Соответствие и отображение множеств. Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения. Понятие функции. Отображение множеств

Понятие отображения множеств играет важную роль во всех областях математики.

Определение 1. ПустьХ иY – некоторые множества и. Если каждому элементу
поставлен в соответствие один и только один элемент
, то говорят, что заданоотображение из Х в Y с областью задания А .

Отображения обычно обозначают малыми латинскими буквами
.

Пример 1. ПустьХ – множество натуральных чисел,. Каждому числу
поставим в соответствие остаток от его деления на 2:
. Получим отображение изХ в множество действительных чиселR , при котором каждому
соответствует либо 0, либо 1.

Множество Х называют такжемножеством отправления , а множествоY –множеством прибытия .

Определение 2. Элемент
, соответствующий элементу
в отображенииf , называетсяобразом элементах и обозначается
. При этом сам элементх называетсяпрообразом элементау . ЕслиА – область задания при отображенииf , то множествоназываютобразом множества А при отображенииf илиобластью значений отображенияf .

Определение 3. Если область задания совпадает с областью отправления, т.е
, тоf называют отображением Х вY обозначают
. Если
, тоf называют отображениемХ на Y .

Определение 4. Отображение
называетсяобратимым , если разным элементам

, т.е. для любых
имеем
.

Например, отображение
с областью заданияR не является обратимым, так как
и
, т.е.
, хотя
.

Определение 5. Обратимое отображениеХ наY называетсявзаимно однозначным отображением.

Введенные понятия проиллюстрируем рисунками.

f не является отображением

Пусть f – обратимое отображение изХ вY с областью заданияА . Тогда каждому элементу
соответствует один и только один элемент
, причем разным элементам
соответствуют различные элементыу . Поэтому определено отображение
множества
вХ (наА ). Определено так, что.

Определение 6. Если отображениеf изХ вY обратимо, то отображение
изY вХ , определяемое соотношением, называетсяобратным к f .

Пусть теперь f – отображениеХ вY , аg – отображениеY вZ . Определим отображениеХ вZ следующим образом:. Таким образом,
, то есть
. Такое отображение называетсякомпозицией отображенийf иg и обозначается
. Итак, для всех

Операция композиции отображений обладает следующими свойствами.

Ассоциативность:

Действительно, если
, то

.

Действительно, пусть
и
. В силу обратимостиf
. В силу обратимостиg и, значит, отображение
обратимо. Если
, то
, а, то есть, что и требовалось доказать.

Действительная функция есть частный случай отображения, когда множества X иY являются числовыми множествами.

Определение 7. ПустьX – числовое множество. Отображение
, сопоставляющее каждому числу
число
, называетсядействительной функцией, заданной на множествеХ . При этомх называетсяаргументом функцииf ,Х –областью ее определения ,
–значением функции. Множество
называетсямножеством значений функции.

Определение 8. Если функцияf ставит в соответствие каждому числу
одно и то же значениеа , то функциюf называютпостоянной .

Из определения действительной функции следует, что для задания функции f надо задать ее область определения – множествоХ и закон, по которому каждому числу
ставится в соответствие число
.

В зависимости от того, каким образом задается закон функциональной зависимости, различают несколько способов задания функции.

Аналитический способ. Закон функциональной зависимости задается с помощью формулы, указывающей, какие действия нужно произвести над аргументомх , чтобы получить значение функции.

Примеры:
и т.д.

В случае аналитического способа задания функции множество Х часто не указывают. Областью определения функции в этом случае считаютестественную область определения функции – множество значений аргумента, для которых имеет смысл данное аналитической выражение.

Например, для функции
область определения
, для функции
.

Если функция отражает зависимость между конкретными величинами (физическими, геометрическими и другими), то область ее определения может не совпадать с той областью, где формула имеет смысл. Например, функция
, рассматриваемая абстрактно, определена наR , если же она выражает закон свободного падения тела, то
.

Заметим, что функция может быть задана не одной, а несколькими формулами.

Например,
Для этой функции
.

Табличный способ. При этом способе задания закон функциональной зависимости устанавливается таблицей, в которой различным значениям аргумента сопоставлены соответствующие значения функции.

Табличный способ используется в экспериментальных исследованиях, когда, например, снимаются показания приборов через определенные промежутки времени.

Составлены таблицы значений многих функций, часто применяемых при технических расчетах, которые позволяют находить значения функций без вычислений.

Недостаток табличного способа состоит в том, что по таблице можно найти значения функции только для тех значений аргумента, которые в ней есть. Другие значения можно находить с помощью интерполирования приближенно.

Графический способ.

Определение 9.Графиком функции
, заданной на множествеХ , называется множество всех точек плоскости
, координаты которыхх иу связаны соотношением
. Равенство
называетсяуравнением этого графика.

Функция считается заданной графически, если начерчен ее график. Например, для измерения давления атмосферы на различных высотах используется специальный самопишущий аппарат – барограф, который на движущейся ленте записывает в виде кривой изменение давления в зависимости от высоты.

Не всякая кривая может служить графиком некоторой функции. Необходимо, чтобы не содержалось на ней никаких двух точек с одинаковыми абсциссами.

Кривая определяет Кривая не определяет

функцию никакой функции

Преимущество графического способа задания функции перед другими – в наглядности, недостаток в том, что значения функции можно найти лишь приближенно. Не для всякой функции можно построить график. Например, нельзя изобразить графически функцию Дирихле (Петер Густав Лежен-Дирихле (1805-1859) – немецкий математик)

так как между любыми двумя значениями х имеется бесконечно много как рациональных, так и иррациональных точек.

Словесный способ. Функция задается словами. Например, целая часть числах – это наибольшее целое число, не превосходящеех.

Определение 10. Функции
и
, заданные на некотором промежуткеХ , называютсятождественно равными на этом промежутке:
, если их значения в каждой точке
совпадают.

Пример . Тождественны ли функции:

1)
и
;

2)
и
для
;

3)
и
?

Решение. 1), т.е., т.е. функции тождественно равны.

2) по свойству
.

3) , т.е.
, функции не являются тождественно равными.

Пусть заданы два множества X и У. Определение 2.1. Отображением f множества X в множество У, или функцией, определенной на множестве X со значениями в множестве У, называют соответствие, которое каждому элементу х£Х соотносит некоторый единственный элемент у € У. Множество X называют областью определенил функции / и обозначают D(f), элемент хбХ - аргументом функции, а элемент у £ У - зависшим* перелсенныл. При этом элемент у £ У, соответствующий элементу z £ X, именуют образом элемента х при отображении / или значением функции f в точке х и обозначают f(x). Областью значений функции / (или образом множества X при отображении /) называют множество обозначаемое Д(/). Множество X = D(f) является прообразом множества f(X) = R(f) при отображении /. При заданном элементе у £ У совокупность всех таких элементов х 6 Xу что f(x) = у, называют прообразом элемента у и обозначают /-1(у), т.е. Факту задания отображения (или функции) соответствует запись / : X У, или /: х у, или просто у = /(я). Таким образом, Часто функцию / обозначают /(ж). Обозначение функции и ее значения в точке х € X одним и тем же символом f(x) обычно не вызывает недоразумений, поскольку в каждом конкретном случае, как правило, ясно, что имеют в виду. Обозначение f(x) часто удобнее, чем f:x-+y. Например, -при аналитических преобразованиях запись f(x) = х2 удобнее по сравнению с / : х -> х2. Чтобы отличать обозначение конкретного значения f(x) функции при конкретном значении ее аргумента х от обозначения самой функции, в последнем случае иногда пишут /(я), х еХ. Итак, понятие функции состоит из трех неотъемлемых частей: 1) области определения Х\ 2) множества У, содержащего значения функции; 3) правила /, которое для каждого элемента х £ X задает единственный элемент у = f(x) £ У. На множества X и Y определение 2.1 не накладывает никаких ограничений. В зависимости от того, какими являются эти множества, получим тот или иной класс функций. Так, если Y С R, то f(x) называют действительной (или скалярной) функцией, а если У С Rn, то f(x) называют векторной функцией. Когда область определения X функции f(x) есть множество R или некоторое его подмножество, f(x) именуют функцией действительного (или вещественного) переменного. Когда и XCR.h У CR, f(x) называют действительной функцией действительного переменного. Если областью определения функции является множество натуральных чисел N= {1, 2, ...}, то ее называют последовательностью элементов множества У и обозначают Уп] или {уп}, имея в виду, что уп = /п = /(п)€У при n€ N, а при У С R - числовой последовательностью (или просто последовательностью). Подмножество является образом подмножества А С X при отображении / : X У. Для образов подмножеств Л С X и В С X справедливы соотношения а в случае Л С В Подмножество будет прообразом подмножества S С У при отображении f:X->Y. Итак, прообраз множества 5 состоит из всех тех элементов х € Xу которые функция / отображает в элементы из S, или, что то же самое, прообраз множества 5 состоит из всех прообразов элементов у G 5, т.е. Для прообразов множеств 5 С У и Г С У справедливы соотношения, и при условии S СТ /-1(S) С /-1(Г). В случае А С X отображение / : X порождает отображение /д: А Y) определяемое формулой /а(«) = f(x) для х € А. Это отображение называют сужением отображения (функции) f на множество А. Говорят также, что f является продолжением отображения (функции) fA множества А в множество Y на множество X, но обычно продолжают писать / вместо

Соответствие между множествами А и В называется подмножество их декартова произведения

Иными словами, пары задают соответствие между множествами А={ } и В={ }, если указано правило R, по которому для элемента множества А выбирается элемент из множества В.

Если элементу поставлен в соответствие некоторый элемент , b называется образом элемента а и записывается так: b= R (a). Тогда - прообраз элемента , который обладает свойствами единственности и полноты:

1. Каждому прообразу соответствует единственный образ;

2. Образ должен быть полным, так же как полным должен быть и прообраз.

Пример. Если А – множество парабол, В – множество точек плоскости, а R – соответствие “вершина параболы”, то R (а) – точка, являющая вершиной параболы a, а состоит из всех парабол с вершиной в точке b (рис. 6)

Образ множества А при соответствии R называется множеством значений этого соответствия и обозначается R (A), если R (A) состоит из образов всех элементов множества А.

Прообраз множества В при некотором соответствии R называют областью определения этого соответствия и обозначают . В свою очередь является обратным соответствием для R.

Так, для соответствия R, заданного точками координатной плоскости, областью определения является множество точек оси абсцисс, а множеством значений – проекции точек на ось ординат (рис.7). Поэтому для некоторой точки

М (х, у) у является образом, а х – прообразом при некотором соответствии R: У=R (x), Соответствие между множествами Х, удобно в виде точки на плоскости с помощью метода декартовых координат.

Пусть задано соответствие R и Y=R (X). Ему соответствуют точки М с координатами (х; у) (рис. 7). Тогда множество точек плоскости, выделяемое отображением R, будет графиком.

Для описания соответствий между множествами используют понятие отображение (функции) одного множества на другое.

Для задания отображения необходимо указать:

1. Множество, которое отображается (область определения данного отображения, часто обозначаются );

2. Множество, в (на) которое отображается данная область определения (множество значений этого отображения, часто обозначается );

3. Закон или соответствие между этими множествами, по которому для элементов первого множества (прообразов, аргументов) выбраны элементы (образы) из второго множества.

Обозначения: .

Способы задания отображений: аналитический (в виде формул), табличный , графический (диаграммы или графы).

Различают два основных вида однозначных отображений (функций). По мощности они делятся на сюръективные и инъективные .

1. Соответствие, при котором каждому элементу множества А указан единственный элемент множества В, а каждому элементу множества В можно указать хотя бы один элемент множества А, называется отображением множества А на множество В (сюръекция).

2. Соответствие, при котором каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества В, а каждому элементу В соответствует не более одного прообраза из А, называется отображением множества А во множество В (инъекция).

Отображение множества А на множество В, при котором каждому элементу множества В соответствует единственный элемент множества А, называется взаимно – однозначным соответствием между двумя множествами, или биекцией .инъекцией и сюръекцией .

Отображение - одно из основных понятий математики. Отображение есть какое-либо правило или закон соответствия множеств. Пусть и - произвольные непустые множества. Говорят, что задано отображение множества на множество (запись: или) если каждому элементу множества (поставлен соответствие единственный, однозначно определенный элемент множества (.

Элемент называется образом элемента при отображении, а элемент называется прообразом элемента при этом отображении. Образом множества элементов при отображении называется множество всех элементов вида, принадлежащих области значений. Множество всех элементов (), образы которых составляют область значений называется прообразом множества элементов (). Множество называется областью определения отображения.

Отображение называется сюръективным , когда каждый элемент множества (имеет хотя бы один прообраз множества (, т.е. , или.

Отображение называется инъективным , когда каждый элемент множества (является образом лишь одного элемента множества (, т.е. образы любых двух различных элементов множества различны, т.е. из следует.

Отображение называется биективным или взаимно однозначным , когда оно одновременно инъективно и сюръективно, т.е. каждый элемент множества является образом одного и только одного элемента множества.

Равенство двух отображений и означает по определению, что их соответствующие области совпадают (и), причем.

Произведение двух отображений и можно определить как отображение, которое каждому элементу множества ставит в соответствие элемент множества.

Отображение множества на множество иначе называется функцией на множестве со значениями во множестве. Если множества и совпадают, то биективное отображение множества на себя называется преобразованием множества. Простейшее преобразование множества - тождественное - определяется так: . Тождественное отображение, переводящее каждый элемент в себя, также называют единичным преобразованием. Если заданы преобразования и, то преобразование, являющееся результатом последовательного выполнения сначала преобразования, а затем и преобразования, называется произведением преобразований и: .

Для преобразований, и одного и того же множества справедливы следующие законы:

Коммутативный закон для произведения преобразований в общем случае не выполняется, т.е. .

Если между двумя множествами можно задать биективное отображение (установить взаимно однозначное соответствие между их элементами), то такие множества называются эквивалентными или равномощными . Конечные множества равномощны только в том случае, когда число их элементов одинаково.

Бесконечные множества также можно сравнивать между собой.

Два множества имеют одинаковую мощность или называются эквивалентными (обозначение), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е. если можно указать некоторое правило, в соответствии с которым каждому элементу одного из множеств соотносится один и только один элемент другого множества.

Если же подобное отображение невозможно, то множества имеют различную мощность; при этом оказывается, что в последнем случае, каким бы образом мы не пытались привести в соответствие элементы обоих множеств, всегда останутся лишние элементы и притом всегда от одного и того же множества, которому приписывается более высокое значение кардинального числа или говорят, что это множество имеет б?льшую мощность . Бесконечное множество и некоторое его подмножество могут быть эквивалентными. Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством. Для того чтобы множество было счетным, необходимо и достаточно, чтобы каждому элементу множества был поставлен в соответствие его порядковый номер. Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество. Всякое подмножество счетного множества является счетным или конечным. Счетное множество является наиболее примитивно организованным бесконечным множеством. Декартово произведение двух счетных множеств является счетным. Объединение конечного или бесконечного числа конечных или счетных множеств является конечным или счетным множеством.

Пусть $X$ и $Y$ - два произвольных множества.

Определение. Соответствие, при котором каждому из элементов множества $X$ сопоставялется единственный элемент из множества $Y$, называется отображением .

Обозначение отображения из множества $X$ в множество $Y$: $X \stackrel{f}{\longrightarrow} Y$.

Множество $X$ называется областью определения отображения и обозначается $X=D(f)$.

$E(f)$ называется множеством значений отображения, и $E(f) = \{ y \in Y \; | \; \exists x \in X, y = f(x) \}$.

Множество $\Gamma(f)$ называется графиком отображения. $\Gamma(f)=\{(x,y) \in X \times Y, y=f(x), \forall x \in X, y \in Y \}$.

Пусть $f$ - некоторое отображение из множества $X$ в множество $Y$. Если $x$ при этом отображении сопоставляется $y$, то $y=f(x)$. При этом $y$ называется образом $x$, или значением отображения $f$ в точке $x$. А $x$, соответственно, прообразом элемента $y$.

Исходя из определения отображения, видно, что не требуется, чтобы все элементы в множестве $Y$ являлись образами какого-либо $x$ и при том единственного.

Пример.

Даны два множества $X=\{ с, е, н, т, я, б, р, ь \}$ и $Y=\{ 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 \}$

Отображение из множества $X$ в множество $Y$ имеет следующий вид:

$\begin{matrix} \{ с, & е, & н, & т, & я, & б, & р, & ь \} \\ \;\; \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow \;\; \\ \{ 1, & 2, & 3, & 4, & 5, & 9, & 10, & 11 \} \end{matrix}$

Определение. Совокупность всех элементов из множества $X$, образом которых является $y$ из $Y$, назвается полным прообразом $y$ из $X$. Обозначается: $f^{-1}(y)$.

Определение. Пусть $A \subset X$. Совокупность всех элементов $f(a)$, $a \in A$, называется полным образом множества $A$ при отображении $f$.

Определение. Пусть $B \subset Y$. Множество всех элементов из $X$, образы которых принадлежат множеству $B$, называется полным прообразом множества $B$.

Пример.

$X=Y=R$, $y=x^2$.

$A=[-1; 1] \subset X$

Полный образ $f(A)=$

$B= \subset Y$

Полный прообраз $f^{-1}(B)=[-1; 1]$

Определение. Отображение $f$ называется инъективным отображением, если $\forall \; y \in Y$ $y=f(x)$ является образом единственного $x$.

Определение. Отображение $f$ называется сюръективным отображением, если все элементы в множестве $Y$ являются образами какого-либо $x$. (Это отображение множества $X$ на множество $Y$).

Определение. Отображение $f$ называется биективным , если оно инъективно и сюръективно, в противном случае такое отображение назвается взаимно однозначным соответствием.

Определение. Множества $X$ и $Y$ называются эквивалентными (равномощными), если они находятся во взаимно однозначном соответствии. Обозначается: $X Y$ (множество $X$ эквивалентно множеству $Y$ или множество $X$ равномощно множеству $Y$).

1. Граф соответствия. Отображение. Инъективное, не сюръективное.