Трехзначная логика Лукасевича. Троичный компьютер: Да, нет, может быть: Логика Экономичность системы счисления

Трехзначная логика - раздел логики, в котором высказывания могут иметь три истинностных значения: истина, ложь и неопределенное.

Трехзначная логика применима в ситуациях, на которые не распространяется закон исключенного третьего.

Первую систему трехзначной логики разработал в 1920 г. польский логик Ян Лукасевич. Рассмотрим ее идеи.

Вводятся три истинностных значения: 1 (истинно), 1/2 (неопределенно), 0 (ложно), и операции отрицание, импликация, дизъюнкция и конъюнкция.

Особенностью системы Лукасевича является использование бесскобочной записи высказывании.

Перейдем к определению истинностных значений формул в трехзначной логике.

Истинностное значение отрицания высказывания а определяется формулой: Na = 1-а.

Истинностное значение конъюнктивного высказывания определяется формулой: &ab = min (а, b).

Истинностное значение дизъюнктивного высказывания определяется формулой: Vab = max (а, b), Истинностное значение импликативного высказывания определяется формулой:

→ab = min (1,1 -a+b).

Получается, что, исключив строки, в которых высказывания а и b имеют истинностное значение 1/2, мы автоматически переходим к двухзначной логике.

В обычной двухзначной логике имеются тождества, позволяющие заменять высказывание с импликацией на высказывания с дизъюнкцией или с конъюнкцией, это так называемые правила устранения импликации:a→b ≡ ~avb | a→b ≡ ~(a ~b). В трехзначной логике Лукасевича им должны соответствовать тождества: Cab ≡ ANab, Cab ≡ NKaNa. Посмотрим, выполняются ли эти тождества.

Сравнивая значения формул Cab, ANab, NKaNa по строчкам, мы видим, что они совпадают. Следовательно, в трехзначной логике Лукасевича также действуют тождества, позволяющие заменять формулу с импликацией на формулы с конъюнкцией или дизъюнкцией.

В трехзначной логике Лукасевича правила де Моргана выполняются.

В Двухзначной логике формулы a→(b→a), а→а, ~(a→~a), av~a являются тавтологиями, т.е. они истинны при любых значениях а и b. Причем второй, третьей и четвертой тавтологиям соответствуют законы тождества, противоречия (непротиворечия) и исключенного третьего.

В трехзначной логике Лукасевича выполняется закон тождества. Законы противоречия (непротиворечия) и исключенного третьего не выполняются в трехзначной логике Лукасевича.

В дальнейшем Лукасевичем и другими логиками (Э. Пост, С. Яськовский, Е. Слупецкой, Д. Вебб, Дж. Россер) были созданы различные варианты многозначных, в том числе бесконечнозначных, логик, в которых истинностными значениями служат числа, входящие в интервал от 0 до 1. Эти логики используются для решения логических парадоксов, проблем теории вероятностей, при разработке теории информационно-логических машин и т.д. В то же время необходимо подчеркнуть, что многозначные логики не заменяют обычную двузначную логику, которая остается необходимой в качестве метаязыка для описания свойств самой многозначной, в том числе трехзначной, логики.

Понятие релевантной логики. Парадоксы материальной импликации и логического следования. Различные виды условной связи и понятие релевантного следования.

Релевантная логика есть раздел современной неклассической логики, в которой исследуются понятия условной связи и логического следования, свободные от парадоксов материальной импликации и классического следования.

Парадоксы материальной импликации – несоответствие нашей интуиции об истинности условного высказывания (предложения), сформулированного на естественном языке, с приведенным выше табличным определением материальной импликации.

Материальная – такая импликация, которая используется в классической логике, когда из лжи следует все, что угодно, но она является истинной. (если 2+2=4, то Москва – столица России)

Другие парадоксы материальной импликации: из логического противоречия имплицируется все, что угодно, общезначимое выражение имплицируется из чего угодно.

Материальная импликация обладает целым рядом свойств, не совпадающих с нашей интуицией, и в этом смысле она является «парадоксальной». Эта парадоксальность распространяется также и на классическое понятие логического следования, т.к. предложения о логическом следовании тесно связаны с импликативными предложениями посредством соотношения:

А => В равносильно Если А, то В.

Учитывая эту связь, в классической логике легко воспроизводятся следующие несоответствующие нашей интуиции утверждения о логическом следовании: из противоречия следует все, что угодно; тавтология логически следует из чего угодно.

Требования:

1. Релевантная импликация и релевантное следование должны выполнять все свойства классической импликации.

2. Принцип релевантности – у антицедента и консегвента релевантного следования должны быть общие дескриптивные элементы.

3. Не должны быть доказуемы парадоксы материальной импликации.

Релевантное следствие – уместное следование, только суждение, имеющее общее содержание.

Виды импликации:

Строгая импликация – необходимая материальная импликация (логическая необходимость)

Сильная (интенсиональная) импликация

Непарадоксальная импликация (соотвествует если..то)

Релевантная

Материальная

28. Паранепротиворечивые логики. Относительная и абсолютная противоречивость.(НАЙТИ!!!)

Объективными основами их появления явления стремление отразить средствами логики специфику мышления человека о переходных состояниях, которые наблюдаются в природе, обществе и познании. В природе и обществе происходят изменения, предметы и их свойства переходят в свою противоположность, поэтому нередки переходные состояния, переход от незнания или неполного знания к более полному и точному. Действие законов двухзначной логики – закона исключенного третьего и закона непротиворечия – в этих ситуациях ограничено или вообще неприменимо.

В определенном временном интервале в паранепротиворечивых логиках допускается как истинность высказывания А, так и не-А. Паранепротиворечивые логики – логические исчисления, которые могут лежать в основе противоречивых формальных теорий.

Логика должна удовлетворять следующим условиям:

1. из двух противоречащих формул А и не-А в общем случае нельзя вывести произвольную формулу В.

2. дедуктивные средства классической логики должны быть максимально сохранены, поскольку они основа всех обычных рассуждений.

Закон непротиворечия не является тождественно-истинной формулой (тавтологией).

У Н.А. Васильева..закон исключенного четвертого: мысль может быть истинной, ложной, противоречивой, а четвертого не дано.

При создании исчислений стремятся к тому, чтобы запрет на противоречия был не отменен, а только ограничен, чтобы допуск противоречия не означал возможность все, что угодно утверждать и все, что угодно, отрицать.

Непротиворечивость:

В абсолютном смысле – существуют недоказуемые формулы

В относительном смысле –недоказуемы А и не-А

Паранепротиворечивая логика:

1. Система должны быть непротиворечива в абсолютном смысле.

2. Система может быть противоречива в относительном смысле (можно доказать А и не-А)

Модальная логика.

Неклассические логики - совокупность логических систем, отличающихся от обычной, так называемой классической логики тем, что в них либо не действуют те или иные законы (например, закон исключенного третьего или закон противоречия), или вводится больше чем два (истина и ложь) истинностных значения, или по каким-то другим критериям. Среди таких систем обычно называют интуиционистскую, модальную, временную, многозначную, паранепротиворечивую логики, логику нечетких понятий и др

Модальная логика

суждение состоит из субъекта, предиката, связки и квантора, а также о том, что связка и квантор часто опускаются, но имеются в виду.

Сделаем добавление. В суждениях неявно, а иногда явно, может присутствовать еще один элемент. Он выражается словами «возможно», «необходимо», «невозможно», «известно», «уверен», «надеюсь», «запрещено», «разрешено», «истинно», «ложно» и т.д. Это - модальные операторы. Примеры:

Известно, что все мушкетеры служили королю Франции.

Запрещено переходить перекресток на красный цвет.

В дальнейшем вместо слова «суждение» будем снова употреблять «высказывание».

Раздел логики, который исследует свойства высказываний с модальными операторами, называется модальной логикой.

Модальная логика предназначена для того, чтобы различать суждения. Говорит не только об истинности суждения, но и о характере предписывающих значений.

1. Алетическая (истинная) модальность выражает характер связи между мыслимыми субъектами, т.е. между S и Р.

Модальные слова: возможно, вероятно, точно, случайно, необходимо, может быть, не исключается, "допускается" и др..

Модальность:

а) суждение о факте. S есть Р.

б) вероятность суждения или вероятность чего-либо: S, вероятно, есть Р.

в) суждение о необходимости чего-либо: S, необходимо, есть Р.

Обычно 3 модальных оператора: необходимо, возможно и случайно.

2. ЭПИСТЕМИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ. Этот тип модальности - выраженная в суждении информация о характере принятия и степени обоснованности знания. Это характеристики наших знаний. Данная модальность выражается в терминах "доказано", "опровергнуто", "не доказано и не опровергнуто", "знает", "верит", "убежден", "сомневается". Название эпистемической модальности происходит от греческого "эпистема", означавшего в античной философии высший тип несомненного, достоверного знания. Мы можем принимать знания некритически, на основе веры ("Верю, что бывают синие коты" или "Отвергаю то, что марсиане прилетали на Землю"), или принимать их только на основе знания ("Доказано, что все люди смертны" и "Доказано, что все люди не являются смертными").

3. ДЕОНТИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ. Данный тип модальности - выраженное в суждении побуждение людей к конкретным действиям в форме совета, пожелания, команды, правила поведения или приказа. Другими словами, это характеристики действий и поступков людей в обществе. Данная модальность выражается в терминах "обязательно", "разрешено", "запрещено", "безразлично" (аналог алетической модальности "случайно"). К деонтическим относятся высказывания типа "Запрещается переходить улицу на красный свет", "Курить в аудитории не разрешается". К деонтическим относятся различного рода нормативные высказывания, в том числе и нормы права, т. е. официально принятые общеобязательные правила поведения, регулирующие правовые отношения в социальной среде.

4. ВРЕМЕННАЯ МОДАЛЬНОСТЬ. Временная модальность суждений - это выраженная в суждении информация о последовательности наступления событий и об их постоянном или дискретном характере протяженности. Модальность выражается в терминах "всегда", "никогда", "только иногда", "раньше", "позже", "одновременно" ("Студент N всегда опрятен", "Студент N всегда неопрятен", "Студент N никогда не бывает неопрятным", "Студент N иногда бывает опрятным", "N женился раньше D", "D женился позже N").

5. АКСИОЛОГИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ. Данный тип модальности - это выраженная в суждении информация о ценностной оценке поступка, факта, события. Данная модальность выражается в терминах "хорошо", "плохо", "лучше", "хуже", "безразлично", "равноценно". Набором примеров аксиологически сильных суждений (высказываний) является стихотворение В. Маяковского "Что такое хорошо и что такое плохо".

Тут ещё нужно сказать, что есть одноместные (хорошо, возможно, рано) и двухместные модальные операторы (лучше, вероятнее, раньше). Я не могу найти (Витя я), как они ещё точно называются. Завтра допишем либо, если у вас есть, допишите сами.

Согласно традиции средневековой логической мысли, заданной Абеляром, модальное высказывание должно рассматриваться в двух смыслах de dicto и de re. Высказывание, в котором модальность относится к связке, «Сократ может быть бел» - это высказывание в смысле de re, и условия его истинности иные, нежели у соединенных предложений, в которых модус относится ко всему высказыванию (диктуму), т.е. «Возможно, что Сократ бел».

Информация, которой оперирует компьютер, так или иначе раскладывается на единицы и нули — графика, музыка, тексты, алгоритмы программ. Все просто и понятно: «включено» — «выключено», «есть сигнал» — «нет сигнала». Либо« истина», либо« ложь» — двоичная логика. А между тем еще в 1961-м, в год первого полета человека в космос, в Советском Союзе наладили производство необычных вычислительных машин, оперировавших не двоичной, а троичной логикой

Александр Петров

«Лишняя» переменная Недвухзначность логики восходит к основоположнику первой законченной логической теории — Аристотелю, который между утверждением и антиутверждением помещал третье «привходящее» — «может да, а может нет». В последующем развитии логика была упрощена за счет отказа от этого третьего состояния и в таком виде оказалась необычайно живучей, несмотря на свое несоответствие нечеткой, не всегда раскладывающейся на «да» и «нет» действительности. В разные века «расширить» логику пытались Оккам, Лейбниц, Гегель, Кэрролл и некоторые другие мыслители, в конечном же виде трехзначную логику разработал в начале XX века польский ученый Ян Лукасевич.

«Сетунь» Несмотря на то что впоследствии команда Брусенцова разработала вторую модель «Сетунь-70», а в США в 1970-х годах шла работа над аналогичной ЭВМ Ternac, «Сетунь» осталась единственным в истории троичным компьютером, производившимся серийно.

В принципе, у троичной системы счисления было не меньше шансов, чем у двоичной. Кто знает, по какому пути развития пошел бы технический прогресс, если бы «трайты» одержали победу над «байтами». Как выглядели бы современные смартфоны или GPS-навигаторы, как отразилось бы значение «может быть» на их быстродействии? Сложно сказать. Мы проанализируем этот вопрос, а вам предоставим возможность сделать выводы самостоятельно.

Машина Фоулера

Справедливости ради сразу следует заметить: первую вычислительную машину с троичной системой счисления задолго до советских конструкторов построил английский изобретатель-самоучка Томас Фоулер в далеком 1840 году. Его машина была механической и полностью деревянной.

Томас Фоулер работал банковским служащим и по роду деятельности был вынужден производить сложные вычисления. Чтобы облегчить и ускорить свою работу, он сделал таблицы для счета степенями двойки и тройки, а позже опубликовал эти таблицы в виде брошюры.

Затем он пошел дальше, решив полностью автоматизировать расчеты по таблицам, и построил счетную машину. Английская патентная система того времени была несовершенна, предыдущее изобретение Фоулера (термосифон для систем парового отопления) было скопировано с минимальными изменениями и запатентовано множеством недобросовестных «изобретателей», поэтому, опасаясь, что его идею снова могут украсть, он решил изготовить машину в единственном экземпляре и — из дерева. Так как дерево — материал ненадежный, для обеспечения достаточной точности вычислений Фоулеру пришлось сделать машину весьма громоздкой, около 2 м в длину. Впрочем, как писал сам изобретатель в сопроводительной записке, отправляя машину в Лондонский королевский колледж, «если бы ее можно было изготовить из металла, она бы оказалась не больше пишущей машинки».

Машина Фоулера была проста, эффективна и использовала новаторский подход: вместо десятичной системы счисления оперировала «триадами», то есть степенями тройки. К сожалению, замечательное изобретение так и осталось незамеченным, оригинал машины не сохранился до наших времен, и о ее устройстве известно только из сочинения Фоулера-младшего, написавшего биографию отца.

Первые советские опыты

О практическом использовании троичной системы счисления забыли более чем на сто лет. Следующими, кто вернулся к этой идее, были инженеры с кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ.

Все началось в 1954 году: кафедре должны были передать электронно-вычислительную машину М-2, но не сложилось. А машину-то ждали, готовились ее устанавливать и налаживать, с нею связывались определенные ожидания и планы. И кто-то предложил: давайте построим свою.

Взяли — и построили, благо в то время в МГУ существовали некоторые теоретические наработки. Руководителем группы, осуществлявшей проектирование и изготовление машины, был назначен Николай Петрович Брусенцов. Задача была такая: сделать машину предельно простой и недорогой (потому что никакого специального финансирования у проекта не было). Поначалу собирались делать двоичную ЭВМ, но позже — как раз из соображений экономичности и простоты архитектуры — пришли к решению, что она будет троичной, использующей «естественный» троичный симметричный код, простейший из симметричных кодов.

К концу 1958 года был закончен первый экземпляр машины, которой дали имя «Сетунь» — по названию московской речки. «Сетунь» была относительно невелика для вычислительных машин того поколения и занимала площадь 25−30 м2. Благодаря своей изящной архитектуре она была способна выполнять 2000−4500 операций в секунду, обладала оперативной памятью в 162 девятитритных ячейки и запоминающим устройством на магнитном барабане емкостью 36−72 страницы по 54 ячейки каждая. Машинных команд было всего 27 (причем три так и остались невостребованными), благодаря чему программный код получался весьма экономным; программирование непосредственно в машинных кодах было настолько простым, что для «Сетуни» даже не разрабатывали свой ассемблер. Данные вводили в машину с перфоленты, результаты выводились на телетайп (причем, что любопытно, отрицательные цифры печатались как обычные, но перевернутые кверху ногами). При эксплуатации машина показывала 95−98% полезного времени (расходуемого на решение задач, а не на поиск неисправностей и устранение неполадок), а в те времена очень хорошим результатом считалось, если машина могла дать хотя бы 60%.

На межведомственных испытаниях 1960 года машину признали пригодной для массового использования в КБ, лабораториях и вузах, последовало распоряжение о серийном выпуске «Сетуни» на Казанском заводе математических машин. С 1961 по 1965 год было построено 50 экземпляров, которые работали по всей стране. Затем производство свернули. Почему перестали выпускать «Сетунь», если она успешно использовалась всюду от Калининграда до Якутска? Одна из возможных причин в том, что компьютер оказался слишком дешевым в производстве и потому невыгодным для завода. Другая причина- косность бюрократических структур, противодействие ощущалось на каждом из этапов.

Впоследствии Николай Брусенцов и Евгений Жоголев разработали более современную версию машины, использовавшую те же принципы троичности, — «Сетунь-70″, но она так и не пошла в серийное производство, единственный опытный образец работал в МГУ до 1987 года.

Трехзначная логика

Двухзначная математическая логика, которая повсеместно царит в мире компьютерной и прочей «интеллектуальной» техники, по мнению создателя троичного компьютера Николая Брусенцова, не соответствует здравому смыслу: «закон исключенного третьего» отрезает иные заключения, кроме «истины» и «не-истины», а между тем процесс познания реальности человеком отнюдь не сводится к дихотомии «да/нет». Поэтому, утверждает Брусенцов, чтобы стать интеллектуальным, компьютеру следует быть троичным.

Трехзначная логика отличается от двухзначной тем, что кроме значений «истина» и «ложь» существует третье, которое понимается как «не определено», «нейтрально» или «может быть». При этом сохраняется совместимость с двухзначной логикой — логические операции с «известными» значениями дают те же результаты.

Логике, оперирующей тремя значениями, естественным образом соответствует троичная система счисления — троичная симметричная, если говорить точнее, простейшая из симметричных систем. К этой системе впервые обратился Фибоначчи для решения своей «задачи о гирях».

В троичной симметричной системе используются цифры: -1, 0 и 1 (или, как их еще обозначают, -, 0 и +). Преимущества ее как симметричной системы состоят в том, что, во‑первых, не нужно как-то особо отмечать знак числа — число отрицательно, если его ведущий разряд отрицателен, и наоборот, а инвертирование (смена знака) числа производится путем инвертирования всех его разрядов; во‑вторых, округление здесь не требует каких-то специальных правил и производится простым обнулением младших разрядов.

Кроме того, из всех позиционных систем счисления троичная наиболее экономична — в ней можно записать большее количество чисел, нежели в любой другой системе, при равном количестве используемых знаков: так, например, в десятичной системе, чтобы представить числа от 0 до 999, потребуется 30 знаков (три разряда, десять возможных значений для каждого), в двоичной системе теми же тридцатью знаками можно закодировать числа в диапазоне от 0 до 32767, а в троичной — от 0 до 59048. Самой экономичной была бы система счисления с основанием, равным числу Эйлера (e = 2,718…), и 3 — наиболее близкое к нему целое.

Если в привычных нам двоичных компьютерах информация измеряется в битах и байтах, то компьютеры на троичной системе счисления оперируют новыми единицами: тритами и трайтами. Трит — это один троичный разряд; подобно тому, как бит может принимать значения 0 и 1 («ложь» и"истина»), трит может быть (+), (0) или (-) (то есть «истина», «неизвестно» или «ложь»).

Один трайт традиционно (так было на «Сетуни») равен шести тритам и может принимать 729 различных значений (байт — только 256). Впрочем, возможно, в будущем трайты станут 9- или 27-разрядными, что естественнее, так как это степени тройки.

Настоящее и будущее троичных компьютеров

После «Сетуни» было несколько экспериментальных проектов, осуществлявшихся энтузиастами (таких, например, как американские Ternac и TCA2), однако это были либо весьма несовершенные машины, далекие от двоичных аналогов, либо и вовсе программные эмуляции на двоичном «железе».

Основная причина состоит в том, что использование в компьютерах троичных элементов пока не дает никаких существенных преимуществ перед двоичными: выпуск последних налажен массово, они проще и дешевле по себестоимости. Даже будь сейчас построен троичный компьютер, недорогой и по своим характеристикам сравнимый с двоичными, он должен быть полностью совместим с ними. Уже разработчики «Сетуни-70» столкнулись с необходимостью обеспечить совместимость: чтобы обмениваться информацией с другими университетскими машинами, пришлось добавить возможность читать с перфолент двоичные данные и при выводе также конвертировать данные в двоичный формат.

Однако нельзя сказать, что троичный принцип в компьютеростроении — это безнадежный анахронизм. В последнее десятилетие возникла необходимость в поиске новых компьютерных технологий, и некоторые из этих технологий лежат в области троичности.

Одно из таких исследовательских направлений — поиск альтернативных способов увеличения производительности процессоров. Каждые 24 месяца число транзисторов в кристалле процессора увеличивается примерно вдвое — эта тенденция известна как «закон Мура», и вечно продолжаться она не может: масштабы элементов и связей можно измерить в нанометрах, и очень скоро разработчики столкнутся с целым рядом технических сложностей. Кроме того, есть и экономические соображения — чем меньше, тем дороже разработки и производство. И с какого-то момента окажется дешевле поискать альтернативные способы делать процессоры мощнее, нежели продолжать гонку за нанометрами, — обратиться к технологиям, от которых раньше отказывались как от нерентабельных. Переход от однородных кремниевых структур к гетеропереходным проводникам, состоящим из слоев различных сред и способным генерировать несколько уровней сигнала вместо привычных «есть» и «нет», — это возможность повысить интенсивность обработки информации без увеличения количества элементов (и дальнейшего уменьшения их размеров). При этом от двухзначной логики придется перейти к многозначным — трехзначной, четырехзначной и т. д.

Другое направление, также нацеленное на увеличение производительности, — разработки в области асинхронных процессоров. Известно, что обеспечение синхронности процессов в современных компьютерах изрядно усложняет архитектуру и расходует процессорные ресурсы — до половины всех транзисторов в чипе работает на обеспечение этой самой синхронности. Компания Theseus Logic предлагает использовать «расширенную двоичную» (фактически — троичную) логику, где помимо обычных значений «истина» и «ложь» есть отдельный сигнал «NULL», который используется для самосинхронизации процессов. В этом же направлении работают еще несколько исследовательских групп.

Есть и более фантастические направления, где оправдано использование трехзначной логики: оптические и квантовые компьютеры.

Традиционно считается что логика обладает свойствами двоичности.
То есть любое утверждение может быть истинным или ложным, а также любая функция может иметь либо положительный либо отрицательный результат.

На самом деле это не совсем так. Поэтому большинство заблуждений людей связанно с тем, что они в своих рассуждениях как раз пытаются применить эту самую двоичную логику. В некоторых ситуациях это вполне допустимо, но в большинстве случаев вызывает совершенно невероятные заблуждения.

Чтобы понять почему же истинная логика всегда троична, а не двоична возьмём для примера следуюшие три утверждения.

1) Машина красного цвета
2.) Машина не красного цвета
3.) Машина марки Форд.

Все эти утверждения касаются информации об одной и той же машине.

Каково же значение принимает информация о красноте цвета кузова машины в каждом из трёх выражений.?

С точки зрения "двоичной" логики ситуация выглядит так:

1) Увтерждение положительное то есть Красный Цвет = 1.
2) Утверждение отицательное то есть красный цвет = 0.
3) Утверждение отрицательное (информация отсутсвует) = 0.

Совершенно ясно, что последнее утверждение совершенно не обязательно является ложным только потому что информация отсутсвует. Но двоичная логика игнорирует такие тонкости ибо
у неё только ДВА результата. Положительный и Отрицательный.
Да и Нет. Никакого другого результата в двоичной логики
быть не может в принципе

Иногда это вполне допустимо, поскольку в большинстве случаев нас интересует положительный результат. А отрицательный результат и отсутсвие результата мы можем считать "одним и тем же случаем".

Но такая логика сильно искажает действительность. Иногда до неузнаваемости.

Если же мы применяем троичную логику в любых рассуждениях то картина начинает отражать в большинстве случаев значительно больше соответсвовать действительности.

Если мы к этим трём утверждениям теперь применим троичную логику то получится следующее.

Информация о красноте цвета кузова

1.) Положительная = +1
2) Отрицательная = -1
3) Отсутсвует = 0

Информация о цвете вообще

1) Положительная = +1
2) Отсутсвует (потому что утверждение "не красная" ещё не ознначает какого то конкретного цвета = 0
3) Отсутсвует

Информация о марке машины
1)= 0
2)= 0
3) +1

Таким обрзом любое утверждение с точки зрения троичной логики на самом деле становится либо истинным либо неопределённым.
Никаких "ложных" утверждений таким образом в троичной логике быть не может в принципе.

Положительным (Истина)
Отрицательным (Истина)
Нейтральным (Неопределённость)

Многих сбивает с толку двоичность логики компьютерных систем.
На самом деле двоичность логики в компьютерных системах искусственная. Связанно это с тем, что компьютерные системы значительно проще аппаратно реализовать таким образом. Кроме того
основной задачей во времена разработки компьютерных систем
отводилось вычислительным операциям. Считалось, что гораздо
эффективнее применять двоичную арифметику. Но фактически
всякие искусственные ухищрения со знаком числа во время даже арифметических вычислений уже нарушают принцип двоичности логики сами по себе. То есть когда например об отрицательном значении результата вычитания 2-х числе процесср устанавливает в определённое значение 3-е служебное число Или когда определённый разряд числа является служебным то есть фактически являтся дополнителььным третьим числом.

Если же взять абсолютно любую уже высокоуровневую логическую функцию то мы увидим, что система логики всегда троична.

Например. Система пытается считать информацию с компакт диска.
Казалось бы что на компакт диске в приципе исключительн двоичная логика по природе. Там где лазер прожёг ямку там информация равна
условно "нулю" а там где оставил нетронутым там условно "единица"
Но это только так кажется.
На самом деле далеко не вся информация на компакт диске является "нулём" или "единицей". Кучу информации оказывается безсполезными ошибками. То ли в силу ошибок записи, то ли в силу повреждения
самого диска в дальнейшем и.т.п. Для этого массу особо важной информации (такой как файловая система и.т.п.) дублируется.
В случае если считывающая програма не может определить истинность информации она пытается считать её из другого места.
Таким образом даже на компакт диске получается 3 значения.
Как "единица" так и "ноль" либо "единица" и "минус единица" являются истиой информаицей. В то время как остальные значения являются неоределёным "шумом", которые логика обязанна проигнорировать.
В итог получается что логика воспринимает 3 значения.
Из нулей и единиц программная троичная логика собирает актуальные числа, а затем преобразовывает их в "истинные" анные, А неорделённые значения игнорирует, пытаясь найти их там где они определённые и взять их оттуда. Таким образом в итоге она обрабатывает 3 значения кажого "бита", а не два.

Также само устроен обмен данных по интернету. Там любая информация тем более постоянно проверяется на истинность.
В случае получения неопределённого результата порция двоичной (истинной) информации передаётся снова до тех пор пока информация не будет соовтветсвовать истинности.
В итоге опять имеем троичную а не двоичную логику передачи информации. Ибо 2 логических значения истины плюс одно значение неопределённости равно как раз 3.

Или например возьмём ситуацию, когда производится некий поиск информации.
Например информация о наличие утренних рейсов на Нью-Йорк.
Очевидно что если полученна информация об их наличие
то это положительный результат. Если полученна информация об их
отсутсвие (только вечерние рейсы например) то это тоже результат только отрицательный. А вот если информации по каким-то причинам нет это тоже результат только неопределённый.

Таким образом любая логическая функция двух аргументов может возвращать не два а три значения:

1) Положительное а=b (машшина = красная)
2) Отрицательное a!=b (машина!= красная)
3) Неопределённое а?=b (соотношение аргументов "машина" и
"красная" не установлено)

При инверсия положительного результата может означать как отрицательный так и неопределённый результат.

Инверсия неопределённого результата может означать как положительный так и отрицательный результат

Инверсия отрицательного результата также даёт два возможных значения..

Это просто выразить. Противоположностью владению точной информацией о том что машина красная может быть две ситуации.
1) Владение точной информации что она явно не красная, и
2) Невладении никакой информацией по этому поводу
и.т.п.

Это даже лингвистически выражается в далеко не тождественности таких выражений как:
"Знаю что не красная" // "не" выступает в роли Отрицание
"Не знаю что красная." // "не" в роле неопределённости

В современном русском например иногда языке прослеживается тонкая разница между "не" и "ни" которые как раз служат для разделения отрицания с неопределённостью.

Нарпример ни тот ни другой. Никак(?=). Ниоткуда (?=). Ничем(?).
это всё неопределённость.

Никак (не) сделал. (ни хорошо ни плохо)
Не так сдалал (плохо сдеал)

Тут кстати нет никакого "двойного отрицани" тут отрицанние действия и неопределённость.

Ниоткуда пришёл. Не известно откуда ни оттуда ни отсюда.
Но "не туда идёшь". Конкретно не туда.

Ничем не занимался. (ни тем ни сем)
Не тем занимался (конкретно не тем)

Никто не пришёл (ни тот ни другой)
Не тот пришёл (конкретно не тот)

Итак, мы с вами недавно узнали о . Что есть в мире нечто посерединке, отличное от абсолютизируемых цифровкой „Истины“ и „Лжи“. Даже научились немного операциям, с помощью которых это третье состоянье („Мера“) переводится в истину („+“) или ложь („-“). И наоборот. Мы поняли, как именно ложь и истина способны «прятаться» в этом третьем состоянии („0“).

Давайте приступим к изучению логики этого мира, отличного от двоичного мира американского Спектакля. От чёрно-белой логики плохо/хорошо, с помощью которой СМИ снабжает информацией дрессирует обывателя.

5. Двуместные операции.

Операции с двумя переменными называются двуместными («бинарными»). Если учитывать третье состояние, а в трёхзначной логике оно учитывается, то всего существует 19683 двуместных операций. Десятки тысяч операций сложно разобрать в одной таблице, как мы поступили с унарными операциями в третьем параграфе. Чтобы учесть их все, нужны математические методы, выходящие за рамки этого обзора.
Поэтому о двуместных операциях куда меньше информации в Сети. Основной материал этого постинга взят из второй главы («k-значная логика») книжки С.В. Яблонского «Введение в дискретную математику» , по которой нам и преподавали матлогику на мехмате МГУ. Его применение к трёхзначной логике учитывает ту информацию о советской машине «Сетунь», которую мне передал slobin из школы акад. Брусенцова, разработчика этой машины.
Хэкерство не сводится к науке, т.к. подводит к дзэнскому просветлению, а не исходит из католической схоластики. Но изучение компьютерных наук, как мы видим, способно помочь на пути хэкера.
Интерпретация трёхзначной логики, помогающая освоить её побыстрее, отражает непростое время «цифровой оккупации» страны, в которой мы все живём. За эпиграф отдельное спасибо magenta_13 .

5.1. Конъюнкция и дизъюнкция.

Программисты зарубежных двоичных машин должны помнить простенькие логические операции И, ИЛИ (AND, OR). Математики их называют конъюнкцией x&y (в некоторых работах Брусенцова встречается запись x∧y , как дань уважения Лукашевичу) и дизъюнкцией x∨y соответственно. В трёхзначной логике (если использовать префиксную нотацию ) их проще запомнить, как операции min(x,y) и max(x,y) . Любая трёхзначная функция (сколько угодно аргументов) может быть довольно легко записана с помощью этих двух операций и операций выбора (S + , S , S -) из .
Вот карты Карно («таблицы Пифагора») для этих двух операций. Они коммутативны, поэтому можете искать x и y хоть по горизонтали, хоть по вертикали («переместительный закон»). Результат будет на пересечении:

x&y= =min(x,y) - 0 + - - - - 0 - 0 0 + - 0 +

x∨y= =max(x,y) - 0 + - - 0 + 0 0 0 + + + + +

Если вы научили машину делать отрицание Лукашевича (~x=NOT x), то одна из этих функций избыточна, ведь ~min(x,y)=max(~x,~y) . Теперь разберём смысл, интерпретацию этих двух важнейших операций трёхзначной логики. Сразу заметим, что если на входе нет „третьего состоянья“, то эти две функции неотличимы от соответствующих функций профессора Буля.

5.1.1. Логическое И (конъюнкция).

Операцию A&B=min(A,B) часто называют логическим И (Logical AND). Почему? Представим, что ваш проект зависит от нескольких других. В простейшем случае, от каждого из двух других проектов. Всё получится, если Вася сделает обещанное и у Маши тоже всё получится.
Пусть A обозначает "у Васи всё получилось", B это "у Маши всё получилось", а C это "у Васи и Маши всё получилось". Оказывается, что C=A&B . Эту формулу легко доказать, ведь состояний всего три и перебрать все можно довольно быстро:

• Случай, когда и Вася, и Маша справились (оба „+“) понятен. Общий проект получился, результат "логического И" тоже „истина“ („+“). Это единственный случай, когда вы можете твёрдо заявить об успехе.
• Случай, когда кто-нибудь из них не справился („-“) тоже понятен. Независимо от усердства другого, общий проект тоже не удался („-“).
• Если среди проектов есть незавершённые („третье состоянье“), но явных провалов нет, тогда статус общего проекта тоже неизвестен („0“).

5.1.2. Логическое ИЛИ (дизъюнкция).

Вторая операция A∨B=max(A,B) называется логическим ИЛИ (Logical OR). Предположим, что для успеха нашего проекта (C) достаточен успех лишь одного из других. При этом не важно, кто именно добьётся своего - Вася (A) или Маша (B).
В этом случае C=A∨B . Разберём возможные случаи:

• Кто-то добился успеха (A=„+“ или B=„+“). Тогда, независимо от статуса другого проекта, мы тоже выиграли (C=„+“).
• Оба проиграли (A=„-“ и B=„-“ одновременно). Это единственный случай, когда удача не на нашей стороне (C=„-“).
• Явных успехов нет ни у кого (A≠„+“ и B≠„+“), но на кого-то ещё осталась надежда (A=„0“ или B=„0“). В этом случае наш проект ещё не окончен (C=„0“).

5.2. Алгебра логики.

Как нам напомнил slobin , трёхзначная логика не является булевым кольцом. У неё свой математический аппарат. Его полезно изучить, ведь это поможет почувствовать трёхзначную логику и смелее в ней оперировать. Все эти законы и свойства легко доказать, перебрав все значения входящих в них переменных.
Алгебраический подход заключается в том, чтобы определить над множеством {„-“, „0“, „+“} двуместные {&, ∨} и одноместные {", S, ~} операции с помощью законов, а оставшиеся свойства уже выводить из них алгебраически. При этом наборы законов (системы аксиом ) могут быть разными. Главное, чтобы из каждого набора можно было вывести все оставшиеся (не включённые в набор) свойства в качестве следствий.

1. Переместительный закон (законы коммутативности). Как я уже написал, операции a&b и a∨b коммутативны:
a&b = b&a
a∨b = b∨a

2. Сочетательный закон (законы ассоциативности).
a&(b&c) = (a&b)&c
a∨(b∨c) = (a∨b)∨c

3. Распределительный закон (законы дистрибутивности). Как и в булевской алгебре, каждая из двух операций &, ∨ дистрибутивна относительно другой (кстати, операция & имеет больший приоритет, чем операция ∨):
a&(b∨c) = a&b ∨ a&c
a ∨ b&c = (a∨b)&(a∨c)

4. Идемпотентность конъюнкции и дизъюнкции означает, что:
a&a = a
a∨a = a

5. Закон двойного (и тройного) отрицания . Отрицание Лукашевича ~a и циклическое отрицание a" подчиняются следующим законам:
~~a = a (инволютивность отрицания Лукашевича, то есть обратность самому себе)
a""" = a

Здесь же можно привести определения двух «крайних» операций выбора. Эти тождества приводились в качестве свойств, когда мы определяли операции выбора с помощью таблиц истинности. Считаем, что циклическое отрицание a" обладает большим приоритетом, чем операции выбора:
S - a = Sa"
S + a = Sa""

6. Свойства констант в общем-то традиционны:
a & „+“ = a
a & „-“ = „-“
a ∨ „+“ = „+“
a ∨ „-“ = a
~ „-“ = „+“
~ „+“ = „-“

К ним добавлены свойства циклического отрицания констант, фактически его буквальное определение:
„-“ " = „0“
„0“ " = „+“
„+“ " = „-“

Также появились два новых свойства, связанных с неизменностью третьего состоянья при отрицании Лукашевича:
~ „0“ = „0“
~(a & „0“) = ~a ∨ „0“

7. Законы де Моргана (законы дуальности) используют отрицание Лукашевича. Один из них я уже упомянул:
~(a&b) = ~a ∨ ~b
~(a∨b) = ~a & ~b

8. Законы поглощения :
a & (a∨b) = a
a ∨ a&b = a

9. Антиизотропность отрицания Лукашевича использует тот факт, что логические значения строго упорядочены („-“ < „0“ < „+“):
a≤b ⇒ ~a ≥ ~b

Более того, если пользоваться операцией сравнения (см. ниже), то справедливо более сильное утверждение:
a mag b ⇔ ~b mag ~a

Впрочем, из-за наличия меры (состоянья „0“) некоторые законы (например законы дополнительности конъюнкции и дизъюнкции) оказываются неверными. Их место занимают другие законы. Кстати, справедливость некоторых из этих законов ставилась под сомненье целыми математическими школами.

10. Закон несовместности состояний пришёл на смену закону противоречия , который в трёхзначной логике неверен. Высказывание a & ~a не всегда ложно, не всегда „-“. Зато выполняются следующие тождества:
Sa & Sa"" = „-“
Sa" & Sa"" = „-“
Sa" & Sa = „-“

Эти тождества означают, что a не может принять два состояния одновременно. Их можно записать с помощью операций S - и S + :
Sa & S + a = „-“
S - a & S + a = „-“
S - a & Sa = „-“

11. Закон полноты состояний сменил неверный закон исключённого третьего . Действительно, высказывание a ∨ ~a не всегда истинно, не всегда „+“. Третье дано, поэтому следующее высказывание истинно (оно снова потребует поправки при увеличении числа состояний, например при переходе в четырёхзначную логику):
Sa" ∨ Sa ∨ Sa"" = „+“ , или
S - a ∨ Sa ∨ S + a = „+“

Иногда этот закон формулируют, как закон исключённого четвёртого :
a ∨ a" ∨ a"" = „+“

12. Закон трёхчленного склеивания сменил неверный закон склеивания . В троичной логике a&b ∨ a&~b ≠ a и (a∨b) & (a∨~b) ≠ a , зато:
a&Sb" ∨ a&Sb ∨ a&Sb"" = a , или
a&S - b ∨ a&Sb ∨ a&S + b = a

13. Закон обобщённого трёхчленного склеивания сменил неверный закон обобщённого склеивания (теоремы консенсуса ). В троичной логике a&c ∨ b&~c ∨ a&b ≠ a&c ∨ b&~c и (a∨b) & (~a∨c) & (b∨c) ≠ (a∨b) & (~a∨c) , зато:
a&Sd" ∨ b&Sd ∨ c&Sd"" ∨ a&b&c = a&Sd" ∨ b&Sd ∨ c&Sd"" , или
a&S - d ∨ b&Sd ∨ c&S + d ∨ a&b&c = a&S - d ∨ b&Sd ∨ c&S + d

14. Трёхчленный закон Блейка-Порецкого сменил неверный закон Блейка-Порецкого . Действительно, a ∨ ~a&b ≠ a∨b и a & (~a∨b) ≠ a&b , зато:
a ∨ Sa"&b ∨ Sa&b = a∨b , или
a ∨ S - a&b ∨ Sa&b = a∨b

5.3. Логическое умножение и сложение по модулю три.

Удивительно, но в таблице команд машины «Сетунь» не было ни конъюнкции, ни дизъюнкции. Наряду с арифметическими операциями там была единственная «функция 20», поразрядное логическое умножение . Это обычное умножение, знакомое нам с детства:

x∧y= =x∙y	-	0	+
-	+	0	-
0	0	0	0
+	-	0	+

Оно позволяет сохранить, обнулить или изменить знак тритов. Если к обнулённым тритам прибавить (арифметически) единички или минус единички, мы получим всё разнообразие, нужное программистам. Исходя из этого данная логическая операция и была выбрана Брусенцовым для аппаратной реализации в «Сетуни», ведь он экономил пространство команд.
Сложение по модулю три напоминает двоичный XOR. Это обычное сложение, только без переноса: в случае переполнения разрядной сетки оно сохраняет лишь младший трит. Как и двоичный XOR, сложение по модулю три либо оставляет трит неизменным, либо изменяет его (производит операции INC / DEC , в зависимости от знака соответствующего трита).

x⊕y	-	0	+
-	+	-	0
0	-	0	+
+	0	+	-

Эти две важные и полезные операции не найти у Яблонского. Вместо них русский учёный рассматривал аналогичные операции для троичной системы с базисом (0,1,2) - более сложной в аппаратной реализации, да и не нужной никому.

5.4. Функция Вебба, как надежда русской революции.

Люди, всерьёз интересовавшиеся логикой профессора Буля, помнят штрих Шеффера и стрелку Пирса. Есть ли здесь подобные двуместные операции? Оказывается, есть. Двуместная операция, которую математики называют функцией Вебба (x|y=V 3 (x,y)=INC max(x,y)), позволяет реализовать все другие трёхзначные функции. Вы не ослышались, именно все. И одноместные (например INC x=V 3 (x,x)), и двуместные (например x∨y=INC INC V 3 (x,y)). Разумеется, её таблица истинности напоминает дизъюнкцию:

x|y	-	0	+
-	0	+	-
0	+	+	-
+	-	-	-

Вполне возможно, что именно логическим элементам, реализующим функцию Вебба, придётся сыграть роль троичных ЛА3"их (элементов И-НЕ). И от качества реализации этой функции, количества транзисторов будет зависеть эффективность будущих отечественных троичных процессоров.
Впрочем, функция DEC max(x,y) (а возможно, что и INC min(x,y) , DEC min(x,y)) ничем не хуже. Вопрос лишь в том, какую из них мы сможем реализовать наиболее эффективно.

6. Практические нужды.

Этот раздел постепенно дописывается. Я уже полностью описал трёхзначную логику. Но всегда есть некоторые добавления и уточнения, важные для конкретных областей деятельности.

6.1. Функции, важные для инженеров.

Есть несколько функций, которые Брусенцов счёл полезными при проектировании троичных устройств. Во-первых, это одноместные арифметические функции отделения двоичных компонент α - , α° и α + , которые легко получаются из логических операций выбора:

Во-вторых, это пороговое сложение x+y , которое в отличии от сложения по модулю 3 при переполнении выдаёт самое большое (или самое маленькое) значение, умещающееся в трите. Оно не является ассоциативным, но, по свидетельству Брусенцова, существенно проще в аппаратной реализации:

Стив Грабб предложил и реализовал ещё три двуместные функции. Во-первых, это исключающий максимум (Exclusive Max) x⇑y . Результат этой забавной функции равен максимуму двух операндов или „-“, если эти операнды совпадают:

Последняя из функций, предложенных Стивом Граббом называется сравнение (Magnitude) x≡y , она сравнивает величины двух аргументов. Значение этой функции „-“, если xy (порядок аргументов важен - x по горизонтали, y по вертикали):

x≡y	-	0	+
-	0	+	+
0	-	0	+
+	-	-	0

6.2. Функции, важные для математиков.

Некоторые функции имеют мало практического смысла для компьютерщиков, но играют важную роль в математической логике, историческую или научную. Приведу их здесь, для полноты картины. Кто знает, быть может что-то из этого наследства заиграет новыми красками в троичных компьютерах...

Пионером троичной логики был поляк Лукашевич. Наше логическое ИЛИ он обозначал x∧y и называл слабой конъюнкцией , а значком x&y обозначал совсем другую, сильную конъюнкцию , карта Карно которой приведена ниже. Справа приведена импликация Лукашевича x→ л y (x по горизонтали), которая важна в модальной логике :

Свои операции конъюнкции и импликации предложил американец Клини. В его интерпретации третье состоянье означало «неопределено»:

x∧ + y - 0 + - - 0 - 0 0 0 0 + - 0 +

7. Итоги. Как я уже отметил, существуют десятки тысяч двуместных операций. Полная таблица будет необозрима. Ниже приводится таблица, содержащая в краткой форме все рассмотренные операции. x y x&y x∨y x∧y x⊕y x|y - - - - + + 0 - 0 - 0 0 - + - + - + - 0 - 0 - - 0 0 - + 0 0 0 0 0 0 + 0 + 0 + 0 + - + - - + - 0 - + 0 0 + 0 + - + + + + + - - 8. Четвёртое измеренье состоянье. Разработчики давно поняли, что логика профессора Буля недостаточна для построения компьютера. Так компьютерная сеть «с общей шиной» (например Ethernet) требует объединения всех входов и выходов сетевых карт. Объединение входов понятно, все считывают с общего кабеля одну и ту же информацию. Но что такое объединение выходов? Если один компьютер захочет вывести „1“, а соседний „0“, то что получится на шине, что будут считывать входы? Многие современные схемы используют «третье состоянье» (которое скорее административное, чем логическое) и работают на стыке двоичной и троичной логик. Это состояние называется высокий импеданс («отключено»). В частности, в него переходят Интернет-сайты во время DoS-атак. :-) В случае общей шины все выходы должны уметь находиться в этом, третьем состоянии. И только один из них должен выводить на общую шину нолик или единичку, «ложь» или «истину». Аналогично, если мы хотим воспользоваться всеми преимуществами троичной связи, нам придётся прибегать к четвёртому состоянию «высокого импеданса». Впрочем, четырёхзначная логика легко сводится к двоичной. Просто операции производятся над двумя битиками сразу, а не над одним. Коренное отличие лишь в том, что четырёхзначные операции над битом способны влиять на «парный» бит. Впрочем, описываемое «четвёртое состояние» тоже будет нести не логическую, а «административную» функцию.

Наверняка на хабре уже немало постов на эту тему. Тем не менее, я попытаюсь рассказать свою точку зрения на всё это…

Однажды я прочитал в интернете про троичную систему счисления и заинтересовался. Меня мучил вопрос, а нельзя использовать в основе компьютера симметричную троичную систему счисления (СС), и даже вдруг это увеличит производительность компьютера? Мне казалось, что это возможно, и я жаждал это проверить.

Информация:
Троичная система счисления - позиционная система счисления с целочисленным основанием, равным 3. Существует в двух вариантах: несимметричная и симметричная.
В несимметричной троичной системе счисления чаще применяются цифры {0,1,2}, а в симметричной троичной системе счисления знаки {−,0,+}, {−1,0,+1}.
У некоторых людей эта логика вызывает затруднения. Они говорят, например, приведите пример подобной логики в жизни.
Человек, немного подумавший над этой логикой поймет, что она более жизненна чем двоичная. Обычный пример троичной логики в жизни связан с постоянным током: ток движется в одну сторону, в другую сторону, его нет.

Оказалось, что симметричная троичная система счисления использовалась давным-давно для решения «задачи о гирях», использовалась в компьютере Сетунь , построенном в 50-е годы в МГУ. С 2008 года в университете « California Polytechnic State University of San Luis Obispo» функционирует цифровая компьютерная система TCA2 , основанная на троичной системе счисления.

В чем же плюсы троичной СС над двоичной? Рассмотрим эти плюсы:

Меньше разрядов

(Написано разжевано, чтобы каждый смог понять суть этого пункта)
Возьмем число 10 в десятичной СС и переведем его в двоичную СС, получим 1010, переведем в троичную симметричную СС, получим +0+, ну а если в троичную несимметричную СС, то получим 101. Из этого мы видим, что в некоторых числах в троичной симметричной и несимметричной СС-ах меньше разрядов, чем в двоичной СС.
Возьмем число 5 в десятичной СС и переведем его в двоичную СС, получим 101, переведем в троичную симметричную СС, то получим +--, ну а если в троичную несимметричную СС, то получим 12. Из этого мы видим, что в некоторых числах в троичной несимметричной СС меньше разрядов, чем в двоичной и троичной симметричной СС-ах.

Емкость

Троичная СС вмещает больший диапазон чисел, т.к. 3^n>2^n (где n-натуральное число). Например, если n=9, то 3^9=19683>2^9=512.
3.

Экономичность системы счисления

Экономичность системы счисления - запас чисел, который можно записать в данной системе с помощью определенного количества знаков. Чем больше запас тем экономичнее система. По затратам числа знаков (в трёхразрядном десятичном числе 3*10=30 знаков) наиболее экономична из позиционных показательных несимметричных систем счисления. Обозначим p основание системы счисления, n количество требуемых знаков. Тогда получим n/p разрядов требуемых для записи этого набора знаков в заданной системе счисления, а количество чисел которое при этом можно записать будет равно pn/p.

Мы рассмотрели троичную арифметику, теперь затронем логику:

В чем же проблемы двоичной логики?
1.Мощности компьютера, основанного на двоичной логике, не всегда хватает. Приведем пример. Одна из наиболее сложных систем защиты – криптосистема RSA. Вскрытие шифра RSA с длиной ключа 1024 бита (такая длина часто используется в информационных системах) займет в лучшем случае - при проведении распределенных вычислений на тысячах мощных ПК - не менее пятнадцати лет, а к тому времени данная система шифровки перестанет быть востребованной.
Докажем математически какая система счисления будет наилучшей для максимальной мощности и емкости памяти. Для этого рассмотрим функцию f(p)=p^(n/p), в которой p – основание системы счисления, а n – количество требуемых знаков. Тогда получим n/p разрядов требуемых для записи этого набора знаков в заданной системе счисления, а количество чисел, которое при этом можно записать, будет равно pn/p

F(p)=p^(n/p)
Для того, чтобы определить максимальное значение функции, найдем ее производную:
ln f = ln p^(n/p)
ln f =n/p* ln p
...(Я не буду приводить здесь всю математику)
n*p^(n/p-2) никогда не будет равно 0 => (1 - ln⁡ p)=0, ln p = 1, p = e
e = 2,71, а ближайшее целое число к нему – это три.
Значит, в этом плане лучшая система с целочисленным основанием - троичная.

Самое вкусненькое - рассмотрим троичные логические операции:

1.Отрицание

2.Конъюнкция - логическое И

3.Дизъюнкция - логическое ИЛИ

4.Операция Выбора . Эта операция существует только для троичной логики. Таблица истинности каждой из этих трёх операций содержит везде „-“, кроме единственного значения, которое ею можно выбрать.

5.Модификация . Полное название этих одноместных операций: увеличение на единицу по модулю три (INC) и уменьшение на единицу по модулю три (DEC). Увеличение на единицу по модулю три – это циклическое прибавление единицы.

Здесь видны и прежде знакомые вам логические операции из двоичной логики, но добавились и новые…

Квантовые компьютеры

Квантовый компьютер - вычислительное устройство, работающее на основе квантовой механики. Квантовый компьютер принципиально отличается от классических компьютеров, работающих на основе классической механики.
Благодаря огромной скорости разложения на простые множители, квантовый компьютер позволит расшифровывать сообщения, зашифрованные при помощи популярного асимметричного криптографического алгоритма RSA. До сих пор этот алгоритм считается сравнительно надёжным, так как эффективный способ разложения чисел на простые множители для классического компьютера в настоящее время неизвестен. Для того, например, чтобы получить доступ к кредитной карте, нужно разложить на два простых множителя число длиной в сотни цифр. Даже для самых быстрых современных компьютеров выполнение этой задачи заняло бы больше времени, чем возраст Вселенной, в сотни раз. Благодаря алгоритму Шора эта задача становится вполне осуществимой, если квантовый компьютер будет построен.
Канадская компания D-Wave заявила в феврале 2007 года о создании образца квантового компьютера, состоящего из 16 кубит. Это устройство работает на кубитах - квантовых аналогах битов.
Но можно построить компьютеры не на битах, а на кутритах - аналогах трита в квантовом компьютере.
Кутрит (квантовый трит) - квантовая ячейка, имеющая три возможных состояния.
Подлинное новаторство метода Ланьона в том, что, используя в универсальных квантовых вентилях кутриты вместо кубитов, исследователи могут существенно снизить количество необходимых вентилей.
Ланьон утверждает, что компьютер, который в обычном случае использовал бы 50 традиционных квантовых вентилей, сможет обойтись всего девятью, если будет основан на троичном представлении.
Также, согласно некоторым исследованиям, использование кутритов вместо кубитов позволит упростить реализацию квантовых алгоритмов и компьютеров.

Итог:
В конечном итоге видно, что троичная симметричная система лучше двоичной системы в некоторых показателях, но не сильно выигрывает. Но с пришествием квантовых компьютеров троичные вычисления получили новую жизнь. Универсальные квантовые логические вентили - краеугольный камень новорожденных квантовых вычислительных систем - требует сотни вентилей для завершения одной полезной операции. Квантовый компьютер канадской компании D-Wave, анонсированный в прошлом году, состоит всего из 16 квантовых битов - кубитов - минимум, необходимый для управляемого вентиля «NOT». Использование в квантовом компьютере кутритов нужно было бы намного меньше вентилей для завершения одной операции. Я думаю, если бы началось производство и тестирование таких компьютеров, то результаты были бы лучше, чем у обычных компьютеров, вскоре началось бы массовое их производство, и про двоичные компьютеры все бы забыли…