Metoda de descompunere a rândurilor matriceale. Descompunerea determinanților în elemente ale seriei sale. Reducerea determinantului la formă triunghiulară

1. Teorema de expansiune:

Fiecare determinant este egal cu suma produselor perechi ale elementelor oricărei serii și a complementelor lor algebrice.

Pentru eu- randurile:

sau pentru j a coloana:

Exemplul 7.1. Calculați determinantul extinzându-se peste elementele primului rând:

1∙(1+12+12 ) ∙(2+16+18 )+

3∙(4+8+27 ) ∙(8+4+18 )=

Teorema expansiunii ne permite să înlocuim calculul unui singur determinant n- calculul ordinului n determinanti ( n- 1) ordinul.

Cu toate acestea, pentru a simplifica calculele, este recomandabil ca determinanții de ordin înalt să folosească metoda „înmulțirii zero”, bazată pe proprietatea 6 din Secțiunea 5. Ideea sa:

În primul rând, „înmulțiți zerourile” într-o anumită serie, de exemplu. obțineți o serie în care un singur element nu este egal cu zero, restul sunt zerouri;

Apoi extindeți determinantul în elementele acestei serii.

Prin urmare, pe baza teoremei de descompunere, determinantul inițial este egal cu produsul unui element diferit de zero și complementul său algebric.

Exemplul 7.2. Calculați determinantul:

.

„Înmulțiți zerourile” în prima coloană.

Din a doua linie o scadem pe prima, inmultita cu 2, din a treia linie o scadem pe prima, inmultita cu 3, iar din a patra linie o scadem pe prima, inmultita cu 4. Cu astfel de transformari, valoarea determinantului va nu se schimba.

Prin proprietatea 4 a secțiunii 5 putem scoate semnul determinant din coloana 1, din coloana a 2-a și din coloana a 3-a.

Consecinţă: Determinantul cu seria zero este egal cu zero.

2. Teorema de substituție:

Suma produselor perechi ale oricăror numere prin complementele algebrice ale unei anumite serii ale unui determinant este egală cu determinantul care se obține din cel dat dacă înlocuim elementele acestei serii cu numerele luate.

Pentru a treia linie:

1. Teorema de anulare:

Suma produselor perechi ale elementelor oricărei serii prin complementele algebrice ale unei serii paralele este egală cu zero.

Într-adevăr, prin teorema substituţiei obţinem un determinant al cărui k-a linie conține aceleași elemente ca în i a linia

Dar prin proprietatea 3 a secțiunii 5, un astfel de determinant este egal cu zero.

Astfel, teorema de descompunere și consecințele ei pot fi scrise după cum urmează:

8. Informații generale despre matrici. Definiții de bază.

Definiție 8.1 . Matrice Următorul tabel dreptunghiular se numește:

Se folosește și următoarea notație matriceală: , sau sau .

Rândurile și coloanele matricei sunt denumite în rânduri.

Se numește cantitatea mărimea matrici.

Dacă schimbăm rânduri și coloane într-o matrice, obținem o matrice numită transpus. Matrice transpusă din , indicat de obicei prin simbol .

De exemplu:

Definiție 8.2. Două matrice AȘi B sunt numite egal, Dacă

1) ambele matrice sunt de aceeași dimensiune, adică Și ;

2) toate elementele lor corespondente sunt egale, i.e.

Apoi . (8,2)

Aici o egalitate de matrice (8.2) este echivalentă cu egalitățile scalare (8.1).

9. Tipuri de matrice.

1) Se numește o matrice ale cărei elemente sunt toate egale cu zero matrice zero:

2) Dacă o matrice constă dintr-un singur rând, atunci se numește matrice de rânduri De exemplu . În mod similar, se numește o matrice care are o singură coloană coloană-matrice, De exemplu .

Transpose convertește o matrice de coloană într-o matrice de rând și invers.

3) Dacă m=n, atunci matricea este numită matrice pătrată de ordinul al n-lea.

Diagonala termenilor unei matrice pătrate care merge de la colțul din stânga sus la colțul din dreapta jos se numește principal. Cealaltă diagonală a membrilor săi, mergând de la colțul din stânga jos până la colțul din dreapta sus, este numită latură.

Pentru o matrice pătrată determinantul poate fi calculat det(A).

Determinant de matrice

Găsirea determinantului unei matrice este o problemă foarte comună în matematica superioară și algebră. De regulă, nu se poate face fără valoarea determinantului matricei atunci când rezolvăm sisteme complexe de ecuații. Metoda Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații se bazează pe calcularea determinantului unei matrice. Folosind definiția unui determinant, se determină prezența și unicitatea unei soluții la un sistem de ecuații. Prin urmare, este dificil de supraestimat importanța capacității de a găsi corect și precis determinantul unei matrice în matematică. Metodele de rezolvare a determinanților sunt teoretic destul de simple, dar pe măsură ce dimensiunea matricei crește, calculele devin foarte greoaie și necesită mare grijă și mult timp. Este foarte ușor să faci o greșeală minoră sau o greșeală de tipar în astfel de calcule matematice complexe, ceea ce va duce la o eroare în răspunsul final. Deci chiar dacă găsești determinant matriceal singur, este important să verificați rezultatul. Acest lucru se poate face cu serviciul nostru Găsirea determinantului unei matrice online. Serviciul nostru produce întotdeauna rezultate absolut exacte, fără erori sau erori materiale. Puteți refuza calculele independente, deoarece din punct de vedere aplicat, constatarea determinant al matricei Nu este de natură educațională, ci pur și simplu necesită mult timp și calcule numerice. Prin urmare, dacă în sarcina dvs definirea determinantului matriceal sunt auxiliare, calcule laterale, folosiți serviciul nostru și găsiți determinantul unei matrice online!

Toate calculele sunt efectuate automat cu cea mai mare precizie și sunt absolut gratuite. Avem o interfață foarte convenabilă pentru introducerea elementelor matriceale. Dar principala diferență între serviciul nostru și cele similare este posibilitatea de a obține o soluție detaliată. Serviciul nostru la calcularea determinantului unei matrice online folosește întotdeauna metoda cea mai simplă și cea mai scurtă și descrie în detaliu fiecare pas de transformări și simplificări. Deci obțineți nu doar valoarea determinantului matricei, rezultatul final, ci și o soluție completă detaliată.

Determinantul se calculează numai pentru matrice pătrată și este suma termenilor de ordinul n-lea. Un algoritm detaliat pentru calcularea acestuia va fi descris într-o soluție gata făcută, pe care o puteți primi imediat după introducerea condiției în acest calculator online. Aceasta este o oportunitate accesibilă și ușoară de a obține o teorie detaliată, deoarece soluția va fi prezentată cu o explicație detaliată a fiecărui pas.

Instrucțiunile pentru utilizarea acestui calculator sunt simple. Pentru a găsi un determinant de matrice online, trebuie mai întâi să decideți asupra dimensiunii matricei și să selectați numărul de coloane și, în consecință, rândurile din ea. Pentru a face acest lucru, faceți clic pe pictograma „+” sau „-”. Tot ce rămâne este să introduceți numerele necesare și să faceți clic pe „Calculați”. Puteți introduce atât numere întregi, cât și numere fracționale. Calculatorul va face toate lucrările necesare și vă va oferi rezultatul final.

Pentru a deveni un expert în matematică, trebuie să exersezi mult și persistent. Și nu strica niciodată să te verifici din nou. Prin urmare, atunci când vi se dă sarcina de a calcula determinantul unei matrice, este recomandabil să utilizați un calculator online. El se va descurca foarte repede și în câteva secunde va apărea o soluție gata făcută pe monitor. Acest lucru nu înseamnă că un calculator online ar trebui să înlocuiască calculele tradiționale pentru dvs. Dar este un ajutor excelent dacă sunteți interesat să înțelegeți algoritmul de calcul al determinantului unei matrice. În plus, aceasta este o oportunitate excelentă de a verifica dacă testul a fost finalizat corect și de a vă asigura împotriva unei evaluări nereușite.

Adesea în universități întâlnim probleme la matematică superioară în care este necesar calculați determinantul unei matrice. Apropo, determinantul poate fi doar în matrici pătrate. Mai jos vom lua în considerare definițiile de bază, ce proprietăți are determinantul și cum să-l calculăm corect.Vom arăta și o soluție detaliată folosind exemple.

Care este determinantul unei matrice: calcularea determinantului folosind definiția

Determinant de matrice

Al doilea ordin este un număr.

Determinantul unei matrice este notat – (prescurtare pentru numele latin pentru determinanți), sau .

Dacă:, atunci se dovedește

Să ne amintim câteva definiții suplimentare:

Definiție

Un set ordonat de numere care constă din elemente se numește permutare a ordinii.

Pentru o mulțime care conține elemente există un factorial (n), care este întotdeauna notat cu un semn de exclamare: . Permutările diferă unele de altele doar în ordinea în care apar. Pentru a fi mai clar, să dăm un exemplu:

Luați în considerare un set de trei elemente (3, 6, 7). Există 6 permutări în total, deoarece .:

Definiție

O inversare într-o permutare a ordinii este un set ordonat de numere (se mai numește și bijecție), unde două dintre ele formează un fel de dezordine. Acesta este momentul în care numărul mai mare dintr-o permutare dată este situat la stânga numărului mai mic.

Mai sus ne-am uitat la un exemplu cu inversarea unei permutații, unde erau numere . Deci, să luăm a doua linie, unde judecând după aceste numere se dovedește că , a , deoarece al doilea element este mai mare decât al treilea element. Să luăm spre comparație a șasea linie, unde se află numerele: . Există trei perechi aici: , și , deoarece title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Redat de QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Redat de QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Nu vom studia inversarea în sine, dar permutările ne vor fi foarte utile în analiza ulterioară a subiectului.

Definiție

Determinant al matricei x – număr:

este o permutare a numerelor de la 1 la un număr infinit și este numărul de inversiuni în permutare. Astfel, determinantul include termeni care sunt numiți „termeni ai determinantului”.

Puteți calcula determinantul unei matrice de ordinul doi, al treilea și chiar al patrulea. De asemenea, merită menționat:

Definiție

Determinantul unei matrice este numărul care este egal

Pentru a înțelege această formulă, să o descriem mai detaliat. Determinantul unei matrice pătrate x este o sumă care conține termeni, iar fiecare termen este produsul unui anumit număr de elemente ale matricei. Mai mult, în fiecare produs există câte un element din fiecare rând și fiecare coloană a matricei.

Poate apărea înaintea unui anumit termen dacă elementele matricei din produs sunt în ordine (după numărul rândului), iar numărul de inversiuni în permutarea mai multor numere de coloane este impar.

S-a menționat mai sus că determinantul unei matrice este notat cu sau, adică determinantul este adesea numit determinant.

Deci, să revenim la formula:

Din formulă este clar că determinantul unei matrice de ordinul întâi este un element al aceleiași matrice.

Calculul determinantului unei matrice de ordinul doi

Cel mai adesea, în practică, determinantul unei matrice este rezolvat folosind metode de ordinul doi, al treilea și mai rar, al patrulea. Să ne uităm la modul în care se calculează determinantul unei matrice de ordinul doi:

Într-o matrice de ordinul doi, rezultă că factorialul este . Înainte de a aplica formula

Este necesar să stabilim ce date obținem:

2. permutări de mulţimi: şi ;

3. numărul de inversiuni în permutare : și , din moment ce title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. lucrări corespunzătoare: și.

Se dovedește:

Pe baza celor de mai sus, obținem o formulă pentru calcularea determinantului unei matrice pătrate de ordinul doi, adică x:

Să ne uităm la un exemplu specific despre cum să calculăm determinantul unei matrice pătrate de ordinul doi:

Exemplu

Sarcină

Calculați determinantul matricei x:

Soluţie

Deci, obținem , , , .

Pentru a rezolva, trebuie să utilizați formula discutată anterior:

Inlocuim numerele din exemplu si gasim:

Răspuns

Determinant al matricei de ordinul doi = .

Calculul determinantului unei matrice de ordinul trei: exemplu și soluție folosind formula

Definiție

Determinantul unei matrice de ordinul trei este un număr obținut din nouă numere date dispuse într-un tabel pătrat,

Determinantul de ordinul trei se găsește aproape în același mod ca determinantul de ordinul doi. Singura diferență este în formulă. Prin urmare, dacă înțelegeți bine formula, atunci nu vor fi probleme cu soluția.

Luați în considerare o matrice pătrată de ordinul trei *:

Pe baza acestei matrice, înțelegem că, în consecință, factorial = , ceea ce înseamnă că permutările totale sunt

Pentru a aplica corect formula, trebuie să găsiți datele:

Deci, permutările totale ale mulțimii sunt:

Numărul de inversiuni în permutare este , iar produsele corespunzătoare = ;

Numărul de inversiuni în permutarea title="Redată de QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Inversări în permutarea title="Redată de QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

. ; inversiuni în permutare title="Redată de QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; inversiuni în permutare title="Redată de QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; inversiuni în permutare title="Redată de QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

Acum obținem:

Astfel, avem o formulă pentru calcularea determinantului unei matrice de ordinul x:

Găsirea unei matrice de ordinul trei folosind regula triunghiului (regula Sarrus)

După cum sa menționat mai sus, elementele determinantului de ordinul 3 sunt situate pe trei rânduri și trei coloane. Dacă introduceți denumirea elementului general, atunci primul element indică numărul rândului, iar al doilea element din indici denotă numărul coloanei. Există o diagonală principală (elemente) și secundară (elemente) ale determinantului. Termenii din partea dreaptă se numesc termeni ai determinantului).

Se poate observa că fiecare termen al determinantului este în diagramă cu un singur element în fiecare rând și fiecare coloană.

Puteți calcula determinantul folosind regula dreptunghiului, care este reprezentată sub forma unei diagrame. Se evidențiază cu roșu termenii determinantului din elementele diagonalei principale, precum și termenii din elementele care se află la vârful triunghiurilor care au o latură paralelă cu diagonala principală (diagrama din stânga), luate cu semnul .

Termenii cu săgeți albastre din elementele diagonalei laterale, precum și din elementele care se află la vârfurile triunghiurilor care au laturile paralele cu diagonala laterală (diagrama din dreapta) sunt luați cu semnul.

Folosind următorul exemplu, vom învăța cum să calculăm determinantul unei matrice pătrate de ordinul trei.

Exemplu

Sarcină

Calculați determinantul unei matrice de ordinul trei:

Soluţie

În acest exemplu:

Calculăm determinantul folosind formula sau schema discutată mai sus:

Răspuns

Determinant al unei matrice de ordinul trei =

Proprietățile de bază ale determinanților unei matrice de ordinul trei

Pe baza definițiilor și formulelor anterioare, să luăm în considerare principalele proprietățile determinantului matricei.

1. Mărimea determinantului nu se va modifica la înlocuirea rândurilor și coloanelor corespunzătoare (o astfel de înlocuire se numește transpunere).

Folosind un exemplu, ne vom asigura că determinantul matricei este egal cu determinantul matricei transpuse:

Să ne amintim formula de calcul a determinantului:

Transpuneți matricea:

Calculăm determinantul matricei transpuse:

Am verificat că determinantul matricei transportate este egal cu matricea originală, ceea ce indică soluția corectă.

2. Semnul determinantului se va schimba în opus dacă oricare dintre două coloane sau două rânduri ale acestuia sunt schimbate.

Să ne uităm la un exemplu:

Având în vedere două matrice de ordinul trei (x):

Este necesar să se arate că determinanții acestor matrici sunt opuși.

Soluţie

Rândurile din matrice și din matrice s-au schimbat (al treilea de la prima și de la primul la al treilea). Conform celei de-a doua proprietăți, determinanții a două matrici trebuie să difere ca semn. Adică, o matrice are un semn pozitiv, iar a doua are un semn negativ. Să verificăm această proprietate utilizând formula pentru a calcula determinantul.

Proprietatea este adevărată deoarece .

3. Un determinant este egal cu zero dacă are aceleași elemente corespunzătoare în două rânduri (coloane). Fie că determinantul are elemente identice ale primei și celei de-a doua coloane:

Schimbând coloane identice, conform Proprietății 2, obținem un nou determinant: = . Pe de altă parte, noul determinant coincide cu cel inițial, întrucât elementele au aceleași răspunsuri, adică = . Din aceste egalităţi obţinem: = .

4. Determinantul este egal cu zero dacă toate elementele unui rând (coloană) sunt zero. Această afirmație reiese din faptul că fiecare termen al determinantului conform formulei (1) are un singur element din fiecare rând (coloană), care are doar zerouri.

Să ne uităm la un exemplu:

Să arătăm că determinantul matricei este egal cu zero:

Matricea noastră are două coloane identice (a doua și a treia), prin urmare, pe baza acestei proprietăți, determinantul trebuie să fie egal cu zero. Sa verificam:

Într-adevăr, determinantul unei matrice cu două coloane identice este egal cu zero.

5. Factorul comun al elementelor din primul rând (coloană) poate fi scos din semnul determinant:

6. Dacă elementele unui rând sau unei coloane a unui determinant sunt proporționale cu elementele corespunzătoare ale celui de-al doilea rând (coloană), atunci un astfel de determinant este egal cu zero.

Într-adevăr, în urma proprietății 5, coeficientul de proporționalitate poate fi scos din semnul determinantului, iar apoi poate fi utilizată proprietatea 3.

7. Dacă fiecare dintre elementele rândurilor (coloanelor) determinantului este suma a doi termeni, atunci acest determinant poate fi prezentat ca suma determinanților corespunzători:

Pentru a verifica, este suficient să scrieți în formă extinsă conform (1) determinantul care se află în partea stângă a egalității, apoi grupați separat termenii care conțin elementele și .Fiecare dintre grupurile de termeni rezultate vor fi, respectiv , primul și al doilea determinant din partea dreaptă a egalității.

8. Valorile definiției nu se vor modifica dacă elementele corespunzătoare ale celui de-al doilea rând (coloană) sunt adăugate la un element dintr-un rând sau coloană, înmulțit cu același număr:

Această egalitate se obține pe baza proprietăților 6 și 7.

9. Determinantul matricei, , este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând sau coloană și a complementelor lor algebrice.

Aici prin intermediul complementului algebric al unui element de matrice. Folosind această proprietate, puteți calcula nu numai matrici de ordinul trei, ci și matrici de ordin superior (x sau x).Cu alte cuvinte, aceasta este o formulă recurentă care este necesară pentru a calcula determinantul unei matrici de orice ordin. . Ține minte, deoarece este adesea folosit în practică.

Merită spus că folosind a noua proprietate este posibil să se calculeze determinanții matricilor nu numai de ordinul al patrulea, ci și de ordine superioare. Cu toate acestea, în acest caz, trebuie să efectuați o mulțime de operații de calcul și să aveți grijă, deoarece cea mai mică eroare a semnelor va duce la o decizie incorectă. Cel mai convenabil este să rezolvi matrice de ordine superioară folosind metoda Gaussiană și despre asta vom vorbi mai târziu.

10. Determinantul produsului matricelor de același ordin este egal cu produsul determinanților lor.

Să ne uităm la un exemplu:

Exemplu

Sarcină

Asigurați-vă că determinantul a două matrice și este egal cu produsul determinanților lor. Sunt date două matrice:

Soluţie

În primul rând, găsim produsul determinanților a două matrici și .

Acum să înmulțim ambele matrice și să calculăm astfel determinantul:

Răspuns

Ne-am asigurat că

Calcularea determinantului unei matrice folosind metoda Gauss

Determinant de matrice actualizat: 22 noiembrie 2019 de: Articole stiintifice.Ru

Pentru determinanții de ordinul al patrulea și superior, alte metode de calcul decât utilizarea formulelor gata făcute sunt de obicei utilizate ca pentru calcularea determinanților de ordinul doi și trei. Una dintre metodele de calculare a determinanților de ordine superioară este utilizarea unui corolar al teoremei lui Laplace (teorema însăși poate fi găsită, de exemplu, în cartea lui A.G. Kurosh „Cursul de algebră superioară”). Acest corolar ne permite să extindem determinantul în elemente ale unui anumit rând sau coloană. În acest caz, calculul determinantului de ordinul n se reduce la calculul a n determinanți de ordinul (n-1). De aceea o astfel de transformare se numește reducerea ordinului determinantului. De exemplu, calcularea determinantului de ordinul al patrulea se reduce la găsirea a patru determinanți de ordinul trei.

Să presupunem că ni se dă o matrice pătrată de ordinul al n-lea, adică. $A=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \end(array) \right)$. Determinantul acestei matrice poate fi calculat prin extinderea acesteia pe rând sau coloană.

Să reparăm o linie al cărei număr este $i$. Apoi determinantul matricei $A_(n\times n)$ poate fi extins pe al-lea rând selectat folosind următoarea formulă:

\begin(equation) \Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(ecuație)

$A_(ij)$ denotă complementul algebric al elementului $a_(ij)$. Pentru informații detaliate despre acest concept, vă recomand să vă uitați la subiectul Complemente algebrice și minore. Notația $a_(ij)$ indică elementul matricei sau determinantului situat la intersecția rândului i al coloanei j. Pentru informații mai complete, puteți consulta subiectul Matrix. Tipuri de matrice. Termeni de bază.

Să presupunem că vrem să găsim suma $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$. Ce expresie poate descrie intrarea $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$? Putem spune așa: aceasta este suma unui pătrat, două pătrate, trei pătrate, patru pătrate și cinci pătrate. Sau o putem spune mai pe scurt: aceasta este suma pătratelor întregi de la 1 la 5. Pentru a exprima suma mai pe scurt, o putem scrie folosind litera $\sum$ (aceasta este litera greacă „sigma”). .

În loc de $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ putem folosi următoarea notație: $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2$. Se numește litera $i$ indicele de însumare, iar numerele 1 (valoarea inițială $i$) și 5 (valoarea finală $i$) sunt numite limitele inferioare și superioare de însumare respectiv.

Să descifrăm în detaliu intrarea $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2$. Dacă $i=1$, atunci $i^2=1^2$, deci primul termen al acestei sume va fi numărul $1^2$:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+\ldots $$

Următorul întreg după unu este doi, deci înlocuind $i=2$, obținem: $i^2=2^2$. Suma va fi acum:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+\ldots $$

După doi, următorul număr este trei, deci înlocuind $i=3$ vom avea: $i^2=3^2$. Și suma va arăta astfel:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+3^2+\ldots $$

Au mai rămas doar două numere de înlocuit: 4 și 5. Dacă înlocuiți $i=4$, atunci $i^2=4^2$, iar dacă înlocuiți $i=5$, atunci $i^2=5 ^2$. Valorile $i$ au atins limita superioară de însumare, deci termenul $5^2$ va fi ultimul. Deci, suma finală este acum:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2. $$

Această sumă poate fi calculată prin simpla adăugare a numerelor: $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2=55$.

Pentru practică, încercați să scrieți și să calculați următoarea sumă: $\sum\limits_(k=3)^(8)(5k+2)$. Indicele de însumare aici este litera $k$, limita inferioară de însumare este 3, iar limita superioară de însumare este 8.

$$ \sum\limits_(k=3)^(8)(5k+2)=17+22+27+32+37+42=177. $$

Un analog al formulei (1) există și pentru coloane. Formula pentru extinderea determinantului în a j a coloană este următoarea:

\begin(equation) \Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(ecuație)

Regulile exprimate prin formulele (1) și (2) pot fi formulate astfel: determinantul este egal cu suma produselor elementelor unui anumit rând sau coloană prin complementele algebrice ale acestor elemente. Pentru claritate, să luăm în considerare determinantul de ordinul al patrulea, scris în formă generală. De exemplu, să o împărțim în elementele coloanei a patra (elementele acestei coloane sunt evidențiate cu verde):

$$\Delta=\stanga| \begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) & \normgreen(a_(14)) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) & \normgreen (a_(24)) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) & \normgreen(a_(34)) \\ a_(41) & a_(42) & a_(43) & \normgreen (a_(44)) \\ \end(array) \right|$$ $$ \Delta =\normgreen(a_(14))\cdot(A_(14))+\normgreen(a_(24))\cdot (A_(24))+\normgreen(a_(34))\cdot(A_(34))+\normgreen(a_(44))\cdot(A_(44)) $$

În mod similar, extinzând, de exemplu, de-a lungul a treia linie, obținem următoarea formulă pentru calcularea determinantului:

$$ \Delta =a_(31)\cdot(A_(31))+a_(32)\cdot(A_(32))+a_(33)\cdot(A_(33))+a_(34)\cdot (A_(34)) $$

Exemplul nr. 1

Calculați determinantul matricei $A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end(array) \right)$ folosind extinderea pe primul rând și pe a doua coloană.

Trebuie să calculăm determinantul de ordinul trei $\Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end(array) \right|$. Pentru a o extinde de-a lungul primei linii, trebuie să utilizați formula. Să scriem această expansiune în formă generală:

$$ \Delta A= a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13). $$

Pentru matricea noastră $a_(11)=5$, $a_(12)=-4$, $a_(13)=3$. Pentru a calcula adunările algebrice $A_(11)$, $A_(12)$, $A_(13)$, vom folosi formula nr. 1 din subiectul de pe . Deci, complementele algebrice necesare sunt:

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot \left| \begin(array) (cc) 2 & -1 \\ 0 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-(-1)\cdot 0=8;\\ & A_(12)=( -1)^3\cdot \left| \begin(array) (cc) 7 & -1 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=-(7\cdot 4-(-1)\cdot 9)=-37;\\ & A_( 13)=(-1)^4\cdot \left| \begin(array) (cc) 7 & 2 \\ 9 & 0 \end(array) \right|=7\cdot 0-2\cdot 9=-18. \end(aliniat)

Cum am găsit complementele algebrice? arată ascunde

Înlocuind toate valorile găsite în formula scrisă mai sus, obținem:

$$ \Delta A= a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)=5\cdot(8)+(-4) \cdot(-37)+3\cdot(-18)=134. $$

După cum puteți vedea, am redus procesul de găsire a determinantului de ordinul trei la calcularea valorilor a trei determinanți de ordinul doi. Cu alte cuvinte, am coborât ordinea determinantului inițial.

De obicei, în astfel de cazuri simple, ei nu descriu soluția în detaliu, găsind separat adunări algebrice și abia apoi înlocuindu-le în formula pentru a calcula determinantul. Cel mai adesea, pur și simplu continuă să scrie formula generală până la primirea răspunsului. Așa vom aranja determinantul în a doua coloană.

Deci, să începem să extindem determinantul din a doua coloană. Nu vom efectua calcule auxiliare; pur și simplu vom continua formula până când primim răspunsul. Vă rugăm să rețineți că în a doua coloană un element este egal cu zero, adică. $a_(32)=0$. Aceasta sugerează că termenul $a_(32)\cdot A_(32)=0\cdot A_(23)=0$. Folosind formula de extindere din a doua coloană, obținem:

$$ \Delta A= a_(12)\cdot A_(12)+a_(22)\cdot A_(22)+a_(32)\cdot A_(32)=-4\cdot (-1)\cdot \ stânga| \begin(array) (cc) 7 & -1 \\ 9 & 4 \end(array) \right|+2\cdot \left| \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=4\cdot 37+2\cdot (-7)=134. $$

Răspunsul a fost primit. Desigur, rezultatul expansiunii din a doua coloană a coincis cu rezultatul expansiunii din primul rând, deoarece extindeam același determinant. Observați că atunci când am extins în a doua coloană, am făcut mai puține calcule, deoarece un element din a doua coloană era zero. Pe baza unor astfel de considerații, pentru descompunere, încearcă să aleagă coloana sau rândul care conține mai multe zerouri.

Răspuns: $\Delta A=134$.

Exemplul nr. 2

Calculați determinantul matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$ folosind extinderea pe rândul sau coloana selectată.

Pentru descompunere, cel mai profitabil este să alegeți rândul sau coloana care conține cele mai multe zerouri. Desigur, în acest caz are sens să se extindă de-a lungul celei de-a treia linii, deoarece conține două elemente egale cu zero. Folosind formula, scriem expansiunea determinantului de-a lungul celei de-a treia linii:

$$ \Delta A= a_(31)\cdot A_(31)+a_(32)\cdot A_(32)+a_(33)\cdot A_(33)+a_(34)\cdot A_(34). $$

Deoarece $a_(31)=-5$, $a_(32)=0$, $a_(33)=-4$, $a_(34)=0$, atunci formula scrisă mai sus va fi:

$$ \Delta A= -5 \cdot A_(31)-4\cdot A_(33). $$

Să ne întoarcem la complementele algebrice $A_(31)$ și $A_(33)$. Pentru a le calcula, vom folosi formula nr. 2 din subiectul dedicat determinanților de ordinul doi și trei (în aceeași secțiune există exemple detaliate de aplicare a acestei formule).

\begin(aligned) & A_(31)=(-1)^4\cdot \left| \begin(array) (ccc) 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=10;\\ & A_(33)=( -1)^6\cdot \left| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=-34. \end(aliniat)

Înlocuind datele obținute în formula pentru determinant, vom avea:

$$ \Delta A= -5 \cdot A_(31)-4\cdot A_(33)=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. $$

În principiu, întreaga soluție poate fi scrisă pe o singură linie. Dacă omiteți toate explicațiile și calculele intermediare, atunci soluția va fi scrisă după cum urmează:

$$ \Delta A= a_(31)\cdot A_(31)+a_(32)\cdot A_(32)+a_(33)\cdot A_(33)+a_(34)\cdot A_(34)= \\= -5 \cdot (-1)^4\cdot \left| \begin(array) (ccc) 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|-4\cdot (-1)^6\cdot \left| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=-5\cdot 10-4\cdot ( -34)=86. $$

Răspuns: $\Delta A=86$.