Для более глубокого понимания происходящего в этой статье можно ознакомиться с .

Рассмотрим однородную систему дифференциальных уравнений третьего порядка

Здесь x(t), y(t), z(t) - искомые функции на промежутке (a, b), a ij (i, j =1, 2, 3) - вещественные числа.

Запишем исходную систему в матричном виде
,
где

Решение исходной системы будем искать в виде
,
где , C 1 , C 2 , C 3 - произвольные постоянные.

Чтобы найти фундаментальную систему решений, нужно решить так называемое характеристическое уравнение

Это уравнение является алгебраическим уравнением третьего порядка, следовательно оно имеет 3 корня. При этом возможны следующие случаи:

1. Корни (собственные значения) действительны и различны.

2. Среди корней (собственных значений) есть комплексно-сопряженные, пусть
- действительный корень
=

3. Корни (собственные значения) действительны. Один из корней кратный.

Чтобы разобраться, как действовать в каждом из этих случаев, нам понадобятся:
Теорема 1.
Пусть - попарно различные собственные значения матрица А, а - соответствующие им собственные векторы. Тогда

образуют фундаментальную систему решений исходной системы.

Замечание .
Пусть - действительное собственное значение матрица А (действительный корень характеристического уравнения), - соответствующий ему собственный вектор.
= - комплексные собственные значения матрицы А, - соответствующий - собственный вектор. Тогда

(Re - действительная часть, Im - мнимая)
образуют фундаментальную систему решений исходной системы. (Т.е. и = рассматриваются вместе)

Теорема 3.
Пусть - корень характеристического уравнения кратности 2. Тогда исходная система имеет 2 линейно независимых решения вида
,
где , - постоянные вектора. Если же кратности 3, то существует 3 линейно независимых решения вида
.
Векторы находятся подствалением решений (*) и (**) в исходную систему.
Чтобы лучше понять метод нахождения решений вида (*) и (**), смотри разобранные типичные примеры ниже.

Теперь рассмотрим более подробно каждый из вышеописанных случаев.

1. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае различных действительных корней характеристического уравнения.
Дана система

1) Составляем характеристическое уравнение

- действительные и различные собственные значения 9корни этого уравнения).
2)Строим , где

3)Строим , где
- собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. - любое решение системы

4)Строим , где
- собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. - любое решение системы

5)

составляют фундаментальную систему решений. Далее записываем общее решение исходной системы в виде
,
здесь C 1 , C 2 , C 3 - произвольные постоянные,
,
или в координатном виде

Расмотрим несколько примеров:
Пример 1.




2) Находим


3)Находим


4)Вектор-функции



или в координатной записи

Пример 2.

1)Составляем и решаем характеристическое уравнение:

2) Находим


3)Находим


4)Находим


5)Вектор-функции

образуют фундаментальную систему. Общее решение имеет вид

или в координатной записи

2. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения.


- действительный корень,

2)Строим , где

3) Строим

- собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. удовлетворяет системе

Здесь Re - действительная часть
Im - мнимая часть
4) составляют фундаментальную систему решений. Далее записываем общее решение исходной системы:
, где
С 1 , С 2 ,С 3 произвольные постоянные.

Пример 1.

1) Составляем и решаем характеристическое уравнение

2)Строим

3) Строим
, где

Первое уравнение сократим на 2. Затем ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на 2i, а от третьего уравнения отнимем перове, умноженное на 2.

Далее

Следовательно,

4) - фундаментальная система решений. Запишем общее решение исходной системы:

Пример 2.

1) Составляем и решаем харктеристическое уравнение


2)Строим

(т.е. и рассматриваем вместе), где

Второе уравнение умножим на (1-i) и сократим на 2.


Следовательно,

3)
Общее решение исходной системы

или

2. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае кратных корней характеристического уравнения.
Составляем и решаем характеристическое уравнение

Возможны два случая:

Рассмотрим случай а) 1) , где

- собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е удовлетворяет системе

2) Сошлемся на Теорему 3, из которой следует, что существуют два линейно независимых решения вида
,
где , - постоянные векторы. Их возьмем за .
3) - фундаментальная система решений. Далее записываем общее решение исходной системы:

Рассмотрим случай б):
1) Сошлемся на Теорему 3, из которой следует, что существует три линейно независимых решения вида
,
где , , - постоянные векторы. Их возьмем за .
2) - фундаментальная система решений. Далее записываем общее решение исходной системы.

Чтобы лучше понять как находить решения вида (*), рассмотрим несколько типичных примеров.

Пример 1.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

Имеем случай а)
1) Строим
, где

Из второго уравнения вычитаем первое:

? третья строка подобна второй, ее вычеркиваем. Из первого уравнения вычтем второе:

2) = 1 (кратность 2)
Этому корню по Т.3 должно соответствовать два линейно независимых решения вида .
Попробуем найти все линейно незваисимые решения, у которых , т.е. решения вида
.
Такой вектор будет решением тогда и только тогда, когда - собственный вектор, соответствующий =1, т.е.
, или
, вторая и третья строки подобны первой, выкидываем их.

Система свелась к одному уравнению. Следовательно, имеется два свободных неизвестных, например, и . Дадим им сначала значения 1, 0; потом значения 0, 1. Получим такие решения:
.
Следовательно, .
3) - фундаментальная система решений. Осталось записать общее решение исходной системы:
. .. Таким образом существует только одно решение вида Подставим X 3 в эту систему: Вычеркнем третью строку (она подобна второй). Система совместна (имеет решение) при любом с. Пусть с=1.
или

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей A=A mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов .

Элементы матрицы a ij , у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ .

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a 11 , a 22 ,..., a nn .

Равенство матриц.

A=B , если порядки матриц A и B одинаковы и a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A mk *B kn =C mn причем каждый элемент с ij матрицы C mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B.

Покажем операцию умножения матриц на примере:

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A T или A"

Строки и столбцы поменялись местами

Пример

Свойства опeраций над матрицами

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1 . Например, (1 3 5 7) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1 . Например

5. Диагональная матрица: m=n и a ij =0 , если i≠j . Например

6. Единичная матрица: m=n и

7. Нулевая матрица: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

9. Квадратная матрица:m=n и a ij =a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательноA"=A

Например,

Обра́тная ма́трица - такая матрица A −1 , при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E :

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Рассмотрим матричный метод на примерах. В некоторых примерах мы не будем подробно описывать процесс вычисления определителей матриц.

Пример.

С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений

.

Решение.

В матричной форме исходная система запишется как, где . Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем , следовательно, для матрицы А может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как . Итак, задача свелась к построению обратной матрицы . Найдем ее.

Обратную матрицу можно найти по следующей формуле :

, где – определитель матрицы А, – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц , матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Полярные координаты. В полярной системе координат положение точки М

М

ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПРЯМАЯ

1. Общее уравнение прямой. Всякое уравнение первой степени относительно х и у, т. е. уравнение вида:

(1) Ах+Ву+С=0 наз. общин уравнением прямой ( + ≠0),A,B,C-ПОСТОЯННЫЕ КОЭФИЦИЕНТЫ.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1. Окружность. Окружность-это множество точек плоскости, равноудален-

равноудаленных от данной точки (центра). Если г - радиус окружности, а точка С (а; Ь) - ее центр, то уравнение окружности имеет вид:

Гипербола . Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная

величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фо-

кусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами. Если поместить фокусы гиперболы в точках F1 (с; 0) и F2(- с; 0), то получится каноническое уравнение гиперболы

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ

плоскости,называемый нормальным вектором.

Поверхность второго порядка

Поверхность второго порядка - геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов , , , , , отличен от нуля.

Типы поверхностей второго порядка

Цилиндрические поверхности

Поверхность называется цилиндрической поверхностью с образующей , если для любой точки этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей , целиком принадлежит поверхности .

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность имеет уравнение , то - цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси .

Кривая, задаваемая уравнением в плоскости , называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка .

Эллиптический цилиндр:	Параболический цилиндр:	Гиперболический цилиндр:
Пара совпавших прямых:	Пара совпавших плоскостей:	Пара пересекающихся плоскостей:

Конические поверхности

Коническая поверхность.

Основная статья: Коническая поверхность

Поверхность называется конической поверхностью с вершиной в точке , если для любой точки этой поверхности прямая, проходящая через и , целиком принадлежит этой поверхности.

Функция называется однородной порядка , если выполняется следующее:

Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность задана уравнением , где - однородная функция, то - коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность задана функцией , являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то называется конической поверхностью второго порядка .

· Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

Поверхности вращения ]

Поверхность называется поверхностью вращения вокруг оси , если для любой точки этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости с центром в и радиусом , целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность задана уравнением , то - поверхность вращения вокруг оси .

Эллипсоид:	Однополостной гиперболоид:	Двуполостной гиперболоид:	Эллиптический параболоид:

В случае, если , перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

Эллиптический параболоид

Уравнение эллиптического параболоида имеет вид

Если , то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы, параметр которой , вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью является эллипсом.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью или является параболой.

Гиперболический параболоид ]

Гиперболический параболоид.

Уравнение гиперболического параболоида имеет вид

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью является гиперболой.

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью или является параболой.

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Центральные поверхности

Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты можно найти, решив систему уравнений:

Таким образом, знак, который при этом приписывается минору соответствующего элемента определителя, пределяется следующей таблицей:

В приведенном выше равенстве, выражающем определитель третьего порядка,

в правой части стоит сумма произведений элементов 1-й строки определителя на их алгебраические дополнения.

Теорема 1. Определитель третьего порядка равен сумме произведений

элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Эта теорема позволяет вычислять значение определителя, раскрывая его по

элементам любой его строки или столбца.

Теорема 2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца)

определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Свойства определителей.

1°. Определитель не изменится, если строки определителя заменить столб-

цами, а столбцы-соответствующими строками.

2°. Общий множитель элементов какой-нибудь строки (или столбца) может

быть вынесен за знак определителя.

3°. Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно

равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.

4°. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на

противоположный.

5°. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца)

прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число (теорема о линейной комбинации параллельных рядов определителя).

Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

находится по формулам Крамера

При этом предполагается, что D ≠0 (если D = 0, то исходная система либо неопределенная, либо несовместная).

Если,система однородная, т. е. имеет вид

и ее определитель отличен от нуля, то она имеет единственное решение х= 0,

Если же определитель однородной системы равен нулю, то система сводится

либо к двум независимым уравнениям (третье является их следствием), либо к

одному уравнению (остальные два являются его следствиями). Первый случай

имеет место тогда, когда среди миноров определителя однородной системы есть

хотя бы один отличный от нуля, второй-тогда, когда все миноры этого опреде лителя равны нулю. В обоих случаях однородная система имеет бесчисленное множество решений.

Вычислить определитель третьего порядка

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

1. Определители второго и третьего порядков и их свойства

1.1. Понятие матрицы и определителя второго порядка

Прямоугольную таблицу из чисел,

матрицей. Для обозначения матрицы используют либо сдвоенные вертикальные

черточки, либо круглые скобки. Например:

1 7 9.2 1 7 9.2

28 20 18 28 20 18

6 11 2 -6 11 2

Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица называется

квадратной. Числа, входящие в состав матрицы, называют ее элементами .

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:

Определителем второго порядка, соответствующим матрице (3.1), называется число,

и обозначаемое символом

Итак, по определению

Элементы, составляющие матрицу данного определителя, обычно называют

элементами этого определителя.

Справедливо следующее утверждение: для того чтобы определитель второго

порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы элементы его строк (или

соответственно его столбцов) были пропорциональны .

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что каждая из

пропорций /

эквивалентна равенству

А последнее равенство в силу (3.2) эквивалентно обращению в нуль определителя.

1.2. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Покажем, как применяются определители второго порядка для исследования и

отыскания решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

(коэффициенты ,

и свободные члены ,

считаются при этом заданными). Напомним, что пара чисел

Называется

решением системы (3.3), если подстановка этих чисел на место

и в данную систему

обращает оба уравнения (3.3) в тождества.

Умножая первое уравнение системы (3.3) на -

А второе - на -и

затем складывая полученные при этом равенства, получим

Аналогично путем умножения уравнений (3.3) на -исоответственно получим:

Введем следующие обозначения:

С помощью этих обозначений и выражения для определителя второго порядка

уравнения (3.4) и (3.5) могут быть переписаны в виде:

Определитель ,

составленный из коэффициентов при неизвестных системы (3.3), принято называть

определителем этой системы . Заметим, что определители

и получаются из

определителя системы

посредством замены его первого или соответственно второго столбца свободными

Могут представиться два случая: 1) определитель системы

отличен от нуля; 2) этот определитель равен нулю.

Рассмотрим сначала случай

0. Из уравнений (3.7) мы сразу же получаем формулы для неизвестных,

называемые формулами Крамера :

Полученные формулы Крамера (3.8) дают решение системы (3.7) и потому доказывают

единственность решения исходной системы (3.3). В самом деле, система (3.7)

является следствием системы (3.3), поэтому всякое решение системы (3.3) (в

случае, если оно существует!) должно являться решением и системы (3.7). Итак,

пока доказано, что если у исходной системы (3.3) существует при

0 решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера (3.8).

Легко убедиться и в существовании решения, т. е. в том. что при

0 два числа и

Определяемые формулами Крамера (3.8). будучи поставлены на место неизвестных в

уравнения (3.3), обращают эти уравнения в тождества. (Предоставляем читателю

самому расписать выражения для определителей

И убедиться в справедливости указанных тождеств.)

Мы приходим к следующему выводу: если определитель

системы (3.3) отличен от нуля, то существует, и притом единственное решение этой

системы, определяемое формулами Крамера (3.8).

Рассмотрим теперь случай, когда определитель

системы равен нулю . Могут представиться два подслучая : а) хотя

бы один из определителей

или , отличен от

нуля; б) оба определителя

и равны нулю. (если

определитель и

один из двух определителей

и равны нулю, то и

другой из указанных двух определителей равен нулю. В самом деле, пусть,

например = 0

Тогда из этих пропорций получим, что

В подслучае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (3.7), т. е.

система (3.7) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и исходная система

(3.3) (следствием которой является система (3.7)).

В подслучае б) исходная система (3.3) имеет бесчисленное множество решений. В

самом деле, из равенств

0 и из утверждения в конце разд. 1.1 заключаем, что второе уравнение системы

(3.3) является следствием первого и его можно отбросить. Но одно уравнение с

двумя неизвестными

имеет бесконечно много решений (хотя бы один из коэффициентов

Или отличен от

нуля, и стоящее при нем неизвестное может быть определено из уравнения (3.9)

через произвольно заданное значение другого неизвестного).

Таким образом, если определитель

системы (3.3) равен нулю, то система (3.3) либо вовсе не имеет решений (в

случае, если хотя бы один из определителей

или отличен от

нуля), либо имеет бесчисленное множество решений (в случае, когда

0). В последнем

случае два уравнения (3.3) можно заменить одним и при решении его одно

неизвестное задавать произвольно.

Замечание . В случае, когда свободные члены

и равны нулю,

линейная система (3.3) называется однородной . Отметим, что однородная

система всегда имеет так называемое тривиальное решение:

0, = 0 (эти два

числа обращают оба однородных уравнения в тождества).

Если определитель однородной системы

отличен от нуля, то эта система имеет только тривиальное решение. Если же

= 0, то однородная система имеет бесчисленное множество решений (поскольку

для однородной системы возможность отсутствия решений исключена). Таким

образом, однородная система имеет нетривиальное решение в том и только в

том случае, когда определитель ее равен нулю.

В § 3.3 были показаны ограничения, возникающие при слежении за сигналами изменяющейся частоты при помощи системы второго порядка. Рассмотрим теперь возможность смягчения некоторых из этих ограничений путем введения в систему второго интегратора. Оказывается, что процесс захвата для системы третьего порядка менее устойчив, чем для системы второго порядка, но при помощи второго интегратора можио расширить диапазон слежения за системой, которая в начальный момент была уже захвачена. Передаточная функция фильтра теперь имеет вид

и из (3.1) следует:

После подстановки это выражение приводится к виду

Нормируя и вводя обозначения получим

Обычный метод фазовой плоскости неприменим к дифференциальным уравнениям третьего порядка вследствие того, что в этом случае имеются три начальных условия, соответствующие трем переменным: фазе, частоте и скорости изменения частоты (в механических системах - смещению, скорости и ускорению). В принципе траектории, определяемые уравнением третьего порядка, можно было бы представить в трехмерном пространстве. Всякая же попытка спроектировать эти траектории для J множества начальных условий на плоскость привела бы к столь запутанной диаграмме, что из нее было бы невозможно сделать какие-либо общие заключения.

С другой стороны, если ограничиться одной совокупностью начальных условий, то можно получить проекцию траектории на плоскость . Особое значение представляет следующая совокупность начальных условий: Другими словами, система в начальный момент захвачена, так что ошибки по частоте и фазе равны нулю, когда опорная частота начинает линейно изменяться.

Легко изменить структуру аналоговоговычислительного устройства, чтобы учесть введение второго интегратора.

Рис. 3.19. Проекции траекторий в фазовом пространстве для петли третьего порядка

(см. скан)

На рис. 3.19 изображен ряд траекторий, спроектированных на плоскость . Во всех рассмотренных случаях так что . В гипотетическом трехмерном «фазовом пространстве» траектории начинаются в точке и заканчиваются на оси

На рис. 3.19, а показано поведение системы второго порядка при таких же начальных условиях. Окончательное, или установившееся, значение фазы равно как было показано в § 3.3. Введение второго интегратора приводит к уменьшению установившейся ошибки по фазе до нуля тем быстрее, чем больше При возрастании наибольшая ошибка по фазе также уменьшается, однако за счет уменьшения затухания системы, что приводит к увеличению среднеквадратичной ошибки по фазе (см. рис. 3.19, б - 3.19, ж). Наконец, при система становится неустойчивой.

Получаемое путем увеличения порядка системы улучшение иллюстрируется на рис. 3.20. Здесь как и прежде, но . В § 3.3 было показано, что при такой или большей быстроте линейного изменения частоты система не могла осуществлять слежение. Рис. 3.20, а подтверждает это обстоятельство. С другой стороны, даже при наименьшей степени влияния второго интегратора получается нулевая установившаяся ошибка по фазе. Наибольшее мгновенное значение фазового рассогласования уменьшается при увеличении коэффициента но при система вновь делается неустойчивой.

Аналогичные особенности видны на рис. 3.21-3.23, за исключением того обстоятельства, что при возрастании отношения для поддержания системы в состоянии захвата требуются все возрастающие значения коэффициента В конце концов при приближении отношения к 2 или при необходимо, чтобы было около 1/2. Но из рис. 3.19, ж - 3.23, з видно, что при этом значении система неустойчива. Диапазон значений коэффициента при которых система остается в состоянии захвата в зависимости от отношения представлен на рис. 3.24-3.26 при значениях соответственно. Заштрихована область допустимых значений коэффициента Видно, что при линейном изменении частоты введение системы третьего порядка позволило расширить Диапазон, при котором получается слежение, примерно

Рис. 3.20. Проекции траекторий в фазовом пространстве для петли третьего порядка

(см. скан)

Рис. 3.21. Проекции траекторий в фазовом пространстве для петли третьего порядка

(см. скан)

Рис. 3.22. Проекции траекторий в фазовом пространстве для петли третьего порядка

(см. скан)

Рис. 3.23. Проекции траекторий в фазовом пространстве для петли третьего порядка

(см. скан)

Рис. 3.24. Область состояния захвата системы третьегопорядка

Рис. 3.25. Область состояния захвата системы третьего порядка

Рис. 3.26. Область состояния захвата системы третьего порядка

вдвое больше по сравнению с системой второго порядка при и даже еще большее при меньших значениях

Можно теоретически объяснить колебательный характер изменения коэффициента b при его значениях около или более 1/2. Продифференцировав уравнение (3.41), получим

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем



Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.



2.5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы :

.

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц: