Как решать уравнения с разделяющимися переменными. Примеры уравнений с разделяющимися переменными. Метод решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
Рассмотрим примеры решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
1) Проинтегрировать дифференциальное уравнение: (1+x²)dy-2xydx=0.
Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, записанное в виде
Оставляем слагаемое с dy в левой части уравнения, с dx — переносим в правую часть:
(1+x²)dy = 2xydx
Разделяем переменные, то есть в левой части оставляем только dy и все, что содержит y, в правой dx и x. Для этого обе части уравнения делим на (1+x²) и на y. Получаем
Интегрируем обе части уравнения:
В левой части — табличный интеграл. Интеграл в правой части можно найти, например, сделав замену t=1+x², тогда
dt=(1+x²)’dx=2xdx.
В примерах, где есть возможность провести потенцирование, то есть убрать логарифмы, удобно брать не С, а lnC. Именно так мы и сделаем: ln│y│=ln│t│+ln│C│. Так как сумма логарифмов равна логарифму произведения, то ln│y│=ln│Сt│, откуда y=Ct. Делаем обратную замену,и получаем общее решение: y=C(1+x²).
Мы делили на 1+x² и на y при условии, что они не равны нулю. Но 1+x² не равно нулю при любых x. А y=0 при С=0, таким образом, потери корней не произошло.
Ответ: y=C(1+x²).
2) Найти общий интеграл уравнения
Переменные можно разделить.
Умножаем обе части уравнения на dx и делим на
Получаем:
Теперь интегрируем
В левой части — табличный интеграл. Справа — делаем замену 4-x²=t, тогда dt=(4-x²)’dx=-2xdx. Получаем
Если вместо С взять 1/2 ln│C│, можно ответ записать более компактно:
Умножим обе части на 2 и применим свойство логарифма:
Мы делили на
Они не равны нулю: y²+1 — так как сумма неотрицательных чисел не равна нулю, а подкоренное выражение не равно нулю по смыслу условия. Значит, потери корней не произошло.
3) a) Найти общий интеграл уравнения (xy²+y²)dx+(x²-x²y)dy=0.
б) Найти частный интеграл этого уравнения, удовлетворяющий начальному условию y(е)=1.
а) Преобразуем левую часть уравнения: y²(x+1)dx+x²(1-y)dy=0, затем
y²(x+1)dx=-x²(1-y)dy. Делим обе части на x²y² при условии, что ни x, ни y не равны нулю. Получаем:
Интегрируем уравнение:
Так как разность логарифмов равна логарифму частного, имеем:
Это — общий интеграл уравнения. В процессе решения мы ставили условие, что произведение x²y² не равно нулю, откуда следует, что x и y не должны быть равными нулю. Подставив x=0 и y=0 в условие:(0.0²+0²)dx+(0²-0²0)dy=0 получаем верное равенство 0=0. Значит, x=0 и y=0 тоже являются решениями данного уравнения. Но в общий интеграл они не входят ни при каких С (нули не могут стоять под знаком логарифма и в знаменателе дроби), поэтому эти решения следует записать дополнительно к общему интегралу.
б) Так как y(е)=1, подставляем в полученное решение x=e, y=1 и находим С:
Примеры для самопроверки:
Дифференциальные уравнения.
Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнениях.
Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n – го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида
где F – заданная функция своих аргументов. В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальное» подчеркивает, что в них входят производные (функции, образованные как результат дифференцирования); термин – «обыкновенное» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента.
Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде аргумент x, искомую функцию и любые ее производные, но старшая производная обязана входить в уравнение n- го порядка. Например
а) – уравнение первого порядка;
б) – уравнение третьего порядка.
При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:
в) – уравнение второго порядка;
г) – уравнение первого порядка,
образующее после деления на dx эквивалентную форму задания уравнения: .
Функция называется решением обыкновенного дифференциального уравнения, если при подстановке в него оно обращается в тождество.
Например, уравнение 3-го порядка
Имеет решение .
Найти тем или иным приемом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение – значит найти все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.1) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения n -го порядка, причем число констант совпадает с порядком уравнения: Общее решение может быть, и не разрешено явно относительно y(x) : В этом случае решение принято называть общим интегралом уравнения (1.1).
Например, общим решением дифференциального уравнения является следующее выражение: , причем второе слагаемое может быть записано и как , так как произвольная постоянная , делённая на 2, может быть заменена новой произвольной постоянной .
Задавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в общем решении или в общем интеграле, получаем определенную функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.1). Для отыскания значений произвольных постоянных, а следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.1). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при (1.2)
В правых частях начальных условий (1.2) заданы числовые значения функции и производных, причем, общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант.
Задача отыскания частного решения уравнения (1.1) по начальным условиям называется задачей Коши.
§ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка – основные понятия.
Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка (n =1) имеет вид: или, если его удается разрешить относительно производной: . Общее решение y=y(x,С) или общий интеграл уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка позволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом, будет найдено частное решение или, что тоже, будет решена задача Коши. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива теорема, принимаемая здесь без доказательства.
Теорема 2.1. Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости XOY , и в этой области задана точка , то существует и притом единственное решение , удовлетворяющее как уравнению , так и начальному условию .
Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка представляет собой семейство кривых на плоскости XOY , не имеющих общих точек и отличающихся друг от друга одним параметром – значением константы C . Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения. Интегральные кривые уравнения обладают очевидным геометрическим свойством: в каждой точке тангенс угла наклона касательной к кривой равен значению правой части уравнения в этой точке: . Другими словами, уравнение задается в плоскости XOY поле направлений касательных к интегральным кривым. Замечание: Необходимо отметить, что к уравнению приводится уравнение и так называемое уравнение в симметрической форме .
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида (3.1)
или уравнение вида (3.2)
Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия:
;
Теперь надо решить уравнение g(y)= 0 . Если оно имеет вещественное решение y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (3.1).
Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение :
, что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2): . (3.3)
Интегральные кривые (3.3) будут дополнены решениями , если такие решения существуют.
Решить уравнение: .
Разделяем переменные:
.
Интегрируя, получаем
Дифференциальное уравнение
с разделенными переменными записывается
в виде:
(1).
В этом уравнении
одно слагаемое зависит только от x,
а другое – от y.
Проинтегрировав почленно это уравнение,
получаем:
–
его общий интеграл.
Пример
:
найти общий интеграл уравнения:
.
Решение: данное уравнение
– дифференциальное уравнение с
разделенными переменными. Поэтому
или
Обозначим
.
Тогда
–
общий интеграл дифференциального
уравнения.
Уравнение с разделяющимися
переменными имеет вид
(2).
Уравнение (2)легко сводиться к
уравнению (1) путем почленного деления
его на
.
Получаем:
–
общий интеграл.
Пример: Решить уравнение .
Решение: преобразуем левую
часть уравнения:
.
Делим обе части уравнения на
Решением является выражение:
т.е.
Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнение вида
называетсяоднородным
,
если
и
–
однородные функции одного порядка
(измерения). Функция
называется
однородной функцией первого порядка
(измерения), если при умножении каждого
ее аргумента на произвольный множительвся функция умножиться на,
т.е.
=
.
Однородное уравнение может быть приведено
к виду
.
С помощью подстановки
(
)однородное
уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными по отношению
к новой функции.
Дифференциальное уравнение первого
порядка называется линейным
, если
его можно записать в виде
.
Метод Бернулли
Решение уравнения
ищется в виде произведения двух других
функций, т.е. с помощью подстановки
(
).
Пример:
проинтегрировать уравнение
.
Полагаем
.
Тогда
,
т.е.
.
Сначала решаем уравнение
=0:
.
Теперь решаем уравнение
т.е.
.
Итак, общее решение данного уравнения
есть
т.е.
Уравнение Я. Бернулли
Уравнение вида
,
где
называетсяуравнением Бернулли.
Данное
уравнение решается с помощью метода
Бернулли.
Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида (1) , гдеипостоянны.
Частные решения уравнения (1) будем
искать в виде
,
гдек
– некоторое число. Дифференцируя
эту функцию два раза и подставляя
выражения для
в
уравнение (1), получимт.е.или
(2)
(
).
Уравнение 2 называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения.
При решении характеристического уравнения (2) возможны три случая.
Случай 1.
Корнииуравнения (2) действительные и различные:
и
.
Случай 2.
Корнииуравнения (2) действительные и равные:
.
В этом случае частными решениями
уравнения (1) являются функции
и
.
Следовательно, общее решение уравнения
(1) имеет вид
.
Случай 3.
Корнииуравнения (2) комплексные:
,
.
В этом случае частными решениями
уравнения (1) являются функции
и
.
Следовательно, общее решение уравнения
(1) имеет вид
Пример.
Решить уравнение
.
Решение:
составим характеристическое
уравнение:
.
Тогда
.
Общее решение данного уравнения
.
Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум.
Экстремум функции нескольких переменных
Определение.
Точка
М (х
о
,у
о
)
называется
точкой
максимума (минимума)
функции
z
=
f
(x
,
у), если существует окрестность точки
М, такая, что для всех точек {х, у) из этой
окрестности выполняется неравенство
(
)
На рис. 1 точка А
-
есть точка минимума, а точка В
-
точка максимума.
Необходимое условие экстремума - многомерный аналог теоремы Ферма.
Теорема.
Пусть
точка
–
есть точка экстремума дифференцируемой
функции
z
=
f
(x
,
у). Тогда частные производные
и
в
этой точке равны нулю.
Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума функции z = f (x , у), т.е. частные производные z " x и z " y равны нулю, называются критическими или стационарными.
Равенство частных производных нулю выражает лишь необходимое, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
На рис. изображена так
называемая седловая
точка М (х
о
,у
о
).
Частные производные
и
равны
нулю, но, очевидно, никакого экстремума
в точке М(х
о
,у
о
)
нет.
Такие седловые точки являются двумерными аналогами точек перегиба функций одной переменной. Задача заключается в том, чтобы отделить их от точек экстремума. Иными словами, требуется знать достаточное условие экстремума.
Теорема (достаточное
условие экстремума функции двух
переменных).
Пусть
функция
z
=
f
(x
,
у):
а) определена
в некоторой окрестности критической
точки (х
о
,у
о
),
в которой
=0
и
=0
;
б) имеет
в этой точке непрерывные частные
производные второго порядка
;
;
Тогда, если ∆=АС- В
2
>0, то
в точке (х
о
,у
о
)
функция
z
=
f
(x
,
у) имеет экстремум, причем если
А<0
- максимум, если
А>0
- минимум. В случае
∆=АС- В
2
<0,
функция
z
=
f
(x
,
у) экстремума не имеет. Если ∆=АС-
В
2
=0,
то вопрос о наличии экстремума
остается открытым.
Исследование функции двух переменных на экстремум рекомендуется проводить по следующей схеме:
Найти частные производные функции z " x и z " y .
Решить систему уравнений z " x =0, z " y =0 и найти критические точки функции.
Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.
Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.
Пример.
Найти
экстремумы функции
Решение. 1. Находим частные производные
2. Критические точки функции находим из системы уравнений:
имеющей четыре решения (1; 1), (1; -1), (-1; 1) и (-1; -1).
3. Находим частные производные второго порядка:
;
;
,
вычисляем их значения в каждой критической
точке и проверяем в ней выполнение
достаточного условия экстремума.
Например, в точке (1; 1) A = z "(1; 1)= -1; В=0; С= -1. Так как ∆ = АС- В 2 = (-1) 2 -0=1 >0 и А=-1<0, то точка (1; 1) есть точка максимума.
Аналогично устанавливаем, что (-1; -1) - точка минимума, а в точках (1; -1) и (-1; 1), в которых ∆ =АС- В 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.
4. Находим экстремумы функции z max = z(l; 1) = 2, z min = z(-l; -1) = -2,
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.
Пусть рассматривается функция z = f (x , y ), аргументы х и у которой удовлетворяют условию g (х,у) = С, называемому уравнением связи.
Определение.
Точка
называется точкой
условного
максимума (минимума),
если
существует такая окрестность этой
точки, что для всех точек (х,у) из этой
окрестности удовлетворяющих условию
g
(x
,
y
)
= С, выполняется неравенство
(
).
На рис. изображена точка
условного максимума
.
Очевидно, что она не
является точкой безусловного экстремума
функции z
= f
(x
,
y
)
(на рис. это точка
).
Наиболее простым способом
нахождения условного экстремума
функции двух переменных является
сведение задачи к отысканию экстремума
функции одной переменной. Допустим
уравнение связи g
(x
,
y
)
= С
удалось разрешить
относительно одной из переменных,
например, выразить у
через х:
.
Подставив полученное
выражение в функцию двух переменных,
получим z
= f
(x
,
y
)
=
,
т.е. функцию одной
переменной. Ее экстремум и будет условным
экстремумом функции z
=
f
(x
,
y
).
Пример. х 2 + y 2 при условии 3х +2у = 11.
Решение. Выразим из уравнения
3х +2у = 11
переменную y
через переменную x
и подставим полученное
в функциюz.
Получим z
=
x
2
+2
илиz
=
.
Эта функция имеет
единственный минимум при
=
3. Соответствующее
значение функции
Таким образом, (3; 1) - точка условного
экстремума (минимума).
В рассмотренном примере уравнение связи g (x , у) = С оказалось линейным, поэтому его легко удалось разрешить относительно одной из переменных. Однако в более сложных случаях сделать это не удается.
Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа.
Рассмотрим функцию трех переменных
Эта функция называется функцией Лагранжа, а - множителем Лагранжа. Верна следующая теорема.
Теорема.
Если
точка
является
точкой условного экстремума функции
z
=
f
(x
,
y
)
при условии
g
(x
,
y
)
= С, то существует значение
такое,
что точка
является
точкой экстремума функции
L
{
x
,
y
,
).
Таким образом, для нахождения условного экстремума функции z = f (х,у) при условии g (x , y ) = С требуется найти решение системы
На рис. показан геометрический смысл условий Лагранжа. Линия g (х,у) = С пунктирная, линия уровня g (x , y ) = Q функции z = f (x , y ) сплошные.
Из рис. следует, что в точке условного экстремума линия уровня функции z = f (x , y ) касается линии g (x , y ) = С.
Пример. Найти точки максимума и минимума функции z = х 2 + y 2 при условии 3х +2у = 11, используя метод множителей Лагранжа.
Решение. Составляем
функцию Лагранжа L
= х
2
+ 2у
2
+
Приравнивая к нулю ее частные производные, получим систему уравнений
Ее единственное решение (х=3, у=1, =-2). Таким образом, точкой условного экстремума может быть только точка (3;1). Нетрудно убедиться в том, что в этой точке функция z = f (x , y ) имеет условный минимум.
Определение 7. Уравнение вида называется уравнением с разделяющимися переменными .
Это уравнение можно привести к виду , разделив все члены уравнения на произведение .
Например, решить уравнение
Решение. Производная равна , значит
Разделяя переменные, получим:
.
Теперь интегрируем:
Решите дифференциальное уравнение
Решение. Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Для разделения переменных этого уравнения в виде и разделим его почленно на произведение . В результате получим или
интегрируя обе части последнего уравнения, получим общее решение
аrcsin y = arcsin x + C
Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Подставляя в общее решение начальные условия, получим
; откуда C=0
Следовательно, частное решение имеет вид arc sin y=arc sin x, но синусы равных дуг равны между собой
sin (arcsin y) = sin (arcsin x).
Откуда, по определению арксинуса, следует, что y = x.
Однородные дифференциальные уравнения
Определение 8. Дифференциальное уравнение вида, которое можно привести к виду , называется однородным .
Для интегрирования таких уравнений производят замену переменных, полагая . Эта подстановка приводит к дифференциальному уравнению относительно x и t, в котором переменные разделяются, после чего уравнение можно интегрировать. Для получения окончательного ответа надо переменную t заменить на .
Например, решить уравнение
Решение. Перепишем уравнение так:
получим:
После сокращения на х 2 имеем:
Заменим t на :
Вопросы для повторения
1 Какое уравнение называется дифференциальным?
2 Назовите виды дифференциальных уравнений.
3 Рассказать алгоритмы решения всех названных уравнений.
Пример 3
Решение:
Переписываем производную в нужном нам виде:
Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:
И перекидываем множители по правилу пропорции:
Переменные разделены, интегрируем обе части:
Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы , прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас.
Интеграл левой части легко найти , с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций
в прошлом году:
В правой части у нас получился логарифм, согласно моей первой технической рекомендации, в этом случае константу тоже следует записать под логарифмом.
Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. Максимально «упаковываем» логарифмы. Упаковка проводится с помощью трёх свойств:
Пожалуйста, перепишите эти три формулы к себе в рабочую тетрадь, при решении диффуров они применяются очень часто.
Решение распишу очень подробно:
Упаковка завершена, убираем логарифмы:
Можно ли выразить «игрек»? Можно. Надо возвести в квадрат обе части. Но делать этого не нужно.
Третий технический совет: Если для получения общего решения нужно возводить в степень или извлекать корни, то в большинстве случаев следует воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Дело в том, что общее решение будет смотреться вычурно и ужасно – с большими корнями, знаками .
Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла. Хорошим тоном считается представить общий интеграл в виде , то есть, в правой части, по возможности, оставить только константу. Делать это не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора;-)
Ответ: общий интеграл:
Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.
Общий интеграл тоже проверяется довольно легко, главное, уметь находить производные от функции, заданной неявно
. Дифференцируем ответ:
Умножаем оба слагаемых на :
И делим на :
Получено в точности исходное дифференциальное уравнение , значит, общий интеграл найден правильно.
Пример 4
Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что задача Коши состоит из двух этапов:
1) Нахождение общего решение.
2) Нахождение частного решения.
Проверка тоже проводится в два этапа (см. также образец Примера 2), нужно:
1) Убедиться, что найденное частное решение действительно удовлетворяет начальному условию.
2) Проверить, что частное решение вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению.
Полное решение и ответ в конце урока.
Пример 5
Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.
Решение:
Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:
Интегрируем уравнение:
Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала
:
Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы:
(Надеюсь, всем понятно преобразование , такие вещи надо бы уже знать)
Итак, общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию . В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:
Более привычное оформление:
Подставляем найденное значение константы в общее решение.
Ответ: частное решение:
Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие :
– всё гуд.
Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение дифференциальному уравнению. Находим производную:
Смотрим на исходное уравнение: – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал :
Подставим найденное частное решение и полученный дифференциал в исходное уравнение :
Используем основное логарифмическое тождество :
Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.
Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения выразим производную, для этого разделим все штуки на :
И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение и найденную производную . В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.
Пример 6
Решить дифференциальное уравнение . Ответ представить в виде общего интеграла .
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.
Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?
1) Не всегда очевидно (особенно, чайнику), что переменные можно разделить. Рассмотрим условный пример: . Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки: и отделить корни: . Как действовать дальше – понятно.
2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла , то со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей сборников и методичек популярна логика «раз уж дифференциальное уравнение является простым, то пусть интегралы будут посложнее».
3) Преобразования с константой. Как все заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно делать практически всё, что угодно. И не всегда такие преобразования понятны новичку. Рассмотрим еще один условный пример: . В нём целесообразно умножить все слагаемые на 2: . Полученная константа – это тоже какая-то константа, которую можно обозначить через : . Да, и коль скоро в правой части логарифм, то константу целесообразно переписать в виде другой константы: .
Беда же состоит в том, что частенько не заморачиваются с индексами, и используют одну и ту же букву . И в результате запись решения принимает следующий вид:
Что за фигня? Тут же ошибки. Формально – да. А неформально – ошибки нет, подразумевается, что при преобразовании константы всё равно получается какая-то другая константа .
Или такой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл . Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому целесообразно сменить у всех множителей знаки: . Формально по записи тут опять ошибка, следовало бы записать . Но неформально подразумевается, что – это всё равно какая-то другая константа (тем более может принимать любое значение), поэтому смена у константы знака не имеет никакого смысла и можно использовать одну и ту же букву .
Я буду стараться избегать небрежного подхода, и всё-таки проставлять у констант разные индексы при их преобразовании.
Пример 7
Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку.
Решение:
Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
Интегрируем:
Константу тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.
Ответ: общий интеграл:
Проверка: Дифференцируем ответ (неявную функцию):
Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на :
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.
Пример 8
Найти частное решение ДУ.
,
Это пример для самостоятельного решения. Единственный комментарий, здесь получится общий интеграл, и, правильнее говоря, нужно исхитриться найти не частное решение, ачастный интеграл . Полное решение и ответ в конце урока.
Как уже отмечалось, в диффурах с разделяющимися переменными нередко вырисовываются не самые простые интегралы. И вот еще парочка таких примеров для самостоятельного решения. Рекомендую всем прорешать примеры №№9-10, независимо от уровня подготовки, это позволит актуализировать навыки нахождения интегралов или восполнить пробелы в знаниях.
Пример 9
Решить дифференциальное уравнение
Пример 10
Решить дифференциальное уравнение
Помните, что общий интеграл можно записать не единственным способом, и внешний вид ваших ответов может отличаться от внешнего вида моих ответов. Краткий ход решения и ответы в конце урока.
Успешного продвижения!
Решения и ответы:
Пример 4:
Решение:
Найдем общее решение. Разделяем переменные:
Интегрируем:
Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:
Выражаем функцию в явном виде, используя
.
Общее решение:
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию
.
Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»:
.
Способ второй:
Подставляем найденное значение константы
в общее решение.
Ответ:
частное решение:
Проверка: Проверяем, действительно ли выполняется начальное условие:
, да, начальное условие
выполнено.
Проверяем, удовлетворяет ли вообще частное решение
дифференциальному уравнению. Сначала находим производную:
Подставим полученное частное решение
и найденную производную
в исходное уравнение
:
Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.
Пример 6:
Решение:
Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Ответ:
общий интеграл:
Примечание: тут можно получить и общее решение:
Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно, поскольку такой ответ смотрится довольно хреново.
Пример 8:
Решение:
Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
Интегрируем:
Общий интеграл:
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию
. Подставляем в общее решение
и :
Ответ:
Частный интеграл:
В принципе, ответ можно попричесывать и получить что-нибудь более компактное.
.
Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?
Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.
Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.
Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.
Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.
Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.
Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.
Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.
Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:
Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.
Примеры таких уравнений:
Уравнения с разделяющимися переменными
В общем виде этот тип уравнений выглядит так:
Приведем пример:
Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:
После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Такие уравнения имеют вид:
Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:
Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).
Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.
Пример решения ДУ с разделяющимися переменными
Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.
Сначала перепишем производную в более привычном виде:
Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":
Теперь осталось проинтегрировать обе части:
Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:
Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию , обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":