului să fie egală cu σ. Ca suprafață închisă, este convenabil să alegeți un cilindru a cărui axă este perpendiculară pe plan și a cărui bază dreaptă conține punctul A. Planul împarte cilindrul în jumătate. Evident, liniile de forță sunt perpendiculare pe plan și paralele cu suprafața laterală a cilindrului, astfel încât întregul flux trece doar prin baza cilindrului. Pe ambele baze intensitatea câmpului este aceeași, deoarece punctele A și B sunt simetrice față de plan. Apoi debitul prin baza cilindrului este egal cu

Conform teoremei lui Gauss,

Deoarece
, Acea
, Unde

(12.18)

Astfel, intensitatea câmpului unui plan infinit de încărcare este proporțională cu densitatea de încărcare a suprafeței și nu depinde de distanța până la plan. Prin urmare, câmpul planului este uniform.

Intensitatea câmpului creată de două plane paralele încărcate uniform opus

Câmpul rezultat creat de două planuri este determinat de principiul suprapunerii câmpului:
(Fig. 12.12). Câmpul creat de fiecare plan este uniform, puterile acestor câmpuri sunt egale ca mărime, dar direcție opusă:
. Conform principiului suprapunerii, intensitatea totală a câmpului în afara planului este zero:

Între planuri, intensitățile câmpului au aceleași direcții, deci puterea rezultată este egală cu

Astfel, câmpul dintre două planuri încărcate diferit este uniform și intensitatea sa este de două ori mai puternică decât intensitatea câmpului creat de un plan. Nu există câmp în stânga și în dreapta avioanelor. Câmpul planurilor finite are aceeași formă; Folosind formula rezultată, puteți calcula câmpul dintre plăcile unui condensator plat.

Legea interacțiunii sarcinilor electrice - legea lui Coulomb - poate fi formulată diferit, sub forma așa-numitei teoreme Gauss. Teorema lui Gauss este obținută ca o consecință a legii lui Coulomb și a principiului suprapunerii. Dovada se bazează pe proporționalitatea inversă a forței de interacțiune dintre două sarcini punctuale cu pătratul distanței dintre ele. Prin urmare, teorema lui Gauss este aplicabilă oricărui câmp fizic în care legea inversului pătratului și principiul suprapunerii se aplică, de exemplu, câmpului gravitațional.

Orez. 9. Liniile intensității câmpului electric ale unei sarcini punctiforme care intersectează o suprafață închisă X

Pentru a formula teorema lui Gauss, să revenim la imaginea liniilor câmpului electric ale unei sarcini punctiforme staționare. Liniile de câmp ale unei sarcini punctiforme solitare sunt linii drepte radiale situate simetric (Fig. 7). Puteți desena orice număr de astfel de linii. Să notăm numărul lor total cu Atunci densitatea liniilor de câmp la o distanță de sarcină, adică numărul de linii care traversează o unitate de suprafață a unei sfere de rază este egal cu Compararea acestei relații cu expresia pentru intensitatea câmpului unui sarcină punctiformă (4), vedem că densitatea liniilor este proporțională cu intensitatea câmpului. Putem face aceste cantități egale numeric prin alegerea corectă a numărului total de linii de câmp N:

Astfel, suprafața unei sfere de orice rază care cuprinde o sarcină punctiformă intersectează același număr de linii de forță. Aceasta înseamnă că liniile de forță sunt continue: în intervalul dintre oricare două sfere concentrice de raze diferite, niciuna dintre linii nu este întreruptă și nu se adaugă altele noi. Deoarece liniile de câmp sunt continue, același număr de linii de câmp intersectează orice suprafață închisă (Fig. 9) care acoperă sarcina

Liniile de forță au o direcție. În cazul unei sarcini pozitive, acestea ies de pe suprafața închisă care înconjoară sarcina, așa cum se arată în Fig. 9. În cazul unei sarcini negative, acestea intră în interiorul suprafeței. Dacă numărul de linii de ieșire este considerat pozitiv și numărul de linii de intrare negativ, atunci în formula (8) putem omite semnul modulului sarcinii și îl putem scrie sub forma

Flux de tensiune. Să introducem acum conceptul de flux vectorial al intensității câmpului printr-o suprafață. Un câmp arbitrar poate fi împărțit mental în zone mici în care intensitatea se schimbă în mărime și direcție atât de puțin încât în ​​această zonă câmpul poate fi considerat uniform. În fiecare astfel de zonă, liniile de forță sunt drepte paralele și au o densitate constantă.

Orez. 10. Să se determine fluxul vectorului intensității câmpului prin amplasament

Să luăm în considerare câte linii de forță pătrund într-o zonă mică, direcția normalei la care formează un unghi a cu direcția liniilor de tensiune (Fig. 10). Fie o proiecție pe un plan perpendicular pe liniile de forță. Deoarece numărul de linii care se încrucișează este același, iar densitatea liniilor, în conformitate cu condiția acceptată, este egală cu modulul intensității câmpului E, atunci

Valoarea a este proiecția vectorului E pe direcția normalei la loc

Prin urmare, numărul de linii electrice care traversează zona este egal cu

Produsul se numește flux de câmp prin suprafață Formula (10) arată că fluxul vectorului E prin suprafață este egal cu numărul de linii de câmp care traversează această suprafață. Rețineți că fluxul vectorial de intensitate, ca și numărul de linii de câmp care trec prin suprafață, este un scalar.

Orez. 11. Curgerea vectorului de tensiune E prin amplasament

Dependența fluxului de orientarea locului în raport cu liniile de forță este ilustrată în Fig.

Fluxul intensității câmpului printr-o suprafață arbitrară este suma fluxurilor prin zonele elementare în care această suprafață poate fi împărțită. În virtutea relațiilor (9) și (10), se poate afirma că fluxul intensității câmpului unei sarcini punctiforme prin orice suprafață închisă 2 care învelește sarcina (vezi Fig. 9), ca număr de linii de câmp care ies din această suprafață este egală cu. În acest caz, vectorul normal la suprafața închisă a zonelor elementare ar trebui să fie îndreptat spre exterior. Dacă sarcina din interiorul suprafeței este negativă, atunci liniile de câmp intră în interiorul acestei suprafețe și fluxul vectorului intensității câmpului asociat cu sarcina este, de asemenea, negativ.

Dacă există mai multe sarcini în interiorul unei suprafețe închise, atunci, în conformitate cu principiul suprapunerii, fluxurile intensităților câmpului lor se vor aduna. Fluxul total va fi egal cu unde ar trebui să fie înțeles ca suma algebrică a tuturor sarcinilor situate în interiorul suprafeței.

Dacă nu există sarcini electrice în interiorul unei suprafețe închise sau suma lor algebrică este zero, atunci fluxul total al intensității câmpului prin această suprafață este zero: câte linii de forță intră în volumul delimitat de suprafață, același număr iese.

Acum putem formula în sfârșit teorema lui Gauss: fluxul vectorului intensității câmpului electric E în vid prin orice suprafață închisă este proporțional cu sarcina totală situată în interiorul acestei suprafețe. Matematic, teorema lui Gauss este exprimată prin aceeași formulă (9), unde prin se înțelege suma algebrică a sarcinilor. În electrostatic absolut

în sistemul de unități SGSE, coeficientul și teorema lui Gauss sunt scrise sub forma

În SI și fluxul de tensiune printr-o suprafață închisă este exprimat prin formula

Teorema lui Gauss este utilizată pe scară largă în electrostatică. În unele cazuri, poate fi folosit pentru a calcula cu ușurință câmpurile create de taxe situate simetric.

Câmpuri de surse simetrice. Să aplicăm teorema lui Gauss pentru a calcula intensitatea câmpului electric încărcat uniform pe suprafața unei bile cu rază. Pentru certitudine, vom presupune că sarcina sa este pozitivă. Distribuția sarcinilor care creează câmpul are simetrie sferică. Prin urmare, câmpul are și el aceeași simetrie. Liniile de forță ale unui astfel de câmp sunt direcționate de-a lungul razelor, iar modulul de intensitate este același în toate punctele echidistante de centrul mingii.

Pentru a găsi intensitatea câmpului la o distanță de centrul mingii, să desenăm mental o suprafață sferică de rază concentrică cu mingea, deoarece în toate punctele acestei sfere intensitatea câmpului este direcționată perpendicular pe suprafața acesteia la fel ca valoare absolută, fluxul de intensitate este pur și simplu egal cu produsul dintre intensitatea câmpului și suprafața sferei:

Dar această mărime poate fi exprimată și folosind teorema lui Gauss. Dacă suntem interesați de terenul din afara mingii, adică atunci, de exemplu, în SI și, comparând cu (13), găsim

În sistemul de unități SGSE, evident,

Astfel, în afara mingii puterea câmpului este aceeași cu cea a unei încărcături punctiforme plasate în centrul mingii. Dacă suntem interesați de câmpul din interiorul mingii, adică, deoarece întreaga sarcină distribuită pe suprafața mingii este situată în afara sferei, am desenat mental. Prin urmare, nu există câmp în interiorul mingii:

În mod similar, folosind teorema lui Gauss, se poate calcula câmpul electrostatic creat de o încărcare infinită.

plan cu o densitate constantă în toate punctele planului. Din motive de simetrie, putem presupune că liniile de forță sunt perpendiculare pe plan, îndreptate din acesta în ambele direcții și au aceeași densitate peste tot. Într-adevăr, dacă densitatea liniilor de câmp în diferite puncte ar fi diferită, atunci mutarea unui plan încărcat de-a lungul ei însuși ar duce la o schimbare a câmpului în aceste puncte, ceea ce contrazice simetria sistemului - o astfel de schimbare nu ar trebui să schimbe câmpul. Cu alte cuvinte, câmpul unui plan infinit încărcat uniform este uniform.

Ca suprafață închisă pentru aplicarea teoremei lui Gauss, alegem suprafața unui cilindru construit astfel: generatoarea cilindrului este paralelă cu liniile de forță, iar bazele au zone paralele cu planul încărcat și se află pe părțile opuse ale acestuia. (Fig. 12). Fluxul intensității câmpului prin suprafața laterală este zero, deci fluxul total prin suprafața închisă este egal cu suma fluxurilor prin bazele cilindrului:

Orez. 12. Către calculul intensității câmpului unui plan încărcat uniform

Conform teoremei lui Gauss, același flux este determinat de sarcina acelei părți a planului care se află în interiorul cilindrului, iar în SI este egal cu Comparând aceste expresii pentru flux, găsim

În sistemul SGSE, intensitatea câmpului unui plan infinit încărcat uniform este dată de formula

Pentru o placă uniform încărcată de dimensiuni finite, expresiile obţinute sunt aproximativ valabile într-o regiune situată suficient de departe de marginile plăcii şi nu prea departe de suprafaţa acesteia. În apropierea marginilor plăcii, câmpul nu va mai fi uniform și liniile sale de câmp vor fi îndoite. La distanțe foarte mari în comparație cu dimensiunea plăcii, câmpul scade cu distanța în același mod ca și câmpul unei sarcini punctiforme.

Alte exemple de câmpuri create de surse distribuite simetric includ câmpul unui încărcat uniform pe lungimea unui fir rectiliniu infinit, câmpul unui cilindru circular infinit încărcat uniform, câmpul unei bile,

încărcat uniform pe tot volumul etc. Teorema lui Gauss face posibilă calcularea cu ușurință a intensității câmpului în toate aceste cazuri.

Teorema lui Gauss oferă o relație între câmp și sursele sale, într-un fel opusă celei date de legea lui Coulomb, care permite determinarea câmpului electric din sarcini date. Folosind teorema lui Gauss, puteți determina sarcina totală în orice regiune a spațiului în care este cunoscută distribuția câmpului electric.

Care este diferența dintre conceptele de acțiune cu rază lungă și rază scurtă atunci când descriem interacțiunea sarcinilor electrice? În ce măsură aceste concepte pot fi aplicate interacțiunilor gravitaționale?

Ce este puterea câmpului electric? Ce înseamnă ele când se numește forță caracteristică câmpului electric?

Cum se poate judeca direcția și mărimea intensității câmpului la un anumit punct din modelul liniilor de câmp?

Se pot intersecta liniile câmpului electric? Spuneți motivele răspunsului dvs.

Desenați o imagine calitativă a liniilor de câmp electrostatic a două sarcini astfel încât .

Fluxul intensității câmpului electric printr-o suprafață închisă este exprimat prin diferite formule (11) și (12) în unitățile GSE și SI. Cum poate fi reconciliat acest lucru cu semnificația geometrică a curgerii, determinată de numărul de linii de forță care traversează suprafața?

Cum să folosiți teorema lui Gauss pentru a găsi intensitatea câmpului electric atunci când sarcinile care o creează sunt distribuite simetric?

Cum se aplică formulele (14) și (15) pentru a calcula intensitatea câmpului unei mingi cu sarcină negativă?

Teorema lui Gauss și geometria spațiului fizic. Să ne uităm la demonstrarea teoremei lui Gauss dintr-un punct de vedere ușor diferit. Să revenim la formula (7), din care sa concluzionat că același număr de linii de forță trece prin orice suprafață sferică care înconjoară o sarcină. Această concluzie se datorează faptului că există o reducere a numitorilor ambelor părți ale egalității.

În partea dreaptă a apărut datorită faptului că forța de interacțiune dintre sarcini, descrisă de legea lui Coulomb, este invers proporțională cu pătratul distanței dintre sarcini. În partea stângă, aspectul este legat de geometrie: aria suprafeței unei sfere este proporțională cu pătratul razei sale.

Proporționalitatea suprafeței cu pătratul dimensiunilor liniare este un semn distinctiv al geometriei euclidiene în spațiul tridimensional. Într-adevăr, proporționalitatea ariilor exact cu pătratele dimensiunilor liniare, și nu cu orice alt grad întreg, este caracteristică spațiului

trei dimensiuni. Faptul că acest exponent este exact egal cu doi și nu diferă de doi, chiar și cu o cantitate neglijabil de mică, indică faptul că acest spațiu tridimensional nu este curbat, adică geometria sa este tocmai euclidiană.

Astfel, teorema lui Gauss este o manifestare a proprietăților spațiului fizic în legea fundamentală a interacțiunii sarcinilor electrice.

Ideea unei legături strânse între legile fundamentale ale fizicii și proprietățile spațiului a fost exprimată de multe minți remarcabile cu mult înainte ca aceste legi în sine să fie stabilite. Astfel, I. Kant, cu trei decenii înainte de descoperirea legii lui Coulomb, scria despre proprietățile spațiului: „Tridimensionalitatea apare, aparent, pentru că substanțele din lumea existentă acționează unele asupra altora în așa fel încât forța de acțiune este invers proporțional cu pătratul distanței.”

Legea lui Coulomb și teorema lui Gauss reprezintă de fapt aceeași lege a naturii exprimată în forme diferite. Legea lui Coulomb reflectă conceptul de acțiune cu rază lungă de acțiune, în timp ce teorema lui Gauss provine din ideea unui câmp de forță care umple spațiul, adică din conceptul de acțiune cu rază scurtă de acțiune. În electrostatică, sursa câmpului de forță este o sarcină, iar caracteristica câmpului asociat sursei - fluxul de intensitate - nu se poate modifica în spațiul gol unde nu există alte sarcini. Întrucât fluxul poate fi imaginat vizual ca un set de linii de câmp, imuabilitatea fluxului se manifestă în continuitatea acestor linii.

Teorema lui Gauss, bazată pe proporționalitatea inversă a interacțiunii cu pătratul distanței și pe principiul suprapunerii (aditivitatea interacțiunii), este aplicabilă oricărui câmp fizic în care funcționează legea inversului pătratului. În special, este valabil și pentru câmpul gravitațional. Este clar că aceasta nu este doar o coincidență, ci o reflectare a faptului că atât interacțiunile electrice, cât și cele gravitaționale se desfășoară în spațiul fizic euclidian tridimensional.

Pe ce caracteristică a legii interacțiunii sarcinilor electrice se bazează teorema Gauss?

Demonstrați, pe baza teoremei lui Gauss, că intensitatea câmpului electric al unei sarcini punctiforme este invers proporțională cu pătratul distanței. Ce proprietăți ale simetriei spațiale sunt utilizate în această demonstrație?

Cum se reflectă geometria spațiului fizic în legea lui Coulomb și teorema lui Gauss? Ce caracteristică a acestor legi indică natura euclidiană a geometriei și tridimensionalitatea spațiului fizic?

Flux vectorial al intensității câmpului electric. Lasă o platformă mică DS(Fig. 1.2) intersectează liniile câmpului electric, a căror direcție este cu normala n unghi față de acest site A. Presupunând că vectorul de tensiune E nu se modifică în cadrul site-ului DS, să definim fluxul vectorului de tensiune prin platformă DS Cum

DFE =E DS cos A.(1.3)

Deoarece densitatea liniilor electrice este egală cu valoarea numerică a tensiunii E, apoi numărul de linii electrice care traversează zonaDS, va fi egal numeric cu valoarea debituluiDFEprin suprafataDS. Să reprezentăm partea dreaptă a expresiei (1.3) ca produs scalar al vectorilor EȘiDS= nDS, Unde n– vector unitar normal la suprafațăDS. Pentru o zonă elementară d S expresia (1.3) ia forma

dFE = E d S

Pe întregul site S fluxul vectorului de tensiune se calculează ca integrală peste suprafață

Flux vectorial de inducție electrică. Fluxul vectorului de inducție electrică este determinat în mod similar cu fluxul vectorului intensității câmpului electric

dFD = D d S

Există o oarecare ambiguitate în definițiile fluxurilor datorită faptului că pentru fiecare suprafață două normale în sens opus. Pentru o suprafață închisă, normala exterioară este considerată pozitivă.

teorema lui Gauss. Sa luam in considerare punct pozitiv incarcare electrica q, situat în interiorul unei suprafețe închise arbitrare S(Fig. 1.3). Flux vectorial de inducție prin elementul de suprafață d S egală
(1.4)

Componenta d S D = d S cos Aelement de suprafață d Sîn direcția vectorului de inducțieDconsiderat ca un element al unei suprafeţe sferice de rază r, în centrul căruia se află taxaq.

Având în vedere că d S D/ r 2 este egal corporale elementare colț dw, sub care din punctul în care se află încărcăturaqelement de suprafață d vizibil S, transformăm expresia (1.4) în forma d FD = q d w / 4 p, de unde, după integrare pe întreg spațiul care înconjoară sarcina, adică în unghiul solid de la 0 la 4p, primim

FD = q.

Fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă de formă arbitrară este egal cu sarcina conținută în interiorul acestei suprafețe.

Dacă o suprafață închisă arbitrară S nu acoperă o taxă punctuală q(Fig. 1.4), apoi, după ce am construit o suprafață conică cu vârful în punctul în care se află sarcina, împărțim suprafața S in doua parti: S 1 și S 2. Vector de flux D prin suprafata S găsim ca sumă algebrică a fluxurilor prin suprafețe S 1 și S 2:

.

Ambele suprafețe din punctul în care se află încărcarea q vizibil dintr-un unghi solid w. Prin urmare, debitele sunt egale

Deoarece atunci când calculăm debitul printr-o suprafață închisă, folosim normal exterior la suprafață, este ușor de observat că fluxul F 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Debit total Ф D= 0. Aceasta înseamnă că curgerea vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă de formă arbitrară nu depinde de sarcinile situate în afara acestei suprafețe.

Dacă câmpul electric este creat de un sistem de sarcini punctuale q 1 , q 2 ,¼ , qn, care este acoperit de o suprafață închisă S, atunci, în conformitate cu principiul suprapunerii, fluxul vectorului de inducție prin această suprafață este determinat ca suma fluxurilor create de fiecare dintre sarcini. Fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă de formă arbitrară este egal cu suma algebrică a sarcinilor acoperite de această suprafață.:

Trebuie remarcat faptul că taxele qi nu trebuie să fie punctiforme, o condiție necesară este ca zona încărcată să fie acoperită complet de suprafață. Dacă într-un spațiu delimitat de o suprafață închisă S, sarcina electrică este distribuită continuu, atunci ar trebui să presupunem că fiecare volum elementar d V are o taxă. În acest caz, în partea dreaptă a expresiei (1.5), însumarea algebrică a sarcinilor este înlocuită cu integrarea peste volumul închis în interiorul unei suprafețe închise. S:

(1.6)

Expresia (1.6) este formularea cea mai generală teorema lui Gauss: fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă de formă arbitrară este egal cu sarcina totală din volumul acoperit de această suprafață și nu depinde de sarcinile situate în afara suprafeței luate în considerare. Teorema lui Gauss poate fi scrisă și pentru fluxul vectorului intensității câmpului electric:

.

O proprietate importantă a câmpului electric rezultă din teorema lui Gauss: liniile de forță încep sau se termină numai pe sarcini electrice sau merg la infinit. Să subliniem încă o dată că, în ciuda faptului că intensitatea câmpului electric E și inducție electrică D depind de locația în spațiu a tuturor sarcinilor, fluxurile acestor vectori printr-o suprafață închisă arbitrară S sunt doar determinate acele sarcini care se află în interiorul suprafeței S.

Forma diferențială a teoremei lui Gauss. Rețineți că formă integrală Teorema lui Gauss caracterizează relația dintre sursele câmpului electric (sarcini) și caracteristicile câmpului electric (tensiune sau inducție) în volum V arbitrar, dar suficient pentru formarea relațiilor integrale, amploare. Prin împărțirea volumului V pentru volume mici V i, obținem expresia

valabil atât în ​​ansamblu cât și pentru fiecare termen. Să transformăm expresia rezultată după cum urmează:

(1.7)

și luați în considerare limita la care expresia din partea dreaptă a egalității, cuprinsă între paranteze, tinde spre o împărțire nelimitată a volumului V. În matematică această limită se numește divergenţă vector (în acest caz, vectorul inducției electrice D):

Divergenta vectoriala Dîn coordonate carteziene:

Astfel, expresia (1.7) este transformată în forma:

.

Având în vedere că la împărțirea nelimitată suma din partea stângă a ultimei expresii merge într-o integrală de volum, obținem

Relația rezultată trebuie să fie satisfăcută pentru orice volum ales arbitrar V. Acest lucru este posibil numai dacă valorile integranților în fiecare punct din spațiu sunt aceleași. Prin urmare, divergența vectorului D este legată de densitatea de sarcină în același punct prin egalitate

sau pentru vectorul intensității câmpului electrostatic

Aceste egalități exprimă teorema lui Gauss în formă diferențială.

Rețineți că în procesul de trecere la forma diferențială a teoremei lui Gauss se obține o relație care are un caracter general:

.

Expresia se numește formula Gauss-Ostrogradsky și conectează integrala de volum a divergenței unui vector cu fluxul acestui vector printr-o suprafață închisă care limitează volumul.

Întrebări

1) Care este semnificația fizică a teoremei lui Gauss pentru câmpul electrostatic în vid

2) Există o încărcare punctiformă în centrul cubuluiq. Care este fluxul unui vector? E:

a) prin întreaga suprafață a cubului; b) printr-una din feţele cubului.

Se vor schimba răspunsurile dacă:

a) sarcina nu se află în centrul cubului, ci în interiorul acestuia ; b) sarcina este în afara cubului.

3) Ce sunt densitățile de sarcină liniare, de suprafață, de volum.

4) Indicați relația dintre volum și densitățile de sarcină la suprafață.

5) Câmpul din afara planurilor infinite paralele încărcate opus și uniform poate fi diferit de zero?

6) Un dipol electric este plasat în interiorul unei suprafețe închise. Care este curgerea prin această suprafață

Formulare generală: fluxul vectorului intensității câmpului electric prin orice suprafață închisă aleasă în mod arbitrar este proporțional cu sarcina electrică conținută în interiorul acestei suprafețe.

În sistemul SGSE:

În sistemul SI:

este fluxul vectorului intensității câmpului electric printr-o suprafață închisă.

- sarcina totala continuta in volumul care limiteaza suprafata.

- constanta electrica.

Această expresie reprezintă teorema lui Gauss în formă integrală.

În formă diferențială, teorema lui Gauss corespunde uneia dintre ecuațiile lui Maxwell și se exprimă după cum urmează

în sistemul SI:

,

în sistemul SGSE:

Aici este densitatea de sarcină volumetrică (în cazul prezenței unui mediu, densitatea totală a sarcinilor libere și legate) și este operatorul nabla.

Pentru teorema lui Gauss este valabil principiul suprapunerii, adică fluxul vectorului de intensitate prin suprafață nu depinde de distribuția sarcinii în interiorul suprafeței.

Baza fizică a teoremei lui Gauss este legea lui Coulomb sau, cu alte cuvinte, teorema lui Gauss este o formulare integrală a legii lui Coulomb.

Teorema lui Gauss pentru inducția electrică (deplasarea electrică).

Pentru un câmp în materie, teorema electrostatică a lui Gauss poate fi scrisă diferit - prin fluxul vectorului de deplasare electrică (inducție electrică). În acest caz, formularea teoremei este următoarea: fluxul vectorului deplasării electrice printr-o suprafață închisă este proporțional cu sarcina electrică liberă conținută în interiorul acestei suprafețe:

Dacă luăm în considerare teorema pentru intensitatea câmpului dintr-o substanță, atunci ca sarcină Q este necesar să luăm suma sarcinii libere situate în interiorul suprafeței și sarcina de polarizare (indusă, legată) a dielectricului:

,

Unde ,
este vectorul de polarizare al dielectricului.

Teorema lui Gauss pentru inducția magnetică

Fluxul vectorului de inducție magnetică prin orice suprafață închisă este zero:

.

Acest lucru este echivalent cu faptul că în natură nu există „sarcini magnetice” (monopoli) care ar crea un câmp magnetic, la fel cum sarcinile electrice creează un câmp electric. Cu alte cuvinte, teorema lui Gauss pentru inducția magnetică arată că câmpul magnetic este un vortex.

Aplicarea teoremei lui Gauss

Pentru a calcula câmpurile electromagnetice sunt utilizate următoarele mărimi:

Densitatea de sarcină volumetrică (vezi mai sus).

Densitatea sarcinii de suprafață

unde dS este o suprafață infinitezimală.

Densitatea de sarcină liniară

unde dl este lungimea unui segment infinitezimal.

Să considerăm câmpul creat de un plan infinit uniform încărcat. Fie ca densitatea de sarcină la suprafață a planului să fie aceeași și egală cu σ. Să ne imaginăm un cilindru cu generatrice perpendiculară pe plan și o bază ΔS situată simetric față de plan. Datorită simetriei. Fluxul vectorului tensiune este egal cu . Aplicând teorema lui Gauss, obținem:

,

de la care

în sistemul SSSE

Este important de menționat că, în ciuda universalității și generalității sale, teorema lui Gauss în formă integrală are o aplicație relativ limitată din cauza inconvenientului de a calcula integrala. Totuși, în cazul unei probleme simetrice, soluția acesteia devine mult mai simplă decât utilizarea principiului suprapunerii.