Снежинка коха можно ли построить в эксель. Программы на Pascal (Паскаль): снежинка и кривая Коха, фракталы. Основные свойства кривой Коха

Снежинка Коха

В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и притом с колоссально большой скоростью (производная равна бесконечности). Поиски данных кривых были вызваны не просто праздным интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М.Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую, которая бы наилучшим образом аппроксимировала движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую. Мы не будем вдаваться в объяснения правила ее построения, а просто приведем ее изображение, из которого все станет ясно (рис.1.1.1).

Рис 1.1.1. Снежинка Коха.

Одно важное свойство, которым обладает граница снежинки Коха --- ее бесконечная длина. Это может показаться удивительным, потому что мы привыкли иметь дело с кривыми из курса математического анализа. Обычно гладкие или хотя бы кусочно-гладкие кривые всегда имеют конечную длину (в чем можно убедиться интегрированием). Мандельброт в этой связи опубликовал ряд увлекательных работ, в которых исследуется вопрос об измерении длины береговой линии Великобритании. В качестве модели он

Рис. 1.1.2. Построение снежинки Коха.

использовал фрактальную кривую, напоминающую границу снежинки за тем исключением, что в нее введен элемент случайности, учитывающий случайность в природе. В результате оказалось, что кривая, описывающая береговую линию, имеет бесконечную длину.

Салфетка и ковёр Серпинского

Еще один пример простого самоподобного фрактала --- салфетка Серпинского (рис. 1.2.1), придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Сам термин салфетка принадлежит Мандельброту. В способе построения, следующем ниже, мы начинаем с некоторой области и последовательно выбрасываем внутренние подобласти. Позднее мы рассмотрим и другие способы, в частности с использованием L-систем, а также на основе итерированных функций.

Рис 1.2.1. Салфетка Серпинского

Пусть начальное множество S 0 --- равносторонний треугольник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьем S 0 на четыре меньшие треугольные области, соединив отрезками середины сторон исходного треугольника. Удалим внутренность маленькой центральной треугольной области. Назовем оставшееся множество S 1 (рис. 1.2.2). Затем повторим процесс для каждого из трех оставшихся маленьких треугольников и получим следующее приближение S 2 . Продолжая таким образом, получим последовательность вложенных множеств S n , чье пересечение образует салфетка S.

Рис. 1.2.2. Построение салфетки Серпинского

Очевидно, что суммарная площадь частей, выкинутых при построении, в точности равна площади исходного треугольника. На первом шаге мы выбросили ј часть площади. На следующем шаге мы выбросили три треугольника, причем площадь каждого равна ј 2 площади исходного. Рассуждая таким образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой площади составила:

1/4 + 3 * (1/4 2) + 3 2 * (1/4 3) + … + 3 n-1 * (1/4 n) + … .

Эта сумма равна. Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся множество S, то есть салфетка, имеет площадь меры нуль. Это выделяет множество S в разряд «совершенного», в том смысле, что оно разбивает свое дополнение на бесконечное число треугольных областей, обладая при этом нулевой толщиной.

Ковер Серпинского считается еще одной моделью фрактала. Строится он следующим образом: берется квадрат, делится на девять квадратов, вырезается центральный квадрат. Затем с каждым из восьми оставшихся квадратов проделывается подобная процедура. И так до бесконечности. В результате вместо целого квадрата мы получаем ковер со своеобразным симметричным рисунком. Впервые данную модель предложил математик Серпинский, в честь которого он и получил свое название. Пример ковра Серпинского можно увидеть на рис. 1.2.3.

Всем привет! У всех студентов, и у меня в том числе, началась летняя сессия. Все сдают зачеты и лабы, закрывают пропуски и т.п.

Я давно сдал все лабы, и у меня осталось несколько программ, которые, думаю, многим еще пригодятся. Все они в основном на Паскале и Делфи. Я писал уже о . В этом посте пойдет речь о снежинке Коха на Паскале (Pascal).

Фракталы наверняка вам знакомы и я не буду писать о том, что это такое и с чем их "едят". Давайте просто сразу перейдем к коду. Он на языке Паскаль и адаптирован под PascalABC (скачать PascalABC можно с официального сайта ). Это не мой код, я нашел его на одном из форумов. Я лишь чуть-чуть изменил его, проще говоря, удалил лишнее.

Снежинка Коха на Паскале (Pascal) uses GraphABC; procedure Draw(x, y, l, u: Real; t: Integer); procedure Draw2(Var x, y: Real; l, u: Real; t: Integer); begin Draw(x, y, l, u, t); x:= x + l*cos(u); y:= y - l*sin(u); end; begin if t > 0 then begin l:= l/3; Draw2(x, y, l, u, t-1); Draw2(x, y, l, u+pi/3, t-1); Draw2(x, y, l, u-pi/3, t-1); Draw2(x, y, l, u, t-1); end else Line(Round(x), Round(y), Round(x+cos(u)*l), Round(y-sin(u)*l)) end; begin SetWindowSize(425,500); SetWindowCaption("Фракталы: Снежинка Коха"); Draw(10, 354, 400, pi/3, 4); Draw(410, 354, 400, pi, 4); Draw(210, 8, 400, -pi/3, 4); end.

Вот такая снежинка у вас должна получиться:

Вкратце про параметры процедуры Draw:

1 и 2 параметр - это координаты начальной точки, откуда будет рисоваться линия;

3 - длина линии;

4 - полярный угол;

5 - количество шагов.

Можете поэкспериментировать с количеством шагов, и получится что-то вроде этого:

Кривая Коха на Паскале (Pascal)

Как вы поняли, снежинка рисуется из 3-х кривых Коха. И для того чтобы нарисовать кривую Коха, используем тот же код с разницей лишь той, что процедура Draw вызывается один раз и с другими параметрами.

Uses GraphABC; procedure Draw(x, y, l, u: Real; t: Integer); procedure Draw2(Var x, y: Real; l, u: Real; t: Integer); begin Draw(x, y, l, u, t); x:= x + l*cos(u); y:= y - l*sin(u); end; begin if t > 0 then begin l:= l/3; Draw2(x, y, l, u, t-1); Draw2(x, y, l, u+pi/3, t-1); Draw2(x, y, l, u-pi/3, t-1); Draw2(x, y, l, u, t-1); end else Line(Round(x), Round(y), Round(x+cos(u)*l), Round(y-sin(u)*l)) end; begin SetWindowSize(425,500); SetWindowCaption("Фракталы: Кривая Коха"); Draw(10, 254, 400, 0, 4); end.

Как видите, изменилось мало чего: полярный угол стал равен нулю и начальная точка смещена немного вверх. И вот что получилось:

Разбираться в коде я не стал, но если возникнут вопросы - пишите в комментариях. Вместе разберемся.

Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника , образуют замкнутую кривую бесконечной длины, называемую снежинкой Коха .

Эта фигура — один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха , которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».

Рисунок и анимация отлично показывают, как по шагам строится кривая Коха. Первая итерация — просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация — ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.

Основные свойства кривой Коха

1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана — как пример такого рода математических «уродцев».

2. Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3: длина линии с номером n равна (4/3) n -1 . Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.

3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно — снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена. Площадь можно посчитать, и для этого даже не нужно особых знаний — формулы площади треугольника и суммы геометрической прогрессии проходят в школе. Для интересующихся вычисление приведено ниже мелким шрифтом.

Пусть сторона исходного правильного треугольника равна a . Тогда его площадь . Сначала сторона равна 1, а площадь: . Что происходит при увеличении итерации? Можно считать, что к уже имеющемуся многоугольнику пристраиваются маленькие равносторонние треугольнички. В первый раз их всего 3, а каждый следующий раз их в 4 раза больше чем было в предыдущий. То есть на n -м шаге будет достроено T n = 3 · 4 n -1 треугольничков. Длина стороны каждого из них составляет треть от стороны треугольника, достроенного на предыдущем шаге. Значит, она равна (1/3) n . Площади пропорциональны квадратам сторон, поэтому площадь каждого треугольничка равна . При больших значениях n это, кстати, очень мало. Суммарный вклад этих треугольничков в площадь снежинки равен T n · S n = 3/4 · (4/9) n · S 0 . Поэтому после n -го шага площадь фигуры будет равна сумме S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +T n · S n = . Снежинка получается после бесконечного числа шагов, что соответствует n → ∞. Получается бесконечная сумма, но это сумма убывающей геометрической прогрессии, для нее есть формула: . Площадь снежинки равна .

4. Фрактальная размерность равна log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Аккуратное вычисление потребует немалых усилий и подробных разъяснений, поэтому здесь приведена, скорее, иллюстрация определения фрактальной размерности. Из формулы степенной зависимости N (δ ) ~ (1/δ ) D , где N — число пересекающихся квадратиков, δ — их размер, а D — размерность, получаем, что D = log 1/ δ N . Это равенство верно с точностью до прибавления константы (одной и той же для всех δ ). На рисунках изображена пятая итерация построения кривой Коха, зеленым закрашены квадратики сетки, которые с ней пересекаются. Длина исходного отрезка равна 1, поэтому на верхнем рисунке длина стороны квадратиков равна 1/9. Закрашено 12 квадратиков, log 9 12 ≈ 1,130929... . Пока не очень похоже на 1,261859... . Смотрим дальше. На среднем рисунке квадратики в два раза меньше, их размеры 1/18, закрашено 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Уже лучше. Внизу квадратики еще вдвое меньше, закрашено уже 72 штуки. log 72 30 ≈ 1,193426... . Еще ближе. Дальше нужно увеличивать номер итерации и одновременно уменьшать квадратики, тогда «эмпирическое» значение размерности кривой Коха будет неуклонно приближаться к log 3 4, а в пределе и вовсе совпадет.

Варианты

Снежинка Коха «наоборот» получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.

Линии Чезаро. Вместо равносторонних треугольников используются равнобедренные с углом при основании от 60° до 90°. На рисунке угол равен 88°.

Квадратный вариант. Тут достраиваются квадраты.

Снежинка Коха

canvas {
border: 1px dashed black;
}

var cos = 0.5,
sin = Math.sqrt(3) / 2,
deg = Math.PI / 180;
canv, ctx;

function rebro(n, len) {
ctx.save(); // Сохраняем текущую трансформацию
if (n == 0) { // Нерекурсивный случай - отрисовываем линию
ctx.lineTo(len, 0);
}
else {
ctx.scale(1 / 3, 1 / 3); // Уменьшаем масштаб в 3 раза
rebro(n-1, len); //RECUURSION на ребре
ctx.rotate(60 * deg);
rebro(n-1, len);
ctx.rotate(-120 * deg);
rebro(n-1, len);
ctx.rotate(60 * deg);
rebro(n-1, len);
}
ctx.restore(); // Восстанавливаем трансформацию
ctx.translate(len, 0); // переходим в конец ребра
}

function drawKochSnowflake(x, y, len, n) {
x = x - len / 2;
y = y + len / 2 * Math.sqrt(3)/3;
ctx.save();
ctx.beginPath();
ctx.translate(x, y);
ctx.moveTo(0, 0);
rebro(n, len); ctx.rotate(-120 * deg); //RECUUUURSION уже треугольник
rebro(n, len); ctx.rotate(-120 * deg);
rebro(n, len); ctx.closePath();
ctx.strokeStyle = "#000";
ctx.stroke();
ctx.restore();
}

function clearcanvas(){ //чистим канвас
ctx.save();
ctx.beginPath();

// Use the identity matrix while clearing the canvas
ctx.setTransform(1, 0, 0, 1, 0, 0);
ctx.clearRect(0, 0, canvas1.width, canvas1.height);

// Restore the transform
ctx.restore();
}

function run() {
canv = document.getElementById("canvas1");
ctx = canv.getContext("2d");
var numberiter = document.getElementById("qty").value;
drawKochSnowflake(canv.width/2, canv.height/2, 380, numberiter);

Ctx.stroke(); //отрисовка
}

Снежинка Коха - пример

Эта фигура - один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха , которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».

Написание функции, которая рекурсивно вызывает себя, является одним из способов генерации фрактальной диаграммы на экране. Однако, что, если вы хотите, чтобы строки в вышеуказанном Канторе устанавливались как отдельные объекты, которые можно было перемещать независимо? Рекурсивная функция проста и изящна, но это не позволяет вам многое сделать, кроме простого создания самого шаблона.

Вот правила. Кривую Коха и другие фрактальные узоры часто называют «математическими монстрами». Это связано с нечетным парадоксом, который возникает, когда вы применяете рекурсивное определение бесконечно много раз. Если длина исходной стартовой линии равна единице, первая итерация кривой Коха даст длину линии четыре трети. Сделайте это снова, и вы получите шестнадцать-девятый. По мере того как вы итерируете в бесконечность, длина кривой Коха приближается к бесконечности. Тем не менее, он вписывается в крошечное конечное пространство, предоставленное прямо здесь, на этой бумаге!

Первые этапы построения кривой Коха

Рисунок и анимация отлично показывают, как по шагам строится кривая Коха. Первая итерация - просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация - ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.

Поскольку мы работаем на Земле обработки конечных пикселей, этот теоретический парадокс не будет для нас фактором. Мы могли бы действовать так же, как и с канторским множеством, и писать рекурсивную функцию, которая итеративно применяет правила Коха снова и снова. Тем не менее, мы будем решать эту проблему по-другому, рассматривая каждый отрезок кривой Коха как отдельный объект. Это откроет некоторые возможности дизайна. Например, если каждый сегмент является объектом, мы можем позволить каждому сегменту двигаться независимо от его исходного местоположения и участвовать в физическом моделировании.

Основные свойства кривой Коха

1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана - как пример такого рода математических «уродцев».

2. Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3: длина линии с номером n равна (4/3) n–1 . Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.

Кроме того, мы могли бы использовать случайный цвет, толщину линии и т.д. Чтобы отображать каждый сегмент по-разному. Чтобы выполнить нашу задачу обработки каждого сегмента как отдельного объекта, мы должны сначала решить, что должен делать этот объект. Какие функции он должен иметь?

Давайте рассмотрим, что у нас есть. С приведенными выше элементами, как и где мы применяем правила Коха и принципы рекурсии? В этом симуляции мы всегда следили за двумя поколениями: текущими и последующими. Когда мы закончили вычислять следующее поколение, теперь стало актуальным, и мы перешли к вычислению нового следующего поколения.

3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно - снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена. Площадь можно посчитать, и для этого даже не нужно особых знаний - формулы площади треугольника и суммы геометрической прогрессии проходят в школе. Для интересующихся вычисление приведено ниже мелким шрифтом.

Мы будем применять подобную технику здесь. Вот как выглядит код. Разумеется, вышеприведенное исключает настоящую «работу» здесь, которая определяет эти правила. Как мы разбиваем один сегмент линии на четыре, как описано правилами? Построение фрактала основано на концепции бесконечности. Шаг 2: Мы разделим этот сегмент на три равные части, а на центральной части поднят равносторонний треугольник. Шаг 3: На четырех новых сегментах мы выполним шаг.

Пересеките инструмент между двумя объектами, щелкните по окружности. Снежинка Коха - это особая фрактальная кривая, построенная математиком Коха, начиная с кружева Коха. Это кривая, построенная по сторонам равностороннего треугольника. Кружева Коха построены на каждой из сторон треугольника.

Пусть сторона исходного правильного треугольника равна a . Тогда его площадь. Сначала сторона равна 1, а площадь: . Что происходит при увеличении итерации? Можно считать, что к уже имеющемуся многоугольнику пристраиваются маленькие равносторонние треугольнички. В первый раз их всего 3, а каждый следующий раз их в 4 раза больше чем было в предыдущий. То есть на n -м шаге будет достроено T n = 3 · 4 n–1 треугольничков. Длина стороны каждого из них составляет треть от стороны треугольника, достроенного на предыдущем шаге. Значит, она равна (1/3) n . Площади пропорциональны квадратам сторон, поэтому площадь каждого треугольничка равна . При больших значениях n это, кстати, очень мало. Суммарный вклад этих треугольничков в площадь снежинки равенT n · S n = 3/4 · (4/9) n · S 0 . Поэтому после n -го шага площадь фигуры будет равна сумме S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +T n · S n = . Снежинка получается после бесконечного числа шагов, что соответствует n → ∞. Получается бесконечная сумма, но это сумма убывающей геометрической прогрессии, для нее есть формула: . Площадь снежинки равна.

В следующей таблице приведены первые шаги построения кривой. Чтобы получить фрактал, вам просто нужно вставить три копии кривой вдоль сторон треугольника. Обратите внимание, что вторая фигура - звезда Давида. Конечным результатом является замкнутая кривая, построенная на равностороннем треугольнике. Можно отметить, что фритта содержит шестиконечную звезду. Конструкция очень похожа на фрактальную пятиугольную.

Существует еще один способ построить снежинки. Конструкцию, описанную выше, можно определить как конструкцию путем добавления, поскольку стартовая фигура, треугольник, добавляет другие элементы. Существует подструктура, которая вместо исходной фигуры удаляет элементы.

4. Фрактальная размерность равна log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Аккуратное вычисление потребует немалых усилий и подробных разъяснений, поэтому здесь приведена, скорее, иллюстрация определения фрактальной размерности. Из формулы степенной зависимости N(δ) ~ (1/δ)D, где N - число пересекающихся квадратиков, δ - их размер, D - размерность, получаем, что D = log 1/δ N. Это равенство верно с точностью до прибавления константы (одной и той же для всех δ ). На рисунках изображена пятая итерация построения кривой Коха, зеленым закрашены квадратики сетки, которые с ней пересекаются. Длина исходного отрезка равна 1, поэтому на левом рисунке длина стороны квадратиков равна 1/9. Закрашено 12 квадратиков, log 9 12 ≈ 1,130929... . Пока не очень похоже на 1,261859... . Смотрим дальше. На среднем рисунке квадратики в два раза меньше, их размеры 1/18, закрашено 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Уже лучше. Справа квадратики еще вдвое меньше, закрашено уже 72 штуки. log 72 30 ≈ 1,193426... . Еще ближе. Дальше нужно увеличивать номер итерации и одновременно уменьшать квадратики, тогда «эмпирическое» значение размерности кривой Коха будет неуклонно приближаться к log 3 4, а в пределе и вовсе совпадет.

Варианты

Снежинка Коха «наоборот» получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.

Линии Чезаро . Вместо равносторонних треугольников используются равнобедренные с углом при основании от 60° до 90°. На рисунке угол равен 88°.

Квадратный вариант . Тут достраиваются квадраты.

Трехмерные аналоги . Пространство Коха.

Кривая или линия геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно. Содержание 1 Элементарная геометрия 2 Параметрические определения 3 Кривая Жордана … Википедия

Дельтоида Дельтоида (кривая Штейнера) плоская кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус которой втрое больше радиуса первой. Название кривая получила за сходство с греческой… … Википедия

Брахистохрона (от греч. βράχιστος кратчайший и χρόνος время) кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в 1696 году Иоганном Бернулли. Заключается она в следующем: Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки А и В,… … Википедия

- (далее кривая) наиболее общее (но не чрезмерно) определение кривой, введённое Урысоном в 1921. Это определение обобщает определение Кантора на произвольную размерность. Определение формулируется следующим образом: Кривой называется связное… … Википедия

Общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства) Содержание 1 Свойства 2 Примеры 3 Обобщения … Википедия

Кривая Леви фрактал. Предложен французским математиком П. Леви. Получается, если взять половину квадрата вида /, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в … Википедия

При различных параметрах Кривая погони кривая, представляющая собой решение задачи о «погоне», которая ставится следующим образом. Пусть … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Кривая (значения). Кривая или линия геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно. Содержание 1 Элементарная геометрия 2 … Википедия

Кривые Безье или Кривые Бернштейна Безье были разработаны в 60 х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье (Pierre Bézier) из автомобилестроительной компании «Рено» и Полем де Кастельжо (Paul de Faget de Casteljau) из компании «Ситроен» … Википедия

Построение кривой Минковского Кривая Минковского классический геометрический фрактал, предложенный Минковским. Инициатором является отрезок, а генератором является ломаная из восьм … Википедия

Книги

• , Секованов В.С. Категория: Математика Серия: Геометрия Издатель: URSS , Производитель: URSS ,
• Элементы теории фрактальных множеств , В. С. Секованов , В настоящем учебном пособии представлена краткая историческая справка о развитии нового направления современной математики - фрактальной геометрии. Указаны сферы применения фрактальных… Категория: Геометрия Издатель: